Serie 46

Aufgabe 10

550. Wertungsaufgabe

„Das sind schöne Konstruktionen. Die gefallen mir.“, sagte Mike zu Lisa. „Ja, mir gefallen sie auch. Sie sind für eine Ausstellung über Pythagoras gedacht, auch wenn da keine rechtwinkligen Dreiecke zu sehen sind.“
In dem blauen Quadrat ABCD (a = 10 cm) sind 5 gelbe sich paarweise berührende (klein/groß) Kreise zu erkennen. Die gelben Kreise berühren auch die Quadratseiten. (Berechnung des Flächeninhaltes des großen Kreises 2 blaue Punkte, Flächeninhalt aller 5 gelben Kreise noch mal 3 blaue Punkte.) Im nächsten Bild ist noch ein blauer Kreis zu erkennen.

Wie groß müsste der sein, damit er flächenmäßig halb so groß ist wie die 5 gelben Kreise? ( + 2 blaue Punkte)
„Für die rote Aufgabe stand die 537 Pate. Wie du siehst habe ich in dem gleichseitigen Dreieck ABC (a = 10 cm) beim Punkt C immer kleiner werdende Kreise eingezeichnet“, sagte Lisa. Wenn man diese Konstruktion auch bei A und B (und C) ins Unendliche fortsetzt, wie groß ist da wohl die gelbe Fläche aller Kreise? 8 rote Punkte.

Termin der Abgabe 30.11.2017. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 30.11.2017. Deadline for solution is the 30th. November 2017. Date limite pour la solution 30.11.2017. Resoluciones hasta el 30.11.2017.

fr

"Ce sont de belles constructions. J’adore. "Mike dit à Lisa. Oui, je les adore aussi. Ils sont destinés à une exposition sur Pythagore, même s'il n'y a pas de triangles rectangles.
Dans le carré bleu ABCD (a = 10 cm) il y a 5 cercles jaunes par paires (petit / grand). Les cercles jaunes touchent également les côtés carrés. (Calcul de la zone du grand cercle pour 2 points bleus, de la zone des 5 cercles jaunes, encore 3 points bleus.) Dans l'image suivante, il y a en plus un cercle bleu.

Quelle taille doit-il avoir pour faire la moitié des 5 cercles jaunes? (+ 2 points bleus)

"Le parrain de l’exercice rouge était le 537. Comme tu peux le voir, dans le triangle équilatéral ABC (a = 10 cm) j'ai dessiné des cercles de plus en plus petits au point C ", a déclaré Lisa. Si on continue cette construction aussi en A et B (et C) dans l'infini, quelle est la surface jaune de tous les cercles? 8 points rouges. Date limite pour la solution 30.11.2017.

sp

“Esas construcciones son bonitas. Me gustan.”, le dijo Mike a Lisa. “Si, me gustan también. Son para una exposición sobre Pythagoras aunqué no se ven triángulos rectángulos.”
En el cuadrado ABCD azuúl (a = 10 cm) hay 5 círculos amarillos (pequeños/ grandes) los cuales se tocan. Los círculos amarillos tocan también los lados del cuadrado. Para los cálculos del área del circulo grande se recibe 2 puntos azules y para los del área de todos los 5 circulos azules se recibe 3 puntos azules más.

En la próxima imagen hay un circulo azul. Cuanto debe medir el círculo para que su área sea la mitad del área de los 5 circulos amarillos? (2 puntos azules)

“El problema rojo fue inspirado por el problema 537. Cómo ves he dibujado unos circulos los cuales van disminuyendo en el punto C adentro del triángulo equilátero”, le dijo Lisa. Si se sigue con la misma construcción en los puntos A y B (y C) hasta el infinito cuál sería el área amarilla de todos los circulos? 8 puntos rojos Resoluciones hasta el 30.11.2017.

en
“These are nice constructions. I really like them.”, Mike said to Lisa.
“Yes, I like them, too. They are meant for an exhibition about Pythagoras, even if they don’t show right triangles.”

There are 5 yellow circles (big and small, tangent to each other) inside the blue square ABCD (a = 10 cm). The circles also touch the sides of the square. (Calculating the area of the big circle – 2 blue points, calculating the area of all five yellow circles – another 3 blue points.)
The next picture shows an additional blue circle.

How big would this circle have to be, so that its area is half the area of the five yellow circles? (+2 blue points)

“The red problem is based on problem 537. As you can see, I drew a sequence of smaller and smaller circles into the equilateral triangle at point C”, Lisa said. How big would the yellow area of all these circles be if you continued them at each vertex (A, B and C) ad infinitum? - 8 red points. Deadline for solution is the 30th. November 2017.

it

“Sono belle costruzioni. Mi piacciono.”, disse Mike a Lisa. “Si, piacciono anche a me. Sono pensate per una mostra su Pitagora, anche se non si trovano triangoli retti.”
Nel quadrato blu ABCD (a=10cm)sono riconoscibili 5 cerchi gialli che si incontrano in coppia (piccoli/grandi). I cerchi gialli toccano pure i lati del quadrato. (Calcolo della superficie del cerchio grande 2 punti blu, superficie di tutti e 5 cerchi gialli ulteriori 3 punti blu.). Sull´immagine successiva si vede ancora un cerchio blu.

Quanto dovrebbe essere grande cosicché in riferimento alla sua superficie possa essere grande la metà come i 5 cerchi gialli (+2 punti blu).
“Per l´´esercizio rosso ci si è orientati alla numero 537. Come vedi ho disegnato nel triangolo equilatero ABC (a=10cm) nel punto C cerchi che si vanno sempre più a rimpicciolirsi.”, disse Lisa. Se si continuasse questa costruzione anche in A e B (e C) nell´infinito, quanto sarebbe grande allora la superficie gialla di tutti i cerchi? 8 punti rossi. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 30.11.2017.

Lösung/solution/soluzione/résultat:
Musterlösung von Hirvi, danke --> als pdf <--
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