Serie-19

Mathematik auf dem Schachbrett

Aufgaben und Lösungen Serie 19

Aufgabe 1

217. Wertungsaufgabe

Schachturm "Die Lösung der letzten Aufgabe fand ich sehr überraschend", musste selbst Bernds Vater zugeben. "Ist eure Schule eigentlich an der Vorbereitung für die Schacholympiade beteiligt?", fragte er nach. "Ja, ich denke schon", meinte Bernd, "ich werde mal bei unserem Hausmeister nachfragen, denn der ist unser Schachexperte." "Na, wenn das so ist, dann wird er sich über diese Aufgabenserie sicher freuen, denn es wird 12 Aufgaben rund um das Schachbrett geben. Schach und Mathematik passen gut zusammen." "Das stimmt". "Auf dem Bild seht ihr einen aus schwarzen und weißen Würfeln errichteten Schachturm. Auf dem kann man ganz normal Schach spielen, denn von oben betrachtet, sieht er wie ein normales Schachbrett aus. Es ist sicher nicht schwer herauszubekommen, wie viele schwarze und weiße Würfel verbaut wurden – 4 blaue Punkte. Wie hoch ist ein solcher Turm, wenn auf einem n x n Feld etwas mehr als 1000 Würfel (schwarze und weiße zusammen) auf diese Art aufgestapelt werden? 4 rote Punkte"

Lösung

Die Zahl aller Würfel ist 1 + 4 + 9 + ... + 64 = 204.
(Die Summe der ersten n Quadratzahlen lässt sich mit n(n+1)(2n+1)/6 ermitteln.)
Die Anzahl der weißen Würfel von oben nach unten ist auch leicht zu sehen:
1 + 2 + 5 + 8 + 13 + 18 + 25 + 32 = 104, verbleiben 100 schwarze. (Hat da jemand eine Formel?)
Setzt man die obere Reihe fort: 204 + 81 + 100 + ... wird bei 196 die 1 000 knapp überschritten. Es sind also 14 Schichten - für diese braucht man 1015 Würfel.