Mathelexikon

Wieferich Primzahl

Wieferich Primzahl

Diese besonderen Primzahlen sind nach Arthur Josef Alwin Wieferich benannt. --> wikipedia <--
Eine Primzahl p ist eine Wieferich Primzahl, wenn gilt 2p-1 - 1 ist durch p² teilbar. Es sind davon bisher nur zwei bekannt: 1093 und 3511.
Ob es noch mehr gibt oder gar unendliche viele ist nicht bekannt. Wieferich war bei der Untersuchung des großen fermatschen Satzes auf diese Zahlen gestoßen.
Es gibt auch nur zwei bekannte Primzahlen p für die gilt:  3p-1 - 1 ist durch p² teilbar. Es handelt sich hierbei um die 11 und 1006003.


noch mehr Interessantes im großen -->Mathelexikon<--





Polydivisible Zahlen

Polydivisible Zahlen

Polydivisible Zahlen sind spezielle natürliche Zahlen. Die Ziffern seien abcdef...
Eine Zahl p ist polydivisibel, wenn alle folgenden Bedingungen gelten:
0. die erste Ziffer ist keine Null.
1. Die erste Ziffer ist durch 1 teilbar (na gut, das gilt immer --> es 9 einstellige polydivisible Zahlen)
2. Die aus den ersten beiden Ziffern gebildete Zahl ab ist durch 2 teilbar.
3. Die aus den ersten drei Ziffern gebildete Zahl abc ist durch 3 teilbar.
4. Die aus den ersten vier Ziffern gebildete Zahl abcd ist durch 4 teilbar.
5. .........
Prinzip erkannt?
Dann ist ja gut.
--> wikipedia Artikel (engl.) <--
Eine ganz besondere polydivisible Zahl ist:  381654729 Es ist die einzige neustellige polydivisible Zahl, deren Ziffern alle verschieden sind. Neunstellig und polydivisibel, nun davon gibt es  2492 Zahlen.
Die längste polydivisible Zahl ist: 3 608 528 850 368 400 786 036 725 also 25 Stellen.

noch mehr Interessantes im --> Mathelexikon <--



Nummerieren

Nummerieren

Allgemein gesagt, heißt nummerieren, dass man den Elementen einer Menge (oder irgend welcher Objekte z.B. den Häusern einer Straße) natürliche Zahlen zuordnet.
Was zum Beispiel das Nummerieren von Häusern angeht, so ist dies nicht unbedingt immer ganz einfach bzw. nachvollziehbar für Nichteinheimische. So sind in Chemnitz auf einer Straßenseite meist ungerade und auf der anderen Seite die geraden Hausnummern. Durch unterschidliche Bebauungsbreiten kann es so passieren, dass sich aufeinander folgende Zahlen sich nicht gegenüber befinden. Auch wurden kriegsbedingt verloren gegange Häuser samt ihren Hausnummern nicht neu einbezogen.
Interessant auch die Nummerierung in Teilen Berlins. Die Hausnummern beginnen auf einer Seite und kommen auf der anderen Straßenseite "zurück". Das Problem wird deutlich, wenn man sich überlegt, was passiert, wenn man die Straße verlängern will. ...

noch mehr Interessantes im --> Mathelexikon <--


Scheitelwinkel

Scheitelwinkel

Schneiden sich zwei Geraden, so entstehen am Schnittpunkt vier Winkel. Je zwei Winkel davon, die keinen Schenkel gemeinsam haben, werden als Scheitelwinkel bezeichnet. Die Scheitelwinkel sind immer gleich groß.

winkel k
s. Winkelbeziehungen
noch mehr Interessantes im --> Mathelexikon <--

Nebenwinkel

Nebenwinkel

Schneiden sich zwei Geraden, so entstehen am Schnittpunkt vier Winkel. Je zwei Winkel davon, die einen Schenkel gemeinsam haben, werden als Nebenwinkel bezeichnet. Die Summe zweier Nebenwinkel beträgt 180°.
Stufenwinkel
winkel k
s. Winkelbeziehungen

noch mehr Interessantes im --> Mathelexikon <--

Lot

Lot

In der ebenen Geometrie ist ein Lot eine Gerade, die senkrecht zu einer gegebenen Gerade verläuft. Spezielle Formen des Lotes sind die Höhen im Dreieck oder anderen n-Ecken.
--> besondere Linien im Dreieck <--
Im dreidimensionalen Raum ist ein Lot eine Gerade oder eine Ebene, die senkrecht zu einer gegebenen Ebene verläuft.

noch mehr Interessantes im --> Mathelexikon <--

delisches Problem

delisches Problem

delisches Problem - auch Würfeldopplung
Der Name leitete sich ab von der Insel Delos. Deren Bewohner sollten zwecks Bekämpfung einer Epidemie den würfelförmigen Altarstein doppelt so groß herstellen.
Die Frage besteht also darin herauszufinden, wie groß muss die Kantenlänge des neunen Würfels sein.
Sei a1 die Kantenlänge des Ausgangswürfels, so hat der ein Volumen von a1³. Das neue Volumen ist dann 2*a1³ ==>a_2 = {\sqrt[3]{2 \cdot a_1}}
Das Problem eines solche Länge zu konstruieren, ist mit den Mitteln der klassischen Geometrie - Konstruktionen nur mit Zirkel und Lineal - nicht lösbar.
Der Nachweis der Unmöglichkeit gelang erst im 19. Jahrhundert.
Ausrechnen geht, aber konstruieren, sorry.

noch mehr Interessantes im  -->Mathelexikon<--

Gärtnerkonstruktion

Gärtnerkonstruktion:

auch bei --> Ellipse <-- nachlesen
Man nimm einen Faden (Länge l = r1 + r2) und legt zwei Punkte fest (die Brennpunkte). Dort werden die Enden des Fadens befestigt. Wenn nun der Faden straff gespannt wird, so bewegt sicht der "Straffhaltepunkt" auf einer Ellipse. Pflanzt man eine Hecke in Ellipsenform - muss nicht vollständig sein - und stellt bei den Brennpunkten Bänken auf, so wird jedes geflüsterte Wort von einer Bank ganz deutlich übertragen. Die nach allen Seiten von einem der Brennpunkt ausgehenden Schallwellen werden so reflektiert, dass sie im anderen Brennpunkt ankommen.
Mit Licht funktioniert das natürlich auch. Hecke durch Spiegel ersetzen. Steht einer in einem Brennpunkt, so kann er jemanden, der im anderen Brennpunkt steht sehen, egal wohin er schaut. (Mit einer Ausnahme, dass er sich gerade selber sieht.)

noch mehr Interessantes im -->Mathelexikon<--

Ellipse

Ellipse

Den Begriff Ellipse gibt es als Ausdrucksmittel in der Sprache.
Hier ist diese Figur gemeint:
ellipse
Die Ellipse ist definiert als Ort aller Punkte, für die gilt r1 + r2 ist konstant. Die Punkte F1 und F2 heißen Brennpunkte der Ellipse. a und b sind die Halbachsen der Ellipse.
Fallen die beiden Brennpunkte zusammen, so erhält man einen Kreis.
Eine Ellipse ist eine der Figuren, die entstehen können, wenn man einen (Doppel-)Kegel mit einem ebenen Schnitt schneidet.
Gärtnerkonstruktion: Man nimm einen Faden (Länge l = r1 + r2) und legt zwei Punkte fest (die Brennpunkte). Dort werden die Enden des Fadens befestigt. Wenn nun der Faden straff gespannt wird, so bewegt sicht der "Straffhaltepunkt" auf einer Ellipse. Pflanzt man eine Hecke in Ellipsenform - muss nicht vollständig sein - und stellt bei den Brennpunkten Bänken auf, so wird jedes geflüsterte Wort von einer Bank ganz deutlich übertragen. Die nach allen Seiten von einem der Brennpunkt ausgehenden Schallwellen werden so reflektiert, dass sie im anderen Brennpunkt ankommen.
Mit Licht funktioniert das natürlich auch. Hecke durch Spiegel ersetzen. Steht einer in einem Brennpunkt, so kann er jemanden, der im anderen Brennpunkt steht sehen, egal wohin er schaut. (Mit einer Ausnahme, dass er sich gerade selber sieht.)
Die Keplerschen Gesetze beschreiben ebenfalls Ellipsen.
Richtig interessant wird es, wenn man die Gärtnerkonstruktion mit drei Festpunkten ausführt.  --> Mathematik ist überall <--

noch mehr Interessantes im -->Mathelexikon<--

Dualsystem

Dualsystem

Das Dualsystem ist ein Positionssystem mit der Basis 2 und den Ziffern 0 und 1. Es wird auch als Binärsystem bezeichnet und ist die Grundlage für die Verarbeitung von Daten im Computer.
siehe --> Positionssysteme

noch mehr Interessantes im  -->Mathelexikon<--

diophantische Gleichungen

diophantische Gleichungen

Eine Gleichung heißt diophantische Gleichung, wenn es ganzzahlige (oder auch nur natürliche) Zahlen gibt, die die Gleichung erfüllen.
Benannt sind die nach dem griechischen Mathematiker Diophant.
Eines der bekanntesten Probleme war die Gleichung xn +yn = zn. Mit n =1 ist Lösung elementar. In x + y = z finden sich immer ganzzahlige Lösungen. Für n=2 sind die pythagoräischen Tripel gesucht. Pierre Fermat vemutete, dass es außer x = y = z = 0 keine diophantische Lösung für n > 2 gäbe. Nach es dem viele "Einzelbeweise" für die Richtigkeit dieser Vermutung von Fermat gab, gelang es erst 1995 zu beweisen, dass es wirklich so stimmte.


fermat1
In der linearen Optimierung spielen diophantische Näherungslösungen eine große Rolle, wenn es z.B. darum geht ein Optimum zu finden, wenn es um den Einsatz von Menschen und Maschinen geht, die nun mal nicht mit 5,34 Personen eingesetzt werden können.
Auch die Aufgabe nach Wahlen eine Sitzverteilung im Parlament vorzunehmen, erfordert eine diophantische Annäherung, da eine Partei ja keine 45, 82... Sitze erhalten kann.
Empfehlenswertes Buch zum letzten Thema: "Die verflixste Mathematik der Demokratie" von Szpiro.

noch mehr Interessantes im  -->Mathelexikon<--

quadratfreie Zahl

quadratfreie Zahl

Eine natürliche Zahl n heißt quadratfrei, wenn die alle Primfaktoren der Zahl n nur in der ersten Potenz auftreten.
In diesem Sinne sind alle Primzahlen quadratfrei.
Beispiel: 30 ist quadratfrei, denn 30 = 2 * 3 * 5
Gegenbeispiel: 12 ist nicht quadratfrei, denn 12 = 2² * 3

qed

qed

Diese drei Buchstaben stehen für quod erat demonstrandum (lateinisch: was zu beweisen war bzw. was zu zeigen war).
Diese Buchstaben werden unter einen fertigen Beweis geschrieben. Üblich ist statt dessen auch w.z.b.w

noch mehr Interessantes im -->Mathelexikon<--

Strahlensatz

Strahlensatz

Manche sagen Strahlensätze, andere Strahlensatz Teil1, 2 oder 3. Nun ja, worum geht es?
Strahlensatz
In dem Bild sind drei Strahlen (a, b und c) mit gemeinsamen Anfangspunkt S und zwei Parallelen (h und g) zu sehen.
a, b und c bilden ein Strahlenbüschel. h und g eine (zugegeben kleine) Parallelenschar.
Es sind Strahlenabschnitte und Parallelenabschnitte erkennbar.
Im Teil 1 geht es um Strahlenabschnitte, im Teil 2 Strahlenabschnitte und Parallelenabschnitte und im Teil 3 um Parallelenabschnitte.
In der Alltagsmathematik werden häufig die Teile 1 und 2 benutzt.
Es werden einige Beispiele für die Streckenverhältnisse angegeben aus deren System sich (hoffentlich) der Inhalt erschließt. Zu beachten ist, dass bei Teil 2 alle Strahlenabschnitte den Punkt S enthalten müssen.
Teil 1:
\large \frac {\overline {SB}}{\overline{SE}} = \frac {\overline {SC}}{\overline{SF}}
oder
\large \frac {\overline {SA}}{\overline{SB}} = \frac {\overline {AD}}{\overline{BE}}

Teil 2:
\large \frac {\overline {SA}}{\overline{SD}} = \frac {\overline {AB}}{\overline{DE}}
oder
\large \frac {\overline {SB}}{\overline{SE}} = \frac {\overline {AC}}{\overline{DF}}

Teil 3:
\large \frac {\overline {AB}}{\overline{AC}} = \frac {\overline {DE}}{\overline{DF}}
oder
\large \frac {\overline {AB}}{\overline{DE}} = \frac {\overline {BC}}{\overline{EF}}


--> Java Applet zum Üben <--



noch mehr Interessantes im großen -->Mathelexikon<--

harmonisches Mittel

harmonisches Mittel

Das harmonisches Mittel ist ein weiterer Mittelwert, so wie das arithmetische Mittel und das geometrische Mittel.
Hat man die Messwerte x1, x2, ... und xn so wird das harmonische Mittel berechnet, in dem die Reziproken der Messwerte addiert und anschließend wird n durch diese Summe dividiert.
\large x_{harm}= \frac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}
Für nur zwei Werte x1 und x2 vereinfacht sich das Ganze zu:
\large x_{harm}= \frac {2x_1 x_2}{x_1 + x_2}

noch mehr Interessantes im großen -->Mathelexikon<--