Serie-28

Aufgabe 7

331. Wochenaufgabe

„Dass es so viel Geld ist, hätte ich auf Anhieb nicht vermutet“, meinte Bernds Vater, als er von der roten Aufgabe der letzten Woche hörte. „Aber schaut euch mal diese Zeichnung an. Was seht Ihr?“ „Ein gleichschenkliges Dreieck auf dessen Basislänge (6 cm) ein Rechteck steht. Außerdem liegen die Ecken des Rechtecks auch auf den Schenkeln (8 cm) des Dreiecks.“ „Stimmt, außerdem ist der Flächeninhalt des Rechtecks genau halb so groß wie der des Dreiecks.“  4 blaue Punkte gibt es für die Konstruktionsbeschreibung und -begründung für ein solches Bild, wie es Bernds Vater in der Hand hält. Für 5 rote Punkte soll überlegt werden, wie groß das Volumen eines Körpers ist, wenn das Bild aus dem blauen Teil den Aufriss eines Körpers darstellt, wobei des „Rechteck“ gestrichelt zu zeichnen ist. (Eine Lösung für rot reicht.)

english version
“I wouldn't have thought it such a lot of money”, Bernd's father said when he learned about last weeks maths problem.
“But take a look at this drawing. What do you see?”
“An isosceles triangle whose base (6cm) is also a side of a rectangle. Furthermore the vertices of the rectangle lie on the two equal sides of
the triangle (8 cm).” “Right, plus the area of the rectangle is exactly half as large as the  triangles' area.” -4 four blue points for explaining how to construct
the figure that Bernd's father is holding. For five red points find out the volume of a solid figure of which the drawing above is the front view in a first angle projection. The sides of the rectangle would be drawn in a dashed line as they are hidden. (one solution sufficient)

Lösung/solution:

Konstruktion: Zuerst zeichne ich die Strecke AB mit 6 cm. Dann wird von A und B jeweils ein Kreisbogen mit dem Radius 8 cm gezogen. Die Kreisbögen schneiden sich in zwei Punkten, einen davon bezeichne ich mit C und erhalte so das gesuchte Dreieck ABC. Die beiden Schenkel des Dreiecks werden halbiert. (Grundkonstruktion). Die Halbierungspunkte bezeichne ich mit E bzw. F. EF ist eine Seite des gesuchten Rechtecks, dessen Punkte mittels Lotfällung auf AB gefunden werden (Grundkonstruktion).

Begründung: Das Dreieck EFC ist zum Dreieck ABC ähnlich und halb so groß wie ABC. (Hauptähnlichkeitssatz). Der Flächeninhalt von EFC ist demzufolge 1/4 so groß wie der vom Dreieck ABC. Die beiden Dreiecke sind jeweils kongruent zu den Teildreiecken des Dreiecks EFC (Kongruenzsatz sws). Damit haben die vier Teildrecke den halben Flächeninhalt des Dreiecks ABC - der verbleibende Rest - das Rechteck  hat dann auch den halben Flächeninhalt.

rot: Hier gibt es viele Varianten, wie der Körper aussehen kann, der einen solchen Aufriss hat.

Bei den eingereichten Lösungen waren folgende Varianten dabei:

"Liegendes" dreiseitiges Prisma hinter dem ein Quader steht.

Eine Pyramide bzw. Kegel hinter dem ein Prisma steht.

Ein Kegel mit zylindrischer Bohrung ( V in dem Fall rund 69,8 cm³).

Eine quadratische Pyramide mit - gemäß Aufriss maximal großem - harausgefrästem Quader - (V rund 88,9 cm³.)

Weitere Lösungen sind denkbar.