Serie-11

Serie 11
Aufgaben und Lösungen

Aufgabe 1

Das mit den Kreisen war eine coole Sache. Da hat dein Vater ganz schön überlegen müssen. Aber wie der so ist, gab es gleich wieder eine Aufgabe aus seiner Jugendzeit. Der Vater von Bernd - er heißt Alfons - hat mal Bierdeckel gesammelt und sein bester Freund - auch ein Bernd - ebenfalls. Alle Leute, die sie kannten mussten unbedingt Bierdeckel mitbringen. So hatten Sie nach kurzer Zeit recht viele zusammen. Als sie wieder mal zusammensaßen, es war im Mai, ergab sich eine kuriose Situation. Alfons meinte, wenn ich dir 14 Deckel gebe, dann hast du genau so viele wie ich, wenn du mir 14 gibst, habe ich genau doppelt so viele wie du. Das ist richtig, vor 2 Monaten war das noch ganz anders, meinte darauf hin sein Freund Bernd. Wenn du mir da 14 Stück gegeben hättest, dann hätte ich sogar 3 mal so viele gehabt wie du, während es wieder gleich viele gewesen wären, wenn ich dir 14 Deckel überlassen hätte. So schnell kann es sich ändern. (Heute sammeln sie keine Bierdeckel mehr, aber befreundet sind sie immer noch)
Wie viele Bierdeckel hatten Alfons und Bernd im Mai? Wie viele waren es im März?
Das sind 3 + 3 Punkte
Sei die Zahl der zu tauschenden Deckel x. Zeige, dass es immer eine Bierdeckelverteilung gibt, so dass x Deckel hin oder her getauscht werden und es entweder gleich viele oder aber die doppelte bzw. die dreifache Anzahl wird.
Hier sind noch einmal 3 + 3 Punkte drin.

Lösung

Wie sich das wieder mal ergibt: Alfons - a und Bernd -b
Mai:
a - 14 = b + 14 ==>a = b + 28 und
a + 14 = 2(b-14) ==>
b + 28 + 14 = 2b - 28 ==>
b = 70, also a = 98.
Im Mai hatte also Alfons 98 und Bernd 70 Bierdeckel, sie haben in Fall gleich viele - 84 im anderen Fall 112 bzw 56.
Im März:
a - 14 = b + 14 ==>a=b+28 und
a + 14 = 3(b-14) ==>
b + 28 + 14 = 3b - 42 ==>
-2b = -84==>
b = 42, also a = 70
Im März hatte also Alfons 70 und Bernd 42 Bierdeckel, sie haben in Fall gleich viele - 56 im anderen Fall 84 bzw 28.
Allgemein:
Aus der 14 wird ein x- die Anzahl der zu tauschenden Deckel
Mai:
a - x= b + x ==>a=b + 2x und
a + x = 2(b-x) ==>
b + 2x + x = 2b -2x ==>
b = 5x, also a = 7x, da x eine natürliche Zahl größer 0 sein soll, gibt es auch a und b die natürlich sind.
Im März:
a - x = b + x ==>a = b + 2x und
a + x = 3(b-x) ==>
b + 2x + x = 3b - 3x ==>
-2b = -6x ==>
b = 3x, also a = 5x, da x eine natürliche Zahl größer 0 sein soll, gibt es auch a und b die natürlich sind.
PS.: Leicht stellt sich heraus, dass auch Gleichheit und Vervierfachung geht, aber nur bei durch drei teilbarem x, bei Verfünffachung geht wieder jedes x.
Noch allgemeiner: Gleichheit und beliebige Vervielfachung v (natürliche Zahl größer 1)
Wann auch immer:
a - x = b + x ==>a = b + 2x und
a + x = v(b-x) ==>
b + 2x + x = vb - vx ==>
b - vb = - vx - 3x ==>
vb - b = vx + 3x ==>
(v - 1)b= vx + 3x ==>
b = (vx + 3x)/(v - 1) und wieder a = b + 2x