Mathelexikon

diophantische Gleichungen

diophantische Gleichungen

Eine Gleichung heißt diophantische Gleichung, wenn es ganzzahlige (oder auch nur natürliche) Zahlen gibt, die die Gleichung erfüllen.
Benannt sind die nach dem griechischen Mathematiker Diophant.
Eines der bekanntesten Probleme war die Gleichung xn +yn = zn. Mit n =1 ist Lösung elementar. In x + y = z finden sich immer ganzzahlige Lösungen. Für n=2 sind die pythagoräischen Tripel gesucht. Pierre Fermat vemutete, dass es außer x = y = z = 0 keine diophantische Lösung für n > 2 gäbe. Nach es dem viele "Einzelbeweise" für die Richtigkeit dieser Vermutung von Fermat gab, gelang es erst 1995 zu beweisen, dass es wirklich so stimmte.


fermat1
In der linearen Optimierung spielen diophantische Näherungslösungen eine große Rolle, wenn es z.B. darum geht ein Optimum zu finden, wenn es um den Einsatz von Menschen und Maschinen geht, die nun mal nicht mit 5,34 Personen eingesetzt werden können.
Auch die Aufgabe nach Wahlen eine Sitzverteilung im Parlament vorzunehmen, erfordert eine diophantische Annäherung, da eine Partei ja keine 45, 82... Sitze erhalten kann.
Empfehlenswertes Buch zum letzten Thema: "Die verflixste Mathematik der Demokratie" von Szpiro.

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quadratfreie Zahl

quadratfreie Zahl

Eine natürliche Zahl n heißt quadratfrei, wenn die alle Primfaktoren der Zahl n nur in der ersten Potenz auftreten.
In diesem Sinne sind alle Primzahlen quadratfrei.
Beispiel: 30 ist quadratfrei, denn 30 = 2 * 3 * 5
Gegenbeispiel: 12 ist nicht quadratfrei, denn 12 = 2² * 3

qed

qed

Diese drei Buchstaben stehen für quod erat demonstrandum (lateinisch: was zu beweisen war bzw. was zu zeigen war).
Diese Buchstaben werden unter einen fertigen Beweis geschrieben. Üblich ist statt dessen auch w.z.b.w

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Strahlensatz

Strahlensatz

Manche sagen Strahlensätze, andere Strahlensatz Teil1, 2 oder 3. Nun ja, worum geht es?
Strahlensatz
In dem Bild sind drei Strahlen (a, b und c) mit gemeinsamen Anfangspunkt S und zwei Parallelen (h und g) zu sehen.
a, b und c bilden ein Strahlenbüschel. h und g eine (zugegeben kleine) Parallelenschar.
Es sind Strahlenabschnitte und Parallelenabschnitte erkennbar.
Im Teil 1 geht es um Strahlenabschnitte, im Teil 2 Strahlenabschnitte und Parallelenabschnitte und im Teil 3 um Parallelenabschnitte.
In der Alltagsmathematik werden häufig die Teile 1 und 2 benutzt.
Es werden einige Beispiele für die Streckenverhältnisse angegeben aus deren System sich (hoffentlich) der Inhalt erschließt. Zu beachten ist, dass bei Teil 2 alle Strahlenabschnitte den Punkt S enthalten müssen.
Teil 1:
\large \frac {\overline {SB}}{\overline{SE}} = \frac {\overline {SC}}{\overline{SF}}
oder
\large \frac {\overline {SA}}{\overline{SB}} = \frac {\overline {AD}}{\overline{BE}}

Teil 2:
\large \frac {\overline {SA}}{\overline{SD}} = \frac {\overline {AB}}{\overline{DE}}
oder
\large \frac {\overline {SB}}{\overline{SE}} = \frac {\overline {AC}}{\overline{DF}}

Teil 3:
\large \frac {\overline {AB}}{\overline{AC}} = \frac {\overline {DE}}{\overline{DF}}
oder
\large \frac {\overline {AB}}{\overline{DE}} = \frac {\overline {BC}}{\overline{EF}}


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harmonisches Mittel

harmonisches Mittel

Das harmonisches Mittel ist ein weiterer Mittelwert, so wie das arithmetische Mittel und das geometrische Mittel.
Hat man die Messwerte x1, x2, ... und xn so wird das harmonische Mittel berechnet, in dem die Reziproken der Messwerte addiert und anschließend wird n durch diese Summe dividiert.
\large x_{harm}= \frac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}
Für nur zwei Werte x1 und x2 vereinfacht sich das Ganze zu:
\large x_{harm}= \frac {2x_1 x_2}{x_1 + x_2}

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Catalanzahl

Catalanzahl

Catalanzahl oder catalanische Zahlen bilden eine Folge von natürlichen Zahlen. Der Name geht auf den Mathematiker Catalan zurück.
Die Bildungsvorschrift ist:
\large C_n = \frac{1}{1 + n} \binom{2n}{n} mit n \geq 0
Weitere Varianten der gleichen Formel:
\large C_n = \frac{(2n)!}{(n+1)!n!}
\large C_n = \binom{2n}{n} - \binom{2n}{n+1}
Die Zahlen sind in der Kombinatorik von einiger Bedeutung.
So untersuchte u.a. Euler die Anzahl von Zerlegungen von konvexen n-Ecken in Teildreiecke, die durch die Diagonalen gebildet werden, die jeweils einen Eckpunkt gemeinsam haben. Ist die Eckenzahl n = 6  so ist die gesuchte Zahl von Möglichkeiten C4, also 14.

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Pseudovollkommene Zahlen

Pseudovollkommene Zahlen

Eine natürliche Zahl heißt pseudovollkommene Zahl, wenn die Summe von echten Teilern der  Zahl - aber nicht notwendiger alle echten Teiler - sonst wäre sie ja vollkommen - die Ausgangszahl ergibt.
Die vollkommenen Zahlen sind also auch pseudovollkommenen Zahlen.
Beispiel:
12 --> Die Teiler sind 1; 2; 3; 4 und 6 .
1 + 2 + 3 + 6 = 12 (4 fehlt)
Damit eine Zahl pseudovollkommen sein kann, muss es sich um eine abudante (reiche) Zahl oder eine vollkommene Zahl handeln.
Eine echte Teilmenge der pseudovollkommenen Zahlen sind die primär pseudovollkommenen Zahlen.
Man nimmt alle Primfaktoren (p1; p2; ...; pm) einer pseudovollkommenen Zahl n.
Es muss dann gelten: Die Summe aus p1/n +  p2/n + ... + pm/n = n - 1

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erhabene Zahl

Erhabene Zahl

Erhabene Zahl wird auch sublime Zahl (sublim number) genannt.
Eine Zahl heißt erhaben, wenn die Anzahl aller Teiler eine vollkomme Zahl ist, aber auch die Summe aller Teiler eine vollkomme Zahl ergibt.
Bekannt sind derzeit nur zwei Zahlen mit dieser Eigenschaft:
12
Die Teiler sind 1; 2; 3; 4; 6 und 12 ,also 6 Teiler
1+2+3+4+6+12 = 28
6 und 12 sind vollkomme Zahlen.
Die derzeit bekannte zweite Zahl ist:
6086555670238378989670371734243169622657830773351885970528324860512791691264
zum Nachlesen (englisch)

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Sphenische Zahl

Sphenische Zahl

Als sphenische Zahl wird eine Zahl bezeichnet, die das Produkt von genau drei - von einander verschiedenen - Faktoren ist, wobei die Faktoren alle Primzahlen sein müssen.
Beispiele:
30 = 2 * 3* 5
1001 = 7 * 11 * 13 (Wird genutzt bei der Teilbarkeit durch 7. Sechstellige Zahlen der Form abcabc sind durch 7 teilbar.)
Alle sphenische Zahlen haben genau 8 Teiler. Sei z = abc, so gibt es  die Teiler 1, a, b, c, ab, ac, bc und z.
Es gibt keine sphenische Zahl, die vollkommen ist.
Die 70 (= 2 * 5 * 7) und die sphenische Zahlen der Form 2 * 3* c sind abudant (reiche Zahlen). Alle anderen sphenische Zahlen sind defizient (arme Zahlen).
Sphenische Zwillinge sind zwei aufeinander folgende  sphenische Zahlen - z.B. 230 und 231.
Sphenische Drillinge sind drei aufeinader folgende sphenische Zahlen - z.B. 1309, 1310, 1311.
Vierlinge und mehr kann es auf Grund der obigen Definition nicht geben.
Geometrische Deutung:
Hat ein Quader verschieden lange Seiten, der Maßzahlen Primzahlen sind, so ist die Maßzahl des Volumens eines sphenische Zahl.

Die sphenischen Zahlen waren auch schon mal Gegenstand der Wochenaufgabe 281.

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Rechteckzahl

Rechteckzahl

Eine Rechteckzahl - auch pronic number bzw. pronische Zahl  - ist das Produkt  zweier aufeinander folgender natürlicher Zahlen.
0 = 0 * 1
2= 1 * 2
6 = 2 * 3
12 = 3 * 4
20 = 4 * 5
...
x = n(n+1) = n² + n
Die Rechteckzahlen zählen zu den figurierten Zahlen.
Geometrische Deutung: Legt man aus gleichen Figuren (Quadrate, "Kreise", ...) Rechtecke zusammen, deren Seitenlängen sich um eins unterscheiden, so braucht man eine den Rechteckzahlen entsprechende Anzahl gleicher Figuren.
Eine weitere Besonderheit: Die Summe der Reziproken aller Rechteckzahlen (außer 0) ergibt 1.
\Large \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2 +n} = 1

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Argument

Argument

Argument ist eine andere Bezeichnung für die unabhängige(n) Variable(n) einer Funktion.
Sie wird meistens mit x bezeichnet.
In der Physik ist die unabhängige Variable häufig die Zeit t.

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Außenwinkel

Außenwinkel

aussenwinkelWerden die Seiten eines n-Ecks (hier im Bild ein Dreieck) so entstehen "außerhalb" des n-Ecks mehrere Winkel. Einer der möglichen Nebenwinkel eines Innenwinkels (grau) wird als Außenwinkel (blau) bezeichnet. Die Summe aller Außenwinkel eines beliebigen n-Ecks beträgt 360°.


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Komplementaddition

Komplementaddition

Die Subtraktion ist nicht immer ganz einfach, da man bei der schriftlichen Varianten sich immer mal wieder was "borgen" muss.
Die Addition ist da schon etwas einfacher, denn die auftretenden Überträge lassen sich leicht notieren. Eine interessante Alternative zur Subtraktion ist die Komplementaddition, die auch im Computer genutzt wird. Das Komplement einer Zahl vierstelligen Zahl abcd ist die Zahl (9-a)(9-b)(9-c)(9-d). Es werden also die Ziffern verwendet, die eine Ziffer bis zur "9" komplettieren.
x - y = d
Zum Minuenden x wird das Komplement des Subtrahenden y addiert.
Fall 1: x > y Vom Zwischenergebnis der Addition wird die erste 1 entfernt und es wird eine 1 zum "verkürzten" Zwischenergebnis addiert.
Beispiel:

  5 3 7 8      5 3 7 8
- 3 4 8 3          + 6 5 1 6
            1 1 8 9 4
                  + 1
  1 8 9 5 <---   1 8 9 5

Beweis für vierstellige Zahlen: x + (9999 -y) -10000 +1 = x + 9999 - y -10000 +1 = x - y

Fall 2: x < y Vom Zwischenergebnis wird noch noch einmal das Komplement gebildet und dieses erhält ein - als Vorzeichen.
Beispiel:

  5 3 7 8     5 3 7 8
- 8 4 8 3   + 1 5 1 6
              6 8 9 4
                     
- 3 1 0 5 <--- - 3 1 0 5

Beweis für vierstelligen Zahlen: x + (9999 -y) = s ==> -(9999-s) = -9999 + x  + (9999 -y) = - 9999 + x + 9999 - y = x - y

Insbesondere für die Subtraktion bei Computern ist das wichtig.
So wird aus 1001 0001 - 0011 1101 eben einfach eine Komplementaddition 1001 0001 + 1100 0010 nach dem obigen Verfahren. (Im Jahr 1703 stellte Leibniz dieses Verfahren in Paris vor)
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windschiefe Geraden

windschiefe Geraden

Zwei Geraden verlaufen windschief zu einanander, wenn sie sich weder schneiden noch parallel zueinander verlaufen.
In einer Ebene gibt es keine windschiefen Geraden, im Raum dagegen schon.
wuerfelDie Gerade AB und die Gerade CG liegen windschief zueinander,
aber auch die Gerade AG und die Gerade BF.
Eine interesannte Aufgabe besteht darin, den kleinsten Abstand solcher Geraden zu ermitteln.


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Menge

Menge

Menge ist einer der Grundbegriffe der Mathematik.
Unter Menge versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten, die gemeinsame Eigenschaften haben. Auch Zahlen lassen sich zu menge zusammenfassen. Zum Beispiel: Menge der natürlichen Zahlen Symbol N oder besser  \mathbb{N} , aber auch die Menge aller Schüler in einer Klasse.
(Nicht zu verwechseln aber ist der mathematische Begriff mit dem umgangssprachlichen Begriff wie im Beispiel Deutschland hat eine Menge Schulden.)
Enthält eine Menge kein Element, so spricht man von der leeren Menge. Symbol:  \emptyset oder { }


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