Dualsystem

Dualsystem

Das Dualsystem ist ein Positionssystem mit der Basis 2 und den Ziffern 0 und 1. Es wird auch als Binärsystem bezeichnet und ist die Grundlage für die Verarbeitung von Daten im Computer.
siehe --> Positionssysteme

noch mehr Interessantes im  -->Mathelexikon<--

diophantische Gleichungen

diophantische Gleichungen

Eine Gleichung heißt diophantische Gleichung, wenn es ganzzahlige (oder auch nur natürliche) Zahlen gibt, die die Gleichung erfüllen.
Benannt sind die nach dem griechischen Mathematiker Diophant.
Eines der bekanntesten Probleme war die Gleichung xⁿ +yⁿ = zⁿ. Mit n =1 ist Lösung elementar. In x + y = z finden sich immer ganzzahlige Lösungen. Für n=2 sind die pythagoräischen Tripel gesucht. Pierre Fermat vemutete, dass es außer x = y = z = 0 keine diophantische Lösung für n > 2 gäbe. Nach es dem viele "Einzelbeweise" für die Richtigkeit dieser Vermutung von Fermat gab, gelang es erst 1995 zu beweisen, dass es wirklich so stimmte.

In der linearen Optimierung spielen diophantische Näherungslösungen eine große Rolle, wenn es z.B. darum geht ein Optimum zu finden, wenn es um den Einsatz von Menschen und Maschinen geht, die nun mal nicht mit 5,34 Personen eingesetzt werden können.
Auch die Aufgabe nach Wahlen eine Sitzverteilung im Parlament vorzunehmen, erfordert eine diophantische Annäherung, da eine Partei ja keine 45, 82... Sitze erhalten kann.
Empfehlenswertes Buch zum letzten Thema: "Die verflixste Mathematik der Demokratie" von Szpiro.

noch mehr Interessantes im  -->Mathelexikon<--

quadratfreie Zahl

quadratfreie Zahl

qed

qed

Strahlensatz

Strahlensatz

Manche sagen Strahlensätze, andere Strahlensatz Teil1, 2 oder 3. Nun ja, worum geht es?

In dem Bild sind drei Strahlen (a, b und c) mit gemeinsamen Anfangspunkt S und zwei Parallelen (h und g) zu sehen.
a, b und c bilden ein Strahlenbüschel. h und g eine (zugegeben kleine) Parallelenschar.
Es sind Strahlenabschnitte und Parallelenabschnitte erkennbar.
Im Teil 1 geht es um Strahlenabschnitte, im Teil 2 Strahlenabschnitte und Parallelenabschnitte und im Teil 3 um Parallelenabschnitte.
In der Alltagsmathematik werden häufig die Teile 1 und 2 benutzt.
Es werden einige Beispiele für die Streckenverhältnisse angegeben aus deren System sich (hoffentlich) der Inhalt erschließt. Zu beachten ist, dass bei Teil 2 alle Strahlenabschnitte den Punkt S enthalten müssen.
Teil 1:

$$ \frac  {\overline {SB}}{\overline{SE}} = \frac  {\overline{SC}}{\overline{SF}}$$ oder
$$ \frac {\overline {SA}}{\overline{SB}} = \frac {\overline {AD}}{\overline{BE}}$$

Teil 2:
$$ \frac {\overline {SA}}{\overline{SD}} = \frac {\overline {AB}}{\overline{DE}}$$
oder
$$ \frac {\overline {SB}}{\overline{SE}} = \frac {\overline {AC}}{\overline{DF}}$$

Teil 3:
$$ \frac {\overline {AB}}{\overline{AC}} = \frac {\overline {DE}}{\overline{DF}}$$
oder
$$ \frac {\overline {AB}}{\overline{DE}} = \frac {\overline {BC}}{\overline{EF}}$$


noch mehr Interessantes im großen -->Mathelexikon<--

harmonisches Mittel

harmonisches Mittel

Das harmonisches Mittel ist ein weiterer Mittelwert, so wie das arithmetische Mittel und das geometrische Mittel.
Hat man die Messwerte x₁, x₂, ... und x_n so wird das harmonische Mittel berechnet, in dem die Reziproken der Messwerte addiert und anschließend wird n durch diese Summe dividiert.
$$ \large x_{harm} =\frac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^n {\frac{1}{x_i}}}$$
Für nur zwei Werte x₁ und x₂ vereinfacht sich das Ganze in wenigen Schritten zu:
$$\large x_{harm}= \frac {2x_1 x_2}{x_1 + x_2} $$

noch mehr Interessantes im großen -->Mathelexikon<--

Catalanzahl

Catalanzahl

Catalanzahl oder catalanische Zahlen bilden eine Folge von natürlichen Zahlen. Der Name geht auf den Mathematiker Catalan zurück.
Die Bildungsvorschrift ist:
$$ \large C_n = \frac{1}{1 + n} \binom{2n}{n} mit  ~ n \geq 0 $$
Weitere Varianten der gleichen Formel:
$$ \large C_n = \frac{(2n)!}{(n+1)!n!} $$
$$ \large C_n = \binom{2n}{n} - \binom{2n}{n+1} $$
Die Zahlen sind in der Kombinatorik von einiger Bedeutung.
So untersuchte u.a. Euler die Anzahl von Zerlegungen von konvexen n-Ecken in Teildreiecke, die durch die Diagonalen gebildet werden, die jeweils einen Eckpunkt gemeinsam haben. Ist die Eckenzahl n = 6  so ist die gesuchte Zahl von Möglichkeiten C₄, also 14.

noch mehr Interessantes im  -->Mathelexikon<--

Pseudovollkommene Zahlen

Pseudovollkommene Zahlen

Eine natürliche Zahl heißt pseudovollkommene Zahl, wenn die Summe von echten Teilern der  Zahl - aber nicht notwendiger alle echten Teiler - sonst wäre sie ja vollkommen - die Ausgangszahl ergibt.
Die vollkommenen Zahlen sind also auch pseudovollkommenen Zahlen.
Beispiel:
12 --> Die Teiler sind 1; 2; 3; 4 und 6 .
1 + 2 + 3 + 6 = 12 (4 fehlt)
Damit eine Zahl pseudovollkommen sein kann, muss es sich um eine abudante (reiche) Zahl oder eine vollkommene Zahl handeln.
Eine echte Teilmenge der pseudovollkommenen Zahlen sind die primär pseudovollkommenen Zahlen.
Man nimmt alle Primfaktoren (p₁; p₂; ...; p_m) einer pseudovollkommenen Zahl n.
Es muss dann gelten: Die Summe aus p₁/n +  p₂/n + ... + p_m/n = n - 1

noch mehr Interessantes im großen -->Mathelexikon<--

erhabene Zahl

Erhabene Zahl

Erhabene Zahl wird auch sublime Zahl (sublim number) genannt.
Eine Zahl heißt erhaben, wenn die Anzahl aller Teiler eine vollkomme Zahl ist, aber auch die Summe aller Teiler eine vollkomme Zahl ergibt.
Bekannt sind derzeit nur zwei Zahlen mit dieser Eigenschaft:
12
Die Teiler sind 1; 2; 3; 4; 6 und 12 ,also 6 Teiler
1+2+3+4+6+12 = 28
6 und 28 sind vollkomme Zahlen.
Die derzeit bekannte zweite Zahl ist:
6086555670238378989670371734243169622657830773351885970528324860512791691264
zum Nachlesen (englisch)

noch mehr Interessantes im -->Mathelexikon<--

Sphenische Zahl

Sphenische Zahl

Rechteckzahl

Rechteckzahl

Eine Rechteckzahl - auch pronic number bzw. pronische Zahl  - ist das Produkt  zweier aufeinander folgender natürlicher Zahlen.
0 = 0 * 1
2= 1 * 2
6 = 2 * 3
12 = 3 * 4
20 = 4 * 5
...
x = n(n+1) = n² + n
Die Rechteckzahlen zählen zu den figurierten Zahlen.
Geometrische Deutung: Legt man aus gleichen Figuren (Quadrate, "Kreise", ...) Rechtecke zusammen, deren Seitenlängen sich um eins unterscheiden, so braucht man eine den Rechteckzahlen entsprechende Anzahl gleicher Figuren.
Eine weitere Besonderheit: Die Summe der Reziproken aller Rechteckzahlen (außer 0) ergibt 1.
$$\Large \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2 +n} = 1$$

noch mehr Interessantes im großen -->Mathelexikon<--

Argument

Argument

Argument ist eine andere Bezeichnung für die unabhängige(n) Variable(n) einer Funktion.
Sie wird meistens mit x bezeichnet.
In der Physik ist die unabhängige Variable häufig die Zeit t.

noch mehr Interessantes im großen -->Mathelexikon<--

Außenwinkel

Außenwinkel

Werden die Seiten eines n-Ecks (hier im Bild ein Dreieck) so entstehen "außerhalb" des n-Ecks mehrere Winkel. Einer der möglichen Nebenwinkel eines Innenwinkels (grau) wird als Außenwinkel (blau) bezeichnet. Die Summe aller Außenwinkel eines beliebigen n-Ecks beträgt 360°.


noch mehr Interessantes im großen -->Mathelexikon<--

Komplementaddition

Komplementaddition

Die Subtraktion ist nicht immer ganz einfach, da man bei der schriftlichen Varianten sich immer mal wieder was "borgen" muss.
Die Addition ist da schon etwas einfacher, denn die auftretenden Überträge lassen sich leicht notieren. Eine interessante Alternative zur Subtraktion ist die Komplementaddition, die auch im Computer genutzt wird. Das Komplement einer Zahl vierstelligen Zahl abcd ist die Zahl (9-a)(9-b)(9-c)(9-d). Es werden also die Ziffern verwendet, die eine Ziffer bis zur "9" komplettieren.
x - y = d
Zum Minuenden x wird das Komplement des Subtrahenden y addiert.
Fall 1: x > y Vom Zwischenergebnis der Addition wird die erste 1 entfernt und es wird eine 1 zum "verkürzten" Zwischenergebnis addiert.
Beispiel:

Beweis für vierstellige Zahlen: x + (9999 -y) -10000 +1 = x + 9999 - y -10000 +1 = x - y

Fall 2: x < y Vom Zwischenergebnis wird noch noch einmal das Komplement gebildet und dieses erhält ein - als Vorzeichen.
Beispiel:

Beweis für vierstelligen Zahlen: x + (9999 -y) = s ==> -(9999-s) = -9999 + x  + (9999 -y) = - 9999 + x + 9999 - y = x - y

Insbesondere für die Subtraktion bei Computern ist das wichtig.
So wird aus 1001 0001 - 0011 1101 eben einfach eine Komplementaddition 1001 0001 + 1100 0010 nach dem obigen Verfahren. (Im Jahr 1703 stellte Leibniz dieses Verfahren in Paris vor)
noch mehr Interessantes im großen -->Mathelexikon<--

windschiefe Geraden

windschiefe Geraden