Serie 46

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Aufgabe 3

543. Wertungsaufgabe

543„Was hast du in das gleichseitige Dreieck ABC (a = 8 cm) gezeichnet?“, fragte Bernd seine Schwester. „Da wir gestern lernten, wie man ein regelmäßiges Fünfeck konstruiert, habe ich noch das grüne regelmäßige Fünfeck DEFGH (a = 4 cm) gezeichnet. (AD = 2 cm). Ein Ergebnis war dann das nicht regelmäßige Sechseck DEMJNI.“
Aus den Winkelgrößen des Dreiecks und des Fünfecks sind die Größen der Winkel des Sechsecks herzuleiten – 6 blaue Punkte.
Für die Berechnung von Flächeninhalt und Umfang des Sechsecks gibt es 12 rote Punkte.
Termin der Abgabe 28.09.2017. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 28.09.2017. Deadline for solution is the 28th. September 2017. Date limite pour la solution 28.09.2017. Resoluciones hasta el 28.09.2017
fr

543
"Qu'est-ce que tu as dessiné dans le triangle équilatéral ABC (a = 8 cm)?" demanda Bernd à sa sœur. "Depuis hier, nous avons appris comment construire un pentagone régulier, j'ai encore dessiné le pentagone régulier vert DEFGH (a = 4 cm). (AD = 2 cm). En résultat j’ai obtenue alors l'hexagone non-régulier DEMJNI. "
A partir des grandeurs angulaires du triangle et du pentagone, les grandeurs des angles de l'hexagone doivent être déduites: 6 points bleus.
12 points rouges pour le calcul de la surface et de la circonférence de l'hexagone. Date limite pour la solution 28.09.2017.

sp

543
"Qué dibujaste a dentro del triángulo equilátero ABC (a = 8cm)" le preguntó Bernd a su hermana. "Ya que hemos aprendido ayer cómo se construye un pentágono regular, he dibujado el verde pentágono regular DEFGH (a=4cm) adentro del triángulo. (AD = 2cm). Al final salió el hexágono irregular DEMJNI."
Por los ángulos del triángulo y del pentágono se calcula los ángulos del hexágono - 6 puntos azules.
Para los cálculos del area y del periférico del hexágono se recibe 12 puntos rojos.  Resoluciones hasta el 28.09.2017

en

543

“What did you draw inside the equilateral triangle ABC (a=8cm)?”, Bernd asked his sister.
“As we learnt how to construct a regular pentagon yesterday, I added the green regular pentagon DEFGH (a=4cm). (AD = 2cm). The result was the hexagon DEMJNI which isn’t regular, of course.”
Use the angles of the triangle and the pentagon to deduce the angles of the hexagon. - 6 blue points
Calculating the area and perimeter of the hexagon will get you 12 red points. Deadline for solution is the 28th. September 2017.

it

543Cosa hai disegnato nel triangolo equilatero ABC (a=8cm)?”, chiese Bernd a sua sorella. “Visto che ieri abbiamo imparato come costruire un pentagono regolare ho disegnato ancora il pentagono regolare verde DEFGH (a=4cm). (AD=2cm). Un risultato era l´esagono non regolare DEMJNI.”
Dalla grandezza degli angoli del triangolo e del pentagono sono da dedurre le grandezze degli angoli dell´esagono – 6 punti blu.
Per il calcolo dell´area e del perimetro dell´esagono ci sono 12 punti rossi. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 28.09.2017.

Lösung/solution/soluzione/résultat:

Musterlösung von Linus, danke. --> als pdf <--

Variante zwei von Reinhold M. aus Leipzig, danke
ich bezeichne zunächst eine Seite(nlänge) unseres großen roten Dreiecks mit a3 = 8 (alles in cm bzw. später cm^2) und des grünen Fünfecks mit a5 = 4 sowie deren Innenwinkel entsprechend mit Alpha3 = 60° und Alpha5 = (5 - 2) * 180° / 5 = 108°.
Dann gilt im Dreieck ADI (und entsprechend für EBM)
   Winkel(DAI) = Alpha3 = 60°,
   Winkel(IDA) = 180° - Alpha5 = 72°,
   Winkel(AID) = 180° - Winkel(DAI) - Winkel(IDA) = 48°.

Damit haben wir "die blauen Winkel":

   Winkel(MED) = Winkel(EDJ) = Alpha5 = 108°,
   Winkel(JME) = Winkel(DIN) = 180° - Winkel(AID) = 132°
und mit den Innenwinkelsumme des Sechsecks (6 - 2) * 180° = 720° (analoge Formel oben für Fünfeck verwendet)
   Winkel(NJM) = Winkel(INJ) = 1/2 * (720° - 2 * 108° - 2 * 132°) = 120°,
was wegen der Symmetrie, die zur Parallelität von AB und NJ führt, auch anders gefolgt wäre - auf jeden Fall ist also das Dreieck NJC auch gleichseitig.

Für die im folgenden Text auftretenden Werte der Sinusfunktion benutze ich die Berechnungen von Joachim Mohr http://www.kilchb.de/faqmath99.php.

Bekannt ist AD = 1/2 (a3 - a5) = 2. Mittels Sinussatz folgt
   DI = AD * sin(Winkel(DAI)) : sin(Winkel(AID))
      = 2 * sin(60°) : sin(48°)
      = 2 * 1/2*sqrt(3) : (1/8*(sqrt(2)*sqrt(5+sqrt(5))+sqrt(3)*(sqrt(5)-1)))
      = 8*sqrt(3) / (sqrt(2)*sqrt(5+sqrt(5))+sqrt(3)*(sqrt(5)-1))
(eine weitere Vereinfachung spare ich mir), und natürlich ist ME = DI.
Analog folgt
   AI = AD * sin(Winkel(IDA)) : sin(Winkel(AID))
      = 2 * sin(72°) : sin(48°)
      = 2 * 1/4*sqrt(2)*sqrt(5+sqrt(5)) : (1/8*(sqrt(2)*sqrt(5+sqrt(5))+sqrt(3)*(sqrt(5)-1)))
      = 4*sqrt(2)*sqrt(5+sqrt(5)) / (sqrt(2)*sqrt(5+sqrt(5))+sqrt(3)*(sqrt(5)-1)).
Nun betrachten wir das Dreieck GJC. Die Höhen von gleichseitigem Drei- und Fünfeck setzte ich wieder voraus - es besteht ja eine Beziehung zu den verwendeten Winkelfunktionswerten... -, hier also mit entsprechender Bezeichnung:
   h3 = 1/2 sqrt(3) * a3
      = 4*sqrt(3),
   h5 = 1/2 sqrt(5+2*sqrt(5)) * a5
      = 2*sqrt(5+2*sqrt(5))
(sieht man z.B. auch aus Winkel(GED) = 72° und tan(72°) = sqrt(5+2*sqrt(5)) - bzw. umgekehrt!).
Damit folgt
   GC = h3 - h5
      = 2*(2*sqrt(3) - sqrt(5+2*sqrt(5)))
und mit
   Winkel(JGC) = 180° - 1/2 Alpha5 = 126°,
   Winkel(GCJ) = 1/2 Alpha3 = 30°,
   Winkel(CJG) = 180° - Winkel(JGC) - Winkel(GCJ) = 24°
schließlich (sin(126°) = sin(54°)) eine weitere Sechseckseite (NJ = JC = CN)
   JC = GC * sin(Winkel(JGC)) : sin(Winkel(CJG))
      = GC * sin(126°) : sin(24°)
      = 2*(2*sqrt(3) - sqrt(5+2*sqrt(5))) * (1+sqrt(5))/4 : (1/8*(-sqrt(2)*sqrt(5-sqrt(5))+sqrt(3)*(sqrt(5)+1)))
      = 4*(2*sqrt(3) - sqrt(5+2*sqrt(5))) * (1+sqrt(5)) / (-sqrt(2)*sqrt(5-sqrt(5))+sqrt(3)*(sqrt(5)+1)).
Damit folgen die verbliebenen Seiten
   MJ = NI = a3 - AI - CN
      = 8 - 4*sqrt(2)*sqrt(5+sqrt(5)) / (sqrt(2)*sqrt(5+sqrt(5))+sqrt(3)*(sqrt(5)-1))
          - 4*(2*sqrt(3) - sqrt(5+2*sqrt(5))) * (1+sqrt(5)) / (-sqrt(2)*sqrt(5-sqrt(5))+sqrt(3)*(sqrt(5)+1)).
Gerundet erhalten wir für den Sechseckumfang
   U6 = a5 + 2*ID + 2*NI + NJ
      = 4 + 2*2.3307 + 2*3.9032 + 1.5372
      = 18.005.

Für die Fläche haben wir zunächst die Höhe von ADI mit
   hADI = sin(60°) * AI
        = 2*sqrt(2)*sqrt(3)*sqrt(5+sqrt(5)) / (sqrt(2)*sqrt(5+sqrt(5))+sqrt(3)*(sqrt(5)-1))
sowie von NJC mit
   hNJC = sin(60°) * NJ
        = 1/2*sqrt(3) * NJ
und damit für die Dreiecksflächen
   AADI = 1/2 * AD * hADI
        = hADI,
   ANJC = 1/2 * NJ * hNJC
        = 1/4*sqrt(3) * NJ^2
        = 1/4*sqrt(3) * (4*(2*sqrt(3) - sqrt(5+2*sqrt(5))) * (1+sqrt(5)) / (-sqrt(2)*sqrt(5-sqrt(5))+sqrt(3)*(sqrt(5)+1)))^2
sowie die große
   A3 = 1/2 * h3 * a3
      = 16 * sqrt(3).
Die gesuchte Sechseckfläche ist damit
   A6 = A3 - ANJC - 2*AADI
(s. oben), was gerundet 22,256 ergibt
(das Ausrechnen habe ich dann Excel überlassen, wobei ich aber noch "sqrt" durch "WURZEL" ersetzen musste...).

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