Kettenbrüche
Kettenbrüche
Ein spezielle Form von Brüchen sind Kettenbrüche.
in dem Artikel geht es hier um reguläre Kettenbrüche, das sind solche, die in den Zählern nur 1 aufweisen.
Jeder gemeine Bruch (also Form
mit a und b natürliche Zahlen verschieden von Null lässt sich in einen Kettenbruch umwandeln.
![\frac{4}{7} = \frac{1}{\frac{7}{4}}\\\frac{4}{7} = \frac{1}{1 + \frac{3}{4}}\\\frac{4}{7} = \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{4}{3}}\\\frac{4}{7} = \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} \frac{4}{7} = \frac{1}{\frac{7}{4}}\\\frac{4}{7} = \frac{1}{1 + \frac{3}{4}}\\\frac{4}{7} = \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{4}{3}}\\\frac{4}{7} = \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{3}}](http://www.schulmodell.eu/cgi-bin/mimetex/mimetex.cgi?%5Cfrac%7B4%7D%7B7%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cfrac%7B7%7D%7B4%7D%7D%5C%5C%5Cfrac%7B4%7D%7B7%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1%20%2B%20%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%7D%5C%5C%5Cfrac%7B4%7D%7B7%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%7D%5C%5C%5Cfrac%7B4%7D%7B7%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1%20%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7D)
Es gibt dafür auch eine Kurzschreibweise. [0;1,1,3] Die Null steht hier, weil es ein echter Bruch ist.
sehe dann so aus: [3;1,1,3]
Hat man einen Kettenbruch gegeben, so kann man von unten nach oben rechnend den Kettenbruch in einen gemeinen Bruch verwandeln.
(Gegenstand der Wochenaufgabe 485 - Lösungstermin: 04.02.2016)
Es gibt auch periodische Kettenbrüche Kurzformbeispiel: [3; 1,1,1,1,6] das ist das Ergebnis von Wurzel(13) in einen Kettenbruch. Bricht man den periodischen Kettenbruch irgendwo ab, so erhält eine Näherungsbruch
für Wurzel(13).
Ein historisches Beispiel der Anwendung:
Hyugens wollte ein Planetariumsmodell schaffen. Seine Berechnungen führten dazu, dass er für den Umlauf Erde - Merkur Zahnräder mit 21038 bzw. 8067 Zähnen gebraucht hätte. Also ein Verhältnis
. Solche Zahnräder konne er aber nicht konstruieren, also suchte er nach ein[4;6,1,1]=
er Übersetzung, die möglichst genau sein sollte, aber immer noch konstruierbar.
führt auf den Kettenbruch [4;6,1,1,2,1,1,1,1,7,1,2].
Näherungen
[4] = 4
[4;6] = ![\frac{25}{6} \frac{25}{6}](http://www.schulmodell.eu/cgi-bin/mimetex/mimetex.cgi?%20%5Cfrac%7B25%7D%7B6%7D)
[4;6,1] = ![\frac{29}{7} \frac{29}{7}](http://www.schulmodell.eu/cgi-bin/mimetex/mimetex.cgi?%20%5Cfrac%7B29%7D%7B7%7D)
[4;6,1,1]=![\frac{54}{13} \frac{54}{13}](http://www.schulmodell.eu/cgi-bin/mimetex/mimetex.cgi?%20%5Cfrac%7B54%7D%7B13%7D)
[4;6,1,1,2]=![\frac{137}{33} \frac{137}{33}](http://www.schulmodell.eu/cgi-bin/mimetex/mimetex.cgi?%20%5Cfrac%7B137%7D%7B33%7D)
Das letzte Verhältnis hätte Huygens nehmen können, denn zwei solche Zahnräder konnte er noch herstellen.
[4;6,1,1,2,1]=![\frac{191}{46} \frac{191}{46}](http://www.schulmodell.eu/cgi-bin/mimetex/mimetex.cgi?%20%5Cfrac%7B191%7D%7B46%7D)
[4;6,1,1,2,1,1]=![\frac{328}{79} \frac{328}{79}](http://www.schulmodell.eu/cgi-bin/mimetex/mimetex.cgi?%20%5Cfrac%7B328%7D%7B79%7D)
[4;6,1,1,2,1,1,1]=![\frac{519}{125} \frac{519}{125}](http://www.schulmodell.eu/cgi-bin/mimetex/mimetex.cgi?%20%5Cfrac%7B519%7D%7B125%7D)
[4;6,1,1,2,1,1,1]=![\frac{847}{204} \frac{847}{204}](http://www.schulmodell.eu/cgi-bin/mimetex/mimetex.cgi?%20%5Cfrac%7B847%7D%7B204%7D)
...
Der Bruch
also eine sehr gute Näherung war für das Getriebe noch besser geeignet, weil er es mit 4 Zahnrädern realisieren konnte: 847=7*121 und 204 = 12*17