Mathelexikon

Polarkoordinaten

Polarkoordinaten

Bis zur Klasse 10 (und manchmal darüber hinaus) lernt man nur das kartesische Koordinatensystem (mit x-Achse und y-Achse) kennen.
Um die Lage eines Punktes zu beschreiben, lassen sich aber auch die Polarkoordinaten verwenden.
polarkoordinaten
Es wird Koordinatenursprung benötigt - hier wurde der kartesische Punkt (0; 0) genommen - und von diesem ausgehend ein Vektor (Polarachse) - hier mit dem positivem Teil der x-Achse gleichgesetzt. Die Polarkoordinaten des Punkte P sind r - der Abstand vom Koordinatenursprung und φ - der Winkel gegen die Polarachse (x-Achse).
Beispiel im Bild:
kartesisch: P(4; 3)
polar: P (5; 36,87°)
φ wird auch häufig im Bogenmaß verwendet.
Für das obige Bild dann:
 x= r \cdot cos \phi \\ y = r \cdot sin \phi \\ r = \sqrt {x^2 + y^2}

Aplett zu Polarkoordinaten
Programm zur Umrechnung soll noch kommen.

Monte-Carlo-Methode

Monte-Carlo-Methode

Es geht bei der Monte-Carlo-Methode um die Simulation von Zufallsversuchen. Dazu zählen Versuche zum Kernzerfall ebenso, wie die Simulation des Einkaufsverhalten.
Man braucht zum einen Zufallszahlen und zum anderen ein Modell um den Vorgang auf die Zahlen abzubilden. Die Aussagen aus der Mehtode beruhen i. A. auf dem Gesetz der großen Zahl.
Interessiert man sich zum Beispiel für das Würfeln, so werden aus der Zufallszahltabelle die Ziffern 1 bis 6 "ausgewertet", die anderen Ziffern werden ignoriert.
Eine schöne Anwendung der Monte-Carlo-Methode ist die Ermittlung der Zahl π.
pimontecarlo
Mit Hilfe einer Zufallstabelle oder eines Zufallsgenerators werden Koordinaten von Punkten erzeugt und in ein Koordinatensystem (s. Bild) eingetragen.
Die Bildpunkte verteilen sich in zufälliger Weise auf dem Quadrat (mit der Länge r - im Bild sind es 10 LE). In diesem Quadrat ist ein Viertelkreis eingezeichnet. Die Anzahl der Punkte K im Viertelkreis entsprechen dem Anteil der Vierteilkreisfläche an der Quadratfläche, auf der sich alle Punkte P befinden.
 \frac{K}{P} = \frac { \frac{\pi \cdot r^2}{4}}{ r^2}  \\ \pi = \frac {4 \cdot K}{P}
--> php zum selber Probieren <--

Arbelos-Inkreis

Der Inkreis eines Arbelos

Vorbemerkung: Jedes Dreieck hat einen Inkreis und einen Umkreis. Jedes Kreisbogendreieck hat auch einen Inkreis.
arbelos-in
Arbelos zeichen.
Mittelsenkrechten von AC und CB konstruieren (Grundkonstruktion)
Die Mittelsenkrechten schneiden die kleinen Kreisbögen des Arbelos. (z. B. in Mg.)
Schnittpunkte als Kreismittelpunkte nutzen (gestrichelte Kreise im Bild)
Die Schnittpunkte der "gestrichelten" Kreise mit den Kreisbögen des Arbelos bilden ein Dreieck, zu dem der Umkreis konstruiert wird. Der Inkreis des Arbelos ist damit gefunden.
Leon Bankoff fand eine schöne Konstruktion, die drei Punkte des Dreiecks zu finden, dessen Umkreis benötigt wird.
Der Mittelpunkt des "linken" Hilfskreis wird mit B und der Mittelpunkt des "rechten" Hilfskreises wird mit A. Diese Geraden1 schneiden die kleinen Kreisbögen des Arbelos in zwei der gesuchten Dreieckspunkte. Der dritte Punkte ergibt sich als Schnittpunkt des großen Kreisbogens des Arbelos und der Geraden durch C und dem Schnittpunkt der Geraden1.

Arbelos

Arbelos

Arbelos leitet sich vom griechischen "Schustermesser" ab. Archimedes soll diese Figur sehr intensiv untersucht haben. (Es werden noch weitere Artikel im Lexikon erscheinen, die auf die interessanten Eigenschaften dieser Figur eingehen s. u.)
arbelos
Ein roter Halbkreis (d = AB) wird von zwei kleinen Halbkreisen (d = AC= 2R bzw. d = CB=2r) überdeckt, so dass letztendlich das rote Kreisbogendreieck "übrig bleibt" - Arbelos.
Der Umfang des Arbelos ist gleich dem Umfang des Kreises mit dem Durchmesser AB. Der nachweis dazu ist nicht so schwer - "scharfes Hinsehen" reicht.
Flächeninhalt:  A = \frac {\Pi \cdot (R + r)^2}{2} - ( \frac {\Pi \cdot R^2}{2} + \frac {\Pi \cdot r^2}{2}) \\A = \Pi \cdot R \cdot r
Mit Hilfes des Satz des Thales und des Höhensatzes für rechtwinklige Dreiecke läßt sich zeigen, dass der grüne Kreis in der Figur den gleichen Flächeninhalt hat wie der Arbelos.
arbelos-1
Der grüne Kreis wird auch als Kreis des Archimdes bezeichnet.
Herleitung:
Höhensatz: h² = 2R*2r = 4 Rr. Eingesetzt in die Flächeninhaltsformel für den grünen Kreis:
 A = \Pi \cdot \left(\frac {h}{2}\right)^2 \\ A = \Pi \cdot \frac {h^2}{4} \\ A = \Pi \cdot \frac {4 \cdot Rr}{4} \\  A = \Pi \cdot Rr
--> der Inkreis des Arbelos <--

Vervielfachen einer Strecke

Vervielfachen einer Strecke

Unter dem Vervielfachen einer Strecke AB versteht man die Konstruktion einer Strecke AS, so dass AS = k * AB lang ist. ( k ist in der Regel eine positive Zahl.)
Ist k eine natürliche Zahl (>1), so wird die Strecke AB über B hinaus verlängert und  k-1 mal mit dem Zirkel abgetragen. Ist k keine natürliche Zahl, sondern ein Bruch der Form m/n, dann macht man es so:
An A wird ein Hilfsstrahl gezeichnet. Auf diesem werden (von A aus) Punkte mit gleichem Abstand (beliebige Zirkelspanne) konstruiert. (Im Bild H1, H2, ...) Die Anzahl der benötigten Punkte entricht dem Maximum von n und m. Der n-te Hilfspunkt wird mit B durch eine Gerade g verbunden. Anschließend wird eine Parallele h zu g durch den m-ten Hilfspunkt konstruiert. Die Parallele schneidet die Strecke AB oder deren Verlängerung im Punkt S. Die Strecke AS ist dann die gesuchte Vervielfachte.
vervielfachen
Die Konstruktion beruht auf dem ersten Teil des Strahlensatzes und wird häufig bei der zentrischen Streckung genutzt.
--> Applet <--

Möndchen des Hippokrates

Möndchen des Hippokrates
Die Idee des Beweises wird dem griechischem Mathematiker Hippokrates von Chios zugeschrieben.
moendchen
Die Flächeninhalte der beiden "Möndchen" zusammen sind genau so groß wie der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks. (Alle "krummen" Linien sind Halbkreise.)
Der Beweis:
Figur 1:
moendchen1
Nach dem Satz des Pythagoras (erweitert auf zueinander ähnliche Figuren) sind die Flächeninhalte der beiden grünen Halbkreise zusammen genau so groß wie der blaue Halbkreis.
AHAB = AHAC + AHBC.
Nun wird der blaue Halbkreis an AB gespiegelt.
Figur 2:
moendchen2
Das sich diese Figur ergibt, ist eine Folge des Satz des Thales.
Der blaue Halbkreis überlappt die beiden grünen Halbkreise. Nimmt man diese Überlappungen weg, so bleiben von
AHAB = AHAC + AHBC auf der linken Seite der Flächeninhalt des Dreiecks und auf der rechten Seite die Flächeninhalte der "Möndchen". --> Figur 3
moendchen
--> Java Applet <--

Eine Anwendung ist hier zu finden:


Teilung einer Strecke

Teilung einer Strecke
Bei der Teilung einer Strecke geht es nicht darum, eine Strecke irgendwie zu zerschneiden, sondern einen Punkt TI im Inneren der Strecke - innere Teilung oder einen Punkt TA außerhalb der Strecke - äußere Teilung - zu finden, der eine gegebene Strecke in einen vorgegebenen Verhältnis m : n teilt. (m und n sind dabei i. A. natürliche Zahlen > 0)
teilung
Im Bild Teilt der Punkt TI die Strecke AB im Verhältnis 2 : 3. Für die TA gilt: Die Strecke TAB wird durch A im Verhältnis 3 : 2 geteilt.
Das Verhältnis 2 : 3 zu erhalten ist natürlich auch möglich.
Die Konstruktion beruht auf dem zweiten Teil des Strahlensatzes.
Die Konstruktionsbeschreibung ist im --> Aplett <-- nachlesbar.

Mirpzahlen

Mirpzahlen
Mirp - rückwärts gelesen von Prim
Mirpzahlen sind also Primzahlen, die vorwärts und rückwärts gelesen, eine (Korrektur) andere Primzahl ergeben.
Beispiele sind 13 und 31, 17 und 71, aber auch 1069 und 9601. (aber nicht die 11)
Im Englischen werden sie emirp genannt.
Die Mirpzahlen sind also eine Teilmenge der Primzahlen. Ob es unendliche viele Mirpzahlen gibt, konnte ich bisher noch nicht finden.


--> Primzahltester <--

zentrische Streckung

zentrische Streckung
Eine zentrische Streckung ist eine Abbildung in der Ebene oder im Raum- kurz (Z; k). Z ist das Streckungszentrum, k der Streckungsfaktor. Z ist ein Punkt der Ebene oder des Raumes, k - eine beliebige Zahl.
zentrische streckung
Z wird auf sich abgebildet. Für einen Punkt P (ungleich Z) gilt: P wird mit Z durch eine Gerade verbunden. Der Bildpunkt P' liegt auf der Geraden. und ist von Z k*ZP entfernt. Wie sich das Vorzeichen von k auswirkt kann beim Applet studiert werden.
Einige Eigenschaften (für k verschieden von Null).
Bild- und Orignalstrecken (-geraden) liegen parallel zueinander. Bild- und Originalwinkel sind gleich groß. Bild- und Originalfiguren sind zueinander ähnlich.
--> Applet zentrische Streckung <--

Berührungsradius

Berührungsradius

Wird an einen Kreis (Mittelpunkt M) eine Tangente gelegt - konstruiert - und der Berührungspunkt  der Tangente mit P bezeichnet, so wird die Strecke MP als Berührungsradius rp bezeichnet.
tangentenkonstruktion-1

Tangentenkonstruktionen am Kreis

Tangentenkonstruktionen am Kreis

Hier werden die klasssischen Tangentenkonstruktionen vorgestellt.
Grundlage 1 für die Konstruktionen ist zum einen die Tatsache, dass die Tangente eines Kreises senkrecht zum Berührungsradius verläuft.  Grundlage 2 ist der Satz des Thales.

1. Konstruktion einer Tangente an einen Kreis, wenn der Kreis und ein Punkt P auf dem Kreis gegeben sind.
tangentenkonstruktion-1
Konstruktionsmöglichkeit: Der Mittelpunkt M wird mit dem Punkt P durch einen Strahl (von M aus) verbunden. Anschließend wird eine Senkrechte zu diesem Strahl im Punkt P konstruiert. Die so erhaltene Senkrechte ist die gesuchte Tangente.
2. Konstruktuktion von Tangenten an einen Kreis, die durch einen außerhalb des Kreises liegenden Punkte verlaufen sollen.
tangentenkonstruktion-2
Konstruktionsmöglichkeit: Der Mittelpunkt M des gegebenen Kreises und der außerhalb liegende Punkt P werden miteinander verbunden. Die Strecke MP wird halbiert (Grundkonstruktion) und dieser Punkt mit MMP bezeichnet. Nun wird der Kreis  (Mittelpunkt MMP , Radius MP/2) gezeichnet - im Bild rot. Es entstehen die Schnittpunkte T1 und T2. Die Winkel MT1P und MT2P sind nach dem Satz des Thales rechte Winkel (im roten Hilfskreis). Die Geraden t1 und t2 - siehe Bild - sind die gesuchten Tangenten.
3. Konstruktion von Tangenten an zwei Kreise. - das nicht in jedem Fall möglich - siehe Lagebeziehungen von Kreisen.
3.1 Konstruktion äußerer Tangenten
tangentenkonstruktion-3 kBild in groß

Die Konstruktionsbeschreibung bezieht sich auf das Bild r1 größer r2 Abstand a der Mittelpunkte ist größer als r1 + r2.
Um M1 wird ein Kreis gezeicnet, der den Radius r_3 = r_1 -r_2 hat. (kleiner roter Hilfskreis). Die Strecke M1M2 wird halbiert und ein zweiter Hilfskreis (Bild großer roter Kreis) gezeichnet. Dieser zweite Hilfskreis schneidet den kleinen roten Kreis  in den Punkten A bzw. B. Diese Punkte werden mit M2 verbunden - rote Hilfsgeraden. Die Punkte A und B werden auch mit M1 verbunden. Diese "Verbindungen" schneiden den ersten Kreise in den Punkten T1 und T2. Es werden nun die roten Hilfsgeraden parallel durch die Punkte T1 und T2 verschoben. Die verschobenen Geraden sind die gesuchten Tangenten. Die Tangenten schneiden sich in einem Punkt T, der auf der Geraden durch M1M2 liegt.
Kurzer Einschub: Wie weit ist T von M2 entfernt? M1M2 sei a und gesucht sei x. Hier hilft der Strahlensatz.
 \frac{x}{r_2} = \frac{x+a}{r_1} \\ x = \frac{r_2 \cdot a}{(r_1 - r_2)}
 
Sind die Kreise gleich groß, so werden in M1 und M2 Senkrechten bezogen auf M1M2 errichtet. Diese Senkrechten schneiden die Kreise in den Punkten, die dann durch die gesuchten Tangenten zu verbinden sind. Einen Schnittpunkt T gibt es nicht.
3.2. Konstruktion innerer Tangenten.
Die Konstruktionsbeschreibung bezieht sich auf das Bild r1 größer r2 Abstand a der Mittelpunkte ist größer als r1 + r2.
tangentenkonstruktion-4 kBild in groß

Um den Mittelpunkt M2 wird ein Kreis mit  r_3 = r_1 + r_2 (linker roter Kreis.) Die Strecke M1M2 wird halbiert und ein zweiter Hilfskreis (rechter roter Kreis) gezeichnet. Dieser zweite Hilfskreis schneidet den ersten roten Kreis in zwei Punkten A und B. Diese Punkte werden mit M2 verbunden - rote Hilfsgeraden. Die Punkte A und B werden auch mit M1 verbunden und schneiden den ersten Kreis in T1 und T2. Die roten Hilfsgeraden werden parallel durch die Punkte T1 und T2 verschoben. Die so erhaltenen Geraden sind die gesuchten Tangenten.
Kurze Ergänzung: Wie weit ist P von M2 entfernt? M1M2 sei a und gesucht sei x. Auch hier hilft der Strahlensatz.
 \frac{x}{r_2} = \frac{a-x}{r_1} \\ x = \frac{r_2 \cdot a}{(r_1 + r_2)}

Diese Aufgabenstelungen lassen sich noch abändern, in dem die Tangenten vorgegeben werden und dann die passenden Kreise zu finden sind.

Drunter und drüber

Drunter und drüber
Als Drunter und Drüberfiguren werden Konstruktionen bezeichnet, die nach dem Ausmalen wie ineinander verschlungene Figuren aussehen. Mein Lieblingsbild (zugleich Ausgangsfigur für ähnliche Bilder, z. B. mit Kreisen) ist das hier gezeigte Bild.
drunterdrueber
Ein blauer und ein roter "Quadratring" sind ineinander verschlungen.
Will man es "schön" gestalten, dann werden deckende Farben genommen und nicht mehr gebrauchte Konstruktionselemente wegradiert.
--> Applet zur Konstruktion <--

Lagebeziehungen von Kreisen

Lagebeziehungen von Kreisen

Zeichnet man zu einem gegebenen Kreis ein zweiten dazu, so gibt es eine Vielzahl von Lagebeziehungen.
Lage von KreisenIm Bild sieht man zwei Kreise, die einen Punkt gemeinsam haben, wobei der kleinere Kreis den größeren Kreis innen berührt.
2. Einen Punkt gemeinsam geht auch, dann berühren sich die Kreise beiden von außen.
3. Die Kreise haben zwei Punkte gemeinsam - die Kreise schneiden sich in zwei Punkten.
4. Die Kreise haben keinen Punkt gemeinsam.
4.1. Keiner der Kreise liegt im Inneren des anderen Kreises. (Abstand der Mittelpunkte ist größer als die Summe der Radien.
4.2. Einer der Kreise liegt im Inneren des anderen Kreises.
4.2.1 Die beiden Mittelpunkte stimmen überein. Dies wird als konzentrisch bezeichnet. Die Fläche zwischen inneren und äußeren Kreis als --> Kreisring <--
--> zum Applet <--

Geradenspiegelung

Geradenspiegelung

Die Geradenspiegelung ist eine Abbildung in der Ebene. s. auch Verschiebung bzw. Drehung.
Gegeben sind eine Spiegelgerade s und (mindestens) ein Punkt der Ebene.
geradenspiegelung
Abildungsvorschrift: Liegt der Originalpunkt auf der Geraden s, so wird er auf sich abgebildet. Liegt er nicht auf der Geraden, so ist liegt der Bildpunkt in der anderen Bildebene bezüglich der Spiegelgeraden. Bild und Originalpunkt haben den gleichen Abstand zur Spiegelgeraden. Die Gerade, die Bild- und Originalpunkt verbindet, liegt senkrecht zur Spiegelgeraden.
-->Applet zur Spiegelung<--