Positionssysteme

Positionssysteme

Positionssystem oder auch Stellenwertsystem.
Wenn man das Schreiben von Zahlen lernt, wird einem recht schnell klar, dass 32 und 23 nicht das Gleiche sind. Aber warum?
Da gibt es zum Einen die Zahlzeichen - Ziffern: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 und 9. Diese werden auch als einstellige Zahlen verwendet. Aber dann hört es auf, kein neues Symbol für die Zehn, Elf, Zwölf, ...
32 heißt : Man hat 3 Zehner und 2 Einer. 23 aber sind 2 Zehner und 3 Einer.
Um eine Zahl zu erfassen braucht man also das Wissen um die Ziffer und das Wissen an welcher Stelle diese steht.
Ganz wichtig in dem Zusammenhang die Null als Kennzeichnung einer vorhandenen Zehnerpotenz. 102 ist nicht das Gleiche wie 1 2. !!!
Dezimalsystem:
Es ist das für uns gebräuchlichste und vertrauteste System:
Zweitausenddreihunderteinundsechzig --> 2361 setzt sich zusammen aus 2*1000 + 3*100 + 6*10 + 1*1
andere Schreibweise 2*10³ + 3*10² + 6*101 + 1*100
10 - wird als Basis bezeichnet.
Nun wird auch klar, warum hier kein Symbol für die 10, Elf oder Zwölf braucht. Die Faktoren vor den Potenzen sind kleiner als die Basis der Potenzen.
Der letzte Satz führt zu Folgendem:
Als Basis b eines Positionssystems wird eine natürliche Zahl verwendet, die größer ist als 1. Als Zahlensymbole - Ziffern - werden b verschiedene Symbole gebraucht. Diese stehen im landläufigen Sinne für 0; 1; ...; b-1.

Binär- oder Dualsystem:
Basis ist die 2. Symbole sind die 0 und 1 (in manchen Darstellungen auch 0 und L)
Die Stellen stehen dann für ...; 26; 25; 24; 23; 22; 21; 20
Die Faktoren, die davor stehen dürfen sind lediglich 0 und 1.
Die obige 23 ist dann 1* 24 + 0*23 + 1*22 + 1*21 + 1*20 auch geschrieben als 101112
Das Binärsystem ist die Grundlage für die Datenverarbeitung.

Oktalsytem:
Basis ist die 8. Symbole sind 0; 1; ...; 7.
Die Stellen stehen dann für ...; 86; 85; 84; 83; 82; 81; 80
Die obige 23 ist dann 2*81 + 7*80 auch geschrieben als 278

Systeme mit einer Basis größer als 10 brauchen mehr als 10 Symbole. Man behilft sich da meist mit den Buchstaben aus und kommt damit bis zur Basis 36, da zwischen Groß- und Kleinbuchstaben meist nicht unterschieden wird.

Hexadezimalsystem:
Basis ist die 16. Symbole sind die 0; 1; 8; 9; A; B; C; D; E und F (B steht im unserem Sinne als Symbol für eine 11)
Die Stellen stehen dann für ...; 166; 165; 164; 163; 162; 161; 160
Die obige 23 ist dann 1* 161 + 7*160 auch geschrieben als 1716
Unsere 10010 wird dann zur 6416
(In Mesepotamien hatte man ein 60-er System. Also brauchte man ........ Symbole.

Hier noch die Umrechnung in die verschiedenen Systeme: -- Umrechnung --

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