Mathelexikon

Winkelbeziehungen an geschnittenen Geraden

Winkelbeziehungen an geschnittenen Geraden

Winkelbeziehungen steht für mindestens zwei Winkel. Es gibt z. B. nicht den Scheitelwinkel α, sondern α ist ein Scheitelwinkel zu β
Komplementwinkel: Zwei Winkel mit gemeinsamen Schenkel und gemeinsamen Scheitelpunkt, die zusammen 90° (=rechter Winkel) groß sind, werden als Komplementwinkel bezeichnet.
Supplementwinkel: Zwei Winkel mit gemeinsamen Schenkel und gemeinsamen Scheitelpunkt, die zusammen 180° (=gestreckter Winkel) groß sind, werden als Supplementwinkel bezeichnet.
Winkel an geschnittenen Geraden
winkel kBild groß
Schneiden sich zwei Geraden, so entstehen vier Winkel im obigen Bild sind das für die Geraden a und c die Winkel α, β, γ und δ.
Scheitelwinkel: α und γ bzw. β und δ bilden Paare von Scheitelwinkeln. Merkmale: Sich schneidende Geraden, die Winkel haben nur den Scheitelpunkt gemeinsam. Die beiden Winkel eines solchen Paares sind gleich groß. (werden auch als Gegenwinkel bezeichnet).
Nebenwinkel: (α, β) , (α, δ), ..., (γ, δ) bilden Paare von Nebenwinkeln. Merkmale: Sich schneidende Geraden, die Winkel haben den Scheitelpunkt und einen Schenkel gemeinsam (s. o. Supplementwinkel). Die Winkel eines Paare sind zusammen 180° groß.
Werden zwei Geraden von einer dritten Geraden geschnitten, so entstehen 8 Winkel, s. Bild die Gerade a und b werden von der Geraden c geschnitten. Neben den den Scheitel- und Nebenwinkel gibt es nun noch:
Stufenwinkel: (α, α1), (β, β1), sind Beispielpaare für Stufenwinkel. Merkmale: Die Winkel liegen in der gleichen Halbebene (aus der "Sicht" ) der schneidenden Geraden und haben keinen gemeinsamen Scheitelpunkt. Die Winkel sind in die "gleiche Richtung geöffnet". Sind die geschnittenen Geraden parallel, so sind die Winkel eines Stufenwinkelpaares gleich groß.
Wechselwinkel: (α, γ1), ( β, δ1) sind Beispielpaare für Wechselwinkel. Merkmale: Die Winkel liegen in verschiedenen Halbebenen (aus der "Sicht" ) der schneidenden Geraden und haben keinen gemeinsamen Scheitelpunkt. Die Winkel sind in "verschiedene Richtungen geöffnet". Sind die geschnittenen Geraden parallel, so sind die Winkel eines Wechselwinkelpaares gleich groß.
entgegengesetzt liegende Winkel: (α, δ1), (β, γ1) sind Beispielpaare für entgegengesetzt liegende Winkel. Merkmale: Die Winkel liegen in der gleichen Halbebene (aus der "Sicht" ) der schneidenden Geraden und haben keinen gemeinsamen Scheitelpunkt. Die Winkel sind in  "verschiedene Richtungen geöffnet". Sind die geschnittenen Geraden parallel, so sind die Winkel eines Paares entgegengesetzt liegender zusammen 180° groß.

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Innenwinkelsumme im Dreieck

Innenwinkelsumme im Dreieck

In einem ebenen Dreieck beträgt die Innenwinkelsumme 180°.
Ein Beweis:
180 k Bild groß
Behauptung:α + β + γ = 180°
Voraussetzung: die Gerade g ist parallel zur Seite c
Beweisausführung:
1.α = δ (Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen)
2. β = ε (Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen)
3. δ + ε + γ = 180° (s. Bild) ==> wegen 1. und 2. folgt daraus die Behauptung. qed

Peripheriewinkel

Peripheriewinkel

Der Peripheriewinkel ist ein Winkel am Kreis. --> siehe interaktive Seite <--

Betrachtet man den Umkreis eines Dreiecks ABC, so sind die Seiten des Dreiecks Sehnen im Kreis. Die Innenwinkel des Dreiecks sind dann Peripheriewinkel.

Ein weiterer Winkel im Kreis ist der Zentriwinkel.

Proportionalität

Proportionalität

Es wird zwischen direkter und indirekter Proportionalität unterschieden.

Zwei Größen a und b sind direkt proportional, wenn es eine feste Zahl k (Proportionalitätsfaktor) gibt, so dass  k = \frac{a}{b} gilt.

Zwei Größen c und d sind indirekt proportional, wenn es eine feste Zahl k gibt, so dass c * d = k. Man kann auch sagen, c und \frac{1}{d} sind zu einander (direkt) proportional.

Erkennen von Propotionalitäten --> in Diagrammen <--

Beispiele für direkte Proportionalität:

Beim Einkaufen findet man viele Beispiele, allerdings nur, wenn es keine Rabatte oder so gibt.

Anzahl von
Kürbiskernbrötchen
1 2 3 4 5    
Zu zahlender Preis   0,80 €       6,40 € 16,00 €

 

Beitrag wird noch ergänzt.

y-Achse

y-Achse

y-Achse - die vertikale Achse eines kartesischen Koordinatensystems der Zeichenebene, auch --> Ordinate <-- genannt. Ihr Gegenstück heißt  --> Abzisse <--.

x-Achse

x-Achse

x-Achse - die horizontale Achse eines kartesischen Koordinatensystems der Zeichenebene, auch --> Abzisse <-- genannt. Ihr "Gegenstück" heißt --> Ordinate <--.

Betrag einer Zahl

Betrag einer Zahl

Unter dem Betrag einer Zahl  reellen Zahl a - geschrieben |a|, versteht man geometrisch den Abstand der Zahl auf der Zahlengeraden von der Null. Der Betrag einer Zahl ist immer positiv oder bei 0 eben 0.

Für a > 0 gilt |a| = a

Für a = 0 gilt |0| = 0

Für a <0 gilt |a| = -a

(-a auch -1 . a oder die zu a --> entgegengesetzte Zahl <--).

Additionsverfahren

Additionsverfahren

Das Additionsverfahren wird zur Lösung von --> Gleichungssystemen <-- genutzt.

siehe auch --> Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren <--

Dargestellt wird hier das Verfahren am Beispiel eines linearen Gleichungssystem mit zwei Unbekannten.
I. a1 x + b1 y = c1
II. a2 x + b2 y = c2
Die Koeffizienten einer Unbekannten, z. B. a1 und a2 müssen gleich vom Betrag her gleich sein. Sind sie es es nicht dann kann durch eine geignete Multiplikation einer oder beider Gleichungen, diese Gleichhait hergestellt werden. Anschließend werden die Seiten der Gleichungen addiert (bei verschiedenem Vorzeichen der Koeffienten) oder subtrahiert (bei gleichem Vorzeichen). So erhält man eine Gleichung mit nur einer Unbekannten, die sich leicht lösen lässt. Anschließend wird noch die zweite Unbekannte (kann auch mit dem Verfahren gemacht werden.) ausgerechnet. Die Lösung sollte noch per Probe überprüft werden.

Beispiel:

I  2x + 2 y = 10 

II 2x - y     = 1   | -

-----------------------

2y - (-y) = 10 - 1  (Die Zeile kann man bei sicherem Umgang mit Termen weglassen.)

3y = 9  |:3

y = 3

Das Verfahren zur Berechnung von x:

I  2x + 2 y = 10 

II 2x - y     = 1   | *2

------------------------------

I  2x + 2 y = 10 

II' 2x - 2y     = 2  | +

4x = 12  | : 4

x =3

(x; y) = (2; 3)

Probe I l.S. 2 * 2 + 2 * 3 = 4 + 6 = 10 (stimmt mit r. S. überein)

Probe II l. S.  2* 2 - 3 = 4 - 3 = 1 (stimmt mit r. S. überein)

L = {(2; 3)}

Gleichsetzungsverfahren

Gleichsetzungsverfahren

Das Gleichsetzungsverfahren wird zur Lösung von --> Gleichungssystemen <-- genutzt. (Es funktioniert bei Systemen mit beliebig vielen Gleichungen nur bedingt und wird zudem dann sehr schnell unübersichtlich.)

siehe auch --> Einsetzungsverfahren, Additionsverfahren <--

Dargestellt wird hier das Verfahren am Beispiel eines linearen Gleichungssystem mit zwei Unbekannten.
I. a1 x + b1 y = c1
II. a2 x + b2 y = c2
Beide Gleichungen werden nach einer der beiden Unbekannten (oder einem gmeinsamen Vielfachen davon) umgestellt. Z.B. die Gleichung I nach y. (y = .....) und II nach y. Die Terme auf der rechten Seite dieser Gleichungen werden als Terme einer neuen Gleichung verwendet. So erhält man eine Gleichung mit nur einer Unbekannten, die sich leicht lösen lässt. Anschließend wird noch die zweite Unbekannte ausgerechnet. Die Lösung sollte noch per Probe überprüft werden.

Beispiel:

I  2x + 2 y = 10  | -2y

II 2x - y     = 1   | + y

I' 2x = 10 - 2y

II' 2x = 1 + y

(Anmerkung: Natürlich kann man die beiden Gleichungen auch noch jeweils durch 2 dividieren und dann gleichsetzen, aber man muss es nicht tun. Ebenso ist es mödenkbar beide Gleichungen jeweils nach y umzustellen.)

I' = II' -->

10 - 2y = 1 + y | -y - 10

-3y = - 9 | :(-3)

y = 3

y in I' 2x = 10 - 2y = 10 - 2*3 = 4

2x = 4 |:2

x = 2

(x; y) = (2; 3)

Probe I l.S. 2 * 2 + 2 * 3 = 4 + 6 = 10 (stimmt mit r. S. überein)

Probe II l. S.  2* 2 - 3 = 4 - 3 = 1 (stimmt mit r. S. überein)

L = {(2; 3)}

Einsetzungsverfahren

Einsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren wird zur Lösung von --> Gleichungssystemen <-- genutzt. (Es funktioniert bei Systemen mit beliebig vielen Gleichungen - wird aber dann schnell unübersichtlich.)

siehe auch --> Additionsverfahren, Gleichsetzungsverfahren <--

Dargestellt wird hier das Verfahren am Beispiel eines linearen Gleichungssystem mit zwei Unbekannten.
I. a1 x + b1 y = c1
II. a2 x + b2 y = c2
Eine der Gleichungen wird nach einer der Unbekannten umgestellt. Z.B. die Gleichung I nach y. (y = .....) der Term auf der rechten Seite dieser Gleichung wird dann statt y in die Gleichung II eingesetzt. So erhält man eine Gleichung mit nur einer Unbekannten, die sich leicht lösen lässt. Anschließend wird noch die zweite Unbekannte ausgerechnet. Die Lösung sollte noch per Probe überprüft werden.

Beispiel:

I  2x + 2 y = 10  | -2x

II 2x - y     = 1

_____________

I' 2y = 10 - 2x | :2

I' y = 5 - x

I' in II

II' 2x - (5 - x) = 1

II' 2x -5 + x = 1 | + 5

II' 3x = 6 | : 3

--> x = 2 Einsetzen in I' y = 5 - x = 5 - 2 = 3

(x; y) = (2; 3)

Probe I l.S. 2 * 2 + 2 * 3 = 4 + 6 = 10 (stimmt mit r. S. überein)

Probe II l. S.  2* 2 - 3 = 4 - 3 = 1 (stimmt mit r. S. überein)

L = {(2; 3)}

Winkel

Winkel

Wird ein Strahl a mit dem Anfangspunkt S um den Punkt S gedreht, so ergibt sich als Bild wieder ein Stahl mit dem gleichen Anfangspunkt S. Diesen Bildstrahl bezeichne ich mit b. a und b bilden dann den Winkel (a;b). Der Drehsinn wird als positiv angenommen.

a und b werden als Schenkel des Winkels bezeichnet, der Punkt S als Scheitelpunkt des Winkels. Weitere übliche Bezeichnungen für Winkel sind griechische Buchstaben. Ebenso geht es auch mit  \angle (ASB) , dabei ist A ein Punkt auf a und B ein Punkt auf b. Der Winkel  \angle (ACB) in einem Dreieck ABC ist also der Winkel mit dem Scheitelpunkt bei C - wird auch als \gamma (Gamma) bezeichnet.

Strahl (in der Geometrie)

Strahl

Ein Strahl - auch Halbgerade genannt - ist eine unendlich lange gerade Linie, die einen Anfangspunkt besitzt, aber keinen Endpunkt. Diese Festlegung erlaubt eine Orientierung des Strahls. (Ein Strahl von A aus.)

Vorwärtseinschneiden

Eine der wichtigen Aufgaben der Feldvermessung ist das Vorwärtseinscheiden. Dabei geht es darum, dass die Entfernung von zwei "unzugänglichen" Punkten berechnet wird. Ausgangspunkt ist eine Strecke, deren Länge bekannt ist (Basis). Darüber hinaus werden die "unzugänglichen" Punkte angepeilt und die Winkel zwischen den Punkten und der Basis vermessen.

Einscheiden

Es gibt verschiedene Lösungswege, einer davon wird hier vorgestellt.

 \frac{e}{a} = \frac{sin \delta}{sin(180^\circ -(\delta + \alpha))}

e = \frac{sin \delta \cdot a}{sin(180^\circ -(\delta + \alpha))}

 \frac{d}{a} = \frac{sin \gamma}{sin(180^\circ -(\beta + \gamma))}

 d = \frac{sin \gamma \cdot a}{sin(180^\circ -(\beta + \gamma))}

c^2 = d^2 + e^2 - 2de cos(\beta - \alpha)

zum Applet

Harshad-Zahl

Harshad-Zahl oder Niven- Zahl

Eine natürliche Zahl (im Dezimalsystem), die durch ihre Quersumme teilbar ist, wird Harshad-Zahl genannt.

Harshad kommt von Freude (Sanskrit). Niven ist ein Mathematiker.

Alle Harsahd-Zahlen bis zur 999 -- hier <--

Vorwärtseinschneiden

Die Punkte lassen sich ziehen. Die daraus resultierenden Längen und Winkel lassen sich für Berechnungsaufgaben verwenden.
In der Regel werden die Länge der Seite a - Standlinie - und die Winkel gemessen (vorgegeben) und daraus die Länge der Seite CD berechnet.

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ausgewogene Primzahlen

Ausgewogene Primzahlen

oder sollte man sie besser austarierte Primzahlen nennen (engl. balanced prime)?
Was ist das nun?
Eine Primzahl p heißt ausgewogen, wenn sie der Mittelwert ihrer Vorgängerprimzahl und ihrer Nachfolgerprimzahl ist.
Beispiel: die 53 ist eine solche Primzahl, denn die nächste kleinere Primzahl ist 47, die nächste größere ist 59. Das arithmetische Mittel von 47 und 59 ist 53.
Die ersten 20 solcher Primzahlen: 5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1103, 1123, 1187, 1223, 1367


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