Mathelexikon

konzentrisch

konzentrisch

Substantiv: Konzentrizität
con centrum gemeinsamer Mittelpunkt
Zeichnet man unterschiedlich große Kreise mit gemeinem Mittelpunkt, so erhält man konzentrische Kreise. Die Fläche zwischen zwei solchen Kreisen heißt auch Kreisring. A = r1² - r2², wenn r1 > r2.
Auch regelmäßige n-Ecke  (gleiche Eckenzahl) lassen sich problemlos konzentrisch zeichnen, da diese über einen Mittelpunkt verfügen.
Nicht zueinander ähnliche ebene Figuren lassen sich als konzentrisch auffassen, wenn sie einen gemeinsamen Schwerpunkt haben.
Der Gegensatz zu konzentrisch ist exzentrisch.


noch mehr Interessantes im großen -->Mathelexikon<--

Faktorisieren

Faktorisieren
Faktorisieren heißt eine Summe wird in ein Produkt umgewandelt. Das geschieht häufig durch die Anwendung des Distributivgesetzes oder der binomischen Formeln.
Beispiel 1: 15x + 27y = 3(5x + 9y)
Beispiel 2:  16x² + 40 xy + 25y² = (4x+5y)(4x+5y)=(4x+5y)²
Eine Anwendung ist die Umstellung von  \frac{1}{R_G} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \rightarrow R_G = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}


noch mehr Interessantes im -->Mathelexikon<--

Diskriminante

Diskriminante

Bei der Lösung von --> quadratischen Gleichungen <-- der Form x² + px + q = 0 wird der folgende Ausdruck als Diskrimante D bezeichnet:
 D ={\left(\frac{p}{2}\right)}^2 - q
Die Lösungsformel der quadratischen Gleichung wird dann zu:
x_{1,2} = - {\frac{p}{2} \pm \sqrt D
Mit D > 0 hat die Gleichung zwei von einander verschiedene reelle Lösungen.
Mit D = 0 hat die Gleichung zwei zusammenfallende reelle Lösungen. x1 = x2.
Mit D < 0 hat die Gleichung keine relle Lösungen, sondern zwei von einander verschiedene komplexe Lösungen.

noch mehr Interessantes im  -->Mathelexikon<--

 

binomische Formeln

binomische Formeln

Es gibt drei binomische Formeln.
1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. (a - b)² = a² - 2ab + b²
3. (a + b)(a - b) = a² + b²
Diese Formeln finden vielfältige Anwendungen, so zum Beispiel bei den quadratischen Funktionen, wenn die Normalform in die Scheitelpunktsform (u. u.) umgewandelt werden soll.
Auch als Hilfe für das Kopfrechnen lassen die Formeln sich nutzen.
Beispiele:
31² = (30 + 1)² = 900 + 60 + 1 = 961
22*18 = (20 + 2)(20 - 2)= 400 - 4 = 396
Zum Beweis der Formeln lassen sich arithmetische, aber auch geometrische Verfahren nutzen.
Weitere Beispiele können gern im Kommentarfeld gezeigt werden.

noch mehr Interessantes im  -->Mathelexikon<--


Multiplikation

Muliplikation
Die Multiplikation lässt sich als "verkürzte" Variante der Addition gleicher Summanden auffassen.
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 5 . 3.
Natürlich muss die bei den Zahlenbereichen entsprechend adaptiert werden.
Als Rechenzeichen dient der Malpunkt, es ist aber * gebräuchlich.
 Faktor \cdot Faktor = Produkt
Es gilt:
1. a * b = b * a  Kommutativgesetz
2. a * (b * c) = (a*b) * c = a * b * c  Assoziativgesetz.
Als Mix zur Addition:
3. a * (b + c) = a * b + a * c Distributivgesetz

Grundrechenarten testen


Subtraktion

Subtraktion

Die Subtraktion lässt sich Umkehroperation der Addition auffassen.
Im Bereich der natürlichen und gebrochenen Zahlen ist die Subtraktion nicht immer auführbar.
Das Rechenzeichen ist das Minuszeichen -
Es heißt dann Minuend (a) - Subtrahend (b) ergibt die Differenz (c).
a - b = c
Differenz - Unterschied
Bildet man zu b die entgegengesetzte Zahl - b, so kann man die Subtraktion als Addition schreiben: a + (- b) = c
siehe auch Komplementaddition

Grundrechenarten testen


Addition

Addition


Zwei Zahlen a und b - egal ob natürliche, gebrochene, rationale, irrationale, reelle oder komplexe Zahlen, können addiert werden.
a und b heißen Summanden, a +b b ist dann die Summe.
Es gilt.
1. a + b = b + a  Kommutativgesetz
2. a + (b + c) = (a+b) + c = a + b + c  Assoziativgesetz.

Grundrechenarten testen

Umkreis

Umkreis
Der Begriffe Umkreis bezieht sich auf n-Ecke.
Liegen alle Eckpunkte eines n-Ecks auf einem (gemeinsamen) Kreis, so wird dieser Kreis als Umkreis bezeichnet.
Jedes Dreieck hat genau einen Umkreis.
Vierecke haben einen Umkreis, wenn sie Sehnenvierecke sind - also wenn gilt, dass die Summe der gegenüberliegenden Winkel 180° ergibt.
Jedes regelmäßige n-Eck hat einen Umkreis.

Sehnenviereck

Sehnenviereck

Sehnenviereck

Es werden auf einem Kreis vier Punkte A, B, C und D gewählt. Werden diese vier Punkt durch Sehnen verbunden, die sich nicht schneiden sollen, so heißt das entstandende Viereck: Sehnenviereck.
sehnenviereck
Es gilt: Die Summe der gegenüberliegenden Winkel ergibt 180°.
Nur Vierecke, die zugleich Sehnenvierecke sind, haben einen Umkreis.
Es gilt AP * CP = BP * DP
zur Ergänzung siehe Tangentenviereck

Kongruenz von Dreiecken

Kongruenz von Dreiecken

Um zu überprüfen, ob zwei Dreiecke kongruent zueinander sind, ist es nicht notwendig alle Winkel und Seitenlängen übereinstimmen, sondern es gilt:
1. Zwei Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn sie in drei Seiten übereinstimmen. (sss) auf die Dreicksungleichung achten.
2. Zwei Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn sie in zwei Seiten und dem von diesen eingeschlossenen Winkel übereinstimmen. (sws)
3. Zwei Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn sie in zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel überreinstimmen. (sSw)
4. Zwei Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn sie in einer Seite und den an der Seite anliegenden Winkeln übereinstimmen. (wsw)

Dreiecksungleichung

Dreiecksungleichung

In einem ebenen Dreieck ABC mit den Seiten a, b und c gilt:
a + b > c
a + c > b
b + c > a.
Kurz gesagt: Zwei Seiten eines Dreiecks zusammen müssen immer länger sein als die dritte Seite.
Zum Testen reicht es aus, die zwei "kurzen" Seitenlängen zu addieren und mit der längste Seite zu vergleichen.

noch mehr Interessantes im  -->Mathelexikon<--

Jakobsstab

Jakobsstab
jakobsstabDer Jakobsstab ist ein mittelalterliches Winkelmessgerät. Beschrieben wird es sehr ausführlich von Peter Apianus.
Auf einem Längsstab ist ein beweglicher Querstab angebracht. (Meist gibt es den in verschiedenen Größen.)
--> Nähere Beschreibung <--