Serie-17

Serie 17
Aufgaben und Lösungen

Aufgabe 1

193. Wertungsaufgabe
„Nun sind die großen Ferien wieder vorbei“, meinte Bernd, als er Mike nach längerer Pause wieder traf. „War aber eine schöne Zeit, besonders die zwei Wochen, die ich mit Lisa zelten fahren konnte“, gab Mike zurück. „Aber nun geht es los mit einer handwerklichen Aufgabe, da lies.“ Ein großer Würfel soll in 27 gleich große Würfel zersägt werden. Es soll so wenig wie möglich Abfall entstehen. Nach dem ersten Sägen darf man die entstandenen Teilstücke auch aneinander oder übereinander legen, so dass mit einem Schnitt mehrere Teilstücke zersägt werden. Wie viele solcher Schnitte sind mindestens notwendig, um den Würfel vollständig zu zersägen? „Das klingt nicht ganz einfach“, meinte Mike. „Das mag sein, ich habe beim ersten Hören auch gestutzt, aber so schlimm ist es dann doch nicht“. (4 Punkte)
„Wenn wir die 27 Würfel haben, dann können diese ja von Marias und Lisas Gruppe genutzt werden. Da fällt mir ein, wenn die Würfel wie üblich mit den Zahlen 1 bis 6 versehen werden, dann kann man nach dem Aufeinanderstapeln aller Würfel „mit einem Blick“ feststellen, wie groß die Summe aller sichtbaren Zahlen ist“. „Da hast du recht“, fand auch Bernd und schlug dafür 4 blaue Punkte vor.

Lösung

Hier die sehr umfassende Lösung von XXX, danke.
Es geht mit höchstens 6 Schnitten: Wähle dazu je zwei Schnitte West-Ost, Nord-Süd und Horizontal.
Wie sehen wir aber, dass es nicht mit noch wenigeren Schnitten geht?
Zunächst neigte ich dazu zu glauben, dass die größte Schnittfläche, die entstehen kann, einer Seitenfläche des großen Würfels entspricht, also links und rechts vom Sägeblatt je 9 kleine Schnittflächen entstehen können.
Zählen wir nun diese inneren Schnittflächen, von denen pro Schnitt höchstens 18 entstehen können, so haben wir bei x Schnitten höchstens 18x.
Wir müssen aber bei 27 Würfeln 6*27 = 162 Flächen haben, wovon 6*9 = 54 äußere Flächen des bisherigen Würfels sind, mithin
18x >= 162 - 54; 18x >= 108; x >= 6
Also 6 Schnitte.
Aber da ist eine Lücke. Nach dem Abschneiden der ersten Scheibe legen wir diese Scheibe quer hinter das Reststück.
Der nächste Schnitt erzeugt nun statt 18 gleich 24 Schnittflächen!
Im Idealfall verdoppelt jeder Schnitt die Anzahl der Teile. Mit 2^x >= 27 sehen wir, dass mindestens 5 Schnitte nötig sind.
5 oder 6, das ist nun die Frage! Beim Würfel 4� könnte die naheliegenden 9 Schnitte unterboten werden, weil es Schnitte gibt, die eine Seite halbieren.
Hier betrachten wir den innersten Würfel. Dieser besitzt keine äußere Fläche, mithin 6 Flächen, die durch Schneiden entstanden sind.
Da kein gerader Schnitt zwei dieser Schnittflächen erzeugen kann, sind mindestens 6 Schnitte nötig.
Interessant ist der 64er Würfel, der auch mit 6 Schnitten zerlegt werden kann, indem man nicht mit Scheiben arbeitet, sondern jeden Schnitt jedes vorhandene Teilstück halbieren lässt.
Hier die Lösung f&uurml; die blaue Aufgabe von Paul Koch, danke.
Die gegenüberliegenden Seiten des Würfels ergeben immer 7. Ich sehe immer 4 Seiten pro Würfel und oben die Fläche. Also muss ich nur 14 x 27 + die obere Fläche rechnen.