Querprodukt

Querprodukt

Unter dem Querprodukt einer (mindestens zweistelligen) natürlichen Zahl n versteht man das Produkt ihren Ziffern.
Beispiel 1: 64 --> Querprodukt 6*4 = 24
Beispiel 2: 6099 --> Querprodukt 6*0*9*9 = 0
Es lässt sich leicht zeigen, dass das Querprodukt immer kleiner ist als die Zahl selbst.

--> Script zum Ermitteln  <--

Iteriertes Querprodukt.

Unter dem iterierten Querprodukt versteht man eine Folge von Querprodukten, wobei das Querprodukt vom Querprodukt .... ermittelt. wird, bis irgendwann das Querprodukt einstellig ist.

Beispiel 1: 64 --> Querprodukt 6*4 = 24 --> 2*4 = 8 --> Folge (24; 8) Die Folge für den Startwert 64 hat 2 Elemente.
Beispiel 2: 77 --> 7*7 = 49 --> 4*9 = 36 --> 3*6= 18 --> 1*8 = 8 --> Folge (49; 36; 18; 8) Die Folge für den Startwert 77 hat 4 Elemente.

Die Anzahl der Elemente werden als Maß für die (multiplikative) "Beharrlichkeit"  verwendet.
77 hat die Beharrlichkeit 4. Es ist die kleinste Zahl, die diese Beharrlichkeit aufweist.
Die kleinste Zahl mit der Beharrlichkeit 5 ist die 679.
Bisher wurden Zahlen bis zur Beharrlichkeit 11 entdeckt, ob die Beharrlichkeit 12 oder mehr sein kann, ist derzeit nicht bekannt.
Die kleinste Zahl mit der Beharrlichkeit 11 ist die 277777788888899.

Wurstkatastrophe

Wurstkatastrophe

Bei der der Wurstkatastrophe handelt es sich nicht um einen neunen Gammelfleischskandal. Es geht um die optimale Verpackung gleich großer Kugeln.
Anschaulich wäre das zum Beispiel die Verpackung von (gleich großen) Tischtennisbällen in (unendlich) dünne Folie. Optimal heißt dann, dass die Oberfläche der Folie möglichst klein sein soll.
Liegen die Mittelpunkte der Kugeln aller auf einer Geraden, so sieht die "Verpackung" wie eine Wurst aus. Liegen die Mittelpunkte aller Kugeln in einer Ebene, so wird die "Verpackung als als Pizza bezeichnet. (Die Wurst ist also eine spezille Form der Pizza.) Sind die Mittelpunkte der Kugel beliebig im Raum verteilt, so wird diese Form als Cluster bezeichnet.
Besipiel:4 Kugeln
alle in einer "Reihe" --> Wurst
2x2-Anordnung --> Pizza
3 Kugeln auf einem Tisch und die 4. Kugel oben drauf --> Cluster
Es lässt sich zeigen, dass für 1 bis 55 Kugeln, die Wurst die optimale Verpackung darstellt. ABER bei 56 Kugeln gibt es plötzlich Cluster, die besser sind als eine Wurst der Länge 56. Bei 57 und 58 Kugeln ist es wieder die "Wurstform".
Da eine "Katastrophe" häufig für etwas Unversehbares steht, so ist eben hier der Begriff Wurstkatastrophe gewählt worden.
Letzlich aber lässt sich feststellen, dass die optimale Verpackung für n Kugeln nur für wenige Werte von n wirklich bekannt ist. Auch ein endgültiger Beweis, dass erst bei n=56 die Wurstkatastrophe eintritt, steht noch aus.

Stichwort Packungsdichte

Giuga Zahlen

Giuga Zahlen

Giugazahlen sind natürliche Zahlen, die nach dem italienischen Mathematiker Giuaga benannt wurden.
Es gibt mehrere Definitionen.
Eine recht anschauliche ist:
n ist eine Giugazahl, wenn sie zusammengesetzt (also keine Primzahl) ist und wenn jeder ihrer Primteiler p ein Teiler von $$ \frac{n}{p} - 1 $$ ist.

Beispiel: 858 = 2 * 3 * 11 * 13
2 ist ein Teiler von  (858:2-1 = 429 - 1 =) 428
3 ist ein Teiler von (858:3-1) = 286 -1 =) 285
11 ist ein Teiler von (858:11-1 = 78 -1 =) 77
13 ist ein Teiler von (858:13-1 = 66-1 =) 65

Ob es unendlich viele solche Zahlen gibt, ist nicht bekannt.

Lagebeziehungen von Geraden

Lagebeziehungen von Geraden

In der (euklidischen) Geometrie gilt: Liegen zwei Geraden in einer Ebene (Gerade 1 und Gerade 2 bzw. Gerade 1 und Gerade 3), dann sind sie entweder parallel zueinander oder aber sie haben einen gemeinsamen Schnittpunkt. Die Gerade 4 liegt im Raum über den anderen Geraden, ohne diese zu schneiden oder parallel zu sein. Die Gerade 4 verläuft windschief zu den anderen.

Wer Geogebra 5 testet, für den gibt es hier die passende Datei. --> ggb <--

Normale

Normale

Unter einer Normalen versteht man eine Gerade, die durch einen Punkt auf einer Funktion oder einem Punkt am Rand einer geometrischen Figur verläuft. Die Normale verläuft senkrecht zur Funktion bzw. zur Tangente in diesem Punkt.

Konstruktion mit Geogebra:
1. Funktion eintragen.
2. Punkt auf das Bild der Funktion legen.
3. "Tangente durch Punkt an Funktion" ausführen.
4. Senkrechte zur Tangente aus Schritt 3 "konstruieren".

Quadrant

Quadranten

Bei der Benutzung eines (kartesischen) Koordinatensystems wird die Ebene in vier Teile geteilt - Quadranten.
Für die Koordinaten eines Punktes P(x; y) in den Quadranten gilt dann:
1. Quadrant: x>0, y>0
2. Quadrant: x<0, y>0
3. Quadrant: x<0, y<0
4. Quadrant: x>0, y<0

Basiswinkel

Basiswinkel

Als Basiswinkel werden die gleichgroßen Winkel eines gleichschenkligen Dreiecks bezeichnet.

In dem Dreieck seien die Seiten a und b gleichlang - die Schenkel des Dreiecks. Die Seite c wird dann als Basis bezeichnet.

Ein Beweis: CD sei die Höhe auf die Seite c. Dann sind die Winkel BDC und ADC jeweils 90° groß. (Höhe steht senkrecht auf einer Seite. Die Strecke CD gehört zum Dreieck ADC, aber auch zum Dreieck BCD. Die beiden Dreiecke stimmen also in CD, a und b (gleichschenklig) überein und haben jeweils einen rechten Winkel. Damit sind sie nach sSw kongruent zueinander. Das heißt α und β, die der jeweils gleichen Seite in den Teildreiecken gegenüber liegen, sind gleich groß. q.e.d.

biquadratische Gleichungen

biquadratische Gleichungen

Biquadratische Gleichungen sind Gleichungen 4. Grades ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e=0 mit b = d = 0. Es bleibt also ax⁴ + cx²  + e=0. (a<>0)

Die Lösung erfolgt durch eine Ersetzung (Substitution) Es wird x² = z gesetzt. Damit wird die Gleichung zu az² + bz + e = 0. Die Lösung einer quadratischen Gleichung ist --> hier <-- beschrieben. Hat man auf diese Art die Werte für z₁ und z₂ ermittelt, sind dann die Werte für x₁ bis x₄ (meist) nicht mehr so schwierig zu berechnen. (Rücksubstitution).

Carlyle-Kreis

Der Kreis von Thomas Carlyle (1795-1881)

Für das Auffinden von Nullstellen von quadratischen Funktionen der Form y = f(x) = x² + px + q wird ein Kreis - der Carlylekreis benutzt

Das Verfahren ist ein Spezialfall des Verfahrens von Capitain Lill. (Finden von Nullstellen von beliebigen ganzzahligen rationalen Funktionen.) So wird also dann auch vom Lillkreis gesprochen.

Der Carlylekreis zur Funktion y = f(x) = x² + px + q hat seinen Mittelpunkt M in der Mitte der Strecke AD und verläuft durch die Punkte A und D. Für die Punkte gilt: A (0;1) und D (-p;q). Die Koordinaten von M sind dann $$ \left(-\frac{p}{2} ; \frac{q+1}{2}\right) $$ Der Radius dieses Kreises ist dann mit Hilfe des Satzes des Pythagoras leicht bestimmbar: $$ r = \sqrt{\frac{p^2+(q-1)^2}{4}} $$

Jetzt wird gezeigt, dass die Nullstellen des Kreises auch die Nullstellen der Parabel sind.

Für einen Kreis mit dem Mittelpunkt M (a; b) und dem Radius r gilt (x-a)² + (y-b)² = r².

Das wird zu: $$ \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{q+1}{2}\right)^2 = \frac{p^2 + (q-1)^2}{4} $$

Um die Nullstellen des Kreises zu bestimmen wird (wie immer) y = 0 gesetzt. Das ergibt dann:

$$ \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 + \left( \frac{q+1}{2}\right)^2 = \frac{p^2 + (q-1)^2}{4} $$

$$ \frac{(2x+p)^2}{4} + \frac{(q+1)^2}{4} = \frac{p^2 + (q-1)^2}{4} \| {} \cdot 4 $$

$$ (2x+p)^2 + (q+1)^2 = p^2 + (q-1)^2 $$

$$ 4x^2 + 4px + p^2 + q^2 + 2q + 1 = p^2 + q^2 -2q +1 \| {}-(p^2 + q^2 -2q +1) $$

$$ 4x^2 + 4px + 4p = 0 \| {}: 4 $$

$$ x^2 + px + p = 0 $$

Das aber ist auch die Ausgangsformel für die Ermittlung der Nullstellen der quadratischen Funktion y = f(x) = x² + px + q, denn auch dort ist y = 0 zu setzen.

Schneidet der (immer konstruierbare) Kreis die x-Achse nicht, so besitzt auch die entsprechende Normalparabel keine Nullstellen. Berührt der Kreis die x- Achse, so gibt es eine bzw. zwei zusammen fallende  Nullstellen.

Zum Probieren noch eine Geogebrabra-Datei: --> hier <--

Satz von Viviani

Satz von Viviani

Der Satz von Viviani (ital. Mathematiker (1622 - 1703)) bezieht sich auf das gleichseitige Dreieck.

Für jeden Punkt P im Inneren eines gleichseitigen Dreiecks gilt, dass die Summe der Abstände zu den Seiten gleich ist. Wird die Höhe des Dreiecks mit h bezeichnet so gilt:

a_a + a_b + a_c = h

Osterformel

Osterformel

Kurz gesagt, ist der Ostersonntag, der erste Sonntag nach der ersten Vollmond nach Frühlingsanfang, der auf den 21.3. eines Jahres festgelegt ist.
Grundlage für die Berechnung ist die von Dr. Heiner Lichtenberg modifizierte Osterformal nach Gauss.

Diese Berechnung ist geeignet ab dem Jahr 0, kann aber - astronomisch gesehen Fehler enthalten.
Es werden für 100 Jahre die Osterdaten ermittelt. (Sollte durch Rundungsfehler der 26. oder 27. April  angezeigt werden, so sind 7 Tage abzuziehen.)

Osterberechnung

eine Quelle

Teilbarkeitsregel und Euro

Teilbarkeitsregel und der Euro

Fermatpunkt

Fermatpunkt

Quantoren

Quantoren

Quantoren werden als Abkürzungen für folgende Formulierungen genutzt.
Es gibt ... Existenzquantor $$\exists$$
Für alle ... gilt. Allquantor $$\forall $$
Um auszudrücken, dass es genau ein ... gibt, für das .... gilt wird auch $$\exists !$$ verwendet.

Tangenten an Parabeln

Tangenten an Parabeln
Vergleicht man die Lage von Parabeln und linearen Funktionen in einem Koordinatensystem, so erkennt man leicht, dass die Bilder einer Parabel und einer linearen Funktion entweder zwei Schnittpunkte (Sekante), einen Schnittpunkt (Tangente) oder aber keinen Punkt gemeinsam haben (Passante).
Wie wird nun die Gleichung einer linearen Funktion ermittelt, die eine vorgegebene Normalparabel tangiert.
Gesucht ist die Tangente an y = f(x) = x² + px +q im Punkt T(x_t, y_t) der Parabel.
Der Anstieg m der Tangente ergibt sich aus der ersten Ableitung der Parabel y' = 2x +p --> m = 2x_t + p
Jetzt wird noch der y-Abschnitt (n) der Tangente gebraucht. Der ergibt sich aus y_t = (2x_t + p)x_t + n
n = y_t - (2x_t + p)x_t
n = x_t² + px_t + q - (2x_t +p)x_t
n = q  - x_t²

Beispiel:
y = f(x) = x² +x - 2, gesucht die Tangente im Punkt (2; 4)
y' = 2x +1
m= 2*2 + 1 = 5
n = -2 - 2² = -6
y = = (f(x)= 5x -6 Tangentengleichung.

Für die allgemeine Parabeln gilt das entsprechend.
y = (f(x) = ax² + bx + c Punkt T(x_t, y_t)
Der Anstieg m der Tangente ergibt sich aus der ersten Ableitung der Parabel y'= 2ax +b ...