Serie 53

Serie 53

Hier werden die Aufgaben 625 bis 636 veröffentlicht.

Aufgabe 1

625. Wertungsaufgabe

Logikaufgabe

Bernd hat Geburtstag und die Familie (Maria, Vater, Mutter, Opa und Oma) sitzen um den runden Tisch herum. Bernd sitzt direkt zwischen Maria und Opa. Die Oma sitzt rechts neben dem Vater von Bernds Vater und Bernds Mutter sitzt nicht direkt gegenüber vom Opa. Bernd schaut sich die Karten des neuen Spiels an und sagt.:

1. Es sind mehr als 40 Karten.
2. Alle Karten haben ein schwarz-weißes Symbol.
3. Keine Karte hat nur nur ein schwarzes Symbol.
4. Es sind weniger als 60 Karten.
5. Es sind mehr als 50 Karten.

Genau eine der Aussagen ist wahr, aber welche? 4 rote Punkte.

Als das geklärt ist , notiert Bernd für seinen Freund Mike noch das:

1. Bernds Mutter sitzt neben dem Opa.
2. Maria sitzt neben ihrer Mutter.
3. Bernds Vater sitzt neben seinem Vater.
4. Maria sitzt neben dem Opa.
5. Opa sitzt neben Oma.

Mike überlegt, welche der 5 Aussagen wirklich als einzige zutrifft – 4 blaue Punkte

Die Lösung des Symbolrätsels bringt zwei zusätzliche blaue Punkte, aber nur wenn reguläre Punkte eingebracht werden. Für das Rätsel gilt: Jedes Symbol steht für eine Ziffer, gleiche Symbole, → gleiche Ziffer, verschiedene Symbole → verschiedene Ziffern.  © Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein!

Termin der Abgabe 19.12.2019. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 19.12.2019. Deadline for solution is the 19th. December 2019. Date limite pour la solution 19.12.2019. Soluciones hasta el 19.12.2019. Beadási határidő 2019.12..19.

hun

Berndnek szülinapja van és a családdal (Maria, Apa, Anya, Nagypapa és Nagymama) a kerek asztalnál ülnek. Bernd közvetlenül Maria és Nagypapa mellett ül. A nagymama jobbra ül Bernd apukájának az apjától és Bernd anyja nem direkt szemben ül a nagypapával. Bernd megnézi az új játék kártyáit és azt mondja:

1. Ez több mint 40 kártya.
2. Minden kártyán van egy fekete-fehér jelzés.
3. Egy kártyának sincs csak egy fekete jele.
4. Kevesebb, mint 60 kártya van.
5. Több mint 50 kártya van.

Csak 1 állítás igaz. Melyik ez? 4 piros pont

1. Bernd anyja a nagypapa mellett ül.
2. Maria az anyja mellett ül.
3. Bernd apja az ő apja mellett ül.
4. Mária a nagymama mellett ül.
5. Nagypapa ül a nagymama mellett.

Mike gondolkodik, hogy az 5 állítás közül melyik az egyetlen, ami igaz. 4 kék pont

A szimbólum rejtvény megoldásáért további két kék pontot kaphat, amennyiben a többi feladatért is szerzett pontot. A rejtvény megfejtésére érvényes: minden jel egy számjegyet szimbolizál, azonos jelek azonos számjegyeket, különböző jelek különböző számjegyeket.  ©HRGauern[at]@t-online.de

fr

Exercice de logique
Bernd fête son anniversaire et la famille (Maria, père, mère, grand-père et grand-mère) est assise autour de la table ronde. Bernd est assis directement entre Maria et grand-père. La grand-mère est assise juste à côté du père du père de Bernd et la mère de Bernd n'est pas assise directement en face de grand-père. Bernd regarde les cartes du nouveau jeu et dit:
1. Il y a plus de 40 cartes.
2. Toutes les cartes ont un symbole noir et blanc.
3. Aucune carte ne comporte qu'un seul symbole noir.
4. Il y a moins de 60 cartes.
5. Il y a plus de 50 cartes.
Exactement l'une des affirmations est vraie, mais lesquelles? 4 points rouges.
Dès que cela a été clarifié, Bernd note pour son ami Mike:
1. La mère de Bernd est assise à côté de son grand-père.
2. Mary est assise à côté de sa mère.
3. Le père de Bernd est assis à côté de son père.
4. Maria est assise à côté du grand-père.
5. Grand-père est assis à côté de grand-mère.
Mike considère laquelle des 5 déclarations est vraiment la seule valide - 4 points bleus

La solution de l'énigme apporte deux points bleus supplémentaires, mais seulement si des points réguliers ont été obtenus. Règle pour l’énigme:Chaque symbole représente un nombre, les mêmes symboles, le même nombre, différents symboles différents numéros. ©HRGauern[at]@t-online.de

esp

Es el cumpleaños de Bernd y la familia (Maria, el padre, la madre, el abuelo y la abuela) está sentado alrededor de la mesa. Bernd está precisamente entre Maria y el abuelo. La abuela está a la derecha del padre del padre de Bernd (≈abuelo) y la madre de Bernd no está directamente frente al abuelo. Bernd mira los naipes del juego nuevo y dice:
1. Son más que 40 naipes.
2. Todos los naipes tienen un símbolo en blanco y negro.
3. No hay ningún naipe con un símbolo en solo negro.
4. Son menos que 60 naipes.
5. Son más que 50 naipes.
Solamente una declaración es correcto, pero ¿cuál? - 4 puntos rojos.
Aclarado esto, Bernd apunta otra cosa más para su amigo Mike:
1. La madre de Bernd está al lado del abuelo.
2. María está al lado de su madre.
3. El padre de Bernd está al lado de su padre.
4. María está al lado del abuelo.
5. El abuelo está al lado de la abuela.
Mike reflexiona, cuál de los 5 declaraciones es la única correcta - 4 puntos azules.
Por la solución de rompecabeza de símbolos se recibe dos puntos azules adicionales si se ha ganado los puntos regulares antes. Para el rompecabeza aplica lo siguiente: Cada símbolo representa una cifra, los mismos símbolos representan las mismas cifras, diferentes símbolos para diferentes cifras.  ©HRGauern[at]@t-online.de

en

625 logical task

It is Bernd’s birthday and his family (Maria, father, mother, grandma and grandpa) are sitting around a circular table. Bernd is sitting directly between Maria and grandpa. His grandma is sitting right next to the father of Bernd’s father. Bernd’s mother is not sitting directly opposite of grandpa. Bernd looks at the cards of the new game and says:

1. There are more than 40 cards.
2. All cards have a black-white symbol.
3. No card just has a black symbol.
4. There are less than 60 cards.
5. There are more than 50 cards.

Exactly one of the propositions is true, but which one? – 4 red points.

As this task is settled, Bernd takes the following notes for his friend Mike:

1. Bernd’s mother is sitting next to grandpa.
2. Maria is sitting next to her mother.
3. Bernd’s father is sitting next to his father.
4. Maria is sitting next to grandpa.
5. Grandpa is sitting next to grandma.

Mike considers which of the 5 propositions is the only true – 4 blue points.

Solving the picture-puzzle will get you two extra blue points, provided you also got points doing the regular maths problem. The rule for each picture puzzle is: Each icon represents one digit, same icons, same digits, different icons, different digits. ©HRGauern[at]@t-online.de

it

Compito di logica
Al compleanno di Bernd tutti i membri della famiglia (Maria, Padre, Madre, Nonno, Nonna) si sono seduti intorno alla tavola rotonda. Bernd siede tra Maria e Nonno. La Nonna siede a destra del padre del Padre (questa ripetizione non é uno sbaglio) di Bernd e la Madre di Bernd non siede di fronte a Nonno. Bernd studia le carte del gioco nuovo e dice:

1. Sono più di 40 carte.
2. Tutte le carte hanno un simbolo bianco-nero.
3. Nessuna delle carte porta solo un simbolo nero.
4. Sono meno di 60 carte.
5. Sono più di 50 carte.

 Solo una di queste dichiarazioni è vera, ma quale? 4 punti rossi
Quando questo era chiarito, Bernd notava per suo amico Mike il seguente:

1. La Madre di Bernd siede accanto a Nonno.
2. Maria siede accanto a sua Madre.
3. Il Padre di Bernd siede accanto a suo padre.
4. Maria siede accanto a Nonno.
5. Nonno siede accanto a Nonna. 

 Mike pensa su quale di queste dichiarazioni sia l’ unica vera. - 4 punti blu

La soluzione dell´indovinello simbolico apporta altri due punti blu, ma solo se si apportano punti regolari. Per l´indovinello vale: Ogni simbolo sta per una cifra, stessi simboli, stessa cifra, diversi simboli diverse cifre. ©HRGauern[at]@t-online.de

Lösung/solution/soluzione/résultat:

Musterlösung von Günter S., danke --> pdf <--

Aufgabe 2

626. Wertungsaufgabe

„Maria, du hast ja schon einige Buchstaben nach den Anleitungen von Dürer konstruiert. Die haben mir sehr gefallen. Deshalb habe ich eine andere Konstruktion von Albrecht Dürer mitgebracht – seine Konstruktion eines Fünfecks.“, sagte der Opa von Maria und Bernd.

Strecke AB zeichnen (a = 4cm)
Jetzt die blauen Kreise, die schneiden einander in den Punkten F und G. Damit entsteht die Gerade g.
Jetzt den grünen Kreis (Mittelpunkt F und r = a) zeichnen. Schnittpunkte des grünen Kreises mit den blauen Kreisen sind I bzw. J. Der obere Schnittpunkt des grünen Kreises und g heißt H. Nun werden die Geraden i – JH und f – IH gezeichnet.. Es entstehen die Punkte C und E, diese werden zu Mittelpunkten der roten Kreise (r=a) und man erhält noch Punkt D. Das Fünfeck ABCDE sieht regelmäßig aus. Wie groß wären Flächeninhalt und Umfang des Fünfecks, wenn es regelmäßig mit a = 4 cm wäre. 4 blaue Punkte
Ist ein so konstruiertes Fünfeck wirklich regelmäßig? Der Nachweis oder die Widerlegung der Regelmäßigkeit des Fünfeck nach Dürer bringt 6 rote Punkte. Die Lösung des Symbolrätsels bringt zwei zusätzliche blaue Punkte, aber nur wenn reguläre Punkte eingebracht werden. Für das Rätsel gilt: Jedes Symbol steht für eine Ziffer, gleiche Symbole, → gleiche Ziffer, verschiedene Symbole → verschiedene Ziffern. © Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein!

Termin der Abgabe 09.01.2020. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 09.01.1920. Deadline for solution is the 9th. January 2019. Date limite pour la solution 09.01.2020. Soluciones hasta el 09.01.2020. Beadási határidő 2020.01.09.

hun

Mária, te már szerkesztettél pár betűt Dürer leírása alapján. Ezek nagyon tetszettek neked. Ezért hoztam egy másik szerkesztést Dürertől, az ötszöget. - mondta Mária és Bernd nagyapja.

Meghúzzuk az AB szakaszt, ami 4 cm. Most a kék körök következnek, melyek az F és G pontban metszik egymást. Ezzel létrejön a G egyenes. Most a zöld kört (középpontja F, r = a) szerkesztjük meg. A zöld kör metszéspontja a kék körükkel az I és J. A zöld kör felső metszéspontját és a g-t H-nak hívjuk. Most már csak az I szakasz – JH és IH – megszerkesztése van hátra. Ezzel kialakul a C és E pont, ezek lesznek a piros körök (r=a) középpontjai és megkapjuk a D pontot. Az ABCDE ötszög szabályosnak tűnik. Mekkora a kerülete és a felülete az ötszögnek, amennyiben a = 4 cm? 4 kék pont
Egy ilyen módon szerkesztett ötszög tényleg szabályos? A Dürer ötszög szabályosságának bizonyítása vagy megcáfolása 6 piros pontot ér.
A szimbólum rejtvény megoldásáért további két kék pontot kaphat, amennyiben a többi feladatért is szerzett pontot. A rejtvény megfejtésére érvényes: minden jel egy számjegyet szimbolizál, azonos jelek azonos számjegyeket, különböző jelek különböző számjegyeket. ©HRGauern[at]@t-online.de

fr

"Maria, tu as déjà construit quelques lettres selon les instructions de Dürer. Je les aimais beaucoup. C'est pourquoi j'ai apporté une autre construction d'Albrecht Dürer - sa construction d'un pentagone », a déclaré le grand-père de Maria et Bernd; distance AB (a = 4cm)

Maintenant, les cercles bleus se coupent aux points F et G. Cela crée la droite g.
Dessinez maintenant le cercle vert (point central F et r = a).
Les intersections du cercle vert avec les cercles bleus sont I et J. L'intersection supérieure du cercle vert et g est H.
Maintenant, les lignes droites i - JH et f - IH sont tracées. Les points C et E sont créés, qui deviennent le centre des cercles rouges (r = a) et on obtient le point D.
Le pentagone ABCDE semble régulier. Quelle serait la superficie et la circonférence du pentagone s'il était régulier avec a = 4 cm. 4 points bleus
Un pentagone ainsi construit est-il vraiment régulier? La preuve ou la réfutation de la régularité du pentagone selon Dürer apporte 6 points rouges.

La solution de l'énigme apporte deux points bleus supplémentaires, mais seulement si des points réguliers ont été obtenus. Règle pour l’énigme:Chaque symbole représente un nombre, les mêmes symboles, le même nombre, différents symboles différents numéros. ©HRGauern[at]@t-online.de

sp

„Maria, ya has creado varias letras bajo la dirección de Dürer. Me han gustado mucho. Por eso traje otra construcción de Albrecht Dürer: su construcción de un pentágono“, dijo el abuelo de Maria y Bernd. Trazar el segmento rectilíneo AB (a= 4 cm).

Después trazar los círculos azules que se cruzan uno al orto en los puntos F y G. Así resulta la línea recta g. Ahora, trazar el círculo verde  (punto central F y r=a). Los puntos de intersección del círculo verde con el círculo azul son I o sea J. La intersección del círculo verde y g se llama H. Ahora se traza las rectas i-JH y f - IH. Resultan los puntos C y E que se hacen puntos centrales de los círculos rojos (r=a) y luego se obtiene el punto D. El pentágono ABCDE se ve regular. ¿De qué tamaño serían área y perímetro, si regularmente siempre tiene a= 4cm? 4 puntos azules

De verdad, ¿un pentágono construida de tal manera es regular? La prueba o refutación de la regularidad del pentágono según Dürer trae 6 puntos rojos.

Por la solución de rompecabeza de símbolos se recibe dos puntos azules adicionales si se ha ganado los puntos regulares antes. Para el rompecabeza aplica lo siguiente: Cada símbolo representa una cifra, los mismos símbolos representan las mismas cifras, diferentes símbolos para diferentes cifras. ©HRGauern[at]@t-online.de

en

”Maria, you’ve already designed some letters after Albrecht Dürer’s instruction. I liked those very much. So I brought another design of Albrecht Dürer – his design of a pentagon, grandpa told to Maria and Bernd.”

Draw line segment AB (a = 4cm).
Now the blue circles, they intersect in points F and G.
So line G is formed.
Now draw the green circle (center F and r = a). The points of intersection between the green and the blue circle are I respectively J. The upper point of the intersection of the green circle and g is H. Now the lines i – JH and f – IH are drawn. The points C and E are formed. They become the center of the red circle (r = a) and you get another point D. The pentagon ABCDE looks regular. How big would area and perimeter be, if the pentagon would be regular with a = 4cm. – 4 blue points
Is such a designed pentagon really regular? The proof or disproof of the regularity of Dürer’s pentagon gets you 6 blue points.
Solving the picture-puzzle will get you two extra blue points, provided you also got points doing the regular maths problem. The rule for each picture puzzle is: Each icon represents one digit, same icons, same digits, different icons, different digits. ©HRGauern[at]@t-online.de

it

„Maria, so che hai già costruito un paio di lettere secondo le istruzioni di Dürer. Mi sono piaciuti tantissimo. Ecco perché ti ho portato un’ altra costruzione di Dürer – la sua costruzione di un pentagono.”, diceva il nonno di Maria e Bernd.

Disegnare il segmento AB (a = 4 cm), poi I cerchi blu che si intersecano nei punti F e G; così risulta la retta g. Adesso disegnare il cerchio verde (centro F; r = a). I punti di intersezione di esso coi cerchi blu sono I e J. Il punto di intersezione del cerchio verde con g si chiama H. Adesso si disegnano le rette i – JH e f – IJ. Risultano quindi I punti C e E, che diventano i centri dei cerchi rossi (r = a) dei quali risulta il punto D.
Il pentagono ABCDE sembra essere regolare. Quale sarebbero la superficie e la circonferenza di questo pentagono in questo caso (con a = 4 cm)? 4 punti blu
È vero che un pentagono, costruito in questo modo, sia veramente regolare? Per la verificazione o falsificazione della regolarità di un pentagono secondo la costruzione di Dürer vengono dati 6 punti rossi.
La soluzione dell´indovinello simbolico apporta altri due punti blu, ma solo se si apportano punti regolari. Per l´indovinello vale: Ogni simbolo sta per una cifra, stessi simboli, stessa cifra, diversi simboli diverse cifre. ©HRGauern[at]@t-online.de

Lösung/solution/soluzione/résultat:
Der Rekord bei den Schultekacheln liegt derzeit bei 17 Punkten, erzielt durch Reinhold M., Glückwunsch. 16 Punkte erreichte Magdalene (Glückwunsch auch hier), die damit den alten Rekord einstellte.
Musterlösung von Maximilian, der alle Winkel (wie andere auch) im Dürerfünfeck berechnet hat, danke. --> pdf <--

Aufgabe 3

627. Wertungsaufgabe

„Du hast aber auch eine schöne Konstruktion angefertigt“, sagte Opa zu Maria. „Danke für das Kompliment.. Ich habe mit dem gleichseitigen Dreieck ABC (a=6 cm) begonnen. Die Punkte A, B, C sind Mittelpunkte der drei äußeren Kreisbögen. Es ist also ein „Bogendreieck“ entstanden. Dann habe ich noch die drei gleichgroßen Kreise konstruiert, die berühren sich und jeweils einen äußeren Kreisbogen.“
Wie groß sind Umfang und Flächeninhalt des „Bogendreiecks“? 5 blaue Punkte. Wie groß ist der Radius eines der inneren Kreise? - 5 rote Punkte
Die Lösung des Symbolrätsels bringt zwei zusätzliche blaue Punkte, aber nur wenn reguläre Punkte eingebracht werden. Für das Rätsel gilt: Jedes Symbol steht für eine Ziffer, gleiche Symbole, → gleiche Ziffer, verschiedene Symbole → verschiedene Ziffern. © Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein!

Termin der Abgabe 16.01.2020. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 16.01.1920. Deadline for solution is the 16th. January 2019. Date limite pour la solution 16.01.2020. Soluciones hasta el 16.01.2020. Beadási határidő 2020.01.16.

hun

„Megint nagyon szép, amit szerkesztettél” – mondta Nagyapa Máriának. „Köszönöm a dicséretet. Az egyenlő szárú háromszöggel ABC (a=6 cm) kezdtem. Az A,B, C pont a három külső kör középpontja. Így egy „íves” háromszög jön létre. Aztán szerkesztettem meg a három egyenlő nagyságú kört, amik érintik egymást és a nagy kört is. Mekkora a területe és a kerülete az „íves” háromszögnek? 5 kék pont
Mekkora az átmérője a belső köröknek? 5 piros pont
A szimbólum rejtvény megoldásáért további két kék pontot kaphat, amennyiben a többi feladatért is szerzett pontot. A rejtvény megfejtésére érvényes: minden jel egy számjegyet szimbolizál, azonos jelek azonos számjegyeket, különböző jelek különböző számjegyeket. ©HRGauern[at]@t-online.de

fr

"Mais tu as fait une belle construction", a déclaré grand-père à Maria. "Merci pour le compliment. J'ai commencé avec le triangle équilatéral ABC (a = 6 cm). Les points A, B, C sont les centres des trois arcs extérieurs. Il y avait donc un "triangle en arc". J'ai ensuite construit les trois cercles de la même taille. Ils se touchent et ont chacun un arc circulaire extérieur.
Quelle sont la circonférence et la superficie du "triangle en arc"? 5 points bleus.
Quel est le rayon de l'un des cercles intérieurs? - 5 points rouges
La solution de l'énigme apporte deux points bleus supplémentaires, mais seulement si des points réguliers ont été obtenus. Règle pour l’énigme:Chaque symbole représente un nombre, les mêmes symboles, le même nombre, différents symboles différents numéros. ©HRGauern[at]@t-online.de

sp

„Has creado una bella construcción“, le dice el abuelo a Maria. „Gracias por el cumplido. He empezado con el triángulo equilátero ABC (a= 6cm). Los puntos A, B y C son puntos centrales de los tres arcos circulares externos. Entonces se ha producido un „triángulo de arcos“. Luego he trazado los tres círculos del mismo tamaño que se tocan mutuamente y que tocan cada uno a uno de los arcos circulares externos.“ ¿Cuánto miden perímetro y área del „triángulo de círculos“? - 5 puntos azules. ¿De qué tamaño está el radio de uno de los círculos pequeños internos? - 5 puntos rojos.

Por la solución de rompecabeza de símbolos se recibe dos puntos azules adicionales si se ha ganado los puntos regulares antes. Para el rompecabeza aplica lo siguiente: Cada símbolo representa una cifra, los mismos símbolos representan las mismas cifras, diferentes símbolos para diferentes cifras. ©HRGauern[at]@t-online.de

en

„You have made a nice construction“, grandpa told Maria. „Thanks for the compliment. I started with the equilateral triangle ABC (a=6 cm). The points A, B, C are the three outer arc’s centers. Therefore a so called “arc triangle” has been formed. Then I designed the three equal circles. They each touch an outer arc.
How big are area and perimeter of the “arc triangle”? - 5 blue points How big is the radius of one of the inner circles? – 5 red points
Solving the picture-puzzle will get you two extra blue points, provided you also got points doing the regular maths problem. The rule for each picture puzzle is: Each icon represents one digit, same icons, same digits, different icons, different digits. ©HRGauern[at]@t-online.de

it

“Che bella costruzione hai fatto!”, il nonno diceva a Maria. “Grazie del complimento. Ho iniziato con un triangolo equilatero ABC (a = 6 cm). I punti A, B, C sono I centri dei tre archi circolari esterni. Quindi è derivato un “triangolo curvato”. Poi ho costruito I tre cerchi che hanno tutti la stessa misura e che toccano sia se stessi sia gli archi circolari esterni.
Quale misura hanno la superficie e la circonferenza del “triangolo curvato”? 5 punti blu
Qual’è la misura del semidiametro di uno dei cerchi interni? – 5 punti rossi
La soluzione dell´indovinello simbolico apporta altri due punti blu, ma solo se si apportano punti regolari. Per l´indovinello vale: Ogni simbolo sta per una cifra, stessi simboli, stessa cifra, diversi simboli diverse cifre. ©HRGauern[at]@t-online.de

Lösung/solution/soluzione/résultat:
Musterlösung a la (Des-) carte(s) von Magdalene, danke. --> pdf <--

Aufgabe 4

628. Wertungsaufgabe

„Das Fünfeck, welches Opa mit brachte hat dich wohl zu deiner Konstruktion angeregt?“; fragte Bernd seine Schwester. „Das stimmt.“ Begonnen wird mit dem dunkelblauen Fünfeck – regelmäßig wie alle sichtbaren Fünfecke. Anschließend die „rötlichen“ Fünfecke. Die Strecke AB wird verlängert, so dass das Dreieck OPM gezeichnet werden kann. Nun das grüne Fünfeck konstruieren. Wie das hellblaue Fünfeck entsteht, kann man der Zeichnung entnehmen.
Wie groß sind die Innenwinkel des Dreiecks OPM – nicht messen, ausrechnen? 4 blaue Punkte. Wer möchte, kann alle farbigen Teile des Bildes ausschneiden und wenn man es schafft, lässt sich, unter weglassen des dunkelblauen Fünfecks, wieder ein Fünfeck legen.
Ein „Foto“ als Beweis bringt noch einmal 2 blaue Punkte.
Wie groß ist der Flächeninhalt aller Teilflächen des großen hellblauen Fünfecks, die nicht von anderen Fünfecken verdeckt werden, wenn der Flächeninhalt des dunkelblauen Fünfecks 20 cm² beträgt? 10 rote Punkte.
Die Lösung des Symbolrätsels bringt zwei zusätzliche blaue Punkte, aber nur wenn reguläre Punkte eingebracht werden. Für das Rätsel gilt: Jedes Symbol steht für eine Ziffer, gleiche Symbole, → gleiche Ziffer, verschiedene Symbole → verschiedene Ziffern. © Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein!

Termin der Abgabe 23.01.2020. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 23.01.1920. Deadline for solution is the 23th. January 2019. Date limite pour la solution 23.01.2020. Soluciones hasta el 23.01.2020. Beadási határidő 2020.01.23

hun

„Az az ötszög, amit nagyapa hozott, ösztönzött téged a szerkesztésedhez?” – kérdezte Bernd a nővérét. „Így van.” A sötétkék ötszöggel kezdtem, egyenlő oldalú, mint minden itt látható ötszög. A „vöröses” ötszögekkel folytattam. Az AB szakaszt meghosszabbítottam, hogy az OPM háromszög kirajzolódjon. Már csak a zöld ötszöget kell megszerkeszteni. Azt hogy a világoskék ötszög hogyan jön létre, láthatjuk az ábrán. Mekkorák a belső szögei az OPM háromszögnek, nem mérve, kiszámolva? 4 kék pont
Aki szeretné, kivághatja az összes színes részét az ábrának, és ha tudja, a sötétkék ötszög elhagyásával ismét egy ötszöget alkothat. Egy bizonyító fotó még 2 kék pontot ér.
Mekkora a felülete nagy világoskék ötszög összes olyan részfelületének, amelyek más ötszögtől nem fedettek, ha a sötétkék ötszög felülete 20 cm²? 10 piros pont
A szimbólum rejtvény megoldásáért további két kék pontot kaphat, amennyiben a többi feladatért is szerzett pontot. A rejtvény megfejtésére érvényes: minden jel egy számjegyet szimbolizál, azonos jelek azonos számjegyeket, különböző jelek különböző számjegyeket. ©HRGauern[at]@t-online.de

fr

"Le pentagone que grand-père a apporté t'as probablement inspiré pour faire cette construction?", Bernd a demandé à sa sœur. "C'est vrai." Cela commence par le pentagone bleu foncé - régulière comme tous les pentagones visibles. Puis les pentagones "rougeâtres". La distance AB est allongée pour que le triangle OPM puisse être tracé, puis le pentagone vert. La création du pentagone bleu clair peut être vu dans le dessin.
Quelle est la taille des angles intérieurs du triangle OPM - ne pas mesurer, mais calculer? 4 points bleus.
Qui veut, peut découper toutes les parties colorées de l'image et les placer d'une telle manière de construire à nouveau un pentagone, mais sans l'utilisation du pentagone bleu foncé.
Une "photo" comme preuve apporte 2 points bleus supplémentaires.
Quelle est l'aire de toutes les zones partielles du grand pentagone bleu clair qui ne sont pas couvertes par d'autres pentagones si l'aire du pentagone bleu foncé est de 20 cm²? 10 points rouges.
La solution de l'énigme apporte deux points bleus supplémentaires, mais seulement si des points réguliers ont été obtenus. Règle pour l’énigme:Chaque symbole représente un nombre, les mêmes symboles, le même nombre, différents symboles différents numéros. ©HRGauern[at]@t-online.de

sp

„¿El pentágono del abuelo te ha inspirado a crear esta construcción?“, le preguntó Bernd a su hermana. „Es verdad…“
Se empieza con el pentágono en azul oscuro - regular como todos los pentágonos visibles. Posteriormente los pentágonos rojizos. Se prolonga el segmento rectilíneo, para que se pueda construir el triángulo OPM. Ahora, trazar el pentágono verde. En el dibujo se puede ver como se construye el pentágono azul claro. ¿De qué tamaño son los ángulos internos del triángulo OPM - no medir, sino calcular? - 4 puntos azules. Si tiene ganas, se puede recortar todas las partes coloridas del imagen y poner otro pentágono sin el pentágono de azul oscuro. Una foto como prueba trae  2 puntos azules más.
¿Cuánto mide el área de todas las partes del gran pentágono azul claro que no están cubiertos de otros pentágonos, si el área del pentágono azul oscuro está 20 cm²? 10 puntos rojos.
Por la solución de rompecabeza de símbolos se recibe dos puntos azules adicionales si se ha ganado los puntos regulares antes. Para el rompecabeza aplica lo siguiente: Cada símbolo representa una cifra, los mismos símbolos representan las mismas cifras, diferentes símbolos para diferentes cifras. ©HRGauern[at]@t-online.de

en

“Did the pentagon grandpa brought to you earlier inspire you to do a new construction? “; Bernd asked his sister. “Yes, that’s true.“ We start with a dark blue pentagon – regular as all visible pentagons. Afterwards we add the ‘reddish‘ pentagon. The line segment AB gets extended so the triangle OPM can be drawn. Now we construct the green pentagon. To find out about constructing the bright blue pentagon just look at the sketch on the right side.
How big are the interior angles of the triangle OPM – not measured but calculated? - 4 blue points. You can cut out all coloured parts of the picture. If that is possible, you can lay another pentagon, without using the dark blue pentagon. A photo as proof gets you another 2 blue points.
How big is the area of all subareas of the bright blue pentagon, which is not covered by other pentagons, if the area of the dark blue pentagon is 20cm²? – 10 red points.
Solving the picture-puzzle will get you two extra blue points, provided you also got points doing the regular maths problem. The rule for each picture puzzle is: Each icon represents one digit, same icons, same digits, different icons, different digits. ©HRGauern[at]@t-online.de

it

“Il pentagono che ti ha portato il nonno forse ti ha incitato di fare la tua costruzione?”, Bernd chiedeva sua sorella. “È vero.”
Si inizia col pentagono blu scuro – regolare come tutti i pentagoni visibili. Poi i pentagoni rossastri. Il segmento AB viene allungato per poter disegnare il triangolo OPM. Adesso si costruisce il pentagono verde chiaro. Nel disegno si vede come per ultimo emerge il pentagono celeste.
Quale misura hanno gli angoli interni del triangolo OPM – calcolare, non misurare? 4 punti blu
Chi vuole, può ritagliare tutti i pezzi colorati del disegno per unirli tutti (tranne il pentagono blu scuro) nella forma di un altro pentagon. Una “foto” come prova porta altri due punti blu.
Qual’è la superficie di tutte le parti del pentagono celeste che non siano coperti di altri pentagoni nel caso che la superficie del pentagono blu scuro sia 20 cm²? 10 punti rossi
La soluzione dell´indovinello simbolico apporta altri due punti blu, ma solo se si apportano punti regolari. Per l´indovinello vale: Ogni simbolo sta per una cifra, stessi simboli, stessa cifra, diversi simboli diverse cifre. ©HRGauern[at]@t-online.de

Lösung/solution/soluzione/résultat:
Es sind mehr als 10 Varianten für das Fünfeckpuzzle eingesandt worden, danke.
Eine Musterlösung, von Calvin, danke. --> pdf <--

Aufgabe 5

629. Wertungsaufgabe

Mike hat Millimeterpapier vor sich liegen und ist am Rechnen. „Was wird das“, fragt Lisa. „Von unserem Lehrer habe ich den Auftrag bekommen, alle Punkte in das Koordinatensystem einzutragen, so dass x² + y² = 4 gilt..“ „Ach so, du wirst sehen, die verblüffende Lösung ist ganz einfach.“
Für drei blaue Punkte sollte eigentlich jeder auf die Lösung kommen, oder?
Die Figur der blauen Aufgabe wird durch das Bild der Funktion y=f(x)=1/x (x>0) in zwei Punkten A und B geschnitten.Die Punkte A und B werden mit dem Punkt C (0; 0) zu einem Dreieck ABC. Wie groß sind Umfang und Flächeninhalt des Dreiecks ABC – 6 rote Punkte.
Die Lösung des Symbolrätsels bringt zwei zusätzliche blaue Punkte, aber nur wenn reguläre Punkte eingebracht werden. Für das Rätsel gilt: Jedes Symbol steht für eine Ziffer, gleiche Symbole, → gleiche Ziffer, verschiedene Symbole → verschiedene Ziffern. © Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein!

Termin der Abgabe 30.01.2020. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 30.01.1920. Deadline for solution is the 30th. January 2019. Date limite pour la solution 30.01.2020. Soluciones hasta el 30.01.2020. Beadási határidő 2020.01.30.

hun

Mike előtt egy milliméterpapír hever, és éppen számol. „Ez mi lesz” – kérdezi Lisa. ”A tanárunktól kaptam azt a feladatot, hogy minden pontot ábrázoljak a koordináta rendszerben, amelyikre érvényes, hogy x² + y² = 4. „Vagy úgy, majd látod, hogy az bonyolult megoldás egészen egyszerű.”
3 kék pontért mindenkinek rá kellene jönni a megoldásra, nem?
A kék feladat ábráját a y=f(x)=1/x (x>;0) függvény A és B pontban metszi. Az A és B pont a C ponttal (0, 0) háromszöget alkot. Mekkora a területe és a kerülete az ABC háromszögnek? 6 piros pont

A szimbólum rejtvény megoldásáért további két kék pontot kaphat, amennyiben a többi feladatért is szerzett pontot. A rejtvény megfejtésére érvényes: minden jel egy számjegyet szimbolizál, azonos jelek azonos számjegyeket, különböző jelek különböző számjegyeket. ©HRGauern[at]@t-online.de

fr

Mike a du papier millimétré devant lui et calcule. "Qu'est-ce que ce sera", demande Lisa. "Notre professeur m'a donné la tâche de saisir tous les points du système de coordonnées pour que x² + y² = 4." "Oh, tu verras, la solution est étonnante est très simple."
Tout le monde devrait trouver la solution pour trois points bleus, non?
La figure du problème bleu est coupée par l'image de la fonction y = f (x) = 1 / x (x> 0) en deux points A et B. Les points A et B sont coupés par le point C (0; 0) pour former un triangle ABC. Quelle est la circonférence et l'aire du triangle ABC - 6 points rouges.
La solution de l'énigme apporte deux points bleus supplémentaires, mais seulement si des points réguliers ont été obtenus. Règle pour l’énigme:Chaque symbole représente un nombre, les mêmes symboles, le même nombre, différents symboles différents numéros. ©HRGauern[at]@t-online.de

sp

Mike tiene su papel milimetrado delante y está calculando. „Qué será eso?“, le pregunta Lisa. „Del profesor tenemos la tarea de marcar todos los puntos en el sistema de coordenadas para que se aplique x² + y² = 4.“ „Ah ya, vas a ver que la solución sorprendentemente es muy fácil.“ - 3 puntos azules.
La figura de la tarea azul se cruza con el imagen de la función y=f(x)=1/x (x>0) en dos puntos A y B. Aquellos puntos (A y B) se hacen un triángulo ABC juntos con el punto C (0;0). ¿Cuánto miden área y perímetro del triángulo ABC? - 6 puntos rojos.
Por la solución de rompecabeza de símbolos se recibe dos puntos azules adicionales si se ha ganado los puntos regulares antes. Para el rompecabeza aplica lo siguiente: Cada símbolo representa una cifra, los mismos símbolos representan las mismas cifras, diferentes símbolos para diferentes cifras. ©HRGauern[at]@t-online.de

en

Mike has got coordinate paper and is calculating. “What is that going to be?”, Lisa asked. “Our teacher gave me the task to write all points into the coordinate system, so that x² + y² = 4 is true.” “Oh, you will see that the astonishing solution is quite simple.”
For 3 blue points everybody should be able to find out the correct solution, don’t you think so?
The figure of the blue task gets intersected in two points A and B, through the picture of the function y=f(x)=1/x (x>0). The points A and B together with point C (0; 0) become a triangle ABC. How big are area and perimeter of the triangle ABC? – 6 red points.

Solving the picture-puzzle will get you two extra blue points, provided you also got points doing the regular maths problem. The rule for each picture puzzle is: Each icon represents one digit, same icons, same digits, different icons, different digits. ©HRGauern[at]@t-online.de

it

Mike sta calcolando, usando carta millimetrata. “Cosa stai facendo?”, chiede Lisa. “Il nostro insegnante mi ha dato l’ordine di inserire in un sistema di riferimento tutti i punti (x ; y) per i quali sia x² + y² = 4.” - “Ah! Vedrai che la soluzione sorprendente è molto facile.”
Per tre punti blu, ognuno dovrebbe trovare la soluzione, vero?
La figura del compito blu e il grafo della funzione y = f(x) = 1/x (x>0) si intersecano nei punti A e B. Questi formano col punto C (0 ; 0) un triangolo ABC.
Quale sono la superficie e la circonferenza del triangolo ABC? – 6 punti rossi
La soluzione dell´indovinello simbolico apporta altri due punti blu, ma solo se si apportano punti regolari. Per l´indovinello vale: Ogni simbolo sta per una cifra, stessi simboli, stessa cifra, diversi simboli diverse cifre. ©HRGauern[at]@t-online.de

Lösung/solution/soluzione/résultat:

Musterlösung von Magdalene, danke. --> pdf <--

Aufgabe 6

630. Wertungsaufgabe

„Schau mal dieses Kleeblatt an“, sagte Bernd zu seiner Schwester. „Das ist cool.“

Das vierblättrige Kleeblatt ist durch die Untersuchung von x⁴ + 4xy + y⁴ = 0 und x⁴ - 4xy + y⁴ = 0 entstanden.
Welchen Punkt haben alle vier Blätter gemeinsam? 2 blaue Punkte für eine begründete Entscheidung. Welche der beiden Gleichungen führt auf das rechte obere Blatt? Noch mal zwei blaue Punkte
Ich bin gespannt, ob sich jemand die 8 roten Punkte für den Flächeninhalt des Kleeblatts holt.
Die Lösung des Symbolrätsels bringt zwei zusätzliche blaue Punkte, aber nur wenn reguläre Punkte eingebracht werden. Für das Rätsel gilt: Jedes Symbol steht für eine Ziffer, gleiche Symbole, → gleiche Ziffer, verschiedene Symbole → verschiedene Ziffern. © Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein!

Termin der Abgabe 06.02.2020. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 06.02.1920. Deadline for solution is the 6th. February 2019. Date limite pour la solution 06.02.2020. Soluciones hasta el 06.02.2020. Beadási határidő 2020.02.06.

hun

„Nézd csak ezt a lóherét!” – mondta Bernd a nővérének. „Ez menő.”

A négylevelű lóhere a x⁴ + 4xy + y⁴ = 0 és x⁴ - 4xy+ y⁴ = 0 megvizsgálásából jött létre. Mely pontjai közösek mind a négy levélnek? 2 kék pont egy megmagyarázott döntésért. A két egyenlet melyike vezet a jobb felső levélhez? Még egyszer 2 kék pont
Kíváncsi lennék, hogy kap-e valaki 8 piros pontot a lóhere felületének kiszámolásáért.
A szimbólum rejtvény megoldásáért további két kék pontot kaphat, amennyiben a többi feladatért is szerzett pontot. A rejtvény megfejtésére érvényes: minden jel egy számjegyet szimbolizál, azonos jelek azonos számjegyeket, különböző jelek különböző számjegyeket. ©HRGauern[at]@t-online.de

fr

"Jettes un œil à ce trèfle", a déclaré Bernd à sa sœur. "C'est cool."

Le trèfle à quatre feuilles a été créé en examinant x⁴ + 4xy + y⁴ = 0 et x⁴ - 4xy + y⁴ = 0.
Quel point les quatre feuilles ont-elles en commun? 2 points bleus pour une décision fondée. Laquelle des deux équations mène à la feuille en haut à droite? Deux autres points bleus
Je suis curieux de voir si quelqu'un obtient les 8 points rouges pour calculer la surface de la feuille de trèfle ..

La solution de l'énigme apporte deux points bleus supplémentaires, mais seulement si des points réguliers ont été obtenus. Règle pour l’énigme:Chaque symbole représente un nombre, les mêmes symboles, le même nombre, différents symboles différents numéros. ©HRGauern[at]@t-online.de

esp

„Mira esta hoja de trébol“, le dijo Bernd a su hermana. „Que chulo.“

Se ha producido por la investigación de x⁴ + 4xy + y⁴ = 0 y  x⁴ - 4xy + y⁴ = 0. ¿Cuál punto tienen todas las hojas en común? - 2 puntos azules para la decisión fundada.
¿Cuál de las ecuaciones lleva a la parte a la derecha por arriba? - 2 puntos azules más.
Estoy nervioso de ver si alguien se atreve a calcular el área de toda la hoja completa - 8 puntos rojos.
Por la solución de rompecabeza de símbolos se recibe dos puntos azules adicionales si se ha ganado los puntos regulares antes. Para el rompecabeza aplica lo siguiente: Cada símbolo representa una cifra, los mismos símbolos representan las mismas cifras, diferentes símbolos para diferentes cifras. ©HRGauern[at]@t-online.de

en

„Look at the cloverleaf“, said Bernd to his sister. „That is cool.“

The four-leaf clover has been created through the research of x⁴ + 4xy + y⁴ = 0 and x⁴ - 4xy + y⁴ = 0.
Which point do all three leafes have together? - 2 blue points for a solution with reason Which of the both equations leads to the right upper leaf? - 2 blue points again
I’m excited already if someone will be able to get the 8 red points for calculating the area of the cloverleaf.

Solving the picture-puzzle will get you two extra blue points, provided you also got points doing the regular maths problem. The rule for each picture puzzle is: Each icon represents one digit, same icons, same digits, different icons, different digits. ©HRGauern[at]@t-online.de

it

“Guarda questo quadrifoglio”, Bernd diceva a sua sorella. “È cool!”

Il quadrifoglio risultava del’ analisi degli equazioni x⁴ + 4xy + y⁴ = 0 e x⁴ - 4xy + y⁴ = 0
Quale punto hanno tutti i quattro fogli in commune? 2 punti blu per una decisione fondata. Quale delle equazioni forma il foglio destro in alto? Altri due punti blu.
Sono molto curioso, se qualchuno si becchi gli 8 punti rossi per la superficie del quadrifoglio.
La soluzione dell´indovinello simbolico apporta altri due punti blu, ma solo se si apportano punti regolari. Per l´indovinello vale: Ogni simbolo sta per una cifra, stessi simboli, stessa cifra, diversi simboli diverse cifre. ©HRGauern[at]@t-online.de

Lösung/solution/soluzione/résultat:
rot war schon ein Hammer, aber schön. Empfehlung auch mal z(x,y)=x⁴+4xy+y⁴ und z(x,y)=x^4-4xy+y⁴in Geogebra (oder so) darstellen, die Funktionsbilder sehen einfach schön aus.
Beispiellösungen von G Palme, pdf und Maximilian, pdf. Danke allen Teilnehmern.

Aufgabe 7

631. Wertungsaufgabe

Apfelsinenaufgabe

Wieder sind Schüler des Chemnitzer Schulmodells in Paterno (Sizilien) zur Apfelsinenernte unterwegs. Einige packen je 6 gleichgroße (r = 4 cm) Apfelsinen in Geschenkpackungen ein. Von oben sieht das dann so aus:

Wie groß sind Umfang und Flächeninhalt es gleichseitigen Dreiecks ABC? 8 blaue Punkte.

Mike hat auf einer solchen Apfelsine (r = 4 cm) die drei Punkte A, B, C gemalt und durch Kreisbögen verbunden. C liegt auf dem „Nordpol“ der kugelförmigen Apfelsine. Die Punkte A und B auf dem „Äquator“. Der Mittelpunkt M (von der Apfelsine), A und B bilden ein gleichseitiges Dreieck. Wie groß sind Umfang und Flächeninhalt des Dreiecks ABC? Mit Herleitung der Formeln 10 rote Punkte. (gemeint sind Formeln zur Berechnung von Kugeldreiecken.)

Die Lösung des Symbolrätsels bringt zwei zusätzliche blaue Punkte, aber nur wenn reguläre Punkte eingebracht werden. Für das Rätsel gilt: Jedes Symbol steht für eine Ziffer, gleiche Symbole, → gleiche Ziffer, verschiedene Symbole → verschiedene Ziffern. © Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein!

Termin der Abgabe 27.02.2020. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 27.02.1920. Deadline for solution is the 27th. February 2019. Date limite pour la solution 27.02.2020. Soluciones hasta el 27.02.2020. Beadási határidő 2020.02.27.

hun

Narancsfeladat

A Chemnitzi Schulmodell tanulói Paternóba (Szicília) utaztak narancsot szüretelni. Néhányan betesznek 6 egyenlő nagyságú (r = 4 cm) narancsot egy ajándékdobozba. Fentről így néz ez ki:

Mekkora a kerülete és a területe az egyenlő szárú ABC háromszögnek? 8 kék pont

Mike egy ilyen (r = 4 cm) narancsra rajzolta a három pontot (A,B és C) és körívekkel összekötötte ezeket. A C pont helyezkedik el a gömbalakú narancs északi pólusán. A és B pont pedig az „egyenlítőn”. Az M középpont, az A és a B pont egy egyenlő szárú háromszöget tesz ki. Mekkora a kerülete és a területe az ABC háromszögnek? A formák levezetése 10 piros pontot ér.

A szimbólum rejtvény megoldásáért további két kék pontot kaphat, amennyiben a többi feladatért is szerzett pontot. A rejtvény megfejtésére érvényes: minden jel egy számjegyet szimbolizál, azonos jelek azonos számjegyeket, különböző jelek különböző számjegyeket. ©HRGauern[at]@t-online.de

fr

Exercice orange

Encore une fois, les élèves de l'école modèle Chemnitz sont en route pour Paterno (Sicile) pour la récolte d'oranges. Certains emballent 6 oranges de taille égale (r = 4 cm) dans des coffrets cadeaux. D'en haut, cela ressemble à ceci:

Quelle est la taille et l'aire du triangle équilatéral ABC? 8 points bleus.
Mike a peint les trois points A, B, C sur une telle orange (r = 4 cm) et les a connectés avec des arcs. C se trouve sur le "pôle nord" de l'orange sphérique. Points A et B sur «l'équateur». Le centre M, A et B forment un triangle équilatéral. Quelle est la taille et l'aire du triangle ABC? Avec la dérivation des formules 10 points rouges.

La solution de l'énigme apporte deux points bleus supplémentaires, mais seulement si des points réguliers ont été obtenus. Règle pour l’énigme:Chaque symbole représente un nombre, les mêmes symboles, le même nombre, différents symboles différents numéros. ©HRGauern[at]@t-online.de

sp

Otra vez los alumnos del Chemnitzer Schulmodell están en Paterno (Sicilia) para recolectar naranjas. Unos ponen 6 naranjas del mismo tamaño (r = 4 cm) en cajitas de regalo. Desde arriba se ve así:

¿Cuánto miden área y perímetro del triángulo equilátero ABC? - 8 puntos azules.

Mike ha trazado los tres puntos A, B y C en una naranja del radio r = 4 cm. C está en el „polo norte“ de está naranja. Los puntos A y B están en el „ecuador“. El punto central M, A y B forman un triángulo equilátero. ¿De cuál tamaño están área y perímetro del triángulo ABC? Con derivación y fórmulas: 10 puntos rojos.

Por la solución de rompecabeza de símbolos se recibe dos puntos azules adicionales si se ha ganado los puntos regulares antes. Para el rompecabeza aplica lo siguiente: Cada símbolo representa una cifra, los mismos símbolos representan las mismas cifras, diferentes símbolos para diferentes cifras. ©HRGauern[at]@t-online.de

en

orange task

Again students of the Chemnitzer Schulmodell are on their way to be part of the orange harvest in Sicily. Some put 6 same sized (r = 4 cm) oranges in gift boxes. From above it looks like this:

How big are perimeter and area of the equilateral triangle? – 8 blue points.

Mike has drawn the three points A, B, C on one such orange. (r = 4 cm) and connected them through arcs. C is located on the “north pole” of the spherical orange. The points A and B are located on the “equator”. The center M, A and B form an equilateral triangle. How big are perimeter and area of the triangle ABC? Through the derivation of the formula you will get 10 red points.

Solving the picture-puzzle will get you two extra blue points, provided you also got points doing the regular maths problem. The rule for each picture puzzle is: Each icon represents one digit, same icons, same digits, different icons, different digits. ©HRGauern[at]@t-online.de

it

Compito delle arancie

Gli alunni del Chemnitzer Schulmodell sono di nuovo a Paterno (Sicilia) per la raccolta delle arancie.

Qualcuni incartano sempre 6 arancie delle stessa misura (r = 4 cm) in confezioni regalo. Visto da sopra, sembra così:

Quale sono la superficie e la circonferenza del triangolo equilatero ABC? 8 punti blu

Mike ha disegnato su una di queste arancie (r = 4 cm) i punti A, B, C e collegato con archi circolari. C sta sol “polo nord” dell’ arancia sferica, i punti A e B sul l’ “equatore”. Il centro M, A e B formano un triangolo equilatero. Quale sono la superficie e la circonferenza del triangolo ABC? Con derivazione delle formule 10 punti rossi

La soluzione dell´indovinello simbolico apporta altri due punti blu, ma solo se si apportano punti regolari. Per l´indovinello vale: Ogni simbolo sta per una cifra, stessi simboli, stessa cifra, diversi simboli diverse cifre. ©HRGauern[at]@t-online.de

Lösung/solution/soluzione/résultat:
Fotos mit echten Apfelsinen kommen noch.
Musterlösungen von Karlludwig --> pdf <-- und Paulchen --> pdf <--, danke.

Aufgabe 8

632. Wertungsaufgabe

„Sind die gleichseitigen Dreiecke und die Quadrate, die du ausgeschnitten hast, alle gleich groß?“, fragte Bernd seine Schwester. „Ja, die haben alle die Kantenlänge a = 4 cm. Ich lege daraus Figuren und ermittle die Anzahl der Ecken. Ich nehme so viele von den Dreiecken oder Quadraten wie ich möchte. Schön Kante an Kante legen.“
Quadrat + Quadrat ergibt ein Rechteck, das hat 4 Ecken. Dreieck + Dreieck ergibt ein Rhombus, das hat auch 4 Ecken. Ein Quadrat + ein Dreieck ergibt ein 5-Eck, das, wie der Name sagt, 5 Ecken hat. Was man kombiniert, ist beliebig, die Figur darf aber keine Löcher haben und soll konvex sein.
Je 3 blaue Punkte für eine Figur mit 7 bzw. 8 Ecken.
Je 3 rote Punkte für eine Figur mit 9 bzw. 10 Ecken. Bernd meint, aus den vielen Dreiecke und Quadraten ließe sich bestimmt jedes konvexe n- Eck legen (n>2), wenn man nur lange genug probiert. Hat er Recht? Noch einmal 3 rote Punkte.
Die Lösung des Symbolrätsels bringt zwei zusätzliche blaue Punkte, aber nur wenn reguläre Punkte eingebracht werden. Für das Rätsel gilt: Jedes Symbol steht für eine Ziffer, gleiche Symbole, → gleiche Ziffer, verschiedene Symbole → verschiedene Ziffern. © Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein!

Termin der Abgabe 05.03.2020. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 05.03.1920. Deadline for solution is the 5th. March 2020. Date limite pour la solution 05.03.2020. Soluciones hasta el 05.03.2020. Beadási határidő 2020.03.05.

hun

„Az egyenlő szárú háromszögek és négyszögek, amiket kivágtál, mind egyenlő nagyságúak?” - kérdezte Bernd a nővérét. „ Igen, mindegyik éle a = 4 cm. A formákat egymás mellé téve hozom létre a sokszögeket. Annyit veszek a három és négyszögekből, amennyit szeretnék. Szépen élt az élhez teszem. „Négyszög és négyszög egy téglalapot alkot, aminek 4 sarka van. Háromszög és háromszög rombuszt hoz létre, aminek ugyancsak 4 sarka van. Egy négyszög és egy háromszög pedig egy ötszöget, aminek,mint a nevében is áll, öt szöge van. Tetszőlegesen lehet a formákat kombinálni, de nem lehet benne lyuk, konvexnek kell lennie. 3-3 kék pont egy 7 illetve 8 szögű formáért. 3-3 piros pont egy-egy 9 illetve 10 szögű formáért. Bernd szerint sok három és négyszögből biztosan ki lehet alakítani minden konvex sokszöget (n>;2), ha az ember kitartóan próbálja. Igaza van? Még egyszer 3 piros pont
A szimbólum rejtvény megoldásáért további két kék pontot kaphat, amennyiben a többi feladatért is szerzett pontot. A rejtvény megfejtésére érvényes: minden jel egy számjegyet szimbolizál, azonos jelek azonos számjegyeket, különböző jelek különböző számjegyeket. ©HRGauern[at]@t-online.de

fr

"Les triangles équilatéraux et les carrés que tu découpes, sont-ils tous de la même taille?", a demandé Bernd à sa sœur. "Oui, ils ont tous la longueur du bord a = 4 cm. J'en pose des figures et je détermine le nombre de coins. Je prends autant de triangles ou de carrés que je veux, déposé bord à bord.
Carré + carré donne un rectangle à 4 coins. Triangle + triangle donne un losange, qui a également 4 coins. Un carré + un triangle donne un 5 coins qui, comme son nom l'indique, a 5 coins. Ce que tu combine est arbitraire, mais la figure ne doit pas avoir de trous et doit être convexe.
3 points bleus chacun pour une figure à 7 ou 8 coins.
3 points rouges chacun pour une figure à 9 ou 10 coins.
Bernd pense que n'importe quel n-coin convexe (n>2) peut être fait à partir des nombreux triangles et carrés si on essaye seulement assez longtemps. A-t-il raison? Encore 3 points rouges.
La solution de l'énigme apporte deux points bleus supplémentaires, mais seulement si des points réguliers ont été obtenus. Règle pour l’énigme:Chaque symbole représente un nombre, les mêmes symboles, le même nombre, différents symboles différents numéros. ©HRGauern[at]@t-online.de

esp

„Todos estos triángulos equiláteros y cuadrados que has recortado son del mismo tamaño?, le preguntó Bernd a su hermana. „Sí, todos tienen la longitud de cantos de a = 4 cm. Con éstos coloco figuras y calculo la cantidad de esquinas. Tomo cuántos cuadrados y triángulos como quiera y les pongo siempre canto a canto.“
Cuadrado + cuadrado da como resultado un rectángulo con 4 esquinas. Triángulo + triángulo da como resultado un rombo con 4 esquinas. Cuadrado + triángulo da como resultado un pentágono con 5 esquinas. Generalmente se
puede combinar arbitrariamente, pero la figura no debe tener agujeros y tiene que ser convexo.
Cada vez 3 puntos azules para una figura de 7 o sea 8 esquinas.
Cada vez 3 puntos rojos para una figura de 9 o sea 10 esquinas.
Bernd dice que con todos estos triángulos y cuadrados seguramente se podría construir cada polígono regular que sea (n>2). ¿Tiene razón? Otra vez 3 puntos rojos.
Por la solución de rompecabeza de símbolos se recibe dos puntos azules adicionales si se ha ganado los puntos regulares antes. Para el rompecabeza aplica lo siguiente: Cada símbolo representa una cifra, los mismos símbolos representan las mismas cifras, diferentes símbolos para diferentes cifras. ©HRGauern[at]@t-online.de

en

„Do those equilateral triangles and squares, that you did cut out, have the same size?“, Bernd asked his sister. „Yes, they all do have the same edge length a = 4 cm. I use them to position figures and calculate the number of edges. I take as many triangles and squares as I like. Nicely put edge to edge.“
Square and square add up to a rectangle, that has 4 edges. Triangle and triangle add up to a rhomb, that has 4 edges too. One square and one triangle add up to a pentagon, that has 5 edges. What you combine is your choice, the figure is not allowed to have any holes and has to be convex.
3 blue points for each figure with 7 to 8 edges.
3 red points for each figure with 9 to 10 edges. Bernd states that with all the triangles and squares you can create every convex n-edge (n>2), if you only try long enough. Is he right? Another 3 red points.
Solving the picture-puzzle will get you two extra blue points, provided you also got points doing the regular maths problem. The rule for each picture puzzle is: Each icon represents one digit, same icons, same digits, different icons, different digits. ©HRGauern[at]@t-online.de

it

“Hanno tutti la stessa misura I triangoli equilateri ed i quadratic he hai ritagliati?”, Bernd chiedeva sua sorella. “Sì. Hanno tutti la lunghezza degli spigoli a = 4 cm. Ne formo delle figure e localizzo il numero degli angoli. Prendo quanti dei triangoli e quadrati he voglio e li metto accuratamente spigolo a spigolo.”
Quadrato + quadrato formano un rettangolo che ha 4 angoli. Triangolo + triangolo formano un rombo che ha anche 4 angoli. Un quadrato + un triangolo formano un pentagono che ha 5 angoli. Non importa cosa si combini, basta che la figura non abbia buchi, sia convesso.
3 punti blu per una figura con 7 angoli e altri 3 per una con 8 angoli.
3 punti rossi per una figura con 9 angoli e altri 3 per una con 10 angoli.
Bernd afferma che con abbastanza di questi triangoli e quadrati si possa formare ogni poligono convesso. Ha ragione? Altri 3 punti rossi
La soluzione dell´indovinello simbolico apporta altri due punti blu, ma solo se si apportano punti regolari. Per l´indovinello vale: Ogni simbolo sta per una cifra, stessi simboli, stessa cifra, diversi simboli diverse cifre. ©HRGauern[at]@t-online.de

Lösung/solution/soluzione/résultat:
Die geforderten n-Ecke ließen sich in mehreren Varianten finden. Auch für die Überlegung von Bernd (oder besser gesagt deren Widerlegung) gab es mehrere Varianten. Hier die Überlegungen von Reinhold M., danke

Als Vorüberlegung beginne ich mal wieder mit dem Schluss: in einem (nicht überschlagenen...) n-Eck ist die (Innen-)Winkelsumme W gleich (n - 2) * 180°. Ist es konvex, so ist jeder der Winkel kleiner als 180°.
In unserem Fall, der Zusammensetzung von gleichseitigen Dreiecken mit Innenwinkeln von 60° und Quadraten mit Innenwinkeln von 90°, kommen nur folgende vier Innenwinkelgrößen in Frage:
 60° (ein Dreieck),
 90° (ein Quadrat),
 120° (zwei Dreiecke),
 150° (ein Dreieck und ein Quadrat).
Damit ergibt sich als obere Schranke für die Winkelsumme W
 W = (n - 2) * 180° <= n * 150°;
folglich gilt
 n <= 2 * 180° / (180° - 150°) = 12.
Bernd hat also mit seiner roten Vermutung nicht Recht.

Nun noch die Konstruktionsbeispiele für n = 7 bis n = 10. Da alle Seitenlängen gleich sind, ist die Korrektheit der Konstruktion gezeigt, wenn alle Innenwinkel kleiner als 180° sind (wobei = 180° zusätzlich zulässig ist und nicht zu den Innenwinkeln zählt), die Innenwinkelsumme gleich (n - 2) * 180° ist sowie die Winkelsumme der innerhalb des Polygons liegenden Eckenberührungspunkte der Einzelteile jeweils gleich 360° sind. Der Anhang illustriert die Konstruktionsbeschreibungen (allerdings ohne Blau- bzw. Rotfärbung...).

- Ein blaues Siebeneck erhält man beispielsweise, wenn man quasi in einem geschlossenen Kreis aneinander legt
 Quadrat - Dreieck - Quadrat - Dreieck - Dreieck (das an das erste Quadrat anschließt).
Probe:
 Innenwinkel 90° + 150° + 150° + 90° + 150° + 120° + 150° = 900° = 5 * 180°,
 ein innerer Berührungspunkt 90° + 60° + 90° + 60° + 60° = 360°.

- Ein blaues Achteck erhält man beispielsweise, wenn man zunächst zwei Dreiecke an gegenüberliegende Seiten eines Quadrats anlegt, diese Konstruktion mit anderen Teilen ein zweites Mal durchführt, beide Flächen an zwei offenen Quadratseiten aneinanderlegt und beide verbliebenen Lücken mit Dreiecken auffüllt.
Probe:
 Innenwinkel 4 * 150° + 4 * 120° = 1080° = 6 * 180°,
 zwei durch eine Quadratseite verbundene innere Berührungspunkte mit jeweils 2 * 90° + 3 * 60° = 360°.

- Ein rotes Neuneck erhält man beispielsweise, wenn man an die drei Seiten eines Dreiecks jeweils ein Quadrat anlegt und die Lücken zwischen ihnen mit jeweils zwei Dreiecken füllt.
Probe:
 Innenwinkel 6 * 150° + 3 * 120° = 1260° = 7 * 180°,
 drei paarweise durch eine Dreiecksseite verbundene innere Berührungspunkte mit jeweils 2 * 90° + 3 * 60° = 360°.

- Ein rotes Zehneck erhält man beispielsweise, wenn man an die vier Seiten eines aus zwei Dreiecken bestehenden Rhombus' jeweils ein Quadrat legt und die Lücken zwischen ihnen abwechselnd mit zwei Dreiecken (an den Spitzen des Rhombus) bzw. einem Dreieck auffüllt.
Probe:
 Innenwinkel: 8 * 150° + 2 * 120° = 1440° = 8 * 180°,
 vier paarweise durch eine Dreieckseite verbundene innere Berührungspunkte mit jeweils 2 * 90° + 3 * 60° = 360° (kein Unterschied zwischen den zwei Sorten - ein inneres und zwei äußere bzw. ein äußeres und zwei innere Dreiecke).

Das Mainzelmännchenrätsel habe ich zu
 ABC /  BD = BE
   -     *    +
   A +  BA = BE
   =     =    =
 ACF - BFC = AF
umgeschrieben. Zunächst folgt der 3. Zeile
 C = 0, A + F = 10, B + 1 = A
und damit der 3. Spalte
 B = 1, A = 2, F = 8, E = 4
und schließlich der 1. Zeile bzw. 2. Spalte
 D = 5.
Die Lösung ist somit zusammengefasst
 210 /  15 = 14
   -     *    +
   2 +  12 = 14
   =     =    =
 208 - 180 = 28.

Aufgabe 9

633. Wertungsaufgabe

„Was hast du denn gebastelt“?, fragte Bernd seine Schwester. „Wir haben gelernt, wie man aus Kreisen Mantelflächen von Kegeln ausschneiden kann. Ich habe davon mehrere gleichgroße angefertigt.. Anschließend habe mal so einen Doppelkegel gebastelt.. Die Kegel sind gerade Kreiskegel.“ „Verstehe.“
Wie groß sind Volumen und (sichtbare) Oberfläche des Doppelkegels, wenn der Radius des Kreises um M (Mittelpunkt von AB) 3,0 cm groß ist und der Abstand von A und B 12 cm beträgt? 4 blaue Punkte.
Ist es möglich, wenn man Volumen und Oberflächeninhalt eines solchen Doppelkegels kennt, den Abstand AB und den Radius eindeutig zu ermitteln? 6 rote Punkte
Die Lösung des Symbolrätsels bringt zwei zusätzliche blaue Punkte, aber nur wenn reguläre Punkte eingebracht werden. Für das Rätsel gilt: Jedes Symbol steht für eine Ziffer, gleiche Symbole, → gleiche Ziffer, verschiedene Symbole → verschiedene Ziffern. © Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein!

Termin der Abgabe 12.03.2020. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 12.03.1920. Deadline for solution is the 12th. March 2020. Date limite pour la solution 12.03.2020. Soluciones hasta el 12.03.2020. Beadási határidő 2020.03.12.

hun

„Mit alkottál” – kérdezte a nővérét Bernd. „Azt tanultuk, hogyan lehet egy körből a kúp külső felületét egy vágással megcsinálni. Több különböző méretűt is készítettem. Valamint egy dupla kúpot is. A kúpok egyenes körkúpok.” „Értem.”
Mekkora a térfogata és a „látható” felülete a dupla kúpnak, ha a körök sugara 3 cm (az M pontból, ami az AB középpontja) és az AB távolság 12 cm? 4 kék pont
Meg lehet pontosan határozni egy ilyen dupla kúp AB szakaszának és sugarának nagyságát, ha a térfogatát és a felszínét tudjuk? 6 piros pont
A szimbólum rejtvény megoldásáért további két kék pontot kaphat, amennyiben a többi feladatért is szerzett pontot. A rejtvény megfejtésére érvényes: minden jel egy számjegyet szimbolizál, azonos jelek azonos számjegyeket, különböző jelek különböző számjegyeket. ©HRGauern[at]@t-online.de

fr

Qu'as-tu fait? », demanda Bernd à sa sœur. «Nous avons appris à découper la surface des cônes des cercles. J'en ai fait plusieurs de la même taille.. Ensuite j'ai construit un double cône. Les cônes sont des cônes circulaires droits." " Je vois".
Quel est le volume et la surface (visible) du double cône si le rayon du cercle autour de M (centre de AB) est de 3,0 cm et la distance entre A et B est de 12 cm? 4 points bleus.
Si on connait le volume et la surface d'un tel double cône, est-il possible de déterminer clairement la distance AB et le rayon? 6 points rouges
La solution de l'énigme apporte deux points bleus supplémentaires, mais seulement si des points réguliers ont été obtenus. Règle pour l’énigme:Chaque symbole représente un nombre, les mêmes symboles, le même nombre, différents symboles différents numéros. ©HRGauern[at]@t-online.de

esp

„¿Qué es lo que has construido?“, le preguntó Bernd a su hermana. „En la escuela hemos aprendido cómo se pueden recortar superficies convexas para conos de círculos. He hecho varios del mismo tamaño. Después he construido un cono doble. Estos dos conos son conos circulares rectos.“ – „Vale.“
¿Cuán grande  son volumen y superficie (visible) del cono doble si el rádio del círculo alrededor de M (centro de AB) mide 3,0 cm y la distancia entre a y B mide 12 cm? 4 puntos azules.
Si se conoce el volumen y el área de un cono doble así, ¿es posible calcular el rádio inequívocadamente? 6 puntos rojos.
Por la solución de rompecabeza de símbolos se recibe dos puntos azules adicionales si se ha ganado los puntos regulares antes. Para el rompecabeza aplica lo siguiente: Cada símbolo representa una cifra, los mismos símbolos representan las mismas cifras, diferentes símbolos para diferentes cifras. ©HRGauern[at]@t-online.de

en

„What kind of handicraft did you do“?, Bernd asked his sister. „We have learned how to cut out the curved surface areas from cones. I created some more of them. Subsequently I created one double cone. The cones are even circle cones.“ „I do understand.“
How big are volume and visible area of the double cone, if the radius of the circle around M (center of AB) is 3,0 cm and the distance between A and B is 12 cm? 4 blue points.
Is it possible, to calculate the distance between AB and the radius, if you know volume and surface area of such a double cone? 6 red points.
Solving the picture-puzzle will get you two extra blue points, provided you also got points doing the regular maths problem. The rule for each picture puzzle is: Each icon represents one digit, same icons, same digits, different icons, different digits. ©HRGauern[at]@t-online.de

it

„Cosa hai fabbricato?“, Bernd chiedeva a sua sorella. “Abbiamo imparato come, usando cerchi, si possono ritagliare superficie esterne di coni diritti. Ne ho fatte alcune della stessa misura. Poi ho costruito un cono doppio.” – “Capisco.”
Quale sono il volume e la superficie visibile del cono doppio, se il semidiametro del cerchio col centro M (medio del segment AB) sia 3,0 cm e la distanza entro I punti A e B sia 12 cm? – 4 punti blu
È possible, sapendo il volume e la superficie esterna di un tale cono doppio, di determinare il semidiametro e la distanza AB in modo univoco? - 6 punti blu
La soluzione dell´indovinello simbolico apporta altri due punti blu, ma solo se si apportano punti regolari. Per l´indovinello vale: Ogni simbolo sta per una cifra, stessi simboli, stessa cifra, diversi simboli diverse cifre. ©HRGauern[at]@t-online.de

Lösung/solution/soluzione/résultat:
Bei roten "Einsendungen" wurde ab und an übersehen, das gefragt war,  ob bei der Vorgabe von Volumen und Oberfläche die Frage nach h und r auf genau eine Lösung führt ...
Musterlösung von calvin, danke. --> pdf <--

Aufgabe 10

634. Wertungsaufgabe

„Das sieht gut aus. Sind das gleichseitige Dreiecke in grünen Quadraten?“; frage Mike. „Aber ja und die Quadrate haben jeweils eine Kantenlänge von 8 cm.“, sagte Lisa.

Wie groß ist Flächeninhalt und Umfang des blauen Dreiecks? (3 blaue Punkte)
Wie groß ist Flächeninhalt und Umfang des roten Dreiecks? (4 rote Punkte)

Die Lösung des Symbolrätsels bringt zwei zusätzliche blaue Punkte, aber nur wenn reguläre Punkte eingebracht werden. Für das Rätsel gilt: Jedes Symbol steht für eine Ziffer, gleiche Symbole, → gleiche Ziffer, verschiedene Symbole → verschiedene Ziffern. © Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein!

Termin der Abgabe 19.03.2020. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 19.03.1920. Deadline for solution is the 19th. March 2020. Date limite pour la solution 19.03.2020. Soluciones hasta el 19.03.2020. Beadási határidő 2020.03.19.

hun

„Ez nagyon jól néz ki. Ezek egyenlő oldalú háromszögek a zöld négyszögekben?” – kérdezte Mike. „Igen és a négyszögek élhossza egyenként 8 cm.” – válaszolta Lisa.

Mekkora a területe és a kerülete a kék háromszögnek? (3 kék pont)
Mekkora a területe és a kerülete a piros háromszögnek? (4 piros pont)
A szimbólum rejtvény megoldásáért további két kék pontot kaphat, amennyiben a többi feladatért is szerzett pontot. A rejtvény megfejtésére érvényes: minden jel egy számjegyet szimbolizál, azonos jelek azonos számjegyeket, különböző jelek különböző számjegyeket. ©HRGauern[at]@t-online.de

fr

"Ça a l'air bien. Le triangle équilatéral est-il dans des carrés verts? », demande Mike. "Mais oui, et les carrés ont chacun une longueur de bord de 8 cm", a déclaré Lisa.

Quelle est la superficie et la circonférence du triangle bleu? (3 points bleus)
Quelle est la superficie et la circonférence du triangle rouge? (4 points rouges)
La solution de l'énigme apporte deux points bleus supplémentaires, mais seulement si des points réguliers ont été obtenus. Règle pour l’énigme:Chaque symbole représente un nombre, les mêmes symboles, le même nombre, différents symboles différents numéros. ©HRGauern[at]@t-online.de

esp

“Esto se ve bien. ¿Son triángulos equiláteros dentro de cuadrados verdes?“ preguntó Mike. “Pues sí, y los cuadrados tienen los cantos de la misma longitud de 8 cm“, respondió Lisa.

¿Cuán grande son área y perímetro del triángulo azul? (3 puntos azules)
¿Qué tamaño tienen área y perímetro del triángulo rojo? (4 puntos rojos)
Por la solución de rompecabeza de símbolos se recibe dos puntos azules adicionales si se ha ganado los puntos regulares antes. Para el rompecabeza aplica lo siguiente: Cada símbolo representa una cifra, los mismos símbolos representan las mismas cifras, diferentes símbolos para diferentes cifras. ©HRGauern[at]@t-online.de

en

„This does look great. Are those equilateral triangles inside the green squares?“; Mike asked. „Yes, and all squares do have the same edge length of 8 cm.“, answered Lisa.

 
How big are area and perimeter of the blue triangle? (3 blue points)
How big are area and perimeter of the red triangle? (4 red points)
Solving the picture-puzzle will get you two extra blue points, provided you also got points doing the regular maths problem. The rule for each picture puzzle is: Each icon represents one digit, same icons, same digits, different icons, different digits. ©HRGauern[at]@t-online.de

it

„Che bello!! Sono triangoli equilateri dentro quadrati verdi?“, Mike chiedeva. „Ma sì; ed i quadrati hanno una lunghezza del lato di 8 cm ognuno.“, diceva Lisa.

Quale sono la superficie e la circonferenza del triangolo blu? (3 punti blu)
Quale sono la superficie e la circonferenza del triangolo rosso? (4 punti rossi)
La soluzione dell´indovinello simbolico apporta altri due punti blu, ma solo se si apportano punti regolari. Per l´indovinello vale: Ogni simbolo sta per una cifra, stessi simboli, stessa cifra, diversi simboli diverse cifre. ©HRGauern[at]@t-online.de

Lösung/solution/soluzione/résultat:

Zwei verschiedene Lösungsvarianten bei rot. Pythagoras bei Maximilian --> pdf <-- und Winkelbeziehung im rechtwinkligen Dreieck bei Linus --> pdf <-- Danke.

Aufgabe 11

635. Wertungsaufgabe

„Unser Lehrer hat uns von einer Neujahrsformel erzählt“, berichtete Maria ihrem Bruder. „Berechnet er, wann das neue Jahr beginnt?“ „Nein, er hat die Formel am 1.1.2020 entdeckt.. Es geht um Flächeninhalte bei „Fadengrafiken“.
In einem Koordinatensystem (01=1 cm)werden Strecken eingetragen. Auf den Bildern sieht man die Beispiele n = 1, n=2 und n=5. Die äußeren Schnittpunkte in jedem Quadranten und die n-ten Punkte auf der Achse bilden ein schönes Vieleck. Der Flächeninhalt einer schönen Fläche lassen sich mit der Neujahrsformel A = 2/3 * n *(n+2) berechnen.

Wie groß ist der Umfang der Fläche für n = 2? Vollständige Berechnung 6 blaue Punkte.
Beweis der Richtigkeit der Neujahrsformel für beliebige n (n >0) 12 rote Punkte.

Die Lösung des Symbolrätsels bringt zwei zusätzliche blaue Punkte, aber nur wenn reguläre Punkte eingebracht werden. Für das Rätsel gilt: Jedes Symbol steht für eine Ziffer, gleiche Symbole, → gleiche Ziffer, verschiedene Symbole → verschiedene Ziffern. © Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein!

Termin der Abgabe 26.03.2020. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 26.03.1920. Deadline for solution is the 26th. March 2020. Date limite pour la solution 26.03.2020. Soluciones hasta el 26.03.2020. Beadási határidő 2020.03.26.

hun

„A tanárunk egy új Újévi képletről beszélt” – mondta Mária a testvérének. „ Kiszámolja, mikor kezdődik az újév? „ „Nem, az 1.1.2020 képletet fedezte fel. A fonalgrafikon területéről van szó.”
Egy koordináta rendszerben (01=1 cm) szakaszokat veszünk fel. Az ábrán például az n = 1, n=2 és n=5 képét láthatjuk. A külső metszéspontok minden negyedben és a tengelyek n-edik pontjaban egy-egy szép négyszöget alkotnak. A területe egy szép felületnek az Újévi képlettel A = 2/3 * n *(n+2) számolható ki.

Mekkora a kerülete és a területe, ha n = 2? Számítás 6 kék pont. Az Újévi képlet bizonyítása tetszőleges n (n >0) esetén 12 piros pont.
A szimbólum rejtvény megoldásáért további két kék pontot kaphat, amennyiben a többi feladatért is szerzett pontot. A rejtvény megfejtésére érvényes: minden jel egy számjegyet szimbolizál, azonos jelek azonos számjegyeket, különböző jelek különböző számjegyeket. ©HRGauern[at]@t-online.de

fr

"Notre professeur nous a parlé d'une formule du Nouvel An", a expliqué Maria à son frère. "Calcule-t-il quand la nouvelle année commence?" "Non, il a découvert la formule le 1er janvier 2020. Il s'agit du domaine des" graphiques de fils ".
"Les lignes sont saisies dans un système de coordonnées (01 = 1 cm). Tu peux voir les exemples n = 1, n = 2 et n = 5 sur les images. Les intersections extérieures dans chaque quadrant et les n-ièmes points sur l'axe forment un joli polygone. La superficie d'une belle région peut être calculée en utilisant la formule du Nouvel An A = 2/3 * n * (n + 2).

Quelle est la taille de la zone pour n = 2? Calcul complet 6 points bleus.
Preuve de l'exactitude de la formule du Nouvel An pour n (n> 0), 12 points rouges.
La solution de l'énigme apporte deux points bleus supplémentaires, mais seulement si des points réguliers ont été obtenus. Règle pour l’énigme:Chaque symbole représente un nombre, les mêmes symboles, le même nombre, différents symboles différents numéros. ©HRGauern[at]@t-online.de

esp

“Nuestro profesor nos ha contado de una fórmula del Año Nuevo”, le contó María a su hermano. “¿Calcula, cuándo empieza el Año Nuevo?” – “No, ha descubierto la fórmula el 1.1.2020. Se trata de áreas en gráficos de líneas.”
Se marcan líneas en un sistema de coordenadas (01=1cm). En los imágenes se ve ejemplos n=1, n=2 y n=5. Los puntos de intersección exteriores en cada cuadrante y los puntos n al eje forman un polígono hermoso. Se puede calcular el área de este plano hermoso con la fórmula del Año Nuevo A= 2/3*n*(n+2).

¿De qué tamaño es el perímetro del plano para n=2? Para el cálculo completo se recibe 6 puntos azules.
Para la prueba de la exactitud de la fórmula del Año Nuevo para cualquiera n (n>0) se recibe 12 puntos rojos.
Dimostrazione della correttezza della formula di capodanno per qualunque n (n > 0) – 12 punti rossi
Por la solución de rompecabeza de símbolos se recibe dos puntos azules adicionales si se ha ganado los puntos regulares antes. Para el rompecabeza aplica lo siguiente: Cada símbolo representa una cifra, los mismos símbolos representan las mismas cifras, diferentes símbolos para diferentes cifras. ©HRGauern[at]@t-online.de

en

„Our teacher told us about a formula for ‘New Years Eve’ “, Maria told her brother. „Does is calculate when the new year starts?“ „No, he found the formula on the 1st January 2020. It is about the area of so called „thread graphics“.“
Line segments are drawn into a coordinate system (01=1 cm). On the pictures you can see the examples n = 1, n=2 und n=5. The outer points of intersections in each quadrant and the n-points on the axis form a nice polygon. The area can be calculated by using the “New Years Eve” formular A = 2/3 * n *(n+2).

How big is the perimeter for n = 2? Complete the calculation – 6 blue points.
Proof that the „New Year Eve“ formular is true for each n (n >0) – 12 red points.
Solving the picture-puzzle will get you two extra blue points, provided you also got points doing the regular maths problem. The rule for each picture puzzle is: Each icon represents one digit, same icons, same digits, different icons, different digits. ©HRGauern[at]@t-online.de

it

“Nostro insegnante ci ha parlato di una formula di capodanno”, Maria raccontava a suo fratello. “Ha calcolato quando inizia l’ anno nuovo?”. “No, ha scoperto la formula il 1.1.2020. Tratta di superficie di “grafiche di filo”.”
In un Sistema di coordinate (01=1 cm) vengono inseriti segmenti. Qui sono illustrati gli esempi n = 1, n = 2, n = 5. I punti di intersezione esterni in ogni quadrante formano insieme ai punti ennesimi sulle asse un bel poligono. La sua superficie si calcola secondo la formula di capodanno: A = 2/3 * n * (n+2).

Qual’ è la misura della circonferenza del poligono nel caso n = 2? (Calcolazione completa: 6 punti blu)

La soluzione dell´indovinello simbolico apporta altri due punti blu, ma solo se si apportano punti regolari. Per l´indovinello vale: Ogni simbolo sta per una cifra, stessi simboli, stessa cifra, diversi simboli diverse cifre. ©HRGauern[at]@t-online.de

Lösung/solution/soluzione/résultat:

Drei (wie passend) Einsender haben in Einsendung explizit die Dreieckszahlen erwähnt: Hier ein Bild dazu von Aufgabe 453:

Als ich mit der Fadengrafik beschäftigt habe, stellte ich mit Verwunderung fest, dass die Flächeninhalte der "schönen" Fläche, meist ganzahlig waren. So machte ich mich auf den Weg den Zusammenhang zwischen n und dem Flächeninhalt zu erkunden und das, ohne (erst einmal) auf Schnittpunktsberechnungen zurückzugreifen. Untersucht habe ich dabei immer nur einen Quadranten, das mal 4 nun ja. Als ich die Teildreiecke in einem solchen Quadranten  mir anschaute sah ich plötzlich den Zusammenhang. Für n gibt es natürlich n Dreiecke. Deren Flächeninhalte (von außen nach innen, von klein nach groß) in Quadratzentimeter ließen sich wie folgt notieren und dann zu A addieren: a₁/n+1) + a₂/(n+1) + a₃/(n+1) ... + a_n/n+1)= A Dabei sind die Zähler a die Dreieckszahlen als {1; 3; 6; 10; 15;...} Nun musste nur noch die Summenformel für Dreieckszahlen benutzt werden und dann * 4. Damit war die obige "Neujahrsformel" gefunden, entdeckt am 1.1.2020 am Nachmittag.
Hier nun verschiedene Ansätze von Lösern, danke. Birgits rote Aufgabe --> pdf <--, Karlludwig --> pdf <-- und Paulchen --> pdf <--

Aufgabe 12

636. Wertungsaufgabe

roten

„Diese Konstruktion eines Buchstaben nach der Anleitung von Albrecht Dürer kann ich gleich zweimal verwenden“, sagte Maria. „Wie das?“, fragte ihr Bruder Bernd. „Zu Dürers Zeiten wurde der Buchstabe als V, aber auch als U genutzt.“
Die Anleitung zur Konstruktion: ABCD ist ein Quadrat mit der Länge a, hier 10 cm). G ist der Mittelpunkt von AB. Die großen Kreise haben den Radius a/7, die kleinen Kreise haben den Radius a/15. DE=CF=a/10. Es ist G mit E und G mit F zu verbinden. Der linke Schenkel ist a/10 breit, der rechte Schenkel a/30.
Die Berechnungen:
Wie groß ist der Flächeninhalt der Fläche AGED - 2 blaue Punkte. Wie groß ist der Abstand ist der Abstand PR - 4 blaue Punkte. Wie groß sind Flächeninhalt und Umfang des roten V? - 8 rote Punkte. Zu beachten ist, dass die großen Kreise einen minimalen Abstand zu den Strecken EG bzw. EF haben. Die linke krummlinig begrenzte Fläche soll durch eine Strecke W V (senkrecht zu EG) begrenzt sein. W V ist eine Verlängerung des Radius des großen Kreises. Rechts analog.

Die Lösung des Symbolrätsels bringt zwei zusätzliche blaue Punkte, aber nur wenn reguläre Punkte eingebracht werden. Für das Rätsel gilt: Jedes Symbol steht für eine Ziffer, gleiche Symbole, → gleiche Ziffer, verschiedene Symbole → verschiedene Ziffern. © Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein!

Termin der Abgabe 02.04.2020. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 02.04.1920. Deadline for solution is the 2th. April 2020. Date limite pour la solution 02.04.2020. Soluciones hasta el 02.04.2020. Beadási határidő 2020.04.02.

hun

„Ennek a betűnek a szerkesztését Dürer útmutatója alapján rögtön kétszer is felhasználhatom.“ – mondta Mária. „Hogy-hogy?“ – kérdezte a testvére, Berndt. „Dürer idejében ezt a betűt nemcsak V-nek, hanem U-nak is használták.“
Útmutatás a szerkesztéshez: ABCD egy négyzet, hossza az a, 10 cm. G a középpontja az AB szakasznak. A nagy kör sugara a/7, a kicsié a/15. DE=CF=a/10. G pontot E és F ponttal kössük össze. A bal szár a/10, a jobb szár a/30 széles.
Számítások:
Mekkora a területe az AGED felületnek? – 2 kék pont
Mekkora a PR távolság? – 4 kék pont
Mekkora a területe és a kerülete a piros V-nek? – 8 piros pont
Vegyék figyelembe, hogy a piros körök minimális távolségra vannak az EG, valamint EF szakasztól. A bal görbe vonallal határolt felület egy WV szakasszal (merőleges EG-re) határolt. W V a meghosszabbítása a nagy kör sugarának. Jobb oldalon szintúgy.

A szimbólum rejtvény megoldásáért további két kék pontot kaphat, amennyiben a többi feladatért is szerzett pontot. A rejtvény megfejtésére érvényes: minden jel egy számjegyet szimbolizál, azonos jelek azonos számjegyeket, különböző jelek különböző számjegyeket. ©HRGauern[at]@t-online.de

fr

"Je peux utiliser cette construction d'une lettre selon les instructions d'Albrecht Dürer à deux reprises", a déclaré Maria. "Comment ça?", lui a demandé son frère Bernd. "Au temps de Dürer, la lettre était utilisée comme V, mais aussi comme U."
Instructions pour la construction: ABCD est un carré de la longueur a, (ici 10 cm). G est le centre d'AB. Les grands cercles ont le rayon a/7, les petits cercles ont le rayon a/15.
DE = CF = a/10. Connecter G avec E et G avec F. La jambe gauche est large de a/10, la jambe droite a/30.
Les calculs:
Quelle est la superficie de la zone AGED - 2 points bleus. Quelle est la distance PR - 4 points bleus. Quelle est l'aire et la taille du V rouge? - 8 points rouges. Il est à noter que les cercles rouges sont à une distance minimale des lignes EG et EF. La zone curviligne gauche doit être limitée par une distance W V (perpendiculaire à EG). W V est une extension du rayon du grand cercle. Analogue droit.

La solution de l'énigme apporte deux points bleus supplémentaires, mais seulement si des points réguliers ont été obtenus. Règle pour l’énigme:Chaque symbole représente un nombre, les mêmes symboles, le même nombre, différents symboles différents numéros. ©HRGauern[at]@t-online.de

esp

Las letras de Dürer

“Esta construcción de una letra según Albrecht Dürer ya puedo usar dos veces”, dijo María. “¿Porqué?”, preguntó Bernd. “Porque en la época de Dürer usaban esta letra como ‘V’, pero también como ‘U’.”
Instrucciones para la construcción: ABCD es un cuadrado con la longitud de cantos a = 10 cm. El punto central de AB es G. Los círculos grandes tienen el rádio a/7. Los círculos pequeños tienen el rádio a/15. DE=CF=a/10. Se tiene que conectar G con E y G con F. El lado a la izquierda mide a/10 de ancho y el lado a la derecha a/30.
Los cálculos:
¿De qué tamaño es el área AGED? – 2 puntos azules. ¿Cuánto mide la distancia entre P y R? – 4 puntos azules.
¿Cuán grande son área y perímetro del V rojo? – 8 puntos rojos.
Hay que tener en cuenta que los círculos rojos tienen una distancia mínima hacia los segmentos rectilíneos EG y EF. El plano delimitado torcidamente a la izquierda se delimita por el segmento rectilíneo WV (perpendicular al segmento rectilíneo EG). WV es el alargamiento del radio del círculo grande. A la derecha análogo. 

Por la solución de rompecabeza de símbolos se recibe dos puntos azules adicionales si se ha ganado los puntos regulares antes. Para el rompecabeza aplica lo siguiente: Cada símbolo representa una cifra, los mismos símbolos representan las mismas cifras, diferentes símbolos para diferentes cifras. ©HRGauern[at]@t-online.de

en

„This construction of a letter by Albrecht Dürer I can use twice.“, said Maria. „How that?“, asked her brother Bernd. „At the time Dürer lived, the letter was used as V and as U.“
The construction instruction: ABCD is a square with a length a, in that case 10 cm. G is the center of AB. The large circles have a radius a/7, the small circles have a radius a/15. DE=CF=a/10. You have to connect G with E and E with F. The left arm is a/10 wide, the right arm a/30.

The calculation:
How big is the area AGED - 2 blue points. How big is the distance PR - 4 blue points. How big are area and perimeter of the red V? – 8 red points. You have to keep in mind that the red circles must have a minimum distance to the lines EG respectively EF. The left bent lined bordered area should be bordered by a line WV (perpendicular to EG). WV is a radius extension of the big circle. On the right side it is exactly the same.

Solving the picture-puzzle will get you two extra blue points, provided you also got points doing the regular maths problem. The rule for each picture puzzle is: Each icon represents one digit, same icons, same digits, different icons, different digits. ©HRGauern[at]@t-online.de

it

“Questa costruzione di una lettera secondo Dürer posso usare per due cose”, diceva Maria. “Come?”, chiedeva suo fratello Bernd. “Ai tempi di Dürer, quella lettera era usata come V, ma anche come U.”
Ecco l’ istruzione della costruzione: ABCD è un quadrato con una lunghezza del lato a (in questo caso 10 cm). G è il centro del lato AB. I cerchi grandi hanno un semidiametro di a/7, I cerchi piccoli di a/15. DE = CF = a/10. Si collega G con E e G con F. Il lato sinistro ha una larghezza di a/10, il lato destro una di a/30.
Le calcolazioni:
Qual’ è la misura della superficie AGED? – due punti blu.
Qual’ è la distanza PR? – 4 punti blu.
Quale sono la superficie e la circonferenza del V rosso? – 8 punti rossi
Si badi al fatto che I cerchi rossi  hanno la distanza minima ai segmenti EG ossia EF. L’area curvilinea sinistra sia delimitata del segmento WV, che è la prolungazione del semidiametro del cerchio grande. Analogicamente a destra.

La soluzione dell´indovinello simbolico apporta altri due punti blu, ma solo se si apportano punti regolari. Per l´indovinello vale: Ogni simbolo sta per una cifra, stessi simboli, stessa cifra, diversi simboli diverse cifre. ©HRGauern[at]@t-online.de

Lösung/solution/soluzione/résultat:

Musterlösungen von calvin --> pdf <-- und Reinhold M., danke

Wenn wir das Quadrat in ein kartesisches Koordinatensystem mit dem Ursprung A und der Abszisse durch B sowie einer Zentimeterskala legen, so gilt zunächst (mit a = 10)

 A = (0, 0),

 B = (a, 0),

 C = (a, a),

 D = (0, a),

 E = (a/10, 10),

 F = (9/10 a, 10),

 G = (a/2, 0)

sowie

 AD = a,

 AG = a/2,

 DE = a/10.

Nun definiere ich noch folgende Punkte (wegen der Symmetrie der Verhältnisse um die Kreise meist nur links):

 H Mittelpunkt von DC,

 I Mittelpunkt des linken großen Kreises,

 J Mittelpunkt des linken kleinen Kreises,

 K Berührungspunkt des linken kleinen Kreises mit XP,

 L Berührungspunkt des linken kleinen Kreises mit DC,

 M Schnittpunkt von GF und UP,

 N Fußpunkt des Lots von X auf EG,

 O Fußpunkt des Lots von M auf EG,

 Q Fußpunkt des Lots von P auf EG,

 S Fußpunkt des Lots von R auf GF,

 Y Schnittpunkt zwischen der Tangente in W an den linken großen Kreis und DE,

 Z Fußpunkt des Lots von E auf YW.

Dann gilt zunächst

 HG = a,

 DH = a/2,

 EH = a/2 - a/10 = 2/5 a,

 IW = ID = a/7,

 DY = YW,

 JK = JL = a/15,

 PL = PK,

 OM = NX = QP = a/10,

 RS = a/30.

Weiter bezeichne ich den Winkel(HGE) mit x. Dann gilt auch Winkel(FGH) = x sowie

 Winkel(FGE) = 2x (Symmetrie DE = FC),

 90°-x = Winkel(GEH) (Winkelsumme Dreieck)

       = Winkel(EGA) (Wechselwinkel)

       = Winkel(XPR) (Stufenwinkel)

       = Winkel(WYE) (Stufenwinkel)

und

 Winkel(EPQ) = Winkel(SRF) = Winkel(YEZ) = x (Winkelsumme Dreieck bzw. Stufenwinkel),

 90°+x = Winkel(LJK) (Winkelsumme Viereck)

       = Winkel(DYW) (mit WYE 180°),

also auch

 Winkel(WID) = 90°-x (Winkelsumme Viereck),

 Winkel(WIY) = Winkel(YID) = Winkel(KPJ) = Winkel(JPL) = 1/2 (90°-x) = 45°-x/2,

 Winkel(DYI) = Winkel(IYW) = Winkel(LJP) = Winkel(PJK) = 1/2 (90°+x) = 45°+x/2 (alles Symmetrie),

 90°-2x = Winkel(OMG) (Winkelsumme Dreieck).

Für x wissen wir

 tan(x) = EH / HG = 2/5,

also

 x = arctan(2/5).

Daraus können wir mit Hilfe der bekannten trigonometrischen Formeln der gegenseitigen Darstellbarkeit, der Phasenverschiebung und des doppelten Winkels die (eventuell später) benötigten Winkelfunktionen für x, 2x, 90°-x, 45°-x/2, 90°+x, 45°+x/2 oder 90°-2x bestimmen (x und 2x sind kleiner 90° usw.):

 sin(x) = tan(x) / Wurzel(1 + tan^2(x)) = 2/Wurzel(29),

 cos(x) = Wurzel(1 - sin^2(x)) = 5/Wurzel(29),

 cot(x) = 1 / tan(x) = 5/2,

 sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) = 20/29,

 cos(2x) = Wurzel(1 - sin^2(2x)) = 21/29,

 tan(2x) = sin(2x) / cos(2x) = 20/21,

 cot(2x) = 1 / tan(2x) = 21/20,

 sin(90°-x) = cos(x) = 5/Wurzel(29),

 cos(90°-x) = sin(x) = 2/Wurzel(29),

 tan(90°-x) = cot(x) = 5/2,

 cot(90°-x) = 1 / tan(90°-x) = 2/5,

 tan(45°-x/2) = sin(90°-x) / (1 + cos(90°-x)) = 1/5 (Wurzel(29) - 2),

 cot(45°-x/2) = 1 / tan(45°-x/2) = 1/5 (Wurzel(29) + 2),

 sin(45°-x/2) = Wurzel((1 - cos(90°-x)) / 2) = 1/58 Wurzel(1682 - 116 Wurzel(29)),

 cos(45°-x/2) = Wurzel(1 - sin^2(45-x/2)) = 1/58 Wurzel(1682 + 116 Wurzel(29)), 

 sin(90°+x) = cos(x) = 5/Wurzel(29),

 cos(90°+x) = - sin(x) = -2/Wurzel(29),

 tan(90°+x) = - cot(x) = -5/2,

 cot(90°+x) = 1 / tan(90°+x) = -2/5,

 tan(45°+x/2) = sin(90°+x) / (1 + cos(90°+x)) = 1/5 (Wurzel(29) + 2),

 cot(45°+x/2) = 1 / tan(45°+x/2) = 1/5 (Wurzel(29) - 2),

 sin(45°+x/2) = Wurzel((1 - cos(90°+x)) / 2) = 1/58 Wurzel(1682 + 116 Wurzel(29)),

 cos(45°+x/2) = Wurzel(1 - sin^2(45+x/2)) = 1/58 Wurzel(1682 - 116 Wurzel(29)),

 sin(90°-2x) = cos(2x) = 21/29,

 cos(90°-2x) = sin(2x) = 20/29,

 tan(90°-2x) = cot(2x) = 21/20,

 cot(90°-2x) = 1 / tan(90°-2x) = 20/21.

Damit steht das Rüstzeug zur Lösung bereit.

1. AGED ist ein Trapez mit den Grundlinien AG = a/2 und DE = a/10 sowie der Höhe AD = a, so dass für den gesuchten Flächeninhalt Ablau gilt:

 Ablau = 1/2 (a/2 + a/10) a = 3/10 a^2.

Durch Einsetzen von a erhält man 30 m^2.

2. Für die gesuchte Länge PR gilt

 PR = DC - DE - EP - RF - FC

    = 4/5 a - EP - RF.

Mit den oben hergeleiteten Winkelgrößen und Winkelfunktionen folgt nun

 EP = a/10 / cos(x) = Wurzel(29)/50 a,

 RF = a/30 / cos(x) = Wurzel(29)/150 a,

 PR = 2/75 (30 - Wurzel(29)) a.

Durch Einsetzen von a erhält man 4/15 (30 - Wurzel(29)) oder ca. 6,56 cm.

3. Der Umfang Urot des "V" besteht wegen der (teilweisen) Symmetrie aus

 Urot = 2*XK + 2*Bogen(KL) + 2*PL + EP + RF + 2*DE + 2*Bogen(DW) + 2*WV + 2*VG.

Dazu benötigen wir noch

 PL = PK = JL cot(Winkel(JPL)) = a/15 cot(45°-x/2) = a/75 (Wurzel(29) + 2),

 Bogen(KL) = 2 Pi JL * Winkel(LJK)/360° = (90°+x)/2700° Pi a,

 DY = YW = ID tan(Winkel(YID)) = a/7 tan(45°-x/2) = a/35 (Wurzel(29) - 2),

 YE = DE - DY = a/10 - a/35 (Wurzel(29) - 2) = a/70 (11 - 2 Wurzel(29)),

 WV = ZE = YE cos(Winkel(YEZ)) = a/406 (11 Wurzel(29) - 58),

 Bogen(DW) = 2 Pi ID * Winkel(WID)/360° = (90°-x)/1260° Pi a,

 EV = Wurzel(IE^2 - IV^2) = Wurzel((ID^2 + DE^2) - (IW + WV)^2)

    = Wurzel(a^2/49 + a^2/100 - (a/7 + a/406 (11 Wurzel(29) - 58))^2)= 18/1015 Wurzel(29) a,

 EG = a / sin(Winkel(EGA)) = a/5 Wurzel(29),

 VG = EG - EV = 37/203 Wurzel(29) a,

 PH = DH - DE - EP = a/2 - a/10 - Wurzel(29)/50 a = a/50 (20 - Wurzel(29)),

 PX = 1/2 PR / cos(Winkel(XPR)) = a/150 (30 Wurzel(29) - 29),

 XK = PX - PK = a/150 (28 Wurzel(29) - 33).

Zusammen erhalten wir

 Urot = 2*XK + 2*Bogen(KL) + 2*PL + EP + RF + 2*DE + 2*Bogen(DW) + 2*WV + 2*VG

   = a/75 (28 Wurzel(29) - 33) + (90°+x)/1350° Pi a + 2a/75 (Wurzel(29) + 2)

     + Wurzel(29)/50 a + Wurzel(29)/150 a + a/5 + (90°-x)/630° Pi a

     + a/203 (11 Wurzel(29) - 58) + 74/203 Wurzel(29) a

   = a/75 (32 Wurzel(29) - 14) + a/203 (85 Wurzel(29) - 58) + 2/4725° Pi a (495° - 2x)

   = a/15225 (12871 Wurzel(29) - 7192) + 2/4725° Pi a (495° - 2x).

Durch Einsetzen von a und x erhält man

 2/3045 (12871 Wurzel(29) - 7192) + 4/945° Pi (495° - 2 arctan(2/5))

oder ca. 46,80 cm.

4. Die Fläche Arot des "V" besteht wegen der (teilweisen) Symmetrie aus

 Arot = 2*Bogendreieck(KLP) + 2*Bogendreieck(DWY) + 2*Trapez(YWVE) + Trapez(EGMP) + Trapez(MFRX).

Dazu benötigen wir noch

 Bogendreieck(KLP) = 2*Dreieck(PJL) - Kreissektor(KJL)

   = 2 * 1/2 PL JL - Pi JL^2 * Winkel(LJK)/360°

   = a^2/1125 (Wurzel(29) + 2) - (90°+x)/81000° Pi a^2,

 Bogendreieck(DWY) = 2*Dreieck(DIY) - Kreissektor(DIW)

   = 2 * 1/2 ID DY - Pi ID^2 Winkel(WID)/360°

   = a^2/245 (Wurzel(29) - 2) - (90°-x)/17640° Pi a^2,

 Trapez(YWVE) = 1/2 (YW + EV) WV

   = a^2/824180 (47 Wurzel(29) - 58) (11 Wurzel(29) - 58)

   = a^2/28420 (633 - 116 Wurzel(29)),

 MU = MG = MO / cos(Winkel(OMG)) = 29/200 a,

 PM = PU - MU = EG - MU = a/200 (40 Wurzel(29) - 29),

 Trapez(EGMP) = 1/2 (EG + PM) a/10

   = a^2/4000 (80 Wurzel(29) - 29),

 XR = PX = a/150 (30 Wurzel(29) - 29),

 GM = MU = 29/200 a,

 MF = GF - GM = EG - GM = a/200 (40 Wurzel(29) - 29),

 Trapez(MFRX) = 1/2 (MF + XR) a/30

   = a^2/36000 (240 Wurzel(29) - 203).

Zusammen erhalten wir

 Arot = 2*Bogendreieck(KLP) + 2*Bogendreieck(DWY) + 2*Trapez(YWVE) + Trapez(EGMP) + Trapez(MFRX)

   = 2a^2/1125 (Wurzel(29) + 2) - (90°+x)/40500° Pi a^2

     + 2a^2/245 (Wurzel(29) - 2) - (90°-x)/8820° Pi a^2

     + a^2/14210 (633 - 116 Wurzel(29))

     + a^2/4000 (80 Wurzel(29) - 29)

     + a^2/36000 (240 Wurzel(29) - 203)

   = a^2/1598625 (30192 + 45472 Wurzel(29)) - Pi/496125° a^2 (6165° - 44 x).

Durch Einsetzen von a und x erhält man

 4/63945 (30192 + 45472 Wurzel(29)) - 4/19845° Pi (6165° - 44 arctan(2/5))

oder ca. 13,9100 cm^2.

Das Britannienrätsel habe ich zu
 ABCD - CEF = EGF
    /     -     -
    B * BHI = DAG
    =     =     =
  EBF - JCG = BEI
umgeschrieben. Dann folgt der 1. Zeile zunächst
 A = 1, 2F = D oder 2F = D + 10, auf jeden Fall aber D gerade,
und damit der 2. Zeile
 B = 2, D = 4, H = 0 und also F = 7.
Der 3. Spalte folgt dann
 E = 6, G = 8, I = 9
und damit der 2. Spalte
 C = 5, J = 3.
Die Lösung ist somit zusammengefasst
 1254 - 567 = 687
    /     -     -
    2 * 209 = 418
    =     =     =
  627 - 358 = 269.

Mit freundlichen Grüßen
Reinhold

Auswertung Serie 53

Gewinner des Buchpreises sind  Alexander Wolf, Heloh und Albert A., herzlichen Glückwunsch.

Auswertung Serie 53 (blaue Liste)

Auswertung Serie 53 (rote Liste)

Es gab genau 100 Teilnehmer insgesamt (nun ja), da ist noch Luft nach oben.
Liste sortiert nach erreichter Gesamtpunktzahl: