Serie 69
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Aufgabe 10
826. Wertungsaufgabe
deu
Danke für die Idee an G. Palme.
Zeichnet man in ein regelmäßiges Fünfeck (Pentagon) die fünf Diagonalen ein, so entsteht ein weiteres Pentagramm.
Der Opa von Maria und Bernd kam mit einer Zeichnung und sagte: „Anfang Dezember letzten Jahres habe ich in einem Gartencenter einen aus Holzleisten zusammengeleimten Stern gekauft, dessen Umriss die Gestalt eines Pentagramms hat. Für die Zacken des Sterns gilt: AF = BF = BG = … = JA = 8 cm = a. Ich hatte auch ein Foto gemacht, aber das habe ich jetzt nicht mit, dafür aber eine passende Zeichnung!“
Wie lässt sich die Länge der Diagonalen des Fünfecks ABCDE berechnen und zwar möglichst ohne Verwendung einer fertig vorgefundenen Formel. [5 blaue Punkte]
Wie groß ist der Flächeninhalt des Pentagramms? [5 rote Punkte]
(Eine zweite Aufgabe zu dem gekauften Stern wird im Dezember 2025 folgen.)
https://www.schulmodell.eu/aufgabe-der-woche.html
Termin der Abgabe 19.06.25. Limtago por sendi viajn solvojn estas la 19-a de junio 2025. Срок сдачи 19.06.2025. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 19.06.2025. Deadline for solution is the 19th. June 2025. Date limite pour la solution 19.06.2025. Soluciones hasta el 19.06.2025. Beadási határidő 2025.06.19. 截止日期: 2025.06.12. – 请用徳语或英语回答 Διορία παράδοσης λύσης 19/06/2025. Παρακαλείστε να υποβάλετε τις λύσεις στα αγγλικά ή στα γερμανικά. Løsninger sendes inden 19.06.2025 Løsningerne skal være på tysk eller engelsk.
لموعد النهائي للتسليم هو /19/05/2025 يرجى إرسال الحل باللغة الألمانية أو الإنجليزية أو الفرنسية فقط.
dänisch:
826 Opgave
Übersetzer gesucht.
Løsninger sendes inden 19.06.2025 Løsningerne skal være på tysk eller engelsk.
https://www.schulmodell.eu/3240-ugens-matematikopgave.html
esperanto:
tasko 826
Dankon pro la ideo al G. Palme.
Se oni desegnas en regulan kvinlateron ankaŭ la kvin diagonalojn, estiĝas pentagramo.
La avo de Maria kaj Bernd kunportis desegnaĵon kaj diris: „En la komenco de decembro de la pasinta jaro mi aĉetis en vendejo por ĝardenaĵoj stelon, kiu estis kungluita el lignaj listeloj kaj kies rando aspektas kiel pentagramo. Por la pintoj de la stelo estas AF = BF = BG = … = JA = 8 cm = a. Mi fotis ĝin, sed mi ne kunportis la foton – pro tio mi kreis taŭgan desegnaĵon.“
Kiel oni povas kalkuli la longecon de la diagonaloj de la kvinlatero ABCDE – sen uzado de jam ekzistanta formulo. [5 bluaj poentoj]
Kiom granda estas la areo de la pentagramo? [5 ruĝaj poentoj]
(Dua tasko pri la aĉetita stelo sekvos en la komenco de decembro 2025)
La limtago por sendi viajn solvojn estas la 19-a de junio 2025. La solvojn skribu prefere en la germana, angla aŭ franca.
https://www.schulmodell.eu/3155-tasko-de-la-semajno-aufgabe-esperanto.html
arabisch-التمرين الإسبوعي:
المهم826:
الموعد النهائي للتسليم هو /19/06/2025
يرجى إرسال الحل باللغة الألمانية أو الإنجليزية أو الفرنسية فقط.
https://www.schulmodell.eu/3150-arabisch-التمرين-الإسبوعي.html
griechisch:
Ευχαριστώ για την ιδέα στον G. Palme.
Αν σχεδιάσει κανείς τις πέντε διαγωνίους μέσα σε ένα κανονικό πεντάγωνο, προκύπτει ένα δεύτερο πεντάγραμμο.
Ο παππούς της Μαρίας και του Bernd ήρθε με ένα σχέδιο και είπε: «Στις αρχές Δεκεμβρίου πέρυσι αγόρασα σε ένα κέντρο κήπου ένα αστέρι φτιαγμένο από ξύλινες λωρίδες που έχουν κολληθεί μεταξύ τους, του οποίου το περίγραμμα έχει το σχήμα πενταγράμμου. Για τις ακμές του αστεριού ισχύει: AF = BF = BG = … = JA = 8 εκ = a. Είχα τραβήξει και μια φωτογραφία, αλλά δεν την έχω μαζί μου τώρα — έχω όμως ένα κατάλληλο σχέδιο!»
Πώς μπορεί να υπολογιστεί το μήκος των διαγωνίων του πενταγώνου ABCDE, ιδανικά χωρίς τη χρήση κάποιας ήδη γνωστής φόρμουλας; [5 μπλε βαθμοί]
Ποιο είναι το εμβαδόν του πενταγράμμου; [5 κόκκινα βαθμοί]
(Μια δεύτερη άσκηση σχετικά με το αστέρι που αγοράστηκε θα ακολουθήσει τον Δεκέμβριο του 2025).
Διορία παράδοσης λύσης 19/06/2025. Παρακαλείστε να υποβάλετε τις λύσεις στα αγγλικά ή στα γερμανικά.
https://www.schulmodell.eu/3126-wochenaufgabe-griechisch.html
chin
第826题
感谢G. Palme 提供的想法
在一个正五边形（Pentagon）内画出它的五条对角线，就会形成一个五角星（Pentagram）。
玛丽雅和贝恩德的爷爷拿着一张图纸过来，说道：
“去年十二月初，我在一家花园中心买了一个由木条粘合而成的五角星形状的装饰品。星星的五个尖角有如下关系，AF = BF = BG = … = JA = 8 cm = a。
我还拍了一张照片，但现在没带来，不过我带了一张相同的图！”
请计算五边形 ABCDE 的对角线长度？尽可能不使用现成的公式。（5 个蓝点）
五角星的面积是多少？（5 个红点）
（关于这个星形装饰的第二个问题将在 2025 年 12 月发布。）
提交截止日期：2025 年 6 月 19 日。
截止日期: 2025.06.19. – 请用徳语或英语回答
https://www.schulmodell.eu/2952-woch-chin.html
russ
Спасибо Дж. Пальме за идею.
Если нарисовать пять диагоналей правильного пятиугольника, получится ещё одна пентаграмма.
Дедушка Марии и Бернда пришёл с рисунком и рассказал: «В начале декабря прошлого года я купил в садовом центре склеённую из деревянных полосок звезду, контур которой имеет форму пентаграммы. Для зубцов звезды имеет место: AF = BF = BG = … = JA = 8 см = a. Я и сделал фотографию, но сейчас у меня её нет с собой, но подходящий рисунок есть!»
Как можно вычислить длину диагоналей пятиугольника ABCDE, желательно не используя готовую формулу? [5 синих очков]
Какова площадь пентаграммы? [5 красных очков]
(Второе задание для куплённой звезды следует в декабре 2025 года.)
hun
Ha egy szabályos ötszögbe (pentagon) berajzoljuk az öt átlót, akkor egy újabb pentagramma keletkezik.
Mária és Bernd nagyapja egy rajzzal érkezett, és azt mondta: „Tavaly december elején egy kertészeti áruházban vettem egy fából készült, összeragasztott csillagot, amelynek körvonala egy pentagramma alakját formázza. A csillag csúcsaira érvényes: AF = BF = BG = … = JA = 8 cm = a. Készítettem róla egy fényképet is, de azt most nem hoztam el, helyette azonban van egy megfelelő rajzom!”
Hogyan lehet kiszámítani az ABCDE ötszög átlóinak hosszát, lehetőleg anélkül, hogy kész képletet használnánk? [5 kék pont]
Mekkora a pentagramma területe? [5 piros pont]
(A vásárolt csillaghoz kapcsolódó második feladat 2025 decemberében következik.)
https://www.schulmodell.eu/2648-a-h%C3%A9t-feladata.html
frz
Merci à G. Palme pour l'idée.
Si l'on trace les cinq diagonales pour former un pentagone régulier, on obtient un autre pentagramme.
Le grand-père de Maria et Bernd est venu avec un dessin et a dit : « Début décembre de l'année dernière, j'ai acheté dans une jardinerie une étoile faite de lattes de bois collées, dont le contour a la forme d'un pentagramme. Voici ce qui s'applique aux pointes de l'étoile : AF = BF = BG = ... = JA = 8 cm = a. J'ai aussi pris une photo, mais je ne l'ai pas avec moi pour le moment, mais j'ai un dessin approprié !»
Comment calculer la longueur des diagonales du pentagone ABCDE, si possible sans utiliser de formule toute faite ? [5 points bleus]
Quelle est l'aire du pentagramme ? [5 points rouges]
(Un deuxième exercice utilisant l'étoile achetée suivra en décembre 2025.)
https://www.schulmodell.eu/2201-probleme-de-maths-de-la-semaine.html
esp
Si se trazan las cinco diagonales de un pentágono regular, se forma un nuevo pentagrama.
El abuelo de María y Bernd llegó con un dibujo y dijo:
«A principios de diciembre del año pasado compré en un centro de jardinería una estrella hecha con listones de madera pegados, cuyo contorno tiene la forma de un pentagrama. Para las puntas de la estrella se cumple: AF = BF = BG = … = JA = 8 cm = a. También hice una foto, pero no la tengo conmigo ahora, ¡aunque sí un dibujo apropiado!»
¿Cómo se puede calcular la longitud de las diagonales del pentágono ABCDE, y preferiblemente sin usar una fórmula ya conocida? [5 puntos azules]
¿Cuál es el área del pentagrama? [5 puntos rojos]
(Una segunda tarea sobre la estrella comprada seguirá en diciembre de 2025).
Fecha de entrega: 19.06.2025.
https://www.schulmodell.eu/2412-ejercicio-de-matem%C3%A1ticas-semanal.html
en
Thanks for the idea to G. Palme.
If you draw the five diagonals in a regular pentagon, you get another pentagram.
Maria and Bernd's grandfather came with a drawing and said: ‘At the beginning of December last year, I bought a star in a garden centre that was glued together from wooden strips and whose outline has the shape of a pentagram. For the points of the star
The following applies to the points of the star: AF = BF = BG = ... = JA = 8 cm = a. I had also taken a photo, but I don't have it with me now, but I do have a suitable drawing!’
How can the length of the diagonals of the pentagon ABCDE be calculated, if possible without using a ready-made formula? [5 blue points]
What is the area of the pentagram? [5 red points]
(A second task about the bought star will be avaible in December 2025.)
Deadline for solution is the 19th. June 2025.
https://www.schulmodell.eu/1453-this-weeks-maths-problem.html
it
Grazie per l'idea a G. Palme.
Disegnando in un pentagono regolare le sue cinque diagonali, si ottiene un altro pentagramma.
Il nonno di Maria e Bernd arrivò con un disegno e disse: "All'inizio di dicembre dell'anno scorso, ho comprato in un centro giardinaggio una stella incollata insieme con listelli di legno, il cui contorno ha la forma di un pentagramma. Per le punte della stella vale: AF = BF = BG = … = JA = 8 cm = a.
Avevo anche scattato una foto, ma ora non ce l'ho con me, però ho un disegno adatto!"
Come si può calcolare la lunghezza delle diagonali del pentagono ABCDE, possibilmente senza utilizzare una formula già nota? [5 punti blu]
Qual è l’area del pentagramma? [5 punti rossi]
(Un secondo esercizio riguardante la stella acquistata seguirà nel dicembre 2025.)
https://www.schulmodell.eu/1984-problema-di-matematica-della-settimana.html
x
Lösung/solution/soluzione/résultat/Решение:
Musterlösung von Reinhold M., danke
Die Seitenlänge des Pentagramms ist ja mit a = 8 [cm] gegeben. Weiter seien b = AB = BC usw. die Seitenlänge des äußeren regelmäßigen Pentagons ABCDE, c = FG = GH usw. die des inneren regelmäßigen Pentagons FGHIJ und d = AC = AD = BD usw. die Länge der Diagonalen von ABCDE mit d = 2a + c.
Die Innenwinkelsumme eines regulären Pentagons beträgt (diese Formel kann man wohl doch voraussetzen) (5 - 2) * 180° = 540°, also seine Innenwinkelgröße α = 540°/5 = 108°,
was dann also für alle Innenwinkel des äußeren und des inneren Fünfecks und deren Scheitelwinkel gilt, so dass insbesondere
∡(BAE) = ∡(AED) = ∡(FJI) = ∡(EJA) = α = 108° gilt. Damit folgt weiter (ohne schon zu wissen, ob ich das später brauche)
β = α/2 = 54°
und
δ = 180° - 2β = 72°
(natürlich gleich den Zentriwinkeln des regelmäßigen Fünfecks 360°/5) sowie mit
ε := ∡(AJF) = ∡(JFA) = 180° - α = 72°
γ = 180° - 2ε = 36°
und
ζ := ∡(JAE) = ∡(BAF) = 1/2 (α - γ) = 72° = ε.
Damit ist das Dreieck AFE zunächst gleichschenklig, woraus
FE = a + c = EA = b
folgt, sowie ähnlich dem Dreieck FJA, woraus man
a : c = (a + c) : a
erhält - a und c stehen im Verhältnis des Goldenen Schnittes (alles hierzu setze ich nicht voraus) - bzw. nach Umformung
(c/a)^2 + c/a - 1 = 0
mit der positiven Lösung
c/a = (√(5) - 1) / 2,
c = (√(5) - 1) a / 2.
Analog gilt
b : a = a : c,
also (erweitert mit (√(5) + 1), 3. binomische Formel)
b/a = 2 / (√(5) - 1) = (√(5) + 1) / 2,
b = (√(5) + 1) a / 2.
Damit folgt für die Länge der Diagonale
d = 2a + c = b + c = (√(5) + 3) a / 2.
Antwort "blau":
Die Längen der Diagonalen des Fünfecks ABCDE betragen (√(5) + 3) a / 2, mit a = 8 cm also 4 (√(5) + 3) bzw. ca. 20,944272 cm.
Für die zweite Aufgabe benutze ich nun den Satz des Pythagoras zur Höhenberechnung (und fange nicht mit Winkelfunktionen an):
- Höhe h1 der weißen Außendreiecke ABF usw. (auf b):
h1 = √(a^2 - (b/2)^2)
= a/4 √(10 - 2√(5)) und
- Höhe h2 der blauen Zacken FJA usw. (auf c):
h2 = √(a^2 - (c/2)^2)
= a/4 √(10 + 2√(5)) sowie für die
- Höhe h3 eines großen Dreiecks ABD (auf b) die Ähnlichkeit
h3 = h2/a * d
= a/8 (√(5) + 3) √(10 + 2√(5)).
Damit ergibt sich entsprechend für die Flächeninhalte
- A1 der weißen Außendreiecke
A1 = 1/2 h1 b
= a^2/16 (√(5) + 1) √(10 - 2√(5)),
- A2 der blauen Zacken
A2 = 1/2 h2 c
= a^2/16 (√(5) - 1) √(10 + 2√(5)) und
- A3 der großen Dreiecke
A3 = 1/2 h3 b
= a^2/8 (2 + √(5)) √(10 + 2√(5)).
Damit folgt für den Flächeninhalt A des Pentagramms
A = A3 + 2A2 - A1
= a^2/8 (2 + √(5)) √(10 + 2√(5)) + a^2/8 (√(5) - 1) √(10 + 2√(5))
- a^2/16 (√(5) + 1) √(10 - 2√(5))
= a^2/16 (2 (1 + 2√(5)) √(10 + 2√(5)) - (√(5) + 1) √(10 - 2√(5))).
Antwort "rot":
Der Flächeninhalt des Pentagramms beträgt
a^2/16 (2 (1 + 2√(5)) √(10 + 2√(5)) - (√(5) + 1) √(10 - 2√(5))),
mit a = 8 cm also
4 (2 (1 + 2√(5)) √(10 + 2√(5)) - (√(5) + 1) √(10 - 2√(5)))
bzw. ca. 136,104129 cm^2.