Serie-6

Serie 6
Aufgaben und Lösungen

Aufgabe 1

Bernd hatte sich bei Blitzeis den Fuß verstaucht und muss für zwei Wochen zu hause bleiben. Mike besucht ihn natürlich und füttert ihn mit Knobelaufgaben.

Würfel Dieser Würfel hat jeder andere auch 8 Ecken. In der unteren linken Ecke steht eine Null.
Die restlichen Ecken tragen die Bezeichnungen B bis H.
Die Zahlen von 1 bis 7 sind nun so auf die Ecken zu verteilen, dass sie alle genau einmal verwendet werden und dass die Summe zweier Zahlen entlang einer Kante immer eine Primzahl ergibt.
Hammerhart meint Bernd, aber nun ja. Für jede gefundene Lösung gibt es 2 Punkte.
Zu erreichen sind ?? Punkte.

Lösung

Primzahlen sind natürliche Zahlen, die größer als 1 sind und nur wiederum die 1 und sich selbst als Teiler haben.
Die systematische Suche nach den Lösungen beginne ich mit Punkt B. Die Zahlen 1, 4 und 6 entfallen dafür sofort. Die eventuell in Frage kommende 2 (0 + 2 = 2) entfällt, weil sich ansonsten an zwei benachbarten Eckpunkten ungerade Zahlen befinden müssten, deren Summe dann keine Primzahl wäre.
Prinzipiell mögliche ungeordnete Eckenpaare - z.B. (1;2) steht auch für (2;1):
(0;3), (0;5), (0;7), (1;2), (1;4), (1;6), (2;3), (2;5), (3;4), (4;7), (5;6) und (6;7), dass heißt sind zwei Nachbarn einer Ecke bekannt, so liegt der dritte automatisch fest. Fall 1: B = 3, dann muss C = 2 oder C = 4 sein
Fall 1.1. B = 3, C = 2 dann muss F = 4 sein. Für den Punkt G verbleiben die ungeraden Zahlen verbleiben dann 1; 5 und 7. Wegen 5 + 4 = 9 (F) und 2 + 7 = 9 (C) liegt G = 1 fest. Dann aber ist H = 6 und F = 5 und somit verbleibt E = 7.
Fall 1.2. B = 3, C = 4 dann muss F = 2 sein. Für den Punkt G verbleiben die ungeraden Zahlen verbleiben dann 1; 5 und 7. Wegen 5 + 4 = 9 (C) und 2 + 7 = 9 (F) liegt G = 1 fest. Dann aber ist H = 6 und D = 7 und somit verbleibt E = 5.
Fall 2: B = 5, dann muss C = 2 oder C = 6 sein
Fall 2.1. C = 2, dann muss F = 6 sein. Für den Punkt G verbleiben die ungeraden Zahlen verbleiben dann 1; 3 und 7. Wegen 6 + 3 = 9 (F) und 2 + 7 = 9 (C) liegt G = 1 fest. Dann muss D = 3, H = 4 und E = 7 sein.
Fall 2.2. C = 6, dann muss F = 2 sein. Für den Punkt G verbleiben die ungeraden Zahlen verbleiben dann 1; 3 und 7. Wegen 6 + 3 = 9 (C) und 2 + 7 = 9 (F) liegt G = 1 fest. Dann muss D = 7, H = 4 und E = 3 sein.
Fall 3: B = 7, dann muss C = 4 oder C = 6 sein.
Fall 3.1. C = 2, dann muss F = 4 sein. Für den Punkt G verbleiben die ungeraden Zahlen verbleiben dann 1; 3 und 5. Wegen 4 + 5 = 9 (F) verbleibt als Möglichkeiten für G die 3 und die 1. Mit G = 3 wird, aber D = 1 zwingend Widerspruch zur Primzahldefinition also bleibt wieder G = 1. Also ergibt sich D = 5, G = 2 und E = 3.
Den nun mehr letzten Fall möge der geneigte Leser selber begründen:
Es gibt also 6 verschiedene Lösungen und so sind 12 Punkte möglich gewesen.

Die Lösungen tabellarisch:
B C D E F G H
3 4 7 5 2 1 6
3 2 5 7 4 1 6
5 2 3 7 6 1 4
5 6 7 3 2 1 4
7 6 5 3 4 1 2
7 4 3 5 6 1 2