Serie 45

Aufgabe 4

532. Wertungsaufgabe
„Das sieht wie Buchstaben in Quadraten aus“, sagte Bernd zu seiner Schwester. „Da hast du Recht. Das Besondere ist, dass die roten Flächeninhalte jeweils genau halb so groß sind wie Flächeninhalte der Quadrate (a = 10 cm).“
Wie breit ist der rote Kreisring? 4 blaue Punkte.
Wie breit sind die Streifen des „W“? 8 rote Punkte (Mit Breite ist die Angabe der Strecke PQ gemeint.)
532

Termin der Abgabe 25.05.2017. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 25.05.2017 Deadline for solution is the 25th. May 2017. Date limite pour la solution 25.05.2017. Resoluciones hasta el 25.05.2017

fr

« On dirait des lettres dans des carrés » Bernd dit à sa sœur. « Tu as raison. La particularité est que les surfaces rouges sont chacune exactement la moitié de la taille des aires des carrés (a = 10 cm) ".
Quelle est la largeur de l'anneau du cercle rouge? 4 points bleus.
Quelle est la largeur des bandes du « W »? 8 points rouges (avec largeur on entend la distance PQ).
532

en

“This looks like letters inside squares”, Bernd said to his sister. “You are right. The interesting thing is, that the red areas are exactly half as big as the areas of the squares (a = 10 cm).” How wide is the red annulus? - 4 blue points
How wide are the stripes of the red “W”? - 8 red points (Width refers to length of line segment PQ)
532

sp

„Esas parecen letras dentro de cuadrados“, le dijo Bernd a su hermana, „Tienes razon. Lo especial es que las áreas rojas son la mitad de las areas de los cuadrados (con a= 10 cm).”
Cuál ancho tiene la letra “O”? 4 puntos azules.
Cuál ancho tienen las franjas del “W”? 8 puntos rojos (con ancho se refiere al segmento de recta PQ.)
532

it

„Sembrano come lettere in quadrati.“ Disse Bernd a sua sorella. „Hai ragione. La cosa particolare è che le superfici rosse sono grandi la metà delle superfici dei quadrati (a= 10 cm).“
Quanto è largo il circolo rosso? 4 punti blu
Quanto sono larghe le strisce della „W“? 8 punti rossi (Con la larghezza si intende la indicazione del segmento PQ)
532

Lösung/solution/soluzione/résultat:

Hier die Lösung von Reinhold M, danke

in cm bzw. cm^2 gilt:

1. Der Flächeninhalt des Quadrats ist
 AQu = a^2 = 100,
der Flächeninhalt der roten Flächen also jeweils
 Arot = 1/2 AQu = 50.
2. Der Flächeninhalt eines Kreises ist Pi * Radiusquadrat. Für den Radius R des Außenkreises des Kreisrings gilt
 R = a/2 = 5.
Für den Radius r des Innenkreises des Kreisrings gilt mit der gesuchten Ringbreite x
 r = R - x = 5 - x.
Folglich ist
 ARing = Pi * R^2 - Pi * r^2
       = Pi * (25 - (5 - x)^2),
und mit ARing = Arot folgt durch Umstellung zunächst
 (5 - x)^2 = 25 * (1 - 2/Pi),
mit x < 5 also als "blaue Lösung"
 x = 5 * (1 - Wurzel(1 - 2/Pi)),
was etwa 1,986 cm sind.
3. Der Flächeninhalt eines Streifens ist mit der gesuchten Länge x1 (z.B. Parallelogramm: eine Seite mal Höhe darauf)
 AStreifen = x1 * a = 10 * x1.
Der Flächeninhalt des gesamten roten W ist
 AW = 4 * AStreifen - 3 * ADreieck,
wobei die drei gleichschenkligen Überschneidungsdreiecke die Basislänge x1 haben und zu den großen Dreiecken mit beispielsweise Basis PL oder KQ (und Spitze auf IJ) ähnlich sind. Letztere haben die Höhe a, und mit der Bezeichnung y = PL gilt
 y = 1/2 (a - x1).
Wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke gilt für die Höhe h der kleinen Überschneidungsdreiecke
 h : x1 = a : y,
also
 h = a * x1 / y
   = 2 * a * x1 / (a - x1)
   = 20 * x1 / (10 - x1).
Mit
 ADreieck = 1/2 x1 * h
          = 10 * x1^2 / (10 - x1)
folgt dann aus AW = Arot
 50 = 40 * x1 - 30 * x1^2 / (10 - x1),
also mittels beidseitiger Multiplikation von (10 - x1) und Umstellung auf Normalform
 x1^2 - 45/7 x1 + 50/7 = 0.
Die beiden Lösungen dieser Gleichung sind
 x1 = 45/14 +- Wurzel(45^2/14^2 - 50/7)
    = 1/14 (45 +- Wurzel(45^2 - 50*28))
    = 1/14 (45 +- Wurzel(625))
    = 1/14 (45 +- 25),
also 70/14 = 5 und 20/14 = 10/7. Alles bisherige gilt natürlich nur für x1 <(=) y, also x1 <(=) a/3 < a/2 = 5, also ist die "rote Lösung"
 x1 = 10/7,
was etwa 1,429 cm sind.

Die Breite des "W" ist also genau 1/7 der "Breite" des Quadrates, was sich jetzt leicht nachvollziehen lässt. Wer als einen "glatten" Wert braucht, muss nichts weiter tun als 7 cm, 14 cm oder so für die Quadratgröße verwenden."

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