Serie-23

Serie 23
Aufgaben und Lösungen

Aufgabe 1

265. Wertungsaufgabe

Quadrate"Es gibt doch sicher noch viel mehr Mathematisches bei den Spielen zu finden", meinte Mike. "Aber bestimmt, da wäre ja noch die sogenannte Spieltheorie (manchmal klang die natürlich durch) selbst, Überlegungen bei Computerspielen und so weiter. Nun aber muss ich mich erst mal mit dieser Aufgabe beschäftigen". "Zeig mal". "Auf dem Bild siehst du die zwei Quadrate ABCD und BEFG. Das rechts liegende soll für die Überlegungen der roten Aufgabenstellung immer kleiner sein als das andere. Auf der Strecke AE ist ein Punkt X zu finden. Der Punkt X soll mit F bzw. mit D verbunden werden.  Der Punkt X soll folgende Eigenschaften haben: Wird die Figur entlang der Linien DX und XF geteilt, so lassen sich die Teile zu einem Quadrat zusammenlegen.   (6 rote Punkte)
Das geht? , fragte Lisa etwas zweifelnd, die sich die Figur betrachtete.  Aber ja doch und deine Spezialistengruppe könnte sich ja mal eine Formel überlegen, wie man den Umfang der Figur elegant ausrechnet, wenn die Längen der Seiten der Quadrate a bzw. b sein sollen (a>b). 2 blaue Punkte.

Lösung

blau: Ich gehe mal von C im mathematisch positiven Sinn um die Figur:
a + a + a + b + b + b +(a - b) = a + a + a + b + b + b + a - b = 4a + 2b
rot:
Der Punkte X muss b cm von A entfernt sein - Die Aufgabe zum Spielen kann man sich in der Mathelandausstellung in Dresden anschauen.
Die komplette Lösung von Stefan G. aus Dresden, danke.
Die Seitenlänge des Quadrates ABCD sei a und die Seitenlänge des Quadrates BEFG sei b.
O.b.d.A. sei a>b. (Spiegele an BC falls b>a und benenne um.)
Durch die Schnitte entsteht stets ein Fünfeck mit konkavem, rechtem Winkel CGF. In diesen muss zur Konstruktion eines Quadrates eines der entstehenden Dreiecke mit rechtem Winkel DAB bzw. BEF eingfügt werden. Dabei muss eine Kathete die Länge b aufweisen und der Winkel den sie mit der Hypothenuse einschließt muss sich mit dem Winkel XFG zu neunzig Grad ergänzen.
Da der Winkel XDC kleiner als neunzig Grad ist, muss auch er durch einen weiteren Winkel ergänzt werden, d.h. das zweite Dreieck muss auf der Seite DC angebracht werden. Ist die Kathete auf DC kleiner als a bzw. die Kathete auf FG kleiner als b, so verbleibt eine Kante an C, die nicht mehr aufgefüllt werden kann. Für längere Katheten auf diesen Seiten, entstehen nicht zu kompensierende Spitzen.
Um ein Quadrat zu ergeben müssen die Katheten, die auf der Geraden BC liegen so lang sein, dass sie einen gemeinsamen Eckpunkt des neuen Quadrates bilden. Da die Dreiecksseiten alle größer als Null sind (X=A bzw. X=E ergeben nur ein echtes Dreieck, dass nicht zur Vervollständigung zu einem Quadrat taugt, bspw.da die Strecken DX und XF nicht gleich lang sind) muss die Kathete des Dreiecks im Winkel CGF, die die Strecke CG enthält größer als b sein und also über den Punkt C hinausragen. Zugleich müssen sich die Winkel im neu gebildeten Quadratpunkt zu neunzig Grad ergänzen. Damit haben die beiden Dreiecke neben dem rechten Winkel auch einen weiteren Winkel gemein, da sich die neunzig Grad jeweils mit dem Winkel der sich im anderen Dreieck der gemeinsamen Quadratspitze findet zu hundertachtzig Grad ergänzen. Damit sind die beiden Dreiecke ähnlich.
Außerdem bilden XF und XD Seiten des neuen Quadrates und müssen daher gleich lang sein. Dies sind aber die Hypothenusen der beiden Dreiecke, die folglich kongruent sind.
Daraus folgt, dass AX = b und BX = a.
Selbiges lässt sich alternativ auch ohne Betrachtung der Winkel zeigen. Dafür sei zunächst AX = q und BX = p. Durch die Gleichheit der Hypothenusen, sprich XF = XD, gilt dann (1) b^2+p^2 = a^2 + q^2
Zudem muss für die aus den Dreiecken gebildete Spitze des Quadrates gelten, dass die eine Kathete gleich der anderen Kathetenlänge zuzüglich der Differenz aus a und b, sprich CG, ist, also (2) p = q + (a-b)
Die Lösung des Gleichungssystems führt auf p = a und q = b und damit ebenfalls auf die oben angegebene Lösung.
Hier noch ein Bild von Jana & S. aus Lugau, danke.
Lösung 265