Serie-28

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Aufgabe 2

326. Wertungsaufgabe

"Hallo Mike, wie ich sehe, hast du die Mikadostäbe wieder mal aus dem Schrank geholt. Wollen wir eine Runde spielen?"; fragt Bernd. "Nachher sicher, jetzt bin ich gerade dabei zu zählen." Wie das?" "Nun, ich habe dieses quadratische Spielfeld (10 cm). Die 19 cm langen Mikadostäbe ragen also darüber hinaus. Wenn ich nun zwei Mikadostäbe nehme, wird das Quadrat in maximal 4 Flächen zerlegt. Auf den Mikadostäben selbst entstehen 4 Strecken innerhalb des Quadrates." "Alles klar".
Wie viele Flächen und Strecken erhält man maximal, wenn man 5 Mikadostäbe nimmt. (Besser gesagt, man nimmt einfach Geraden.) - 4 blaue Punkte. Wie lässt sich die maximale Zahl von Flächen und Strecken ausrechnen, wenn man n Geraden nimmt? - 4 rote Punkte

 

“Hi Mike, I see you got your Mikado pick-up-sticks out of the cabinet. Do you want to play?”, Bernd asks. “Maybe later. Right now I'm counting.” “What are you counting?” “Well, there's this square game board that measures 10cm. These 19 cm long pick-up-sticks extend over the edges. With two pick-up-sticks I can divide the board into no more than 4 areas. The pick-up-sticks would make 4 line segments within the square, right?” “Right”
How many areas and line segments would you get at most if you used 5 pick-up-sticks? - 4 blue points.
A general solution for n pick-up-sticks? - 4 red points

Lösung:

blau/rot:

Am besten man geht es systematisch an.

Zuerst hat man das leere Quadrat: 0 Geraden, 0 Streckenabschnitte und 1 Fläche

Nun eine Gerade: 1 Streckenabschnitt und zwei Fflächen

Die zweite Gerade muss die erste schneiden (darf nicht parallel sein), damit die Streckenabschnitts- und Flächenzahlen maximal werden.

2  Geraden, 4 Streckenabschnitte und 4 Flächen.

3 Geraden (dritte Gerade schneidet die beiden schon vorhandenen, aber nicht in deren Schnittpunkt) 9 Abschnitte und 7 Flächen.

4 Geraden (Anmerkung s. o.) 16 Abschnitte und 11 Flächen

5 Geraden (...) 25 Abschnitte und 16 Flächen

...

n Geraden. n² Abschnitte und (1  + 2 + 3 + 4 + ... + n) +1 Flächen = \frac {n(n+1)}{2} + 1