Mathelexikon

Sheldon-Primzahl

Sheldon-Primzahl

In der 73. Folge von Big Bang Theory stellt Sheldon die Frage nach der "bekanntesten" Zahl.

https://www.youtube.com/watch?v=33pH6ELDEeI

Wie man sehen kann, gibt es dafür einen Vorschlag, aber Sheldon beantwortet seine Frage selber noch mal anders.
Es sei die 73, weil
73 sei die 21. Primzahl, "spiegelt" man die 73, so kommt man auf 37, welches die 12. Primzahl ist. Und außerdem ergibt die Multiplikation der Ziffern von 73 --> 7*3 die Stelle in der Reihenfolge aller Primzahlen --> 21.
Dass die Spiegelung einer Primzahl wieder eine Primzahl ist, kommt oft vor, zum Beispiel 13 <--> 31, die werden auch als Mirpzahlen bezeichnet.
Die Anforderungen von Sheldon sind aber komplexer, daraus kann man die Frage ableiten (muss man aber nicht 🙇), wie viele solche Zahlen es gibt, die alle genannten Bedingungen erfüllen. So hat man alle Mirpzahlen bis 10.000.000 getestet, aber keine weitere Sheldonprimzahl gefunden. Da es unendliche viele Primzahlen gibt, was schon bei Euklid zu finden ist, ist der Test bis 10.000.000 kein Nachweis für die Nichtexistenz einer weiteren Sheldonprimzahl.
Es gelang aber zuerst nachzuweisen, das eine solche Zahl kleiner sein müsse als 1045, damit wurde die Anzahl der zu überprüfenden Primzahlen endlich, mit viel Rechenzeit und notwendiger mathematischer "Tricks" konnte im Frühjahr 2019 gezeigt werden, dass es keine weitere solche Sheldonprimzahl gibt. Als die Folge im Jahr 2010 ausgestrahlt wurde (10 Quersumme von 73) war diese als Gag gedachte Bemerkung nicht erkennbar, dass der Schauspieler, welcher Sheldon (Jim Parsons, geb. 73) darstellt, damals 37 war, schon eher.

 

42

42

42 ist die Antwort auf "Alles", zu mindest, wenn man den langwierigen Berechnungen des Supercomputers in "Per Anhalter durch die Galaxis" von Douglas Adams, vertraut.
42 hat schon schöne Eigenschaften:
42 = 2*3*7
Beim Lügenmex gibt es 21 verschiedene Ergebnisse und mit der 21 gewinnt man --> 21 + 21 = 42.
Beginnt man die Fibonacci-Reihe nicht mit 1; 1 , sondern mit 2; 2, dann ist die 42 mit dabei. ...
Aber eine Frage bleibt.
a³ + b³ + c³ = z?
a, b und c sollen ganze Zahlen sein und z eine natürlich Zahl.
Es lässt sich zeigen - wie auch immer - , dass es für alle Zahlen z solche Zahlen a, b und c geben muss. Alle Zahlen z - nein, wenn z bei der Division mit 9 den Rest 4 oder 5 ergibt, dann nicht, aber sonst schon.
{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; ...}
Beispiele: 2³ + 1³ + 1³ = 10, (-1972)³ + (-4126)³ + 4271³ = 84
und seit März 2019:  88661289752875283 + (-8778405442862239)3 + (-2736111468807040)3  = 33 (https://www.derstandard.de/story/2000099917380/das-raetsel-um-die-zahl-33-wurde-geknackt)
Die Frage ist, welche Zahlen braucht man für a³ + b³ + c³ = 42?

Stand vom 19.4.2019
Die 42 ist kleinste natürliche Zahl, für die man noch keine Lösung weiß, die nächste ohne Antwort ist die 114.
Wer mir eine selbst gefundene Lösung für die 42 schickt, dem zahle ich 42 €, versprochen.

ABER nun die Information vom 9.9.2019

42 = (-80 538 738 812 075 974)3 + 80 435 758 145 817 5153 + 12 602 123 297 335 6313.

Damit muss ich die 42 € nicht bezahlen, auch schön.
Quelle: https://www.spektrum.de/news/altes-raetsel-um-die-42-geloest/1671940

Regel der Mittelzahlen

Die Regel von den Mittelzahlen

Die Regel von den Mittelzahlen, regle des nombres moyens, wurde von dem französischen Mathematiker Nicolas Chuquet entdeckt.
Für zwei Brüche gelte: {\frac{a}{b} < \frac{c}{d}}, wobei die Nenner immer als positiv angesehen werden. Für negative Brüche behilft man sich in der Weise {-\frac{3}{4} \rightarrow \frac{-3}{4}} .
Werden die Zähler (für sich) und die Nenner (für sich) der Ausgangsbrüche addiert, so liegt der entstehende Bruch immer zwischen den Ausgangsbrüchen.
{\frac{a}{b} < \frac{a+c}{c+d} < \frac{c}{d}}

 

Stellen von Pi

Stellen von Pi

Schon seit längerem weiß "man", dass π unendlich viele Stellen hat, nicht periodisch ist und auch noch transzendent.
Andererseits ist π nicht nur für die Berechnung von Kreisen, Kugeln und Kegeln wichtig und notwendig, sondern es gibt auch etliche Formeln in der Physik, in den π vorkommt. So bei der Berechnung der Periodendauer eines Fadenpendels.
Immer wieder wird die Zahl auch für Gedächtnisleistungen genutzt. Ja und wer das möchte/will oder soll, der findet hier die ersten Stellen von π. Nicht nur für den π-day, 14. März interessant (14. März, englisch/amerikanisch 3-14)
--> pdf mit Stellen von π in zwei Variantenπ in zwei Varianten <--

Wer den Rekord von 100 000 Stellen im Merken brechen möchte, der findet hier Millionen Stellen: http://pibel.de/
Wer die ersten hundert Stellen gesprochen sucht: --> http://www.aip.de/~wasi/PI/AUDIO/pi100.ram

3,

1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 7 5 1 0 5 8 2 0 9 7 4 9 4 4 5 9 2 3 0 7 8 1 6 4 0 6 2 8 6 2 0 8 9 9 8 6 2 8 0 3 4 8 2 5 3 4 2 1 1 7 0 6 7 9 8 2 1 4 8 0 8 6 5 1 3 2 8 2 3 0 6 6 4 7 0 9 3 8 4 4 6 0 9 5 5 0 5 8 2 2 3 1 7 2 5 3 5 9 4 0 8 1 2 8 4 8 1 1 1 7 4 5 0 2 8 4 1 0 2 7 0 1 9 3 8 5 2 1 1 0 5 5 5 9 6 4 4 6 2 2 9 4 8 9 5 4 9 3 0 3 8 1 9 6 4 4 2 8 8 1 0 9 7 5 6 6 5 9 3 3 4 4 6 1 2 8 4 7 5 6 4 8 2 3 3 7 8 6 7 8 3 1 6 5 2 7 1 2 0 1 9 0 9 1 4 5 6 4 8 5 6 6 9 2 3 4 6 0 3 4 8 6 1 0 4 5 4 3 2 6 6 4 8 2 1 3 3 9 3 6 0 7 2 6 0 2 4 9 1 4 1 2 7 3 7 2 4 5 8 7 0 0 6 6 0 6 3 1 5 5 8 8 1 7 4 8 8 1 5 2 0 9 2 0 9 6 2 8 2 9 2 5 4 0 9 1 7 1 5 3 6 4 3 6 7 8 9 2 5 9 0 3 6 0 0 1 1 3 3 0 5 3 0 5 4 8 8 2 0 4 6 6 5 2 1 3 8 4 1 4 6 9 5 1 9 4 1 5 1 1 6 0 9 4 3 3 0 5 7 2 7 0 3 6 5 7 5 9 5 9 1 9 5 3 0 9 2 1 8 6 1 1 7 3 8 1 9 3 2 6 1 1 7 9 3 1 0 5 1 1 8 5 4 8 0 7 4 4 6 2 3 7 9 9 6 2 7 4 9 5 6 7 3 5 1 8 8 5 7 5 2 7 2 4 8 9 1 2 2 7 9 3 8 1 8 3 0 1 1 9 4 9 1 2 9 8 3 3 6 7 3 3 6 2 4 4 0 6 5 6 6 4 3 0 8 6 0 2 1 3 9 4 9 4 6 3 9 5 2 2 4 7 3 7 1 9 0 7 0 2 1 7 9 8 6 0 9 4 3 7 0 2 7 7 0 5 3 9 2 1 7 1 7 6 2 9 3 1 7 6 7 5 2 3 8 4 6 7 4 8 1 8 4 6 7 6 6 9 4 0 5 1 3 2 0 0 0 5 6 8 1 2 7 1 4 5 2 6 3 5 6 0 8 2 7 7 8 5 7 7 1 3 4 2 7 5 7 7 8 9 6 0 9 1 7 3 6 3 7 1 7 8 7 2 1 4 6 8 4 4 0 9 0 1 2 2 4 9 5 3 4 3 0 1 4 6 5 4 9 ...

 

Steffi(s) problem

Steffi Problem

Da die Problematik des Artikels, die von einer amerikanischen Webseite --> http://mathworld.wolfram.com/SteffiProblem.html <--stammt, ist mit der Vokabel problem eine mathematische Aufgabe gemeint.
Das ist wie bei der Wochenaufgabe --> maths problem of the week, weekly problem.
Die Aufgabe lässt sich für alle Positionssysteme formulieren (s. Link oben).
Für unser Dezimalsystem heißt das, wähle aus Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 aus. Jede höchstens einmal, dabei heißt Auswahl von drei Ziffern, die ersten drei (1; 2; 3), bei 5 Ziffern auswählen, auch nur die ersten 5, also 1; 2; 3 ;4; 5.
Bilde aus den Ziffern eine Zahl a, anschließend wird aus den ausgewählten Ziffern noch eine zweite - von a verschiedene - Zahl b gebildet. Die Zahl a soll die kleinere sein. Dann wird aus den Zahlen a und b der Bruch a/b gebildet.
Die Aufgabenstellung ist nun, a und b so zu finden, dass der Bruch a/b so gekürzt werden kann, so dass ein Stammbruch "übrig" bleibt. (Stammbruch: 1/n, also Zähler 1).
Untersuchen haben ergeben, dass man mindestens 8 Ziffern braucht, um solche Zahlen a und b zu finden. Bei 8 Ziffern gibt es 2338 Möglichkeiten. Bei 9 Ziffern sind es 24603 Möglichkeiten, hört sich viel an, aber.

 

Simsonsche Gerade

Simsonsche Gerade

Die Namensgebung ist "etwas" kurios. Benannt ist die Gerade nach dem schottischen Mathematiker Robert Simson, in dessen Werken taucht diese Gerade aber gar nicht auf. Der Erstentdecker ist dann wohl eher der Schotte Simon Wallace (1768 - 1843). Der Name wallacesche Gerade wäre also angebracht, aber ja.
simsonschegerade
1. Gegeben ist ein Dreieck ABC. Umkreis konstruieren und auf dem ein Punkt P festlegen.
2. Von P aus werden Geraden (grün) konstruiert, die senkrecht auf den Seiten bzw. deren Verlängerungen stehen (Lot fällen).
3. Diese (grünen) Geraden schneiden die Dreiecksseiten bzw. der Verlängerungen in den (grünen) Punkten D, E bzw. F.
4. Diese drei Punkte D, E und F liegen auf einer Geraden - der simsonschen Geraden.

Es gibt noch einige Eigenschaften der simsonschen Geraden, eine davon ist die Existenz spezieller parallaleler Geraden:
Die (grünen) Geraden schneiden den Umkreis in einem (weiterern von P verschiedenen) Punkt:
Im Bild ist als Beispiel die grüne Gerade durch P und F (Schnittpunkt auf c, hier der Verlängerung von c) gewählt, der Schnittpunkt ist dann H.
Die Gerade durch C (liegt c gegenüber) und H ist parallel zur simsonschen Gerade.
Dass lässt sich passend auch mit D bzw. E zeigen.

Satz von Miquel

Der Satz von Miquel (für Dreiecke)

Der Name des Satzes geht auf den französischen Mathematiker Auguste Miquel (1816 - 1851) zurück.

miquel

In einem beliebigen Dreieck ABC wird auf jeder der Dreiecksseiten je ein beliebiger Punkt festgelegt - hier heißen die D, E und F.
Konstruiert man die Kreise, die durch einen Eckpunkt und zwei festgelegte Punkte auf den anliegenden Seiten verlaufen (Kreise AEF, BDF und CDE) so schneiden sich diese Kreise in einem Punkt M - dem Miquelpunkt.

Außerdem gilt: Verbindet man den Punkt M mit denD, E bzw. F - im Bild sind es die grünen Strecken, so sind die Winkel zwischen den (grünen) Strecken und den Dreiecksseiten immer gleich groß. (Die 53,2° sind nur ein Beispiel.)

silberner Schnitt

silberner Schnitt

Den goldenen Schnitt kennen viele. In der Kunst, bei Herrn Fibonacci, in der Natur, .... --> ein Beispiel <--
Beschrieben wird hier die "innere" Teilung.
silberschnitt
Die Strecke a (AB) wird im inneren durch den Punkt S1 in die Teilstrecken a1 und a2 geteilt. (*a1 wird hier als größere Teilstrecke verwendet.)
Beim goldenen Schnitt gilt bekanntlich
 \frac{a_1}{a_2}= \frac{a}{a_1}= \frac{a_1+a_2}{a_1}
In Worten: Das längere Teilstück verhält sich zum kurzen Teilstück wie die gesamte Strecke zum längeren Teilstück.
Der silberne Schnitt hat nun diese Formel
 \frac{a_1}{a_2}=  \frac{2a_1+a_2}{a_1}
Wird diese Gleichung mit a1a2 multipliziert ergibt das:

a1²=2a1a2 + a2²
Die Lösung dieser Gleichung nach a1 ist dann
a_1= a_2 \cdot (1 \pm sqrt(2))
Wegen * würde man nur das + nehmen.
Wie man das konstruiert wird, wird mal noch ergänzt.
Und ja man könnte noch mehr "metallene" Schnitte kreieren: Mit  beliebigem n (natürliche Zahl größer 2)
 \frac{a_1}{a_2}=  \frac{n \cdot a_1+a_2}{a_1}

Altersquotient

Altersquotient

Altersquotient ist ein Begriff aus der Bevölkerungsstatistik.
Es ist der Quotient aus dem Anteil der nicht mehr berufstätigen Bevölkerung und dem Anteil der im Berufsleben stehenden Menschen.
An dieser Definition sieht man, dass es ein etwas schwammiger und sich verändernder Wert ist.
--> siehe Bundesinstitut für Bevölkerungsforschung <--

Der reziproke Wert des Altersquotienten ist dann der Jugendquotient.

Wanderungsgewinn

Wanderungsgewinn

Wanderungsgewinn ist ein Begriff aus der Bevölkerungsstatistik.
Man versteht darunter die Differenz von Menschen, die innerhalb eines Jahres(meistens, auch andere Zeiträume üblich) aus einem Land einwandern und denen, die in diesem Zeitraum auswandern.
je nach Wichtigkeit und Bedarf wird zwischen Wanderungsgewinnen zwischen Kreisen, Stadt-Land, Bundesländern und Nationalstaaten unterschieden.
Der Wanderungsgewinn und z. B. die Geburtenrate sind wichtige Daten zur Prognose über den Ausbau des öffentlichen Dienstes, der Planung von Steueraufkommen und und und.
Daten für Sachsen

Matt Parker Zahl

Matt Parker Zahl

Matt Parker ist der Autor von "Auch Zahlen haben Gefühle" - eine merkwürdige Übersetzung des Originaltitels "Things to make and Do in the Fourth Dimension".
(ISBN 978-3-498-05241 6) - Ich kann es sehr empfehlen.
Die Matt Parker Zahl steht auf Seite 69 der deutschen Aufgabe. (Er hat sie entdeckt, würde sie auch vielleicht so nennen, aber traut sich nicht, also mach ich es für ihn).

Es ist die Zahl: 90 525 801 730

Es ist eine besondere figurierte Zahl und zugleich eine Pyramidenzahl.
Da man solche Zahlen auch gut mit Apfelsinen darstellen kann, findet man Informationen dazu beispielsweise in Aufgabe 347 (Serie 29) und Aufgabe 453 (Serie 38).

Eine solche Zahl ist die 10. Eine Dreieckszahl
x
xx
xxx
xxxx
Aus 10 "Apfelsinen" lässt sich aber auch eine dreiseitige Pyramide stapeln.
Matt suchte nun Zahlen, die man einerseits braucht um eine n-seitige Fläche zu legen, aber auch eine n-seitige Pyramiden zu stapeln.
So ist 4900 die einzige Zahl, aus der sich ein 70x70 Quadrat, aber auch eine 4 seitige Pyramide stapeln kann (besteht aus 24 Schichten).

90 525 801 730 Apfelsinen werden gebraucht um eine 31 265-Ecksfigur mit der Kantenlänge von 2407 zu legen. Man aber daraus auch eine 259-stufige Pyramide stapeln, deren Grundfläche 31 265 Ecken hat.

Matt Parker hat als erster diese Eigenschaft der Zahl 90 525 801 730 herausgefunden, Glückwunsch.

Münchhausenzahl

Münchhausenzahl

Die Bezeichnung einer solchen Zahl geht auf den legendären Baron Münchhausen zurück.
Auf dem Bild (Notgeld der Stadt Rinteln) sieht man, dass der Baron sich selber aus dem Sumpf zieht. (Für ihn gilt also das Wechselwirkungsgesetz von I. Newton nicht).

baron

So ist dann auch eine Münchhausenzahl gedacht.
Man nimmt die Ziffern einer natürlichen Zahl n und potenziert diese mit sich selbst. Anschließend werden die Potenzen addiert. Ist die Summe der Potenzen gleich der Zahl an, so wird n eine Münchhausenzahl genannt.
Die langweilige Münchhausenzahl ist die 1, denn 11=1.

Die einzige bekannte (interessante) Münchhausenzahl ist die 3435. Es gilt 33 + 44 + 33 + 55 = 27 + 256 + 27 + 3025 = 3435.
(Anmerkungen: 3435 - einzig bekannte Münchhausenzahl (außer 1) im dekadischen Zahlsystem, wenn nicht geschummelt wird und 00=0, statt 00=1 verwendet wird. Einen Beweis für die Einzigartigkeit habe ich nicht gefunden.)
Ist die Basis der Zahl n die 12, so ist 3A67A54832 auch eine Münchhausenzahl. (Im dekadischen System ist das die Zahl 20017650854.)

 

Goniometrie

Goniometrie

Die Goniometrie (griech: gonia - Winkel, metrein - messen) ist ursprünglich die Lehre vom Winkelmessen.
Es ist aber nicht das Zeichnen oder Messen von Winkeln gemeint, sondern das Rechnen mit Winkelfunktionen bzw. das Lösen von Gleichungen, die auf Winkelfunktionen basieren - trigonometrische Funktionen (sin, cos, tan).
Die trigonometrischen Funktionen sind also eher ein Teilgebiet der Goniometrie.
Um goniometrische Gleichungen zu lösen, werden meist numerische oder grafische Näherungsverfahren (Nullstellen) verwendet, da es für die meisten gon. Gleichungen keine Lösungsformel gibt.
tan x - 2x = 0 Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen.
sin (4x) - 2x = 0 hat genau 3 Lösungen +-0,47387356.. und 0

zyklische Primzahlen

zyklische Primzahlen

Unter zyklischen Primzahlen versteht man Primzahlen, die nach jedem zyklischen Tauschen der Ziffern wieder auf Primzahlen führen.
Ziffern mit a, b, c , ... bezeichnet.

ab --> ba --> ab --> Beispiel 13 --> 31 --> 13

abc --> bca --> cab --> Beispiel 197 --> 971 --> 719 --> 197

abcd --> bcda --> cdab --> dabc --> abcd --> Beispiel 1931 --> 9311 --> 3119 --> 1193 --> 1931

zum Weiterlesen: http://primes.utm.edu/glossary/xpage/CircularPrime.html

Primzahlformel

Primzahlformel

Eine Primzahlformel gibt es leider (bisher?) nicht. Gemeint ist hier eine Formel, die entweder alle Primzahlen liefert oder doch zumindest als Lösung immmer Primzahlen liefert.
Eine der bekanntesten Formeln dieser Art ist y=n²+n+41. Diese Formel liefert für viele n (n- natürliche Zahl) Primzahlen, nicht immer, aber erstaunlich oft.

--> Primzahltest im Lexikon <--

n y=n²+41n+41 y prim?
0 41 ja
1 43 ja
2 47 ja
3 53 ja
4 61 ja
5 71 ja
6 83 ja
7 97 ja
8 113 ja
9 131 ja
10 151 ja
11 173 ja
12 197 ja
13 223 ja
14 251 ja
15 281 ja
16 313 ja
17 347 ja
18 383 ja
19 421 ja
20 461 ja
21 503 ja
22 547 ja
23 593 ja
24 641 ja
25 691 ja
26 743 ja
27 797 ja
28 853 ja
29 911 ja
30 971 ja
31 1033 ja
32 1097 ja
33 1163 ja
34 1231 ja
35 1301 ja
36 1373 ja
37 1447 ja
38 1523 ja
39 1601 ja
40 1681 nein
41 1763 ja
42 1847 ja
43 1933 ja
44 2021 nein
45 2111 ja
46 2203 ja
47 2297 ja
48 2393 ja
49 2491 nein
50 2591 ja
51 2693 ja
52 2797 ja
53 2903 ja
54 3011 ja
55 3121 ja
56 3233 nein
57 3347 ja
58 3463 ja
59 3581 ja