Mathelexikon

Basiswinkel

Basiswinkel

Als Basiswinkel werden die gleichgroßen Winkel eines gleichschenkligen Dreiecks bezeichnet.
basiswinkel
In dem Dreieck seien die Seiten a und b gleichlang - die Schenkel des Dreiecks. Die Seite c wird dann als Basis bezeichnet.


Ein Beweis: CD sei die Höhe auf die Seite c. Dann sind die Winkel BDC und ADC jeweils 90° groß. (Höhe steht senkrecht auf einer Seite. Die Strecke CD gehört zum Dreieck ADC, aber auch zum Dreieck BCD. Die beiden Dreiecke stimmen also in CD, a und b (gleichschenklig) überein und haben jeweils einen rechten Winkel. Damit sind sie nach sSw kongruent zueinander. Das heißt α und β, die der jeweils gleichen Seite in den Teildreiecken gegenüber liegen, sind gleich groß. q.e.d.

biquadratische Gleichungen

biquadratische Gleichungen

Biquadratische Gleichungen sind Gleichungen 4. Grades ax4 + bx³ + cx² + dx + e=0 mit b = d = 0. Es bleibt also ax4 + cx²  + e=0. (a<>0)

Die Lösung erfolgt durch eine Ersetzung (Substitution) Es wird x² = z gesetzt. Damit wird die Gleichung zu az² + bz + e = 0. Die Lösung einer quadratischen Gleichung ist --> hier <-- beschrieben. Hat man auf diese Art die Werte für z1 und z2 ermittelt, sind dann die Werte für x1 bis x4 (meist) nicht mehr so schwierig zu berechnen. (Rücksubstitution).

Carlyle-Kreis

Der Kreis von Thomas Carlyle (1795-1881)

Für das Auffinden von Nullstellen von quadratischen Funktionen der Form y = f(x) = x² + px + q wird ein Kreis - der Carlylekreis benutzt

Das Verfahren ist ein Spezialfall des Verfahrens von Capitain Lill. (Finden von Nullstellen von beliebigen ganzzahligen rationalen Funktionen.) So wird also dann auch vom Lillkreis gesprochen.

lill

Der Carlylekreis zur Funktion y = f(x) = x² + px + q hat seinen Mittelpunkt M in der Mitte der Strecke AD und verläuft durch die Punkte A und D. Für die Punkte gilt: A (0;1) und D (-p;q). Die Koordinaten von M sind dann  \left(-\frac{p}{2} ; \frac{q+1}{2}\right). Der Radius dieses Kreises ist dann mit Hilfe des Satzes des Pythagoras leicht bestimmbar:  r = \sqrt{\frac{p^2+(q-1)^2}{4}}

Jetzt wird gezeigt, dass die Nullstellen des Kreises auch die Nullstellen der Parabel sind.

Für einen Kreis mit dem Mittelpunkt M (a; b) und dem Radius r gilt (x-a)² + (y-b)² = r².

Das wird zu:  \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{q+1}{2}\right)^2 = \frac{p^2 + (q-1)^2}{4}.

Um die Nullstellen des Kreises zu bestimmen wird (wie immer) y = 0 gesetzt. Das ergibt dann:

 \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 + \left( \frac{q+1}{2}\right)^2 = \frac{p^2 + (q-1)^2}{4}

 \frac{(2x+p)^2}{4} + \frac{(q+1)^2}{4} = \frac{p^2 + (q-1)^2}{4} \| {} \cdot 4

(2x+p)^2 + (q+1)^2 = p^2 + (q-1)^2

4x^2 + 4px + p^2 + q^2 + 2q + 1 = p^2 + q^2 -2q +1 \| {}-(p^2 + q^2 -2q +1)

4x^2 + 4px + 4p = 0 \| {}: 4

x^2 + px + p = 0

Das aber ist auch die Ausgangsformel für die Ermittlung der Nullstellen der quadratischen Funktion y = f(x) = x² + px + q, denn auch dort ist y = 0 zu setzen.

Schneidet der (immer konstruierbare) Kreis die x-Achse nicht, so besitzt auch die entsprechende Normalparabel keine Nullstellen. Berührt der Kreis die x- Achse, so gibt es eine bzw. zwei zusammen fallende  Nullstellen.

Zum Probieren noch eine Geogebrabra-Datei: --> hier <--

Satz von Viviani

Satz von Viviani

Der Satz von Viviani (ital. Mathematiker (1622 - 1703)) bezieht sich auf das gleichseitige Dreieck.

viviani

Für jeden Punkt P im Inneren eines gleichseitigen Dreiecks gilt, dass die Summe der Abstände zu den Seiten gleich ist. Wird die Höhe des Dreiecks mit h bezeichnet so gilt:

aa + ab + ac = h

Osterformel

Osterformel

Kurz gesagt, ist der Ostersonntag, der erste Sonntag nach der ersten Vollmond nach Frühlingsanfang, der auf den 21.3. eines Jahres festgelegt ist.
Grundlage für die Berechnung ist die von Dr. Heiner Lichtenberg modifizierte Osterformal nach Gauss.

Diese Berechnung ist geeignet ab dem Jahr 0, kann aber - astronomisch gesehen Fehler enthalten.
Es werden für 100 Jahre die Osterdaten ermittelt. (Sollte durch Rundungsfehler der 26. oder 27. April  angezeigt werden, so sind 7 Tage abzuziehen.)


eine Quelle

Teilbarkeitsregel und Euro

Teilbarkeitsregel und der Euro

Jeder Euroschein hat eine Seriennummer. Bei den "alten" Euroscheinen ist es ein Buchstabe - steht für ein Land, z. B. X für Deutschland und eine 11-stellige Zahl
Die "neuen" Scheine haben zwei Buchstaben und eine 10-stellige Zahl. (Der erste Buchstabe steht für die Druckerei, die den Schein gedruckt hat.)
Die letzte Ziffer der Zahl ist so gewählt, dass die Seriennummer - samt Buchstaben - durch 9 teilbar ist.
Für die Buchstaben werden die ASCII-Zeichen verwendet.
Beispiel für einen "neuen" 5-Euroschein.
Nummer UC 7 098 195 133
U --> 85     C --> 67
85 677 098 195 133 (Quersumme ist 8+5+6++7+7+0+9+8+1+9+5+1+3+3=72) ist durch 9 teilbar.
Das heißt aber auch, dass aufeinanderfolgende Scheine sich bei der Seriennummer um 9 unterscheiden.
85 677 098 195 133 --> 85 677 098 195 142
Aus der Nummer lässt sich noch ablesen, aber da möge jeder geneigte Leser selber weiterforschen.

Fermatpunkt

Fermatpunkt

Der Fermatpunkt gehört zu den besonderen Punkten im Dreieck.
Es gibt eigentlich zwei Fermatpunkte.
Der "bekanntere" Fermatpunkt wird folgendermaßen konstruiert. Über den Seiten eines Dreiecks (größter Innenwinkel kleiner als 120°) werden nach außen gerichtete gleichseitige Dreiecke konstriuert. Der außen liegende Punkt eines solchen gleichseitigen Dreicks wird jeweils mit dem gegenüberliegenden Punkt des Ausgangsdreiecks verbunden (z.B AA1). Die drei Strecken haben einen Punkt F gemeinsam. Dieser wird Fermatpunkt ( Fermatpunkt 1) genannt. Die herausragende Eigenschaft dieses Punktes ist, dass die Summe der Strecken von F zu den Eckpunkten des Ausgangsdreiecks minimal ist.
fermatpunkt
--> großes Bild <--
Möchte man drei Orte (A, B, C) verbinden, so stellt der Fermatpunkt die "Kreuzung" dar, so dass die Länge aller zu bauenden "Straßen" minimal wird.
Der zweite Fermatpunkt wird auf die gleiche Art konstruiert, nur dass die gleichseitigen Dreiecke nach "innen" zeigen.


--> Applet <--

Quantoren

Quantoren


Quantoren werden als Abkürzungen für folgende Formulierungen genutzt.
Es gibt ... Existenzquantor \exists
Für alle ... gilt. Allquantor \forall
Um auszudrücken, dass es genau ein ... gibt, für das .... gilt wird auch \exists ! verwendet.

Tangenten an Parabeln

Tangenten an Parabeln
Vergleicht man die Lage von Parabeln und linearen Funktionen in einem Koordinatensystem, so erkennt man leicht, dass die Bilder einer Parabel und einer linearen Funktion entweder zwei Schnittpunkte (Sekante), einen Schnittpunkt (Tangente) oder aber keinen Punkt gemeinsam haben (Passante).
Wie wird nun die Gleichung einer linearen Funktion ermittelt, die eine vorgegebene Normalparabel tangiert.
Gesucht ist die Tangente an y = f(x) = x² + px +q im Punkt T(xt, yt) der Parabel.
Der Anstieg m der Tangente ergibt sich aus der ersten Ableitung der Parabel y' = 2x +p --> m = 2xt + p
Jetzt wird noch der y-Abschnitt (n) der Tangente gebraucht. Der ergibt sich aus yt = (2xt + p)xt + n
n = yt - (2xt + p)xt
n = xt² + pxt + q - (2xt +p)xt
n = q  - xt²

Beispiel:
y = f(x) = x² +x - 2, gesucht die Tangente im Punkt (2; 4)
y' = 2x +1
m= 2*2 + 1 = 5
n = -2 - 2² = -6
y = = (f(x)= 5x -6 Tangentengleichung.

Für die allgemeine Parabeln gilt das entsprechend.
y = (f(x) = ax² + bx + c Punkt T(xt, yt)
Der Anstieg m der Tangente ergibt sich aus der ersten Ableitung der Parabel y'= 2ax +b ...

Euklid-Mullin-Folgen

Euklid-Mullin-Folgen

Euklid-Mullin-Folgen sind spezielle Folgen von Primzahlen.
Man startet mit einer endlichen Folge von Primzahlen. Das nächste Glied der Folge ergibt sich aus der Untersuchung der Summe des Produktes der bisherigen Primzahlen und 1. Diese Summe ist entweder wieder eine Primzahl , dann ist diese Primzahl das neue Element der Folge oder aber der kleinste Primteiler der Summe.
Beispiel 1: Start mit Folge {7} --> 7 + 1 = 8 kleinster Primteiler 2 --> {7;2} --> 7*2 + 1 = 15 --> ... --> {7;2;3} --> 7*2*3 + 1 --> ... {7;2;3;43} --> ...
Beispiel 2: Start mit Folge {2;19} --> 2*19 + 1 = 39 --> {2; 19; 3} --> 2*19*3 +1 = 115 --> {2;19;3;15} -->
Jede so gebildete Folge enthält unendliche viele Primzahlen, aber ob alle drin sind ist nicht bewiesen.
Es ist nicht bekannt, ob es eine endliche Startfolge gibt, so dass die so entstehende Folge alle Primzahlen enthält.
Anregung aus MINT-Zirkel 1/2 2013

Pyramiden

Pyramiden

Pyramiden sind Körper. Der Name ist von den ägytischen Pyramiden "übernommen".
Es gibt eine n-eckige Grundfläche AG (Dreieck, Viereck, ...) und n Dreiecksflächen (A1, A2, ..., An bilden den Mantel der Pyramide), die alle einen gemeinsamen Punkt aufweisen - die Spitze der Pyramide. Liegt die Spitze senkrecht über dem "Mittelpunkt" der Grundfläche, so spricht man von einer geraden Pyramide. Ansonsten hat man eine schiefe Pyramide. Der (senkrechte) Abstand zwischen Grundfläche (bzw. der Ebene auf der die Grundfläche liegt) und der Spitze ist die Höhe h der Pyramide.
allgemeine Formeln:
 V = \frac{1}{3} \cdot A_G h
 A_O = A_G + A_M = A_G + A_1 + A_2 + ... + A_n
Sind Grund- und Mantelflächen gleichseitige Dreiecke, so nennt man diese Pyramide auch Tetraeder (einer der platonischen Körper)
Formeln:
V = \frac{sqrt 2}{12} \cdot a^3
 A_O = sqrt 3 \cdot a^2
eine weitere Pyramide - gerade rechteckige Pyramide
rechteckpyramide
Grundfläche:  A_G = a \cdot b

Volumen:  V = \frac {1}{3} \cdot  a b h \\ V = \frac {1}{3} \cdot  A_G h

Die Mantelfläche besteht aus zwei verschiedenen Dreiecken A1 und A2, für deren Flächeninhalte die Seitenhöhen ha und hb benötigt werden. Diese Seitenhöhen lassen sich mit dem Satz des Pythagoras ganz schnell ermitteln.
 h_a = sqrt{ \left(\frac{b}{2}\right)^2 + h^2}
 h_b = sqrt{ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2}
 A_1 = \frac {1}{2} \cdot a h_a
 A_2 = \frac {1}{2} \cdot b h_b
 A_O = A_G + 2 \cdot A_1 + 2 \cdot A_2

Wenn man mag, so kann man die letzte Formel dann auch so zusammenfassen:
 A_O = A_G + a \cdot h_a + b \cdot h_b *

oder aber auch so:
 A_O = A_G + a \cdot sqrt{ \left(\frac{b}{2}\right)^2 + h^2}  + b \cdot sqrt{ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2}

* gefällt mir besser - ist aber Geschmackssache

Für eine gerade quadratische Pyramide setzt man a = b und verwendet dann entsprechend nur noch a und erhält:
 V = \frac{1}{3} \cdot a^2 h

 A_O = A_G + 4 \cdot A_1
 h _a = sqrt{ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2}
 A_O = a^2 + 2 a h_a
 A_O = a^2 + 2 a sqrt{ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2}

Die Berechnung von quadratischen Pyramiden bei denen der Fußpunkt der Höhe auf einer der Diagonalen kann mittels der --> Geogebradatei <-- untersucht werden.

Tangentenviereck

Tangentenviereck

Auf einem Kreis werden vier Punkte A, B, C und D festgelegt. An diese Punkte werden Tangenten des Kreises errichtet (Tangentenkonstruktion). Die Schnittpunkte der Tangenten bilden die Eckpunkte des Tangentenvierecks EFGH.
tangentenviereck
Die Summen der gegenüberliegenden Seiten des Tangentenvierecks sind gleich. Für das Bild: e + g = f + h
Ist r der Radius des "erzeugenden" Kreises, so gilt für den Flächeninhalt A = r*(e + g) = r * (f +h)
Jede Raute (Rhombus) jedes Drachenviereck und jedes Quadrat ist zugleich ein Tangentenviereck. Das heißt diese Vierecksarten besitzen einen Innenkreis.
Verbindet man die vier Punkte A, B, C und D, so entsteht ein Sehnenviereck ABCD.

Junktion

Junktion

Junktion ist ein Begriff in der Ausssagenlogik. Die Negation und die zweistelligen Verknüpfungen bezeichnet man als Junktion.
Die Symbole für die Junktionen heißen Junktoren.
In der Aussagenlogik gibt es neben dem einstelligen Junktor ¬ (Negation) die zweistelligen Junktoren Λ , v, → und ↔, die mit den Worten (‘und’, ‘oder’, ‘wenn …dann’, ‘genau dann wenn’) umschrieben werden.

Es gibt u. a. noch:
NAND - Symbol ist A | B . Der Strich wird als Shefferscher Strich bezeichnet. Sheffer wies nach, dass alle Junktionen durch eine geeignte Kombination von NAND's ersetzt werden können. Damit ist es möglich durch die Verwendung eines Typs von Logigbaustein (NAND-Gatter) alle Logikabfragen zu realisieren.
NOR ¬ A Λ ¬ B
XOR umgangssprachlich das entweder oder.

Pyramidion

Pyramidion

Ein Pyramidion ist der Schlussstein auf einer Pyramide, letztlich selber eine Pyramide, die zur ganzen Pyramide ähnlich ist. Technisch ist es meist eher ein Zapfen, der in die Pyramide herein ragt und so das ganze stabilsiert.
(Plural: Pyramidia)

Fadengrafik

Fadengrafik

Fadengrafiken zeigen eine besonders schöne Seite der Mathematik.
Aus Strecken (Geraden) entstehen gekrümmte (Hüll-)Kurven.
fadengrafik
Es werden einfach nur Punkte durch Strecken verbunden. Die Punkte können auf Strecken liegen, auf Seiten von Quadraten, Dreiecken, ..., aber auch auf gekrümmten Linien. Meist haben die Punkte untereinander den gleichen Abstand, aber das muss nicht sein. Arbeitet man nicht nur mit Bleistifft und Lineal, sondern mit Fäden, die durch entsprechenden Löcher gespannt werden (manchmal auch mittels Nägeln), so wird der Name Fadengrafik sicherlich klar.

Applet