Mathelexikon

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Satz von Miquel

Der Satz von Miquel (für Dreiecke)

Der Name des Satzes geht auf den französischen Mathematiker Auguste Miquel (1816 - 1851) zurück.

miquel

In einem beliebigen Dreieck ABC wird auf jeder der Dreiecksseiten je ein beliebiger Punkt festgelegt - hier heißen die D, E und F.
Konstruiert man die Kreise, die durch einen Eckpunkt und zwei festgelegte Punkte auf den anliegenden Seiten verlaufen (Kreise AEF, BDF und CDE) so schneiden sich diese Kreise in einem Punkt M - dem Miquelpunkt.

Außerdem gilt: Verbindet man den Punkt M mit denD, E bzw. F - im Bild sind es die grünen Strecken, so sind die Winkel zwischen den (grünen) Strecken und den Dreiecksseiten immer gleich groß. (Die 53,2° sind nur ein Beispiel.)

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silberner Schnitt

Den goldenen Schnitt kennen viele. In der Kunst, bei Herrn Fibonacci, in der Natur, .... --> ein Beispiel <--
Beschrieben wird hier die "innere" Teilung.
silberschnitt
Die Strecke a (AB) wird im inneren durch den Punkt S₁ in die Teilstrecken a₁ und a₂ geteilt. (*a₁ wird hier als größere Teilstrecke verwendet.)
Beim goldenen Schnitt gilt bekanntlich
$\frac{a_1}{a_2}= \frac{a}{a_1}= \frac{a_1+a_2}{a_1}$
In Worten: Das längere Teilstück verhält sich zum kurzen Teilstück wie die gesamte Strecke zum längeren Teilstück.
Der silberne Schnitt hat nun diese Formel
$\frac{a_1}{a_2}= \frac{2a_1+a_2}{a_1}$
Wird diese Gleichung mit a₁a₂ multipliziert ergibt das:

a₁²=2a₁a₂ + a₂²
Die Lösung dieser Gleichung nach a₁ ist dann
$a_1= a_2 \cdot (1 \pm sqrt(2))$
Wegen * würde man nur das + nehmen.
Wie man das konstruiert wird, wird mal noch ergänzt.
Und ja man könnte noch mehr "metallene" Schnitte kreieren: Mit beliebigem n (natürliche Zahl größer 2)
$\frac{a_1}{a_2}= \frac{n \cdot a_1+a_2}{a_1}$

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Altersquotient

Altersquotient ist ein Begriff aus der Bevölkerungsstatistik.
Es ist der Quotient aus dem Anteil der nicht mehr berufstätigen Bevölkerung und dem Anteil der im Berufsleben stehenden Menschen.
An dieser Definition sieht man, dass es ein etwas schwammiger und sich verändernder Wert ist.
--> siehe Bundesinstitut für Bevölkerungsforschung <--

Der reziproke Wert des Altersquotienten ist dann der Jugendquotient.

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Wanderungsgewinn

Wanderungsgewinn ist ein Begriff aus der Bevölkerungsstatistik.
Man versteht darunter die Differenz von Menschen, die innerhalb eines Jahres(meistens, auch andere Zeiträume üblich) aus einem Land einwandern und denen, die in diesem Zeitraum auswandern.
je nach Wichtigkeit und Bedarf wird zwischen Wanderungsgewinnen zwischen Kreisen, Stadt-Land, Bundesländern und Nationalstaaten unterschieden.
Der Wanderungsgewinn und z. B. die Geburtenrate sind wichtige Daten zur Prognose über den Ausbau des öffentlichen Dienstes, der Planung von Steueraufkommen und und und.
Daten für Sachsen

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Matt Parker Zahl

Matt Parker ist der Autor von "Auch Zahlen haben Gefühle" - eine merkwürdige Übersetzung des Originaltitels "Things to make and Do in the Fourth Dimension".
(ISBN 978-3-498-05241 6) - Ich kann es sehr empfehlen.
Die Matt Parker Zahl steht auf Seite 69 der deutschen Aufgabe. (Er hat sie entdeckt, würde sie auch vielleicht so nennen, aber traut sich nicht, also mach ich es für ihn).

Es ist die Zahl: 90 525 801 730

Es ist eine besondere figurierte Zahl und zugleich eine Pyramidenzahl.
Da man solche Zahlen auch gut mit Apfelsinen darstellen kann, findet man Informationen dazu beispielsweise in Aufgabe 347 (Serie 29) und Aufgabe 453 (Serie 38).

Eine solche Zahl ist die 10. Eine Dreieckszahl
x
xx
xxx
xxxx
Aus 10 "Apfelsinen" lässt sich aber auch eine dreiseitige Pyramide stapeln.
Matt suchte nun Zahlen, die man einerseits braucht um eine n-seitige Fläche zu legen, aber auch eine n-seitige Pyramiden zu stapeln.
So ist 4900 die einzige Zahl, aus der sich ein 70x70 Quadrat, aber auch eine 4 seitige Pyramide stapeln kann (besteht aus 24 Schichten).

90 525 801 730 Apfelsinen werden gebraucht um eine 31 265-Ecksfigur mit der Kantenlänge von 2407 zu legen. Man aber daraus auch eine 259-stufige Pyramide stapeln, deren Grundfläche 31 265 Ecken hat.

Matt Parker hat als erster diese Eigenschaft der Zahl 90 525 801 730 herausgefunden, Glückwunsch.

Münchhausenzahl

Die Bezeichnung einer solchen Zahl geht auf den legendären Baron Münchhausen zurück.
Auf dem Bild (Notgeld der Stadt Rinteln) sieht man, dass der Baron sich selber aus dem Sumpf zieht. (Für ihn gilt also das Wechselwirkungsgesetz von I. Newton nicht).

baron

So ist dann auch eine Münchhausenzahl gedacht.
Man nimmt die Ziffern einer natürlichen Zahl n und potenziert diese mit sich selbst. Anschließend werden die Potenzen addiert. Ist die Summe der Potenzen gleich der Zahl an, so wird n eine Münchhausenzahl genannt.
Die langweilige Münchhausenzahl ist die 1, denn 1¹=1.

Die einzige bekannte (interessante) Münchhausenzahl ist die 3435. Es gilt 3³ + 4⁴ + 3³ + 5⁵ = 27 + 256 + 27 + 3125 = 3435.
(Anmerkungen: 3435 - einzig bekannte Münchhausenzahl (außer 1) im dekadischen Zahlsystem, wenn nicht geschummelt wird und 0⁰=0, statt 0⁰=1 verwendet wird. Einen Beweis für die Einzigartigkeit habe ich nicht gefunden.)
Ist die Basis der Zahl n die 12, so ist 3A67A54832 auch eine Münchhausenzahl. (Im dekadischen System ist das die Zahl 20017650854.)

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Goniometrie

Die Goniometrie (griech: gonia - Winkel, metrein - messen) ist ursprünglich die Lehre vom Winkelmessen.
Es ist aber nicht das Zeichnen oder Messen von Winkeln gemeint, sondern das Rechnen mit Winkelfunktionen bzw. das Lösen von Gleichungen, die auf Winkelfunktionen basieren - trigonometrische Funktionen (sin, cos, tan).
Die trigonometrischen Funktionen sind also eher ein Teilgebiet der Goniometrie.
Um goniometrische Gleichungen zu lösen, werden meist numerische oder grafische Näherungsverfahren (Nullstellen) verwendet, da es für die meisten gon. Gleichungen keine Lösungsformel gibt.
tan x - 2x = 0 Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen.
sin (4x) - 2x = 0 hat genau 3 Lösungen +-0,47387356.. und 0

zyklische Primzahlen

Unter zyklischen Primzahlen versteht man Primzahlen, die nach jedem zyklischen Tauschen der Ziffern wieder auf Primzahlen führen.
Ziffern mit a, b, c , ... bezeichnet.

ab --> ba --> ab --> Beispiel 13 --> 31 --> 13

abc --> bca --> cab --> Beispiel 197 --> 971 --> 719 --> 197

abcd --> bcda --> cdab --> dabc --> abcd --> Beispiel 1931 --> 9311 --> 3119 --> 1193 --> 1931

zum Weiterlesen: http://primes.utm.edu/glossary/xpage/CircularPrime.html

Primzahlformel

Eine Primzahlformel gibt es leider (bisher?) nicht. Gemeint ist hier eine Formel, die entweder alle Primzahlen liefert oder doch zumindest als Lösung immmer Primzahlen liefert.
Eine der bekanntesten Formeln dieser Art ist y=n²+n+41. Diese Formel liefert für viele n (n- natürliche Zahl) Primzahlen, nicht immer, aber erstaunlich oft.

--> Primzahltest im Lexikon <--

n	y=n²+41n+41	y prim?
0	41	ja
1	43	ja
2	47	ja
3	53	ja
4	61	ja
5	71	ja
6	83	ja
7	97	ja
8	113	ja
9	131	ja
10	151	ja
11	173	ja
12	197	ja
13	223	ja
14	251	ja
15	281	ja
16	313	ja
17	347	ja
18	383	ja
19	421	ja
20	461	ja
21	503	ja
22	547	ja
23	593	ja
24	641	ja
25	691	ja
26	743	ja
27	797	ja
28	853	ja
29	911	ja
30	971	ja
31	1033	ja
32	1097	ja
33	1163	ja
34	1231	ja
35	1301	ja
36	1373	ja
37	1447	ja
38	1523	ja
39	1601	ja
40	1681	nein
41	1763	ja
42	1847	ja
43	1933	ja
44	2021	nein
45	2111	ja
46	2203	ja
47	2297	ja
48	2393	ja
49	2491	nein
50	2591	ja
51	2693	ja
52	2797	ja
53	2903	ja
54	3011	ja
55	3121	ja
56	3233	nein
57	3347	ja
58	3463	ja
59	3581	ja

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Newton-Gerade

newtongerade

In einem konvexen Viereck ABCD - mit maximal einem Paar zueinander paralleler Seiten - seien die Punkte E und F die Mittelpunkte der Diagonalen. Die Gerade durch E und F heißt Newton-Gerade. Isaac Newton bewies, wenn ein solches Viereck einen Innenkreis besitzt, liegt dessen Mittelpunkt auf der Gerade durch E und F - der Newton-Geraden g.
Verbindet man die Mittelpunkte der gegenüberliegenden Seiten eines solches Vierecks miteinander., so liegt der Schnittpunkt der Schnittpunkte der Verbindungsgeraden ebenfalls auf der Geraden g.
(Anmerkung: Sind zwei Paare paralleler Seiten in einem konvexen Viereck vorhanden, so halbieren sich die Diagonalen wechselseitig. Damit wäre die Lage einer solchen Geraden g nicht eindeutig.)

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Stirling Formel

Die Stirling-Formel wurde 1720 von dem schottischen Mathematiker James Stirling (1692 -1770) entdeckt. (Nicht zu verwechseln mit Robert Stirling, der den Stirlingmotor entwickelt hat)

$n! \appro \sqrt{(2 \cdot \Pi \cdot n)} \cdot n^n \cdot e^{-n}$

Die Formel liefert eine gute Näherung für die Berechnung von n! (sprich n-Fakultät).
Dabei gilt, dass die Formel immer einen Wert liefert, der immer etwas kleiner ist als n!, aber mit größer werdendem n wird die Abweichung immer kleiner - wie man auch an der Tabelle sehen kann.
n! wird u. a. in der Kombinatorik häufig gebraucht, aber auch in der Physik ist diese Angabe von Bedeutung.

n	n!	$n! \appro \sqrt{(2 \cdot \Pi \cdot n)} \cdot n^n \cdot e^{-n}$	Prozent
1	1	0,9221370089	92,2137008916
2	2	1,9190043516	95,9502175786
3	6	5,8362095917	97,2701598621
4	24	23,5061751349	97,9423963956
5	120	118,0191679704	98,349306642
6	720	710,0781847347	98,621970102
7	5040	4980,3958323697	98,8173776264
8	40320	39902,3954595906	98,9642744533
9	362880	359536,872912236	99,0787237964
10	3628800	3598695,61952273	99,1704039771
11	39916800	39615625,0600431	99,2454932761
12	479001600	475687486,596768	99,3081205985
13	6227020800	6187239476,93987	99,3611499891
14	87178291200	86661001766,9526	99,4066304513
15	1307674368000	1300430722623,18	99,4460665779
16	20922789888000	20814114422457	99,4805880759
17	355687428096000	353948328796802	99,5110596659
18	6402373705728000	6372804628686000	99,5381544658
19	121645100408832000	121112786642278000	99,5624042688
20	2432902008176640000	2422786847813670000	99,584234781
21	51090942171709400000	50888617348722700000	99,6039908164
22	1124000727777610000000	1119751495163340000000	99,6219546385
23	25852016738885000000000	25758525383398200000000	99,6383595275
24	620448401733240000000000	618297927345124000000000	99,6533999633
25	15511210043331000000000000	15459594843086300000000000	99,6672393701
26	403291461126606000000000000	402000993287988000000000000	99,680016077
27	10888869450418400000000000000	10855315176686000000000000000	99,6918479564
28	304888344611714000000000000000	303982326428225000000000000000	99,7028360711
29	8841761993739700000000000000000	8816392110931140000000000000000	99,713067567
30	265252859812191000000000000000000	264517096095336000000000000000000	99,722617989
31	8222838654177920000000000000000000	8200764702763260000000000000000000	99,7315531492
32	263130836933694000000000000000000000	262446514264357000000000000000000000	99,7399306454
33	8683317618811890000000000000000000000	8661418387626550000000000000000000000	99,7478011038
34	295232799039604000000000000000000000000	294510096317329000000000000000000000000	99,7552092028
35	10333147966386100000000000000000000000000	10308575174421200000000000000000000000000	99,7621945215
36	371993326789901000000000000000000000000000	371133249377633000000000000000000000000000	99,768792247
37	13763753091226300000000000000000000000000000	13732789294394600000000000000000000000000000	99,7750337671
38	523022617466601000000000000000000000000000000	521876921620823000000000000000000000000000000	99,7809471699
39	20397882081197400000000000000000000000000000000	20354344365543700000000000000000000000000000000	99,7865576657
40	815915283247898000000000000000000000000000000000	814217265202066000000000000000000000000000000000	99,7918879471

Ursprung

Ursprung (in der Mathematik) ist die Bezeichnung für den Ausgangspunktes eines Koordinatensystems.
Im cartesischen System schneiden sich an der Stelle die x-Achse und y-Achse.
Gibt es zwei Koordinaten sind hat der Ursprung die Koordinaten (0; 0). Bei drei Koordinaten (0; 0; 0) ...

Nagelpunkt

Nagelpunkt eines (ebenen) Dreiecks

Bei Nagelpunkt handelt es sich nicht um den berühmten Nagel, an den man was (zum Beispiel Boxhandschuhe oder so) hängt, wenn was vorbei ist. Also kein Nagel zum Hinhängen von Dreiecken.
Benannt ist der Punkt nach Christian Heinrich von Nagel, der die Existenz dieses besonderen Punktes eines Dreiecks nachweisen konnte.

nagelpunkt k --> Bild groß <--| --> geogebra <--

Es gibt ein Dreieck ABC. An dieses werden die Ankreise konstruiert. Die Ankreise berühren jeweils eine Seite des Dreiecks (X auf a, Y auf b und Z auf c). Die Berührungspunkte X, Y und Z werden mit den gegenüberliegenden Eckpunkten verbunden. Die drei Strecken treffen sich (immer) in einem Punkt N, dem Nagelpunkt.
Auf dem Bild sieht man noch die Punkte I (Mittelpunkt des Inkreises) und S (Schwerpunkt des Kreises). Wenn die Punkte nicht zusammenfallen, wie z. B. beim gleichseitigen Dreieck, dann liegen die drei Punkte auf einer Geraden, der Nagelgeraden. Dabei gilt außerdem, dass die Strecke SN doppelt so groß ist wie die Strecke SI.

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Satz von Ceva

Dieser Satz des italienischen Mathematikers Ceva (1647 bis 1734) ist einer der unzähligen, aber schönen Sätze, die in einem (ebenen) Dreieck gelten.
ceva k --> großes Bild <-- --> geogebra-Datei <--

Auf den Seiten a, b, c eines Dreiecks ABC (oder auch deren Verlängerungen) werden Punkte X (auf Seite a ), Y (auf Seite b) und Z (auf Seite c) verwendet. A wird mit X, B mit Y und C mit Z verbunden. Wenn sich die drei Verbindungslinien in einem Punkt schneiden, dann gilt für die Streckenabschnitte:
$\frac{AZ}{ZB} \cdot \frac{BX}{XC} \cdot \frac{CY}{YA} = 1$

Eine entsprechende Abbildung zu dem Satz befindet sich auf einem Briefmarkenblock, der anlässlich der Mathematikolympiade 2016 kreiert wurde.

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Kettenbrüche

Ein spezielle Form von Brüchen sind Kettenbrüche.
in dem Artikel geht es hier um reguläre Kettenbrüche, das sind solche, die in den Zählern nur 1 aufweisen.

Jeder gemeine Bruch (also Form $\frac{a}{b}$ mit a und b natürliche Zahlen verschieden von Null lässt sich in einen Kettenbruch umwandeln.
$\frac{4}{7} = \frac{1}{\frac{7}{4}}\\\frac{4}{7} = \frac{1}{1 + \frac{3}{4}}\\\frac{4}{7} = \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{4}{3}}\\\frac{4}{7} = \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{3}}$

Es gibt dafür auch eine Kurzschreibweise. [0;1,1,3] Die Null steht hier, weil es ein echter Bruch ist. $\frac{25}{7} = 3\frac{4}{7}$ sehe dann so aus: [3;1,1,3]
Hat man einen Kettenbruch gegeben, so kann man von unten nach oben rechnend den Kettenbruch in einen gemeinen Bruch verwandeln.
(Gegenstand der Wochenaufgabe 485 - Lösungstermin: 04.02.2016)
Es gibt auch periodische Kettenbrüche Kurzformbeispiel: [3; 1,1,1,1,6] das ist das Ergebnis von Wurzel(13) in einen Kettenbruch. Bricht man den periodischen Kettenbruch irgendwo ab, so erhält eine Näherungsbruch $\frac{a}{b}$ für Wurzel(13).
Ein historisches Beispiel der Anwendung:
Hyugens wollte ein Planetariumsmodell schaffen. Seine Berechnungen führten dazu, dass er für den Umlauf Erde - Merkur Zahnräder mit 21038 bzw. 8067 Zähnen gebraucht hätte. Also ein Verhältnis $\frac{21038}{8067}$ . Solche Zahnräder konne er aber nicht konstruieren, also suchte er nach ein[4;6,1,1]= $\frac{54}{13}$ er Übersetzung, die möglichst genau sein sollte, aber immer noch konstruierbar.
$\frac{21038}{8067}$ führt auf den Kettenbruch [4;6,1,1,2,1,1,1,1,7,1,2].
Näherungen
[4] = 4
[4;6] = $\frac{25}{6}$
[4;6,1] = $\frac{29}{7}$
[4;6,1,1]= $\frac{54}{13}$
[4;6,1,1,2]= $\frac{137}{33}$
Das letzte Verhältnis hätte Huygens nehmen können, denn zwei solche Zahnräder konnte er noch herstellen.
[4;6,1,1,2,1]= $\frac{191}{46}$
[4;6,1,1,2,1,1]= $\frac{328}{79}$
[4;6,1,1,2,1,1,1]= $\frac{519}{125}$
[4;6,1,1,2,1,1,1]= $\frac{847}{204}$
...
Der Bruch $\frac{847}{204}$ also eine sehr gute Näherung war für das Getriebe noch besser geeignet, weil er es mit 4 Zahnrädern realisieren konnte: 847=7*121 und 204 = 12*17