Mathelexikon

Lissajous Figuren

Lissajous Figuren

(Lissajous - französischer Physiker 1822 - 1880)
Lissajous Figuren entstehen durch die Überlagerung von harmonischen Schwingungen. (Schwingungen, die sich durch Sinusfunktionen beschreiben lassen.) Die Kurve wird meist in der Parameterdarstellung beschrieben.
lissajous1
Das Aussehen der entstehenden Figur hängt von den Frequenzen (in der obigen Formel 2 bzw. 2,5), den Amplituden (in der Fomel jeweils die 5) und der Phasenverschiebung p ab (in der obigen Formel 0, sonst erkennbar in x = 5 sin (2 t+ p))
lissajous2 k
großes Bild

Lissajous Applet

Pythagorasbaum

Pythagorasbaum

Der sogenannte Pythagorasbaum gehört zu bekanntesten Fraktalen.
Das Bild zeigt das Fraktal in der Stufe 4.
pythagorasbaum k Bild größer
Ausgangspunkt ist das untere rechtwinklige Dreieck. An dieses Dreieck werden die Quadrate über der Hypotenuse und den Katheten gezeichnet. An die Kathetenquadrate wird jeweils ein weiteres Dreieck konstruiert, welches dem ersten Dreieck ähnlich ist. An deren Katheten werden wieder die Quadrate ergänzt - Stufe 2 ist erreicht. Nach diesem Verfahren wird Schitt für Schritt weiter verfahren.
Applet für Stufe 1 - 4
Statt der Quadrate können natürlich auch andere Figuren Verwendung finden.
Das Bild zeigt die Stufe 3 unter Verwendung von regelmäßigen Sechsecken:
pythagorasbaum-6

Gon (Neugrad)

Gon

Gon (früher auch als Neugrad bezeichnet) ist ein Winkelmaß, welches (fast) nur im Vermessungswesen genutzt wird.
α  = 100 gon = 100g ist ein rechter Winkel.
Viele Taschenrechner haben diese Einheit für Winkel --> Aufpassen, wenn man Winkelfunktionswerte nutzen möchte, dass die "richtige" Einheit zugrunde liegt.

Vorsätze für Maßeinheiten

Vorsätze für Maßeinheiten

Vorsätze für Maßeinheiten werden auch als Präfixe bezeichnet.
Beachte:
- Es wird immer nur ein Vorsatz verwendet - also nicht Millihektogramm oder so.
- Bei "Potenzeinheiten" - z. B. km³ oder mm² ist der Vorsatzfaktor in die entsprechende Potenz zu heben.
- Beim Umrechnen kann man die "Verschiebung" des Kommas an den Exponenten  bzw. deren Differenzen ablesen.
- Multiplikation mit 10-a geht auch mit der Division durch 10a.
- In der Informatik basieren die Vorsätze auf dem Binärsystem, z. B. 1 Kilobyte = 1024 Byte (1024 = 210)

"große" Vorsätze "kleine" Vorsätze
Name des Vorsatzes Zeichen Faktor, mit dem die Einheit
multipliziert werden muss
Name des Vorsatzes Zeichen Faktor, mit dem die Einheit
multipliziert werden muss
Yotta Y 1024 Yocto y 10-24
Zetta Z 1021 Zepto z 10-21
Exa E 1018 Atto a 10-18
Peta P 1015 Femto f 10-15
Tera T 1012 Pico p 10-12
Giga G 109 Nano n 10-9
Mega M 106 Mikro μ 10-6
Kilo k 103 Milli m 10-3
Hekto h 102 Zenti c 10-2
Deka da 10 Dezi d 10-1 = 0,1


Weitere Infos bei wikipedia

Napoleon-Punkte

Napoleon-Punkt

Es wird zwischen dem Napoleonpunkt 1 und Napoleonpunkt 2 unterschieden.
Napoleonpunkt 1:
napoleonpunkt
An die Seiten eines beliebigen Dreiecks ABC werden nach außen zeigende gleichseitige Dreiecke konstruiert. Die Schwerpunkte dieser Dreiecke M, N und O bilden ein gleichseitiges Dreieck (Satz des Napoleon). Dieses Dreieck wird äußeres Napoleondreieck genannt. Verbindet man diese Schwerpunkte mit den gegenüberliegenden Eckpunkten des Ausgangsdreiecks, so schneiden die Verbindungsgeraden in einem Punkt - dem Napoleonpunkt 1.
Napoleonpunkt 2:
napoleonpunkt-2
An die Seiten eines beliebigen Dreiecks ABC werden nach "innen" zeigende gleichseitige Dreiecke konstruiert. Die Schwerpunkte dieser Dreiecke M, N und O bilden ein gleichseitiges Dreieck (Satz des Napoleon). Dieses Dreieck wird inneres Napoleondreieck genannt. Verbindet man diese Schwerpunkte mit den gegenüberliegenden Eckpunkten des Ausgangsdreiecks, so schneiden die Verbindungsgeraden in einem Punkt - dem Napoleonpunkt 2.

Bildet man die Differenz der Flächeninhalte des äußeren und inneren Napoleondreiecks eines Dreiecks ABC, so ist die Differenz gleich dem Flächeninhalt des Dreiecks ABC.

-->Applet Punkt 1<--
-->Applet Punkt 2<--

Gergonne-Punkt

Gergonne-Punkt

Der Gergonne-Punkt ist ein besonderer Punkt im Dreieck. Die Berührungspunkte (D, E, F) des Inkreises werden jeweils mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt verbunden. Alle Verbindungsstrecken schneiden sich in einem Punkt G - dem Geronne-Punkt.
W - ist der Mittelpunkt des Inkreises.
(Gergonne - frz. Mathematiker 1771 - 1851)
gergonne



zum Applet

Inkreis

Inkreis

Berührt ein Kreis alles Seiten eines konvexen Vielecks, so nennt man einen solchen Kreis den Inkreis des Vielecks. Alle regelmäßigen Vielcke haben einen solchen Inkreis.
Jedes Dreieck hat einen Inkreis.
inkreis
Es werden die Winkelhalbierenden konstruiert. Deren Schnittpunkt W ist Mittelpunktpunkt des Inkreises. Den Radius ri des Inkreises erhält man durch das Fällen des Lotes auf eine der Dreieckseiten von W aus.

zum Applet

Ankreise

Ankreise an ein Dreieck
An ein Dreieck lassen sich Ankreise konstruieren. Ein Ankreis berührt eine Dreiecksseite von "außen" und zugleich die Verlängerungen der zwei anderen Seiten. Die Mittelpunkte der Ankreise sind Schnitten der Winkelhalbierenden von Außenwinkeln. Wie man in dem Bild sieht verlaufen auch die Winkelhalbierenden der Innenwinkel durch den Mittelpunkt eines Ankreises (Seite liegt dem Innenwinkel gegenüber.
ankreise k
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Pythagoreische Tripel

Pythagoreische Tripel (auch pythagoräische Tripel)

Pythagoreische Tripel (a; b; c) sind natürliche Zahlen a, b und c, die als Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks in Frage kommen. Damit sind sie also größer als Null und es muss a² + b² = c² gelten.
Sind die Zahlen a, b und c teilerfremd, dann wird ein solches Tripel primitiv genannt. Bekanntestes Beispiel: (3; 4; 5). Wird jedes Zahl eines primitiven Tripels mit der gleich natürlichen Zahl n (n>1) multipliziert, so erhält man ein nicht primitives Tripel.
(3; 4; 5) --> (6; 8; 10) oder auch (300; 400; 500)
Erzeugung pythagoreischer Tripel:
Man wähle zwei natürliche Zahlen x und y (größer Null und x größer y).
a = x² - y²
b = 2xy
c = x² + y²
Nachweis ist bei -->Aufgabe 5 Serie 13<-- zu finden.
Merkwürdigkeiten:
Hat a die Struktur 2n+1 (n- natürliche Zahl, n >0), so ist c genau um 1 größer als b.
Hat b die Struktur 4n (n- natürliche Zahl, n >0), so ist c genau um 2 größer als a.
Mit PHP-Programm erzeugte Tripel für die Werte 1 bis 100 für x und y.

Kosinussatz

Kosinusssatz
Der Kosinussatz wird für --> Berechnungen im Dreieck <-- benutzt.
Das Quadrat einer Seitenlänge ist gleich der Summe aus den Quadraten der der Seitenlängen, der beiden anderen Seiten vermindert um das Doppelte des Produkts aus den beiden Seitenlängen und dem Kosinus des Winkels den die beiden Seiten einschließen.
Herleitung einer solchen Beziehung für das spitzwinkligen Dreieck ABC mit der Höhe hc.
AD = u und DB = v
Satz des Pythagoras in den Teildreieckensinus-kosinus-satz
  \longrightarrow {h_c}^2 = b^2 - u^2 \hspace{15} {h_c}^2 = a^2 - v^2 \\ \longrightarrow a^2-v^2 = b^2 - u^2 \\ \longrightarrow a^2 = b^2 - u^2 + v^2 \\ \longrightarrow a^2 = b^2 - u^2 +(c - u)^2 \\ \longrightarrow a^2 = b^2 - u^2 + c^2 -2 \cdot c \cdot u + u^2 \\ \longrightarrow a^2 = b^2 + c^2 -2 \cdot c \cdot u \hspace {20} cos \alpha = \frac {u}{b} \rightarrow u = b \cdot cos \alpha \\ \longrightarrow a^2 = b^2 + c^2 -2 \cdot c \cdot b \cdot {cos \alpha}
Wenn man zwei Seiten kennt und den von ihnen eingeschlossen Winkel (entspricht dem Kongruenzsatz sws), dann ist die dritte Seite berechenbar. Kennt man die drei Seiten (entspricht dem Kongruenzsatz sss), so kann man jeden Winkel berechnen.
 a^2 = b^2 + c^2 -2 \cdot b \cdot c \cdot {cos \alpha} \longrightarrow cos \alpha = \frac {b^2 + c^2 - a^2}{2 \cdot b \cdot c}\\ b^2 = a^2 + c^2 -2 \cdot a \cdot c \cdot {cos \beta} \longrightarrow cos \beta = \frac {a^2 + c^2 - b^2}{2 \cdot a \cdot c}\\ c^2 = a^2 + b^2 -2 \cdot a \cdot b \cdot {cos \gamma} \longrightarrow cos \gamma = \frac {a^2 + b^2 - c^2}{2 \cdot a \cdot b}\\
Wird γ in der letzten Formel mit 90° eingesetzt (rechtwinkliges Dreieck), so ergibt sich der Satz des Pythagoras, denn cos 90° ist ja Null. Letztlich ist also der Satz des Pythagoras ein Spezialfall des Kosinussatzes.

Sinussatz

Sinussatz
Der Sinussatz wird für --> Berechnungen im Dreieck <-- benutzt.
Das Verhältnis zweier Seiten ist gleich dem Verhältnis der Sinuswerte der den Seiten gegenüberliegenden Winkeln.
Herleitung eines solchen Verhältnisses für das spitzwinklige Dreieck ABC mit der Höhe hc.
sinus-kosinus-satz
sin\alpha = \frac{h_c}{b} \longrightarrow h_c = b \cdot sin \alpha \\ sin\beta = \frac{h_c}{a} \longrightarrow h_c = a \cdot sin \beta \\ b \cdot sin \alpha =a \cdot sin \beta \\ \frac{sin \alpha}{sin \beta} = \frac {a}{b}
Anwendungen:
Kennt man zwei Winkel (damit eigentlich auch den dritten) und eine Seite des Dreiecks, dann lassen sich die anderen Seiten mit dem Sinussastz ermitteln. Entspricht dem Kongruenzsatz wsw.
Kennt man zwei Seiten und einen Winkel, der einer dieser Seiten gegenüberliegt, so ist die Lösung nur dann eindeutig, wenn der Kongruenzsatz Ssw angewendet werden kann - der gegebene Winkel müsste der größeren der beiden Seiten gegenüber liegen.
Achtung: Liegt der gegebene Winkel der kleineren Seite gegenüber, dann gibt drei Möglichkeiten.
1. Die Aufgabe hat keine Lösung - daran erkennbar, dass der Sinuswert des zweiten Winkel größer 1 wird, was ja nicht geht.
2. Die Aufgabe hat genau eine Lösung - daran erkennbar, dass der Sinuswert des Winkels genau 1 ist, der zu berechnende Winkel sich zu 90° ergibt.
3. Die Aufgabe hat zwei Lösungen, der sich mit dem Taschenrechner ergebende Winkelwert ist nur eine der Lösung, der zweite Winkelwert ergibt sich, wenn man den "Taschenrechnerwert" von 180° subtrahiert. (wegen sin α = sin (180° - α))

Urliste

Urliste

Bei der Erhebung von statistischen Daten werden die erhaltenen Angaben in der Reihefolge der Befragung in einer (meist strukturierten) Urliste erfasst. Eine Sortierung erfolgt in der Regel danach.
Beispiel: Umfrage zur Höhe des Taschengeldes. die mögliche Urliste könnte zwei Spalten haben - Namen und Höhe des Taschengeldes. Die Schüler werden der Reihe nach befragt. Eine Sortierung z. B. nach der Höhe des Taschengeldes erfolgt im Anschluss.
--> Modalwert
--> Zentralwert

Umlaufsinn

Umlaufsinn

Bei der Bezeichnung der Eckpunkte eines n-Ecks wird zwischen positivem - entgegen dem Uhrzeigerlauf - und den negativem - mit dem Uhrzeigerlauf - Umlaufsinn unterschieden. In den meisten Nachschlagewerken sind die n-Ecke mit positivem Umlaufsinn abgebildet.
Anmerkung: Schaut man von der Tribüne eines Stadions auf die Läufers eines 400 m Laufes (oder länger), dann ist die Laufrichtung ebenfalls im mathematisch positiven Sinn.

Mitternachtsformel

Mitternachtsformel

Es geht hier nicht um eine Formel mit der man ausrechnet, wann nun Mitternacht ist, sondern es eine Formel - eigentlich mehrere Formeln -, die man "im Schlaf" beherrschen soll(te).
"Und wenn dich jemand um Mitternacht weckt, dann musst du diese Formel nennen können", so hieß es früher (heute?) bei so manchem Lehrer, der die Wichtigkeit einer Formel herausstellen wollte.
Es gibt also nicht die Mitternachtsformel.
Beispiele, die gern genommen werden:
Grundgleichung der Prozentrechnung: \frac{W}{p}= \frac{G}{100}
Ohmscher Widerstand: R= \frac{U}{I}
und immer wieder gerne genommen, die Lösungsformel von ax² + bx + c = 0 (a ungleich 0) x_{1, 2} = - \frac {b}{2a} \pm \sqrt{\frac {b^2 - 4ac}{4a^2}}

Tavola Pitagorica

Tavola Pitagorica

Eine Tavola Pitagorica ist eine Multiplikationstafel für das kleine 1x1. Zu sehen ist hier eine solche Tabelle, die sich auf der Rückseite eines Schreibheftes aus 20er Jahren des 20. Jahrhunderts befindet. Meist wurde das Auswendiglernen unterstützt, in dem bestimmte Zahlen, z. B. die Quadratzahlen ausgemalt wurden.
tavola k
--> großes Bild <--