Mathelexikon

Teilbarkeitsregel und Euro

Teilbarkeitsregel und der Euro

Jeder Euroschein hat eine Seriennummer. Bei den "alten" Euroscheinen ist es ein Buchstabe - steht für ein Land, z. B. X für Deutschland und eine 11-stellige Zahl
Die "neuen" Scheine haben zwei Buchstaben und eine 10-stellige Zahl. (Der erste Buchstabe steht für die Druckerei, die den Schein gedruckt hat.)
Die letzte Ziffer der Zahl ist so gewählt, dass die Seriennummer - samt Buchstaben - durch 9 teilbar ist.
Für die Buchstaben werden die ASCII-Zeichen verwendet.
Beispiel für einen "neuen" 5-Euroschein.
Nummer UC 7 098 195 133
U --> 85     C --> 67
85 677 098 195 133 (Quersumme ist 8+5+6++7+7+0+9+8+1+9+5+1+3+3=72) ist durch 9 teilbar.
Das heißt aber auch, dass aufeinanderfolgende Scheine sich bei der Seriennummer um 9 unterscheiden.
85 677 098 195 133 --> 85 677 098 195 142
Aus der Nummer lässt sich noch ablesen, aber da möge jeder geneigte Leser selber weiterforschen.

Fermatpunkt

Fermatpunkt

Der Fermatpunkt gehört zu den besonderen Punkten im Dreieck.
Es gibt eigentlich zwei Fermatpunkte.
Der "bekanntere" Fermatpunkt wird folgendermaßen konstruiert. Über den Seiten eines Dreiecks (größter Innenwinkel kleiner als 120°) werden nach außen gerichtete gleichseitige Dreiecke konstriuert. Der außen liegende Punkt eines solchen gleichseitigen Dreicks wird jeweils mit dem gegenüberliegenden Punkt des Ausgangsdreiecks verbunden (z.B AA1). Die drei Strecken haben einen Punkt F gemeinsam. Dieser wird Fermatpunkt ( Fermatpunkt 1) genannt. Die herausragende Eigenschaft dieses Punktes ist, dass die Summe der Strecken von F zu den Eckpunkten des Ausgangsdreiecks minimal ist.
fermatpunkt
--> großes Bild <--
Möchte man drei Orte (A, B, C) verbinden, so stellt der Fermatpunkt die "Kreuzung" dar, so dass die Länge aller zu bauenden "Straßen" minimal wird.
Der zweite Fermatpunkt wird auf die gleiche Art konstruiert, nur dass die gleichseitigen Dreiecke nach "innen" zeigen.


--> Applet <--

Quantoren

Quantoren


Quantoren werden als Abkürzungen für folgende Formulierungen genutzt.
Es gibt ... Existenzquantor \exists
Für alle ... gilt. Allquantor \forall
Um auszudrücken, dass es genau ein ... gibt, für das .... gilt wird auch \exists ! verwendet.

Tangenten an Parabeln

Tangenten an Parabeln
Vergleicht man die Lage von Parabeln und linearen Funktionen in einem Koordinatensystem, so erkennt man leicht, dass die Bilder einer Parabel und einer linearen Funktion entweder zwei Schnittpunkte (Sekante), einen Schnittpunkt (Tangente) oder aber keinen Punkt gemeinsam haben (Passante).
Wie wird nun die Gleichung einer linearen Funktion ermittelt, die eine vorgegebene Normalparabel tangiert.
Gesucht ist die Tangente an y = f(x) = x² + px +q im Punkt T(xt, yt) der Parabel.
Der Anstieg m der Tangente ergibt sich aus der ersten Ableitung der Parabel y' = 2x +p --> m = 2xt + p
Jetzt wird noch der y-Abschnitt (n) der Tangente gebraucht. Der ergibt sich aus yt = (2xt + p)xt + n
n = yt - (2xt + p)xt
n = xt² + pxt + q - (2xt +p)xt
n = q  - xt²

Beispiel:
y = f(x) = x² +x - 2, gesucht die Tangente im Punkt (2; 4)
y' = 2x +1
m= 2*2 + 1 = 5
n = -2 - 2² = -6
y = = (f(x)= 5x -6 Tangentengleichung.

Für die allgemeine Parabeln gilt das entsprechend.
y = (f(x) = ax² + bx + c Punkt T(xt, yt)
Der Anstieg m der Tangente ergibt sich aus der ersten Ableitung der Parabel y'= 2ax +b ...

Euklid-Mullin-Folgen

Euklid-Mullin-Folgen

Euklid-Mullin-Folgen sind spezielle Folgen von Primzahlen.
Man startet mit einer endlichen Folge von Primzahlen. Das nächste Glied der Folge ergibt sich aus der Untersuchung der Summe des Produktes der bisherigen Primzahlen und 1. Diese Summe ist entweder wieder eine Primzahl , dann ist diese Primzahl das neue Element der Folge oder aber der kleinste Primteiler der Summe.
Beispiel 1: Start mit Folge {7} --> 7 + 1 = 8 kleinster Primteiler 2 --> {7;2} --> 7*2 + 1 = 15 --> ... --> {7;2;3} --> 7*2*3 + 1 --> ... {7;2;3;43} --> ...
Beispiel 2: Start mit Folge {2;19} --> 2*19 + 1 = 39 --> {2; 19; 3} --> 2*19*3 +1 = 115 --> {2;19;3;15} -->
Jede so gebildete Folge enthält unendliche viele Primzahlen, aber ob alle drin sind ist nicht bewiesen.
Es ist nicht bekannt, ob es eine endliche Startfolge gibt, so dass die so entstehende Folge alle Primzahlen enthält.
Anregung aus MINT-Zirkel 1/2 2013

Pyramiden

Pyramiden

Pyramiden sind Körper. Der Name ist von den ägytischen Pyramiden "übernommen".
Es gibt eine n-eckige Grundfläche AG (Dreieck, Viereck, ...) und n Dreiecksflächen (A1, A2, ..., An bilden den Mantel der Pyramide), die alle einen gemeinsamen Punkt aufweisen - die Spitze der Pyramide. Liegt die Spitze senkrecht über dem "Mittelpunkt" der Grundfläche, so spricht man von einer geraden Pyramide. Ansonsten hat man eine schiefe Pyramide. Der (senkrechte) Abstand zwischen Grundfläche (bzw. der Ebene auf der die Grundfläche liegt) und der Spitze ist die Höhe h der Pyramide.
allgemeine Formeln:
 V = \frac{1}{3} \cdot A_G h
 A_O = A_G + A_M = A_G + A_1 + A_2 + ... + A_n
Sind Grund- und Mantelflächen gleichseitige Dreiecke, so nennt man diese Pyramide auch Tetraeder (einer der platonischen Körper)
Formeln:
V = \frac{sqrt 2}{12} \cdot a^3
 A_O = sqrt 3 \cdot a^2
eine weitere Pyramide - gerade rechteckige Pyramide
rechteckpyramide
Grundfläche:  A_G = a \cdot b

Volumen:  V = \frac {1}{3} \cdot  a b h \\ V = \frac {1}{3} \cdot  A_G h

Die Mantelfläche besteht aus zwei verschiedenen Dreiecken A1 und A2, für deren Flächeninhalte die Seitenhöhen ha und hb benötigt werden. Diese Seitenhöhen lassen sich mit dem Satz des Pythagoras ganz schnell ermitteln.
 h_a = sqrt{ \left(\frac{b}{2}\right)^2 + h^2}
 h_b = sqrt{ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2}
 A_1 = \frac {1}{2} \cdot a h_a
 A_2 = \frac {1}{2} \cdot b h_b
 A_O = A_G + 2 \cdot A_1 + 2 \cdot A_2

Wenn man mag, so kann man die letzte Formel dann auch so zusammenfassen:
 A_O = A_G + a \cdot h_a + b \cdot h_b *

oder aber auch so:
 A_O = A_G + a \cdot sqrt{ \left(\frac{b}{2}\right)^2 + h^2}  + b \cdot sqrt{ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2}

* gefällt mir besser - ist aber Geschmackssache

Für eine gerade quadratische Pyramide setzt man a = b und verwendet dann entsprechend nur noch a und erhält:
 V = \frac{1}{3} \cdot a^2 h

 A_O = A_G + 4 \cdot A_1
 h _a = sqrt{ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2}
 A_O = a^2 + 2 a h_a
 A_O = a^2 + 2 a sqrt{ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2}

Die Berechnung von quadratischen Pyramiden bei denen der Fußpunkt der Höhe auf einer der Diagonalen kann mittels der --> Geogebradatei <-- untersucht werden.

Tangentenviereck

Tangentenviereck

Auf einem Kreis werden vier Punkte A, B, C und D festgelegt. An diese Punkte werden Tangenten des Kreises errichtet (Tangentenkonstruktion). Die Schnittpunkte der Tangenten bilden die Eckpunkte des Tangentenvierecks EFGH.
tangentenviereck
Die Summen der gegenüberliegenden Seiten des Tangentenvierecks sind gleich. Für das Bild: e + g = f + h
Ist r der Radius des "erzeugenden" Kreises, so gilt für den Flächeninhalt A = r*(e + g) = r * (f +h)
Jede Raute (Rhombus) jedes Drachenviereck und jedes Quadrat ist zugleich ein Tangentenviereck. Das heißt diese Vierecksarten besitzen einen Innenkreis.
Verbindet man die vier Punkte A, B, C und D, so entsteht ein Sehnenviereck ABCD.

Junktion

Junktion

Junktion ist ein Begriff in der Ausssagenlogik. Die Negation und die zweistelligen Verknüpfungen bezeichnet man als Junktion.
Die Symbole für die Junktionen heißen Junktoren.
In der Aussagenlogik gibt es neben dem einstelligen Junktor ¬ (Negation) die zweistelligen Junktoren Λ , v, → und ↔, die mit den Worten (‘und’, ‘oder’, ‘wenn …dann’, ‘genau dann wenn’) umschrieben werden.

Es gibt u. a. noch:
NAND - Symbol ist A | B . Der Strich wird als Shefferscher Strich bezeichnet. Sheffer wies nach, dass alle Junktionen durch eine geeignte Kombination von NAND's ersetzt werden können. Damit ist es möglich durch die Verwendung eines Typs von Logigbaustein (NAND-Gatter) alle Logikabfragen zu realisieren.
NOR ¬ A Λ ¬ B
XOR umgangssprachlich das entweder oder.

Pyramidion

Pyramidion

Ein Pyramidion ist der Schlussstein auf einer Pyramide, letztlich selber eine Pyramide, die zur ganzen Pyramide ähnlich ist. Technisch ist es meist eher ein Zapfen, der in die Pyramide herein ragt und so das ganze stabilsiert.
(Plural: Pyramidia)

Fadengrafik

Fadengrafik

Fadengrafiken zeigen eine besonders schöne Seite der Mathematik.
Aus Strecken (Geraden) entstehen gekrümmte (Hüll-)Kurven.
fadengrafik
Es werden einfach nur Punkte durch Strecken verbunden. Die Punkte können auf Strecken liegen, auf Seiten von Quadraten, Dreiecken, ..., aber auch auf gekrümmten Linien. Meist haben die Punkte untereinander den gleichen Abstand, aber das muss nicht sein. Arbeitet man nicht nur mit Bleistifft und Lineal, sondern mit Fäden, die durch entsprechenden Löcher gespannt werden (manchmal auch mittels Nägeln), so wird der Name Fadengrafik sicherlich klar.

Applet

Lissajous Figuren

Lissajous Figuren

(Lissajous - französischer Physiker 1822 - 1880)
Lissajous Figuren entstehen durch die Überlagerung von harmonischen Schwingungen. (Schwingungen, die sich durch Sinusfunktionen beschreiben lassen.) Die Kurve wird meist in der Parameterdarstellung beschrieben.
lissajous1
Das Aussehen der entstehenden Figur hängt von den Frequenzen (in der obigen Formel 2 bzw. 2,5), den Amplituden (in der Fomel jeweils die 5) und der Phasenverschiebung p ab (in der obigen Formel 0, sonst erkennbar in x = 5 sin (2 t+ p))
lissajous2 k
großes Bild

Lissajous Applet

Pythagorasbaum

Pythagorasbaum

Der sogenannte Pythagorasbaum gehört zu bekanntesten Fraktalen.
Das Bild zeigt das Fraktal in der Stufe 4.
pythagorasbaum k Bild größer
Ausgangspunkt ist das untere rechtwinklige Dreieck. An dieses Dreieck werden die Quadrate über der Hypotenuse und den Katheten gezeichnet. An die Kathetenquadrate wird jeweils ein weiteres Dreieck konstruiert, welches dem ersten Dreieck ähnlich ist. An deren Katheten werden wieder die Quadrate ergänzt - Stufe 2 ist erreicht. Nach diesem Verfahren wird Schitt für Schritt weiter verfahren.
Applet für Stufe 1 - 4
Statt der Quadrate können natürlich auch andere Figuren Verwendung finden.
Das Bild zeigt die Stufe 3 unter Verwendung von regelmäßigen Sechsecken:
pythagorasbaum-6

Gon (Neugrad)

Gon

Gon (früher auch als Neugrad bezeichnet) ist ein Winkelmaß, welches (fast) nur im Vermessungswesen genutzt wird.
α  = 100 gon = 100g ist ein rechter Winkel.
Viele Taschenrechner haben diese Einheit für Winkel --> Aufpassen, wenn man Winkelfunktionswerte nutzen möchte, dass die "richtige" Einheit zugrunde liegt.

Vorsätze für Maßeinheiten

Vorsätze für Maßeinheiten

Vorsätze für Maßeinheiten werden auch als Präfixe bezeichnet.
Beachte:
- Es wird immer nur ein Vorsatz verwendet - also nicht Millihektogramm oder so.
- Bei "Potenzeinheiten" - z. B. km³ oder mm² ist der Vorsatzfaktor in die entsprechende Potenz zu heben.
- Beim Umrechnen kann man die "Verschiebung" des Kommas an den Exponenten  bzw. deren Differenzen ablesen.
- Multiplikation mit 10-a geht auch mit der Division durch 10a.
- In der Informatik basieren die Vorsätze auf dem Binärsystem, z. B. 1 Kilobyte = 1024 Byte (1024 = 210)

"große" Vorsätze "kleine" Vorsätze
Name des Vorsatzes Zeichen Faktor, mit dem die Einheit
multipliziert werden muss
Name des Vorsatzes Zeichen Faktor, mit dem die Einheit
multipliziert werden muss
Yotta Y 1024 Yocto y 10-24
Zetta Z 1021 Zepto z 10-21
Exa E 1018 Atto a 10-18
Peta P 1015 Femto f 10-15
Tera T 1012 Pico p 10-12
Giga G 109 Nano n 10-9
Mega M 106 Mikro μ 10-6
Kilo k 103 Milli m 10-3
Hekto h 102 Zenti c 10-2
Deka da 10 Dezi d 10-1 = 0,1


Weitere Infos bei wikipedia

Napoleon-Punkte

Napoleon-Punkt

Es wird zwischen dem Napoleonpunkt 1 und Napoleonpunkt 2 unterschieden.
Napoleonpunkt 1:
napoleonpunkt
An die Seiten eines beliebigen Dreiecks ABC werden nach außen zeigende gleichseitige Dreiecke konstruiert. Die Schwerpunkte dieser Dreiecke M, N und O bilden ein gleichseitiges Dreieck (Satz des Napoleon). Dieses Dreieck wird äußeres Napoleondreieck genannt. Verbindet man diese Schwerpunkte mit den gegenüberliegenden Eckpunkten des Ausgangsdreiecks, so schneiden die Verbindungsgeraden in einem Punkt - dem Napoleonpunkt 1.
Napoleonpunkt 2:
napoleonpunkt-2
An die Seiten eines beliebigen Dreiecks ABC werden nach "innen" zeigende gleichseitige Dreiecke konstruiert. Die Schwerpunkte dieser Dreiecke M, N und O bilden ein gleichseitiges Dreieck (Satz des Napoleon). Dieses Dreieck wird inneres Napoleondreieck genannt. Verbindet man diese Schwerpunkte mit den gegenüberliegenden Eckpunkten des Ausgangsdreiecks, so schneiden die Verbindungsgeraden in einem Punkt - dem Napoleonpunkt 2.

Bildet man die Differenz der Flächeninhalte des äußeren und inneren Napoleondreiecks eines Dreiecks ABC, so ist die Differenz gleich dem Flächeninhalt des Dreiecks ABC.

-->Applet Punkt 1<--
-->Applet Punkt 2<--