Serie-16

Aufgabe 3

183. Wertungsaufgabe
Also der Superpythagoras war doch verblüffend, dass da am Ende eine recht einfache Formel rauskommt. Echt stark. Da gebe ich dir recht, meinte Mike. Aber auch bei (natürlichen) Zahlen gibt verrückte Dinge. Sag an. Also die siebenstellige Zahl 6ababab ist ein Vielfaches von 18. Da gibt es doch viele, ja sicher. Wenn du die erste und letzte Ziffer streichst, so ist die verbleibende Zahl nur noch durch 6 teilbar. Na und? Nun es gibt nur zwei Zahlen, die diese Bedingung erfüllen. Wirklich. Überprüfe es doch selbst (4 Punkte).
Ich kenne auch eine besondere 7-stellige Zahl, meinte Bernd. 8280062. Was ist daran besonders? Also pass auf:
Struktur: abcdefg
Erste Ziffer (a) ist nicht Null
Zahl ab = 82 ist durch 2 teilbar.
Zahl abc = 828 ist durch 3 teilbar.
Zahl abcd = 8280 ist durch 4 teilbar.
Zahl abcde = 82800 ist durch 5 teilbar.
Zahl abcdef = 828006 ist durch 6 teilbar.
Zahl abcdefg = 8280062 ist durch 7 teilbar.
Da können doch die Teilnehmer von Lisas und Marias Truppe gleichmal probieren, die kleinste und größte vierstellige Zahl mit solchen Eigenschaften zu finden. Wenn die dazuschreiben, dass es nicht kleiner oder größer gehen kann, dann gibt es 4 blaue Punkte.
3.608.528.850.368.400.786.036.725, das ist die größte dieser Superzahlen 25 (!!!) Stellen.

Lösung

Lösung von Andree - leicht korrigiert, danke
1. Bei der gesuchten Zahl müssen a und b gerade sein, da 18 und 6 gerade sind.
2. Die Quersumme der 5-stelligen Zahl muss durch 3 teilbar sein.
Also:(3a+2b):3 = ganze Zahl
dann muss b durch 3 teilbar sein und mit 1. b ist 6 oder 0 folgt:
3. Die Quersumme der 7-stelligen Zahl muss durch 9 teilbar sein.
Also: (6+3(a+b)): 9 = ganze Zahl
mit 2. gilt:
mit b=6 gilt (6+18+3a):9 = ganze Zahl, also (6+3a):9= ganze Zahl und das klappt nur mit a=4, wegen 1.
mit b=0 gilt (6+3a):9= ganze Zahl und das klappt nur mit a=4, wegen 1.
Die gesuchte Zahlen sind also 6464646 und 64064040

Die kleinste 4-stellige Zahl mit den gesuchten Eigenschaften ergibt sich, wenn man an jede Stelle die kleinste Ziffer setzt, so dass die geforderten Bedingungen erfüllt sind. Bei der größten natürlich entsprechend die größten Ziffern. Damit ergibt sich:

kleinste Zahl

größte Zahl

Erste Ziffer (a) ist nicht Null

1

9

Zahl ab ist durch 2 teilbar.

(b = gerade)

10

98

Zahl abc ist durch 3 teilbar.

(Quersumme durch 3 teilbar)

102

987

Zahl abcd ist durch 4 teilbar

(cd durch 4 teilbar)

1020

9876

Und das Spiel lässt sich fortsetzen:

Zahl abcde ist durch 5 teilbar.

(e = 0 oder e = 5)

10200

98765

Zahl abcdef ist durch 6 teilbar.

(Gerade und Quersumme durch 3)

102000

987654

Zahl abcdefg ist durch 7 teilbar

(ausprobieren)

1020005

9876545

leider bricht hier die schöne absteigende Zahlenfolge ab