Serie-28

Aufgabe 8

332. Wertungsaufgabe

„Hallo Mike, hast du schon mal was von Teilermonstern gehört?“ „Nein. Was soll denn das sein?“, fragte Bernd zurück. „Teilermonster sind natürliche Zahlen, die kleiner als 100 sind und die mehr als 10 echte Teiler haben.“ „Echte Teiler?“ „Die echten Teiler einer natürlichen Zahl sind die Zahlen, durch die sich die Zahl ohne Rest teilen lässt und die kleiner sind als die Zahl selbst.“ „Ich verstehe, hast du mal ein Beispiel für ein solches Teilermonster?“ „Ich denke, die findest du selber heraus.“ Für jedes gefundene Teilermonster gibt es 2 blaue Punkte. Für den Nachweis, dass es nicht mehr geben kann, gibt es noch einmal 2 blaue Punkte dazu. Wie kann man Zahlen, die genau 1 Million echte Teiler haben erhalten? 4 rote Punkte. Welche der Zahlen davon ist die kleinste, noch mal 4 rote Punkte. (Anmerkung in beiden Aufgabenteilen sind auch bei den Teilern nur natürliche Zahlen zugelassen.)

english version

"Hi Mike, have you ever heard of a divisor monsters?" "No I haven't. What are they supposed to be?", Bernd asked back.  "Well, divisor monsters are natural numbers smaller than 100 that have more than 10 proper divisors." "Proper divisors?" "Proper divisors are divisors of our natural number except the number
itself." "I got it. Can you give an example for such a divisor monster?" "I think you'll find out yourself." Two blue points awarded for each divisor monster. Two extra blue points for proving that there cannot be more. How can you obtain numbers that have exactly a million proper divisors?  - 4 red points. Which of them is the smallest? - another 4 red points.

Lösung/solution:

Die angestellten Überlegungen beziehen sich auch natüliche Zahlen - die zu Teilenden und deren Teiler.

 blau: Die Anzahl der Teiler einer Zahl zu finden ist --> hier <-- möglich. Die gesuchte "Teilermonster" sind die 60; 72; 84; 90 und 96. Es waren also 10 + 2 Punkte möglich. Im Fall der roten Aufgabe hilft ein Probieren nicht wirklich. Es gilt also zu überlegen (oder das Internet zu durchforsten) wie man die Anzahl der Teiler einer Zahl ermittelt.

Zunächst werden mal alle Teiler betrachtet:

8 - die Teiler sind 1; 2; 4 und 8, die 9 - die Teiler sind 1; 3 und 9 und nun die 72 = 8 * 9 - die Teiler sind 1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 18; 24 und 72. Wie die 72 zeigt, ergibt sich deren Teilerzahl als Produkt der Teilerzahlen der Teiler von 8 und 9. Wie ist das nun bei 8 und 9 selber? 8 = 2³, 9 = 3². Die Teilerzahlen sind also gerade um eines größer wie die Exponenten. Für die 72 gilt 72 = 2³ * 3² die Anzahl der aller Teiler ist (3+1) * (2+1). Untersucht man nun die Primfaktorenzerleung von weiteren Beispielen so wird schnell die Vermutung "sichtbar", dass sich aus den Exponenten der der Primfaktoren, die Anzahl der Teiler ergibt sich durch Multiplation der um 1 vergrößerten Exponeten der Primfaktoren. Den Beweis dafür zu führen versage ich mir hier an dieser Stelle - soltte  mir jemand einen  Beweis schicken, dann veröffentliche ich den gern..

Zurück zu rot:. 2^{1 000 00}, 3^{1 000 000} , p^{1 000 000} (mit p - Primzahl) haben 1 000001 Teiler bzw. 1 000 000 echte Teiler. Ist aber die erste Potenz die gesuchte kleinste Zahl? Dazu wird die 1 000 001 selbst auf Teiler untersucht. Es gilt nun, dass sich 1 000 001 als Produkt zweier Primzahlen zerlegen lässt. 1 000 001 = 9901 * 301. Daraus lässt sich eines Primfaktorenzerlegung ableiten, wobei die kleinsten Primfaktoren verwendet werden. ==>

x= 2⁹⁹⁰⁰ * 3³⁰⁰ hat (9901*301) = 1 000 001 Teiler also genau 1 000 000 echte Teiler. Kleiner geht es nicht mit 3026 Stellen ist diese Zahl deutlich kleiner als 2^{1 000 000}.

Hier die Zahl: (Wenn der Rechner sich nicht vertan hat)

1292661278285391124272494567449911759342464444

0739149688243384201912861092532479344764283716

8968041067932109434442887935225466936757703492

6112322219975060263711523401505257782740801461

4258111456459865865506197255696626543735016697

5827896227422242038893557334263031267060476985

4075546746515244172682062225441966202985937865

3099231518144964820788023271879376709229714001

3764084809867978658529510006739111260756994408

9753390582057475682412280783083768946807490929

9000664612677438957122792816864210497114924506

0089883426395487923407270960045255641647938032

9208748907908718846547490771883119854009123766

6815094391582099789787493869000841436243301869

6421302399983783308291748517878603797508280810

3592342664629707478277022594516669131826353275

0459721128588809917629235359648280312833018171

0005794933671775247756138188251624261970375922

6988699534948582076989827395743394552711940761

1791835113914989049445355770027730619497767298

0260669670504016837925740693887617569601454449

9276972581093665191312721052278115251917840412

4367673524404737384465224825341893626881230552

7328546968260714278168002228798074070244850752

1448037763512227361867983577393931218817871606

8573514747014611783070636603674328894476364087

7212374315815637219043197462389200952885926657

9294886672056642598330791102060763880145716884

6817829240151748449185016464622353545085833144

8232450831171270512658011301624047707179100907

8863684723118799209868590058339658522283599533

2634099521419107989219435595978464547519372674

3976428276818052570708793901794521381482542498

4879429123871955274287260074066384765768153095

3571237381992576851971755679864442236932315574

3553964179274470995613358968675803185263137800

6009494042638737851900602957054452092374106763

3812502161463633563226859497489016352558021557

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6995481399575426692932647049279758753841383324

8534404118621763044825149248093010681184506625

3906677940390586129860662663261838257031821879

1829855829360446772254199838552816041125544691

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2592176539488428059880715870138305953273031677

07066112523842723172130044052316518822861726721

73627053374078772975094492118247356337837787247

41146321329452330740862897780387121956885498221

78320460297300210866001754782938760060670651245

24816066220978249238575937850061273219687200337

89035477866076008916400687505888171614425501441

82085475396350323652648187055770228433908438167

36586314253203879525356975185649877821479286178

705928865041066448124318543086610072164875721440

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2721638169573371657537839181682610205505569577900

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022273963249675195006138159820649149726668829546

544948576256

Ob Mersenne oder seine Mitstreiter diese Zahl wirklich ausgerechnet haben oder ob sie sich mit der Primfaktorendarstellung "zufrieden" gegeben haben, ist mir nicht bekannt.