Mathelexikon

Gergonne-Punkt

Gergonne-Punkt

Der Gergonne-Punkt ist ein besonderer Punkt im Dreieck. Die Berührungspunkte (D, E, F) des Inkreises werden jeweils mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt verbunden. Alle Verbindungsstrecken schneiden sich in einem Punkt G - dem Geronne-Punkt.
W - ist der Mittelpunkt des Inkreises.
(Gergonne - frz. Mathematiker 1771 - 1851)
gergonne



zum Applet

Inkreis

Inkreis

Berührt ein Kreis alles Seiten eines konvexen Vielecks, so nennt man einen solchen Kreis den Inkreis des Vielecks. Alle regelmäßigen Vielcke haben einen solchen Inkreis.
Jedes Dreieck hat einen Inkreis.
inkreis
Es werden die Winkelhalbierenden konstruiert. Deren Schnittpunkt W ist Mittelpunktpunkt des Inkreises. Den Radius ri des Inkreises erhält man durch das Fällen des Lotes auf eine der Dreieckseiten von W aus.

zum Applet

Ankreise

Ankreise an ein Dreieck
An ein Dreieck lassen sich Ankreise konstruieren. Ein Ankreis berührt eine Dreiecksseite von "außen" und zugleich die Verlängerungen der zwei anderen Seiten. Die Mittelpunkte der Ankreise sind Schnitten der Winkelhalbierenden von Außenwinkeln. Wie man in dem Bild sieht verlaufen auch die Winkelhalbierenden der Innenwinkel durch den Mittelpunkt eines Ankreises (Seite liegt dem Innenwinkel gegenüber.
ankreise k
großes Bild
Java-Applet

Pythagoreische Tripel

Pythagoreische Tripel (auch pythagoräische Tripel)

Pythagoreische Tripel (a; b; c) sind natürliche Zahlen a, b und c, die als Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks in Frage kommen. Damit sind sie also größer als Null und es muss a² + b² = c² gelten.
Sind die Zahlen a, b und c teilerfremd, dann wird ein solches Tripel primitiv genannt. Bekanntestes Beispiel: (3; 4; 5). Wird jedes Zahl eines primitiven Tripels mit der gleich natürlichen Zahl n (n>1) multipliziert, so erhält man ein nicht primitives Tripel.
(3; 4; 5) --> (6; 8; 10) oder auch (300; 400; 500)
Erzeugung pythagoreischer Tripel:
Man wähle zwei natürliche Zahlen x und y (größer Null und x größer y).
a = x² - y²
b = 2xy
c = x² + y²
Nachweis ist bei -->Aufgabe 5 Serie 13<-- zu finden.
Merkwürdigkeiten:
Hat a die Struktur 2n+1 (n- natürliche Zahl, n >0), so ist c genau um 1 größer als b.
Hat b die Struktur 4n (n- natürliche Zahl, n >0), so ist c genau um 2 größer als a.
Mit PHP-Programm erzeugte Tripel für die Werte 1 bis 100 für x und y.

Kosinussatz

Kosinusssatz
Der Kosinussatz wird für --> Berechnungen im Dreieck <-- benutzt.
Das Quadrat einer Seitenlänge ist gleich der Summe aus den Quadraten der der Seitenlängen, der beiden anderen Seiten vermindert um das Doppelte des Produkts aus den beiden Seitenlängen und dem Kosinus des Winkels den die beiden Seiten einschließen.
Herleitung einer solchen Beziehung für das spitzwinkligen Dreieck ABC mit der Höhe hc.
AD = u und DB = v
Satz des Pythagoras in den Teildreieckensinus-kosinus-satz
  \longrightarrow {h_c}^2 = b^2 - u^2 \hspace{15} {h_c}^2 = a^2 - v^2 \\ \longrightarrow a^2-v^2 = b^2 - u^2 \\ \longrightarrow a^2 = b^2 - u^2 + v^2 \\ \longrightarrow a^2 = b^2 - u^2 +(c - u)^2 \\ \longrightarrow a^2 = b^2 - u^2 + c^2 -2 \cdot c \cdot u + u^2 \\ \longrightarrow a^2 = b^2 + c^2 -2 \cdot c \cdot u \hspace {20} cos \alpha = \frac {u}{b} \rightarrow u = b \cdot cos \alpha \\ \longrightarrow a^2 = b^2 + c^2 -2 \cdot c \cdot b \cdot {cos \alpha}
Wenn man zwei Seiten kennt und den von ihnen eingeschlossen Winkel (entspricht dem Kongruenzsatz sws), dann ist die dritte Seite berechenbar. Kennt man die drei Seiten (entspricht dem Kongruenzsatz sss), so kann man jeden Winkel berechnen.
 a^2 = b^2 + c^2 -2 \cdot b \cdot c \cdot {cos \alpha} \longrightarrow cos \alpha = \frac {b^2 + c^2 - a^2}{2 \cdot b \cdot c}\\ b^2 = a^2 + c^2 -2 \cdot a \cdot c \cdot {cos \beta} \longrightarrow cos \beta = \frac {a^2 + c^2 - b^2}{2 \cdot a \cdot c}\\ c^2 = a^2 + b^2 -2 \cdot a \cdot b \cdot {cos \gamma} \longrightarrow cos \gamma = \frac {a^2 + b^2 - c^2}{2 \cdot a \cdot b}\\
Wird γ in der letzten Formel mit 90° eingesetzt (rechtwinkliges Dreieck), so ergibt sich der Satz des Pythagoras, denn cos 90° ist ja Null. Letztlich ist also der Satz des Pythagoras ein Spezialfall des Kosinussatzes.

Sinussatz

Sinussatz
Der Sinussatz wird für --> Berechnungen im Dreieck <-- benutzt.
Das Verhältnis zweier Seiten ist gleich dem Verhältnis der Sinuswerte der den Seiten gegenüberliegenden Winkeln.
Herleitung eines solchen Verhältnisses für das spitzwinklige Dreieck ABC mit der Höhe hc.
sinus-kosinus-satz
sin\alpha = \frac{h_c}{b} \longrightarrow h_c = b \cdot sin \alpha \\ sin\beta = \frac{h_c}{a} \longrightarrow h_c = a \cdot sin \beta \\ b \cdot sin \alpha =a \cdot sin \beta \\ \frac{sin \alpha}{sin \beta} = \frac {a}{b}
Anwendungen:
Kennt man zwei Winkel (damit eigentlich auch den dritten) und eine Seite des Dreiecks, dann lassen sich die anderen Seiten mit dem Sinussastz ermitteln. Entspricht dem Kongruenzsatz wsw.
Kennt man zwei Seiten und einen Winkel, der einer dieser Seiten gegenüberliegt, so ist die Lösung nur dann eindeutig, wenn der Kongruenzsatz Ssw angewendet werden kann - der gegebene Winkel müsste der größeren der beiden Seiten gegenüber liegen.
Achtung: Liegt der gegebene Winkel der kleineren Seite gegenüber, dann gibt drei Möglichkeiten.
1. Die Aufgabe hat keine Lösung - daran erkennbar, dass der Sinuswert des zweiten Winkel größer 1 wird, was ja nicht geht.
2. Die Aufgabe hat genau eine Lösung - daran erkennbar, dass der Sinuswert des Winkels genau 1 ist, der zu berechnende Winkel sich zu 90° ergibt.
3. Die Aufgabe hat zwei Lösungen, der sich mit dem Taschenrechner ergebende Winkelwert ist nur eine der Lösung, der zweite Winkelwert ergibt sich, wenn man den "Taschenrechnerwert" von 180° subtrahiert. (wegen sin α = sin (180° - α))

Urliste

Urliste

Bei der Erhebung von statistischen Daten werden die erhaltenen Angaben in der Reihefolge der Befragung in einer (meist strukturierten) Urliste erfasst. Eine Sortierung erfolgt in der Regel danach.
Beispiel: Umfrage zur Höhe des Taschengeldes. die mögliche Urliste könnte zwei Spalten haben - Namen und Höhe des Taschengeldes. Die Schüler werden der Reihe nach befragt. Eine Sortierung z. B. nach der Höhe des Taschengeldes erfolgt im Anschluss.
--> Modalwert
--> Zentralwert

Umlaufsinn

Umlaufsinn

Bei der Bezeichnung der Eckpunkte eines n-Ecks wird zwischen positivem - entgegen dem Uhrzeigerlauf - und den negativem - mit dem Uhrzeigerlauf - Umlaufsinn unterschieden. In den meisten Nachschlagewerken sind die n-Ecke mit positivem Umlaufsinn abgebildet.
Anmerkung: Schaut man von der Tribüne eines Stadions auf die Läufers eines 400 m Laufes (oder länger), dann ist die Laufrichtung ebenfalls im mathematisch positiven Sinn.

Mitternachtsformel

Mitternachtsformel

Es geht hier nicht um eine Formel mit der man ausrechnet, wann nun Mitternacht ist, sondern es eine Formel - eigentlich mehrere Formeln -, die man "im Schlaf" beherrschen soll(te).
"Und wenn dich jemand um Mitternacht weckt, dann musst du diese Formel nennen können", so hieß es früher (heute?) bei so manchem Lehrer, der die Wichtigkeit einer Formel herausstellen wollte.
Es gibt also nicht die Mitternachtsformel.
Beispiele, die gern genommen werden:
Grundgleichung der Prozentrechnung: \frac{W}{p}= \frac{G}{100}
Ohmscher Widerstand: R= \frac{U}{I}
und immer wieder gerne genommen, die Lösungsformel von ax² + bx + c = 0 (a ungleich 0) x_{1, 2} = - \frac {b}{2a} \pm \sqrt{\frac {b^2 - 4ac}{4a^2}}

Tavola Pitagorica

Tavola Pitagorica

Eine Tavola Pitagorica ist eine Multiplikationstafel für das kleine 1x1. Zu sehen ist hier eine solche Tabelle, die sich auf der Rückseite eines Schreibheftes aus 20er Jahren des 20. Jahrhunderts befindet. Meist wurde das Auswendiglernen unterstützt, in dem bestimmte Zahlen, z. B. die Quadratzahlen ausgemalt wurden.
tavola k
--> großes Bild <--

Polarkoordinaten

Polarkoordinaten

Bis zur Klasse 10 (und manchmal darüber hinaus) lernt man nur das kartesische Koordinatensystem (mit x-Achse und y-Achse) kennen.
Um die Lage eines Punktes zu beschreiben, lassen sich aber auch die Polarkoordinaten verwenden.
polarkoordinaten
Es wird Koordinatenursprung benötigt - hier wurde der kartesische Punkt (0; 0) genommen - und von diesem ausgehend ein Vektor (Polarachse) - hier mit dem positivem Teil der x-Achse gleichgesetzt. Die Polarkoordinaten des Punkte P sind r - der Abstand vom Koordinatenursprung und φ - der Winkel gegen die Polarachse (x-Achse).
Beispiel im Bild:
kartesisch: P(4; 3)
polar: P (5; 36,87°)
φ wird auch häufig im Bogenmaß verwendet.
Für das obige Bild dann:
 x= r \cdot cos \phi \\ y = r \cdot sin \phi \\ r = \sqrt {x^2 + y^2}

Aplett zu Polarkoordinaten
Programm zur Umrechnung soll noch kommen.

Monte-Carlo-Methode

Monte-Carlo-Methode

Es geht bei der Monte-Carlo-Methode um die Simulation von Zufallsversuchen. Dazu zählen Versuche zum Kernzerfall ebenso, wie die Simulation des Einkaufsverhalten.
Man braucht zum einen Zufallszahlen und zum anderen ein Modell um den Vorgang auf die Zahlen abzubilden. Die Aussagen aus der Mehtode beruhen i. A. auf dem Gesetz der großen Zahl.
Interessiert man sich zum Beispiel für das Würfeln, so werden aus der Zufallszahltabelle die Ziffern 1 bis 6 "ausgewertet", die anderen Ziffern werden ignoriert.
Eine schöne Anwendung der Monte-Carlo-Methode ist die Ermittlung der Zahl π.
pimontecarlo
Mit Hilfe einer Zufallstabelle oder eines Zufallsgenerators werden Koordinaten von Punkten erzeugt und in ein Koordinatensystem (s. Bild) eingetragen.
Die Bildpunkte verteilen sich in zufälliger Weise auf dem Quadrat (mit der Länge r - im Bild sind es 10 LE). In diesem Quadrat ist ein Viertelkreis eingezeichnet. Die Anzahl der Punkte K im Viertelkreis entsprechen dem Anteil der Vierteilkreisfläche an der Quadratfläche, auf der sich alle Punkte P befinden.
 \frac{K}{P} = \frac { \frac{\pi \cdot r^2}{4}}{ r^2}  \\ \pi = \frac {4 \cdot K}{P}
--> php zum selber Probieren <--

Arbelos-Inkreis

Der Inkreis eines Arbelos

Vorbemerkung: Jedes Dreieck hat einen Inkreis und einen Umkreis. Jedes Kreisbogendreieck hat auch einen Inkreis.
arbelos-in
Arbelos zeichen.
Mittelsenkrechten von AC und CB konstruieren (Grundkonstruktion)
Die Mittelsenkrechten schneiden die kleinen Kreisbögen des Arbelos. (z. B. in Mg.)
Schnittpunkte als Kreismittelpunkte nutzen (gestrichelte Kreise im Bild)
Die Schnittpunkte der "gestrichelten" Kreise mit den Kreisbögen des Arbelos bilden ein Dreieck, zu dem der Umkreis konstruiert wird. Der Inkreis des Arbelos ist damit gefunden.
Leon Bankoff fand eine schöne Konstruktion, die drei Punkte des Dreiecks zu finden, dessen Umkreis benötigt wird.
Der Mittelpunkt des "linken" Hilfskreis wird mit B und der Mittelpunkt des "rechten" Hilfskreises wird mit A. Diese Geraden1 schneiden die kleinen Kreisbögen des Arbelos in zwei der gesuchten Dreieckspunkte. Der dritte Punkte ergibt sich als Schnittpunkt des großen Kreisbogens des Arbelos und der Geraden durch C und dem Schnittpunkt der Geraden1.

Arbelos

Arbelos

Arbelos leitet sich vom griechischen "Schustermesser" ab. Archimedes soll diese Figur sehr intensiv untersucht haben. (Es werden noch weitere Artikel im Lexikon erscheinen, die auf die interessanten Eigenschaften dieser Figur eingehen s. u.)
arbelos
Ein roter Halbkreis (d = AB) wird von zwei kleinen Halbkreisen (d = AC= 2R bzw. d = CB=2r) überdeckt, so dass letztendlich das rote Kreisbogendreieck "übrig bleibt" - Arbelos.
Der Umfang des Arbelos ist gleich dem Umfang des Kreises mit dem Durchmesser AB. Der nachweis dazu ist nicht so schwer - "scharfes Hinsehen" reicht.
Flächeninhalt:  A = \frac {\Pi \cdot (R + r)^2}{2} - ( \frac {\Pi \cdot R^2}{2} + \frac {\Pi \cdot r^2}{2}) \\A = \Pi \cdot R \cdot r
Mit Hilfes des Satz des Thales und des Höhensatzes für rechtwinklige Dreiecke läßt sich zeigen, dass der grüne Kreis in der Figur den gleichen Flächeninhalt hat wie der Arbelos.
arbelos-1
Der grüne Kreis wird auch als Kreis des Archimdes bezeichnet.
Herleitung:
Höhensatz: h² = 2R*2r = 4 Rr. Eingesetzt in die Flächeninhaltsformel für den grünen Kreis:
 A = \Pi \cdot \left(\frac {h}{2}\right)^2 \\ A = \Pi \cdot \frac {h^2}{4} \\ A = \Pi \cdot \frac {4 \cdot Rr}{4} \\  A = \Pi \cdot Rr
--> der Inkreis des Arbelos <--

Vervielfachen einer Strecke

Vervielfachen einer Strecke

Unter dem Vervielfachen einer Strecke AB versteht man die Konstruktion einer Strecke AS, so dass AS = k * AB lang ist. ( k ist in der Regel eine positive Zahl.)
Ist k eine natürliche Zahl (>1), so wird die Strecke AB über B hinaus verlängert und  k-1 mal mit dem Zirkel abgetragen. Ist k keine natürliche Zahl, sondern ein Bruch der Form m/n, dann macht man es so:
An A wird ein Hilfsstrahl gezeichnet. Auf diesem werden (von A aus) Punkte mit gleichem Abstand (beliebige Zirkelspanne) konstruiert. (Im Bild H1, H2, ...) Die Anzahl der benötigten Punkte entricht dem Maximum von n und m. Der n-te Hilfspunkt wird mit B durch eine Gerade g verbunden. Anschließend wird eine Parallele h zu g durch den m-ten Hilfspunkt konstruiert. Die Parallele schneidet die Strecke AB oder deren Verlängerung im Punkt S. Die Strecke AS ist dann die gesuchte Vervielfachte.
vervielfachen
Die Konstruktion beruht auf dem ersten Teil des Strahlensatzes und wird häufig bei der zentrischen Streckung genutzt.
--> Applet <--