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Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient

Der Binomialkoffezient wird u.a. genutzt, um eine der Grundaufgaben der Kombinatorik zu ermitteln.
n \choose k
Dabei steht n für die Anzahl von Objekten (Elementen). Von denen werden k ausgewählt werden.
Die Anordnung der k Elemente ist dabei egal und die Elemente sind alle verschieden.
Das wird als Kombination bezeichnet.
Beispiel: Wie viele Möglichkeiten gibt es 6 aus 49 Zahlen zu ziehen:
Zieht man eine Zahl gibt es 49 Möglichkeiten:
Zieht man die zweite Zahl, so lässt sich jede der 49 Zahlen mit einer der verbleibenden 48 Zahlen kombinieren, also 49 * 48 Möglichkeiten.
Für die dritte gilt dann. dass sich jede der 49 * 48 Möglichkeiten mit einer der verbleibenden 47 Zahlen kombiniert werden kann, 49*48*47.
...
Für die sechs Zahlen von den 49 sind das 49*48*47*46*45*44 Möglichkeiten. Allerdings ist diese Zahl noch durch k! (sprich k Fakultät) zu divieren. Begründung: Es kommt ja auf die Reihefolge der gezogenen Zahlen ja nicht an. (z.B 123456 ist genau so gut wie 234561 oder 341256 ... 6! - Permutation).
49 \choose 6 steht eben genau für 49*48*47*46*45*44/ 6!
Möchte man nur mit Fakultäten rechnen, so lässt sich das auch so schreiben:
{n \choose k} = \frac{n!}{(n-k)! \cdot k!}
Berechnung

Der Name  Binomialkoffezient kommt daher, dass sich die Koeffezienten von binomischen Ausdrucken (a+b)n nach dem Ausmultiplizieren als B-Koffezienten angeben lassen.
Spezielle Formen:
{n \choose 0} = {n \choose n} = {1}
{n \choose 1} = {n \choose n-1} = {n}
{n \choose k} = {n \choose n-k}

Berechnung des Binomialkoffizienten

 

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Positionssysteme

Positionssysteme

Positionssystem oder auch Stellenwertsystem.
Wenn man das Schreiben von Zahlen lernt, wird einem recht schnell klar, dass 32 und 23 nicht das Gleiche sind. Aber warum?
Da gibt es zum Einen die Zahlzeichen - Ziffern: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 und 9. Diese werden auch als einstellige Zahlen verwendet. Aber dann hört es auf, kein neues Symbol für die Zehn, Elf, Zwölf, ...
32 heißt : Man hat 3 Zehner und 2 Einer. 23 aber sind 2 Zehner und 3 Einer.
Um eine Zahl zu erfassen braucht man also das Wissen um die Ziffer und das Wissen an welcher Stelle diese steht.
Ganz wichtig in dem Zusammenhang die Null als Kennzeichnung einer vorhandenen Zehnerpotenz. 102 ist nicht das Gleiche wie 1 2. !!!
Dezimalsystem:
Es ist das für uns gebräuchlichste und vertrauteste System:
Zweitausenddreihunderteinundsechzig --> 2361 setzt sich zusammen aus 2*1000 + 3*100 + 6*10 + 1*1
andere Schreibweise 2*10³ + 3*10² + 6*101 + 1*100
10 - wird als Basis bezeichnet.
Nun wird auch klar, warum hier kein Symbol für die 10, Elf oder Zwölf braucht. Die Faktoren vor den Potenzen sind kleiner als die Basis der Potenzen.
Der letzte Satz führt zu Folgendem:
Als Basis b eines Positionssystems wird eine natürliche Zahl verwendet, die größer ist als 1. Als Zahlensymbole - Ziffern - werden b verschiedene Symbole gebraucht. Diese stehen im landläufigen Sinne für 0; 1; ...; b-1.

Binär- oder Dualsystem:
Basis ist die 2. Symbole sind die 0 und 1 (in manchen Darstellungen auch 0 und L)
Die Stellen stehen dann für ...; 26; 25; 24; 23; 22; 21; 20
Die Faktoren, die davor stehen dürfen sind lediglich 0 und 1.
Die obige 23 ist dann 1* 24 + 0*23 + 1*22 + 1*21 + 1*20 auch geschrieben als 101112
Das Binärsystem ist die Grundlage für die Datenverarbeitung.

Oktalsytem:
Basis ist die 8. Symbole sind 0; 1; ...; 7.
Die Stellen stehen dann für ...; 86; 85; 84; 83; 82; 81; 80
Die obige 23 ist dann 2*81 + 7*80 auch geschrieben als 278

Systeme mit einer Basis größer als 10 brauchen mehr als 10 Symbole. Man behilft sich da meist mit den Buchstaben aus und kommt damit bis zur Basis 36, da zwischen Groß- und Kleinbuchstaben meist nicht unterschieden wird.

Hexadezimalsystem:
Basis ist die 16. Symbole sind die 0; 1; 8; 9; A; B; C; D; E und F (B steht im unserem Sinne als Symbol für eine 11)
Die Stellen stehen dann für ...; 166; 165; 164; 163; 162; 161; 160
Die obige 23 ist dann 1* 161 + 7*160 auch geschrieben als 1716
Unsere 10010 wird dann zur 6416
(In Mesepotamien hatte man ein 60-er System. Also brauchte man ........ Symbole.

Hier noch die Umrechnung in die verschiedenen Systeme: -- Umrechnung --

Noch Fragen?
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alte Zahlbezeichnungen

Alte Zahlbezeichnungen

Nicht nur in Märchen und Sagen, sondern auch im Alltag werden immer mal wieder Bezeichnungen für Zahlen - besser für eine Anzahl von ... -  verwendet, die beim "normalen" Zählen nicht vorkommen.
1 Dutzend: 12
1 Mandel: 15
1 Schock = 5 Dutzend: 60
1 Gros = 12 Dutzend: 144
1 Maß = 12 Gros: 1728

Die 12 zu verwenden macht Sinn, denn man kann sehr leicht viele Bruchteile ermitteln, die alle ganzzahlig sind.
\frac {1}{2}, \frac {1}{3}, \frac {2}{3}, \frac {1}{4}, \frac {3}{4}, \frac {1}{6}, \frac {5}{6}, \frac {1}{12}, \frac {5}{12}, \frac {7}{12}, \frac {11}{12} Es sind also 7 Brüche, die nicht die 12 im Nenner haben. Bei der 10 wären das lediglich zwei Brüche. Für den Handel brachte dies zweifellos Vorteile.

Weitere Anwendungen der 12:
Altes Längenmaß: 1 Fuß = 12 Zoll
Währung: Bis 1971 galt 12 Pence = 1 Shilling Beachtet man dazu, dass 20 Shilling = 1 Pound waren, so ergaben 240 Pence ein Pound. (240 - ein wahres Teilermonster)
12 Tierkreiszeichen
12 Monate
Bei dem Besuch von afghanischen Schülern an unserer Schule konnte man ab und an beobachten, dass diese mit einer Hand bis 12 zählten.
1 - Daumen an unteres Glied des kleinen Fingers,
2 - Daumen an das mittlere Glied des kleines Fingers,
3 - Daumen an das obere Glied des kleinen Fingers,
4 - Daumen an das untere Glied des Ringfingers,
5 - Daumen an das mittlere Glied des Ringfingers,
6 - Daumen an das obere Glied des Ringfingers,
7 - Daumen an unteres Glied des Mittelfingers,
8 - Daumen an das mittlere Glied des Mittelfingers,
9 - Daumen an das obere Glied des Mittelfingers,
10 - Daumen an das untere Glied des Zeigefingers,
11 - Daumen an das mittlere Glied des Zeigefingers,
12 - Daumen an das obere Glied des Zeigefingers,
Auch schon alt, aber sicherlich sehr geläufig: 1 Paar: 2

Viele andere Begriffe beziehen sich nicht auf reine Zahlen, sondern auf Längen-, Flächen- und Volumenmaße so wie auf  Angaben der Masse.

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sexy Primzahlen

Sexy Primzahlen,

Was sich die Mathematiker - zumindest einige - so einfallen lassen.
Sexy Primzahlen - sexy prime numbers - sind Primzahlen, der Differenz 6 ist.
So bilden also 2011 und 2017 ein sexy Primzahlpärchen.
Ob dann allerdings die 13 der Untreue zu bezichtigen ist, da die ja zur 7 und 19 ein "Verhältnis" hat, ist nicht nicht abschließend geklärt. Versiegelt
Viererpaarungen gibt es auch, z.B. 5,11,17, 23
Wie viele solcher sexy Paare, Tripel oder Quadrupel es gibt, ist - wie so vieles bei den Primzahlen - nicht geklärt.
Allerdings lässt sich leicht zeigen, dass es nur einen "Fünfer" gibt: 5,11,17,23, 29.
Mit mehr Zahlen geht es dann nicht mehr.

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Kubikwurzel

Kubikwurzel

Kubikwurzel oder auch 3. Wurzel aus einer nichtngeativen Zahl: \sqrt[3]{ x } = a, wenn a³ = x gilt.
Zur näherungsweisen Berechnung lässt sich folgende Formel verwenden:
Mit 0<x<1ergibt sich:  \sqrt[3]{1+x} \approx 1 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{9}x^2
Wie aber macht man es bei größeren Zahlen?
Okay, kleiner Trick gezeigt am Beispiel von \sqrt[3]{345}
Man such zuerst die zu 345 nächst kleinere Kubikzahl ==> 343 = 7³
\sqrt[3]{343 +2} = (343 + 2)^{\frac{1}{3}} = 343^{\frac{1}{3}}(1 + \frac{2}{343})^{\frac{1}{3}} = 7 \cdot (1 + \frac{2}{343})^{\frac{1}{3}}
Nun wird der Zweite Faktor nach der obigen Formel angenähert:
(1 + \frac{2}{343})^{\frac{1}{3}} \approx 1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{343} - \frac{1}{9} \cdot {(\frac{2}{343})}^2
Der letzte Teile in der Formel ist winzig klein, kann also vernachlässigt werden.
(1 + \frac{2}{343})^{\frac{1}{3}} \approx 1 + 0,00194
\sqrt[3]{345} \approx 7 \cdot 1,00194 = 7,01358
Der Taschenrechner zeigt als Ergebnis 7,013579083, die Näherung ist also wirklich gut.



Der Beitrag basiert auf: Maximimilian Miller "Rechenvorteile"


Kubikwurzel ausrechnen




















Chauvenet Preis

Chauvenet Preis

Der Chauvenet Preis ist die höchste US-amerikanische Auszeichnung für erklärende Darstellung mathematischer Erkenntnisse (Expository Mathematical Writing) und wird von der Mathematical Association of America (MAA) jährlich vergeben. Der Preis ist mit 1000 Dollar Preisgeld dotiert. Er ist zu Ehren von William Chauvenet benannt (einem Mathematik Professor der US Naval Academy) und wird seit 1925 verliehen.

Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Chauvenet-Preis

 

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Viereck

Viereck
Ebenes Viereck: Vier Punkte einer Ebene A B C D, von denen höchstens zwei auf einer Geraden liegen,werden durch einen geschlossenen Streckenzug miteinander verbunden. Die Strecken werden als Seiten des Vierecks bezeichnet. Die Endpunkte einer solchen Strecke heißen benachbarte Punkte. Strecken, die nicht benachbarte Punkte verbinden, heißen Diagonalen. Davon hat jedes Viereck genau zwei.
Die Innenwinkelsumme eines ebenen Vierecks beträgt 360°.
Liegen beiden Diagonalen im Inneren des Vierecks, so handelt es sich um ein konvexes Viereck. Ist genau eine Diagonale im Inneren des Vierecks, so ist es ein konkaves Viereck. Sind beide Diagonalen außerhalb, so ist es ein "überschlagenes" Viereck.

Umfang

Umfang

Der Umfang (u) ist ein Merkmal ebener - durch Linien vollständig begrenzter - Flächen (Kreis, Dreieck, Viereck, ...). Es handelt sich um die Gesamtlänge aller Begrenzungslinien.
Beispiel: Dreiecke mit den Seitenlängen a, b, c ==> u = a + b + c

Bogenmaß

Bogenmaß


Das Bogenmaß ist neben dem Gradmaß (rechter Winkel = 90°) eine wichtige Möglichkeit die Größe eines Winkel anzugeben.
kreisbogen
b steht für den Kreisbogen. Für einen konkreten Winkel Alpha (in °) ist das Verhältnis von b und r immer gleich. Wird nun r = 1 gewählt ist also b ein Maß für den Winkel - das Bogenmaß.
Der Vorteil des Bogenmaßes - es hat keine Einheit, auch wenn manchmal ein rad hingeschrieben wird.
Die Berechnung beruht auf der Formel für den Kreisumfang u = 2 · Π r.
\frac {2 \pi r}{360^\circ} = \frac {b}{\alpha}
-- Berechnung --

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Zentriwinkel

Zentriwinkel

Der Zentriwinkel ist einer der Winkel am (im) Kreis. Der Mittelpunkt M des Kreises ist der Scheitelpunkt des Zentriwinkels.
(Eigentlich sind es natürlich zwei Zentriwinkel, die sich zu 360° ergänzen.)
Die Schenkel des Zentriwinkels schneiden den Kreis. Die beiden Schnittpunkte liegen demzufolge auf einer Sekante bzw. sind Anfangs- und Endpunkt einer Sehne.
siehe auch --> Peripheriewinkel <--zentriwinkel

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eulersche Gerade

eulersche Gerade

Die eulersche Gerade ist eine besondere Linie im Dreieck.
Es gilt, dass der Schnittpunkt S der Seitenhalbierenden, der Schnittpunkt H der Höhen und der Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten (Mittelpunkt des Umkreises) immer auf einer Geraden liegen - diese wird eulersche Gerade oder Eulergerade genannt. (Bei einem gleichseitigen Dreieck unterscheiden sich die drei Punkte nicht, da sind es in diesem Sinne unendlich viele Geraden, die diese Eigenschaft haben.)
eulergerade
grün: Seitenhalbierenden, schwarz: Höhen, rot: Mittelsenkrechten + Umkreis , braun: eulersche Gerade
Zum besseren Erkennen das Bild in --> groß  < --

personlisierte Briefmarke von D. Egelriede.
eulergerade-2 k Marke groß
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Logarithmusfunktionen

Logarithmusfunktionen


Funktionen, die sich durch y = a logb x beschreiben lassen gehören zu den Logarithmusfunktionen.
Der Defintionsbereich umfasst alle rellen Zahlen, die größer als 0 sind, während der Wertebereich keinen Einschränkungen unterliegt. Der Parameter a führt zur Streckung (a>1), Stauchung (0<a<1) bzw. zur Spiegelung des Funktionsbildes an der x-Achse (a<0).
Beispiele für Logarihmusfunktionen:
Das blaue Bild gehört zu: y =  ln x (Logarithmus naturalis, Basis e - eulersche Zahl)
grün: y =  log x Logarithmus zur Basis 10
lila: y =  log2 x
logarithmus
Für a = 1 lässt sich die verwendete Basis an dem Punkt (Basis, 1),die Basis bestimmen.
Hinweis für die Darstellung der Funktion y = a logb x  ist a*log(x)/ log(b) zu verwenden.
Darstellung von Funktionen

Logarithmengesetze

 Der Logarithmus ist letztlich nichts weiter als der Exponent einer Potenz.
\ b^x = c
b - Basis der Potenz, x - der Exponent, c der Wert der Potenz.
Stellt man nach x um, so wird das so geschrieben:  \ x = log_b c
Dabei ist zu beachten, dass b > 0 und ungleich 1 sein muss.
Aus den Potenzgesetzen lassen sich die Logarithmengesetze ableiten:
\ log_b (a*c) = log_b a +log_b c
\ log_b (a:c) = log_b a -log_b c
Auf diesen beiden Gesetzen beruht die Mulitiplikation eines Rechenstabes.

\ log_b (a^c) = c*log_b a

Berechnung des Logarithmus

Logarithmus

 Der Logarithmus ist letztlich nichts weiter als der Exponent einer Potenz.
\ b^x = c
b - Basis der Potenz, x - der Exponent, c der Wert der Potenz.
Stellt man nach x um, so wird das so geschrieben:  \ x = log_b c
Um den Logarithmus für eine beliebige Basis zu ermitteln, kann man mit dem Taschenrechner diese Möglichkeit nutzen.
\ x = \frac{log c}{log b} , dabei ist log b bzw. log c der dekadische Logarithmus.
Dabei ist zu beachten, dass b > 0 und ungleich 1 sein muss.

Berechnung des Logarithmus

entgegengesetzte Zahl

entgegengesetzte Zahl:
Die zu einer Zahl a entgegengesetzte Zahl wird mit -a bezeichnet.
a + (-a) = 0
Die Null ist zu sich selbst entgegengesetzt.
Natürliche Zahlen haben keine entgegengesetzte Zahlen, ganze Zahlen hingegen schon.
Beispiele:
a = 3,5 --> -a = - 3,5
a = -17 -->-a = 17
Die Beträge zu einander entgegengesetzter Zahlen sind gleich: |-6| = |6|


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Weitere Beiträge ...

  1. Kehrwert
  2. Reziprok
  3. Inverses-einer-Zahl
  4. Inversion-Geometrie (Spiegelung am Kreis)