Serie-28

Aufgabe 11

335. Wertungsaufgabe

„Gestern haben wir eine merkwürdige Runde Bücherdrehen spielen müssen.“ „Bücherdrehen?“ „Wir sind 25 Schüler in der Klasse. Der Mathematiklehrer hatte unsere 25 Mathebücher mit der Rückseite nach oben in eine Reihe gelegt (Buch 1 bis 25). Wir stellten uns auch in eine Reihe. Die Aufgabe war nicht schwer. Der erste Schüler drehte alle Bücher nach oben. Der zweite drehte alle zweiten Bücher herum. Der dritte drehte alle Bücher herum, deren Nummer durch 3 teilbar war. Na ja bis eben der letzte Schüler noch das 25. herumdrehte. Allerdings mussten wir das zweimal machen, denn der Lehrer sah am Ende mit einem Blick, dass sich welche nicht konzentriert der Aufgabe gestellt hatten.“ Welche Bücher müssen am Ende mit der Seite nach oben liegen? – 4 blaue Punkte. Wenn sich alle 400 Schüler der Schule beteiligen, welche Bücher sind es dann und warum?– 6 rote Punkte

english version
“Yesterday we had to play a strange game of book turning.” “Book turning?” “We're 25 students in class. Our Maths teacher put our 25 Maths books face down in a row (book 1 to 25). We stood in a row, too. The task wasn't too difficult. The fist student turned all books face up. The second turned every second book. The third turned all books whose number could be divided by 3. And so on until the last student turned the 25th book. We had to go through that twice, though, because in the end our teacher instantly saw that not everyone had worked with the necessary concentration.”
How many books should be face up in the end? - 4 blue points. How many books should be face up if all 400 students of the school took part. With explanation – 6 red points.

Lösung/solution:

Hier die Lösung von Doreen N., danke:

blau:
-Buch 1 wird  1x umgedreht (nur bei Schüler 1), liegt also  mit der Vorderseite nach oben
-die Bücher 2,3,5,7,11,13,17,19 und 23 werden 2x umgedreht (bei Schüler 1 und der jeweiligen Buch-Nr.), liegen also wieder mit der Rückseite
nach oben
-die Bücher 4,9 und 25 werden 3x umgedreht, liegen also  mit der Vorderseite nach oben
-die Bücher 6,8,10,14,15,21 und 22 werden 4x umgedreht, liegen also wieder mit der Rückseite nach oben
-das Buch 16 wird 5x umgedreht (bei Schüler 1,2,4,8,16), liegt also mit der Vorderseite nach oben
-die Bücher 12,18 und 20 werden  6x umgedreht, liegen also wieder mit der Rückseite nach oben
-das Buch 24 wird  8x umgedreht (bei Schüler 1,2,3,4,6,8,12,24), liegt also wieder mit der Rückseite nach oben
->nur die Bücher 1, 4, 9, 16 und 25 haben die Vorderseite oben

rot:
Man erkennt bei blau schon, nach welchem System dieses "Spiel" funktioniert:
-wenn das Buch eine gerade Anzahl mal umgedreht wird, liegt es am Ende wieder mit der Rückseite nach oben, bei einer ungeraden Anzahl ist die
Vorderseite oben
-Buch 1 wird immer nur 1x umgedreht, hat also die Vorderseite oben
-die Buchnummern, die Primzahlen sind, haben immer 2 Teiler (die 1 und die Zahl selbst), werden also 2x umgedreht und haben die Rückseite oben
-bei den anderen Büchern geht es nach der Anzahl der Teiler, die meisten haben eine gerade Anzahl an Teilern, werden also eine gerade Zahl mal
umgedreht und haben die Rückseite oben
-Ausnahme sind die Buchnummern, die eine Quadratzahl darstellen, z.B. 4=2² oder 64=8², diese haben eine ungerade Anzahl an Teilern, werden
also eine ungerade Zahl mal umgedreht und haben deshalb die Vorderseite oben
-für unsere 400 Bücher bedeutet das: die Bücher 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361 und 400
liegen mit der Vorderseite nach oben, alle anderen Bücher mit der Rückseite
-übrigens: wenn man 2 Durchgänge direkt hintereinander macht, ohne nach dem 1.Durchgang alle Bücher wieder auf die gleiche Seite zu drehen,
zeigen nach dem 2.Durchgang wieder alle Bücher mit der Rückseite nach oben, da man sie auf alle Fälle eine gerade Anzahl mal gedreht hat