Mathelexikon

Catalanzahl

Catalanzahl

Catalanzahl oder catalanische Zahlen bilden eine Folge von natürlichen Zahlen. Der Name geht auf den Mathematiker Catalan zurück.
Die Bildungsvorschrift ist:
\large C_n = \frac{1}{1 + n} \binom{2n}{n} mit n \geq 0
Weitere Varianten der gleichen Formel:
\large C_n = \frac{(2n)!}{(n+1)!n!}
\large C_n = \binom{2n}{n} - \binom{2n}{n+1}
Die Zahlen sind in der Kombinatorik von einiger Bedeutung.
So untersuchte u.a. Euler die Anzahl von Zerlegungen von konvexen n-Ecken in Teildreiecke, die durch die Diagonalen gebildet werden, die jeweils einen Eckpunkt gemeinsam haben. Ist die Eckenzahl n = 6  so ist die gesuchte Zahl von Möglichkeiten C4, also 14.

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Pseudovollkommene Zahlen

Pseudovollkommene Zahlen

Eine natürliche Zahl heißt pseudovollkommene Zahl, wenn die Summe von echten Teilern der  Zahl - aber nicht notwendiger alle echten Teiler - sonst wäre sie ja vollkommen - die Ausgangszahl ergibt.
Die vollkommenen Zahlen sind also auch pseudovollkommenen Zahlen.
Beispiel:
12 --> Die Teiler sind 1; 2; 3; 4 und 6 .
1 + 2 + 3 + 6 = 12 (4 fehlt)
Damit eine Zahl pseudovollkommen sein kann, muss es sich um eine abudante (reiche) Zahl oder eine vollkommene Zahl handeln.
Eine echte Teilmenge der pseudovollkommenen Zahlen sind die primär pseudovollkommenen Zahlen.
Man nimmt alle Primfaktoren (p1; p2; ...; pm) einer pseudovollkommenen Zahl n.
Es muss dann gelten: Die Summe aus p1/n +  p2/n + ... + pm/n = n - 1

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erhabene Zahl

Erhabene Zahl

Erhabene Zahl wird auch sublime Zahl (sublim number) genannt.
Eine Zahl heißt erhaben, wenn die Anzahl aller Teiler eine vollkomme Zahl ist, aber auch die Summe aller Teiler eine vollkomme Zahl ergibt.
Bekannt sind derzeit nur zwei Zahlen mit dieser Eigenschaft:
12
Die Teiler sind 1; 2; 3; 4; 6 und 12 ,also 6 Teiler
1+2+3+4+6+12 = 28
6 und 12 sind vollkomme Zahlen.
Die derzeit bekannte zweite Zahl ist:
6086555670238378989670371734243169622657830773351885970528324860512791691264
zum Nachlesen (englisch)

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Sphenische Zahl

Sphenische Zahl

Als sphenische Zahl wird eine Zahl bezeichnet, die das Produkt von genau drei - von einander verschiedenen - Faktoren ist, wobei die Faktoren alle Primzahlen sein müssen.
Beispiele:
30 = 2 * 3* 5
1001 = 7 * 11 * 13 (Wird genutzt bei der Teilbarkeit durch 7. Sechstellige Zahlen der Form abcabc sind durch 7 teilbar.)
Alle sphenische Zahlen haben genau 8 Teiler. Sei z = abc, so gibt es  die Teiler 1, a, b, c, ab, ac, bc und z.
Es gibt keine sphenische Zahl, die vollkommen ist.
Die 70 (= 2 * 5 * 7) und die sphenische Zahlen der Form 2 * 3* c sind abudant (reiche Zahlen). Alle anderen sphenische Zahlen sind defizient (arme Zahlen).
Sphenische Zwillinge sind zwei aufeinander folgende  sphenische Zahlen - z.B. 230 und 231.
Sphenische Drillinge sind drei aufeinader folgende sphenische Zahlen - z.B. 1309, 1310, 1311.
Vierlinge und mehr kann es auf Grund der obigen Definition nicht geben.
Geometrische Deutung:
Hat ein Quader verschieden lange Seiten, der Maßzahlen Primzahlen sind, so ist die Maßzahl des Volumens eines sphenische Zahl.

Die sphenischen Zahlen waren auch schon mal Gegenstand der Wochenaufgabe 281.

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Rechteckzahl

Rechteckzahl

Eine Rechteckzahl - auch pronic number bzw. pronische Zahl  - ist das Produkt  zweier aufeinander folgender natürlicher Zahlen.
0 = 0 * 1
2= 1 * 2
6 = 2 * 3
12 = 3 * 4
20 = 4 * 5
...
x = n(n+1) = n² + n
Die Rechteckzahlen zählen zu den figurierten Zahlen.
Geometrische Deutung: Legt man aus gleichen Figuren (Quadrate, "Kreise", ...) Rechtecke zusammen, deren Seitenlängen sich um eins unterscheiden, so braucht man eine den Rechteckzahlen entsprechende Anzahl gleicher Figuren.
Eine weitere Besonderheit: Die Summe der Reziproken aller Rechteckzahlen (außer 0) ergibt 1.
\Large \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2 +n} = 1

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Argument

Argument

Argument ist eine andere Bezeichnung für die unabhängige(n) Variable(n) einer Funktion.
Sie wird meistens mit x bezeichnet.
In der Physik ist die unabhängige Variable häufig die Zeit t.

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Außenwinkel

Außenwinkel

aussenwinkelWerden die Seiten eines n-Ecks (hier im Bild ein Dreieck) so entstehen "außerhalb" des n-Ecks mehrere Winkel. Einer der möglichen Nebenwinkel eines Innenwinkels (grau) wird als Außenwinkel (blau) bezeichnet. Die Summe aller Außenwinkel eines beliebigen n-Ecks beträgt 360°.


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Komplementaddition

Komplementaddition

Die Subtraktion ist nicht immer ganz einfach, da man bei der schriftlichen Varianten sich immer mal wieder was "borgen" muss.
Die Addition ist da schon etwas einfacher, denn die auftretenden Überträge lassen sich leicht notieren. Eine interessante Alternative zur Subtraktion ist die Komplementaddition, die auch im Computer genutzt wird. Das Komplement einer Zahl vierstelligen Zahl abcd ist die Zahl (9-a)(9-b)(9-c)(9-d). Es werden also die Ziffern verwendet, die eine Ziffer bis zur "9" komplettieren.
x - y = d
Zum Minuenden x wird das Komplement des Subtrahenden y addiert.
Fall 1: x > y Vom Zwischenergebnis der Addition wird die erste 1 entfernt und es wird eine 1 zum "verkürzten" Zwischenergebnis addiert.
Beispiel:

  5 3 7 8      5 3 7 8
- 3 4 8 3          + 6 5 1 6
            1 1 8 9 4
                  + 1
  1 8 9 5 <---   1 8 9 5

Beweis für vierstellige Zahlen: x + (9999 -y) -10000 +1 = x + 9999 - y -10000 +1 = x - y

Fall 2: x < y Vom Zwischenergebnis wird noch noch einmal das Komplement gebildet und dieses erhält ein - als Vorzeichen.
Beispiel:

  5 3 7 8     5 3 7 8
- 8 4 8 3   + 1 5 1 6
              6 8 9 4
                     
- 3 1 0 5 <--- - 3 1 0 5

Beweis für vierstelligen Zahlen: x + (9999 -y) = s ==> -(9999-s) = -9999 + x  + (9999 -y) = - 9999 + x + 9999 - y = x - y

Insbesondere für die Subtraktion bei Computern ist das wichtig.
So wird aus 1001 0001 - 0011 1101 eben einfach eine Komplementaddition 1001 0001 + 1100 0010 nach dem obigen Verfahren. (Im Jahr 1703 stellte Leibniz dieses Verfahren in Paris vor)
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windschiefe Geraden

windschiefe Geraden

Zwei Geraden verlaufen windschief zu einanander, wenn sie sich weder schneiden noch parallel zueinander verlaufen.
In einer Ebene gibt es keine windschiefen Geraden, im Raum dagegen schon.
wuerfelDie Gerade AB und die Gerade CG liegen windschief zueinander,
aber auch die Gerade AG und die Gerade BF.
Eine interesannte Aufgabe besteht darin, den kleinsten Abstand solcher Geraden zu ermitteln.


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Menge

Menge

Menge ist einer der Grundbegriffe der Mathematik.
Unter Menge versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten, die gemeinsame Eigenschaften haben. Auch Zahlen lassen sich zu menge zusammenfassen. Zum Beispiel: Menge der natürlichen Zahlen Symbol N oder besser  \mathbb{N} , aber auch die Menge aller Schüler in einer Klasse.
(Nicht zu verwechseln aber ist der mathematische Begriff mit dem umgangssprachlichen Begriff wie im Beispiel Deutschland hat eine Menge Schulden.)
Enthält eine Menge kein Element, so spricht man von der leeren Menge. Symbol:  \emptyset oder { }


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komplexe Zahlen

komplexe Zahlen

Eine der Motivationen komplexe Zahlen einzuführen ist die Aufgabe Lösungen für x² + 1= 0 zu finden. Im Bereich der rellen Zahlen ist diese Aufgabe nicht lösbar.
Nun x²= -1 als i² = 1 festgelegt i ist dann Wurzel aus -1.
i wird als imaginäre Einheit bezeichnet.
Eine komplexe Zahl a hat dann diese Struktur  x = a + b \cdot i
a ist der reelle Anteil der Zahl und b der imaginäre Anteil. ( a und b sind reelle Zahlen.
Die graphische Darstellung einer solchen Zahl erfolgt dann nicht mehr auf einer Zahlengeraden, sondern auf einer Zahlenebene. (Vergleichbar mit Punkten einer Funktion in einem Koordinatensystem.)
Addition: (a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i
Subtraktion: (a1 + b1i) - (a2 + b2i) = (a1 - a2) + (b1 - b2)i
Multiplikation:  (a_1 + b_1 i) \cdot (a_2 + b_ 2 i) = a_1 \cdot a_2 + a_1 \cdot b_2 i + b_1 i \cdot a_2 + b_1 i \cdot b_2 i
unter Berücksichtigung i² = -1 lässt sich das Ergebnis so zusammenfassen:
 (a_1 + b_1 i) \cdot (a_2 + b_ 2 i) = (a_1 \cdot a_2 - b_1 \cdot b_2) + ( a_1 \cdot b_2 + a_2 \cdot b_1) i
Division: Auch gilt, dass eine Divison durch Null ausgeschlossen wird:
\frac {(a_1 + b_1 i)}{(a_2 + b_ 2 i)} = \frac {(a_1 + b_1 i) \cdot (a_2 - b_ 2 i)}{(a_2 + b_ 2 i) \cdot (a_2 - b_ 2 i)} = \frac {a_1 a_2 + b_1 b_2}{{a_1}^2 + {b_2}^2}+\frac {b_1 a_2 - a_1 b_2}{{a_1}^2 + {b_2}^2} \cdot i
Es ist mit der konjugiert komplexen Zahl erweitert worden.
Der Betrag einer komplexen Zahl x = a + b i ist dann  |x| = \sqrt {a^2 + b^2} Dies ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras.

kubische Gleichung

kubische Gleichung

Kubische Gleichung oder Gleichung dritten Grades ist eine Gleichung, die sich in dieser Form gegeben ist der in diese Form umwandeln lässt:
ax³ + bx³ + cx +d = 0 (mit a ungleich 0, wäre a = 0, so erhält man eine quadratische Gleichung)
Gleichungen diesen oder höheren Grades werden meist udrch numerische Verfahren hinreichend genau gelöst. Es gibt aber auch eine exakte Lösungsvorschrift, letztlich eine Lösungsformel. Entwickelt wurde die allgemeine Lösungsformel von Cardano (oder Tartigla).
Eine ausführliche Herleitung der Lösungsformeln findet sich --> hier <--
Deutlich kürzer - aber eben ohne Begründungen wegen des warum:
ax³ + bx³ + cx +d = 0 wird durch a dividiert es wird y := x + \frac{b}{3a} gesetzt
==> y³ + 3py + 2q = 0 mit  3p = \frac{3ac - b^2}{3a^2} und 2q = \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a}
Nun wird die Diskriminante D = q² + p³ untersucht.
Wenn gilt D > 0 ==> Die Gleichung hat eine relle und zwei komplexe Lösungen.
Wenn gilt D < 0 ==> Die Gleichung hat drei verschiedene relle Lösungen.
Wenn gilt D = 0 ==> Die Gleichung hat nur "eine Lösung" y1 = y2 = y3 = 0 (für p=q=0) bzw. "zwei Lösungen".
Die Lösungen heißen:
y1 = u + v
y2 = f1u + f2v
y3 = f2u + f1v
 u = \sqrt[3]{-q + sqrt{D}}\ v = \sqrt[3]{-q - sqrt{D}}\
f_{1,2} = 0,5(-1 \pm \sqrt{3} \cdot i) (i = sqrt{-1}) imaginäre Einheit


Beispiel: 0 = x³ + 3x² - 25x - 75
==>
a = 1      b = 3      c = -25      d = -75
==>
p = -9.33333333      q = -24      D = -237.03703704
0= y³ - 28y -48
==> Wegen D < 0  drei relle Lösungen
(z1 = -q + Wurzel(D) = 24 + 15.39600718 i und z2 = -q - Wurzel(D) = 24 - 15.39600718 i)

u =  \sqrt[3]{z_1} = 3 + 0.57735027 i      v =  \sqrt[3]{z_2} = 3 - 0.57735027 i

y1 = 6      y2 = -4     y3 = -2

x1 = 5      x2 = -5     x3 = -3



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Kürzen

Kürzen von Brüchen

Besitzen Zähler und Nenner eines Bruches gemeinsame Teiler, dann kann man Zähler und Nenner durch den gemeinsamen Teiler teilen, ohne dass sich am Wert des Bruches - der gebrochenen Zahl - etwas ändert.
 \frac{15}{20} = \frac {15 : 5}{20 : 5} = \frac {3}{4}
Ziel des Kürzens ist eine verbesserte Anschaulichkeit.
 \frac{75}{125} = \frac {3}{5}

Grundrechenarten Bruchrechung

 


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Erweitern

Erweitern von Brüchen

Erweitern von Brüchen heißt Zähler und Nenner eines Bruches mit der gleichen Zahl (ungleich Null und sinnvollerweise eine natürliche Zahl) zu multiplizieren.
Der Wert des Bruches - die gebrochene Zahl - selber ändert sich nicht.
 \frac{3}{4} = \frac {3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac {15}{20}
Das Erweitern von Brüchen wird hauptsächlich genutzt, um Brüche vergleichen zu können bzw. die Addition oder Sutraktion von Brüchen auszuführen.

Grundrechenarten Bruchrechung

 
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Kreisring

Kreisring

Die Fläche zwischen zwei konzentrischen Kreisen wird als Kreisring bezeichnet.
A = r1² - r2², wenn r1 > r2. Der Umfang der Figur ist gleich der Summe der beiden Kreise.


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