Serie 70
Beitragsseiten
Aufgabe 8
836. Wertungsaufgabe
deu
„Schaut euch mal diese einfache Konstruktion an“, sagte Mike.
Bei dem Dreieck ABC handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck (c = 5cm, Winkel BCA = 90°) mit Inkreis und Umkreis.
Zu berechnen ist die Größe x:
x=Umfang umk – Umfang ink – Umfang Dreieck
Wie groß ist x, wenn das Dreieck ABC gleichschenklig ist? 4 blaue Punkte
Gibt es ein rechtwinkliges Dreieck mit c = 5 cm, so dass x = 0 wird? Falls ja, wie groß sind dann a und b (mit a<b)? 4 rote Punkte
https://www.schulmodell.eu/aufgabe-der-woche.html
Termin der Abgabe 09.10.25. Limtago por sendi viajn solvojn estas la 9-a de oktobro 2025. Срок сдачи 09.10.2025. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 09.10.2025. Deadline for solution is the 9th. October 2025. Date limite pour la solution 09.10.2025. Soluciones hasta el 09.10.2025. Beadási határidő 2025.10.09. 截止日期: 2025.10.09. – 请用徳语或英语回答 Διορία παράδοσης λύσης 09/10/2025. Παρακαλείστε να υποβάλετε τις λύσεις στα αγγλικά ή στα γερμανικά. Løsninger sendes inden 09.10.2025 Løsningerne skal være på tysk eller engelsk.
الموعد النهائي للتسليم هو /09/10/2025
يرجى إرسال الحل باللغة الألمانية أو الإنجليزية أو الفرنسية فقط.
dänisch:
836 Opgave
Übersetzer gesucht.
Løsninger sendes inden 09.10.2025 Løsningerne skal være på tysk eller engelsk.
https://www.schulmodell.eu/3240-ugens-matematikopgave.html
esperanto:
„Rigardu tiun facilan desegnaĵon“, diris Mike. La triangulo ABC estas ortangula (c = 5cm, angulo BCA = 90°) kun la enskribita cirklo kaj la ĉirkaŭskribita cirklo.
Kalkulu la valoron x: x = perimetro de la ĉirkaŭskribita cirklo - perimetro de la enskribita cirklo - perimetro de la triangulo
Kiom granda estas x, se la triangulo estas izocela? 4 bluaj poentoj
Ĉu ekzistas ortangula triangulo kun c = 5 cm tiel, ke rezultas x = 0. Se jes, kiom grandaj estas a kaj b (kun a < b)? 4 ruĝaj poentoj
La limtago por sendi viajn solvojn estas la 9-a de oktobro 2025. La solvojn skribu prefere en la germana, angla aŭ franca.
https://www.schulmodell.eu/3155-tasko-de-la-semajno-aufgabe-esperanto.html
arabisch-التمرين الإسبوعي:
ا836:
الموعد النهائي للتسليم هو /25/10/09/2025
يرجى إرسال الحل باللغة الألمانية أو الإنجليزية أو الفرنسية فقط.
https://www.schulmodell.eu/3150-arabisch-التمرين-الإسبوعي.html
griechisch:
«Κοιτάξτε αυτή την απλή κατασκευή», είπε ο Μάικ.
Το τρίγωνο ABC είναι ορθογώνιο (c = 5 cm, ∠BCA = 90°) με εγγεγραμμένο και περιγεγραμμένο κύκλο.
Πρέπει να υπολογιστεί το μέγεθος x: x = περίμετρος περιγεγραμμένου κύκλου – περίμετρος εγγεγραμμένου κύκλου – περίμετρος τριγώνο
Πόσο είναι το x, αν το τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές; (4 μπλε βαθμοί)
Υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο με c = 5 cm, ώστε x = 0; Αν ναι, πόσο είναι τα a και b (με a < b); (4 κόκκινοι βαθμοί)
Διορία παράδοσης λύσης 09/10/2025. Παρακαλείστε να υποβάλετε τις λύσεις στα αγγλικά ή στα γερμανικά.
https://www.schulmodell.eu/3126-wochenaufgabe-griechisch.html
chin
第836题
“看看这个简单的构图。” 迈克说。
三角形 ABC 是一个直角三角形，边 c = 5 厘米，且角 ∠BCA = 90°，并且图中有内切圆和外接圆。
现在要计算一个数值 x，其定义如下：
x=外接圆的周长−内切圆的周长−三角形的周长
那么请问：
当三角形 ABC 是等腰直角三角形时，x 的数值是多少？（4 个蓝点）
是否存在一个满足 c = 5 cm 的直角三角形，使得 x = 0？
如果存在，a 和 b 的长度分别是多少？（其中 a < b） （4 个红点）
截止日期：2025 年 10 月 09 日。
截止日期: 2025.10.09. – 请用徳语或英语回答
https://www.schulmodell.eu/2952-woch-chin.html
russ
«Посмотрите на это простое построение», — сказал Майк.
Треугольник ABC — прямоугольный треугольник (c = 5 см, угол BCA = 90°) с вписанной окружностью и описанной окружностью.
Необходимо рассчитать величину x:
x = длина окружности umk – длина окружности ink – периметр треугольника
Какова величина x, если треугольник ABC равнобедренный? 4 синих очка
Существует ли прямоугольный треугольник со стороной c = 5 см такой, что x = 0? Если да, то насколько велики a и b (при a<b)? 4 красных очка
hun
„Nézzétek meg ezt az egyszerű szerkesztést” – mondta Mike.
Az ABC háromszög egy derékszögű háromszög (c = 5 cm, ∠BCA = 90°), beírt és körülírt körrel.
Számítsuk ki az x értékét:
x = körülírt kör kerülete – beírt kör kerülete – háromszög kerülete
Mekkora x, ha az ABC háromszög egyenlő szárú? (4 kék pont)
Létezik-e olyan derékszögű háromszög c = 5 cm átfogóval, hogy x = 0 legyen? Ha igen, mekkora akkor a és b (a < b)? (4 piros pont)
https://www.schulmodell.eu/2648-a-h%C3%A9t-feladata.html
fr
« Regardez cette construction simple », dit Mike.
Le triangle ABC est un triangle rectangle (c = 5 cm, angle (BCA = 90°) avec un cercle inscrit et un cercle circonscrit.
Calculer la taille x: x = périmètre umk - cercle inscrit ink – périmètre triangle
Quelle est la taille de x si le triangle ABC est isocèle ? 4 points bleus
Existe-t-il un triangle rectangle de c = 5 cm tel que x = 0 ? Si oui, quelles sont les tailles de a et b (avec a < b) ? 4 points rouges
https://www.schulmodell.eu/2201-probleme-de-maths-de-la-semaine.html
esp
«Miren esta construcción sencilla», dijo Mike.
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo (c=5cm, ∠BCA=90∘) con círculo inscrito y circunferencia circunscrita.
Se debe calcular el valor de x: x=Pcirc−Pinsc−P△
donde
- Pcirc = perímetro de la circunferencia circunscrita,
- Pinsc = perímetro de la circunferencia inscrita,
- P△ = perímetro del triángulo.
Preguntas:
- ¿Cuál es el valor de x si el triángulo ABC es isósceles? (4 puntos azules)
- ¿Existe un triángulo rectángulo con c=5cm tal que x=0? En caso afirmativo, ¿cuánto valen a y b (con a<b)? (4 puntos rojos)
Fecha de entrega: 09.10.2025.
https://www.schulmodell.eu/2412-ejercicio-de-matem%C3%A1ticas-semanal.html
en
835
‘Take a look at this simple construction,’ said Mike.
Triangle ABC is a right-angled triangle (c = 5 cm, angle (BCA = 90°) with an inscribed circle and circumscribed circle.
The size x must be calculated:
x=circumference of the circumscribed circle – circumference of the inscribed circle – circumference of the triangle
How big is x if triangle ABC is isosceles? 4 blue points
Is there a right-angled triangle with c = 5 cm such that x = 0? If so, how big are a and b (with a<b)? 4 red points
Deadline for solution is the 9st. Oktober 2025.
https://www.schulmodell.eu/1453-this-weeks-maths-problem.html
it
https://www.schulmodell.eu/1984-problema-di-matematica-della-settimana.html
x
Lösung/solution/soluzione/résultat/Решение:
Musterlösung von Reinhold M., danke. Dazu noch die Lösung von Gerhard Palme, der darauf hinweist, dass so eine KI auch nicht unbedingt richtig liegt, danke --> pdf <--
Im rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse c und den Katheten a und b gilt für den Umkreisradius R
R = c/2
(Umkehrung des Satzes des Thales), also für den Umfang Uumk des Umkreises
Uumk = 2 π R = π c,
und für den Inkreisradius r
r = 1/2 (a + b - c),
also für den Umfang Uink des Inkreises
Uink = 2 π r = π (a + b - c).
Mit dem Umfang U des Dreiecks,
U = a + b + c,
folgt also
x = Uumk - Uink - U
= π c - π (a + b - c) - (a + b + c)
= (2 π - 1) c - (π + 1)(a + b).
Ist das Dreieck nun gleichschenklig, so gilt (Satz des Pythagoras)
a = b = 1/2 √(2) c,
also
x = (2 π - 1) c - √(2) c (π + 1)
= ((2 - √(2)) π - (1 + √(2))) c.
Antwort "blau":
Für ein rechtwinkliges Dreieck hat x die Größe
((2 - √(2)) π - (1 + √(2))) c,
mit c = 5 cm also 5 ((2 - √(2)) π - (1 + √(2))) bzw. ca. -2,869556 cm.
Gilt andererseits x = 0, so folgt aus
0 = x
= (2 π - 1) c - (π + 1)(a + b)
= (2 π - 1) c - (π + 1)(a + √(c² - a²))
(mit Satz des Pythagoras) nach Umstellung und Quadration
(π + 1)² (c² - a²) = ((2 π - 1) c - (π + 1) a)²
= (2 π - 1)² c² - 2(2 π - 1)(π + 1) c a + (π + 1)² a²,
also
0 = 2(π + 1)² a² - 2(2 π - 1)(π + 1) c a + ((2 π - 1)² - (π + 1)²) c²,
0 = a² - (2 π - 1)/(π + 1) c a + ((2 π - 1)²/(π + 1)² - 1) c²/2
mit den Lösungen
a = (2 π - 1)/(π + 1) c/2
± √((2 π - 1)²/(π + 1)² c²/4 - ((2 π - 1)²/(π + 1)² - 1) c²/2))
= ((2 π - 1) ± √((2 π - 1)² - 2((2 π - 1)² - (π + 1)²)))/(π + 1) c/2
= ((2 π - 1) ± √(2 π (4 - π) + 1))/(π + 1) c/2.
Mit a < b sind also
a = ((2 π - 1) - √(2 π (4 - π) + 1))/(π + 1) c/2,
b = ((2 π - 1) + √(2 π (4 - π) + 1))/(π + 1) c/2.
Antwort "rot":
Ja, es gibt ein solches Dreieck, und für dieses sind
a = ((2 π - 1) - √(2 π (4 - π) + 1))/(π + 1) c/2
und
b = ((2 π - 1) + √(2 π (4 - π) + 1))/(π + 1) c/2,
mit c = 5 cm also
a = 5/2 ((2 π - 1) - √(2 π (4 - π) + 1))/(π + 1)
bzw. ca. 1,662791 cm sowie
b = 5/2 ((2 π - 1) + √(2 π (4 - π) + 1))/(π + 1)
bzw. ca. 4,715414 cm.