Serie-27

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Aufgabe 9

321. Wertungsaufgabe

Lisa sitzt und träumt. Vor ihr auf dem Tisch steht ein Holzwürfel: "Der Zauberer Maths teilt den Holzwürfel mit einem ebenen Schnitt -- parallel zu einer der Seiten -- glatt in der Mitte durch." Als Lisa erwacht, sind wirklich zwei solche halben Würfel auf dem Tisch. (Mike hatte sich reingeschlichen). Ob nun so ein volumenmäßig halbierter "Würfel" auch eine halb so große Oberfläche wie der ursprüngliche Würfel hat? 3 blaue Punkte. Wie erreicht man, dass mit zwei ebenen Schnitten durch einen Würfel ein Restkörper entsteht, dessen Oberfläche maximal wird, wenn dessen Volumen halb so groß ist wie das des ursprünglichen Würfels? (6 rote Punkte)

Lösung:
blau: Der Restkörper hat als Seiten zwei Quadrate der Kantenlänge a und vier Rechtecke mit den Kantenlängen a und a/2. Rechnet man den Flächeninhalt dieser 6 Seiten zusammen, so erhält man für die Oberfläche 4a². Die Oberfläche des Ausgangswürfels aber war 6a². Der Oberflächeninhalt hat sich also nicht halbiert, im "Gegensatz" zum Volumen.
rot:
Schon mal im Voraus - eine abschließende Lösung - der Nachweis für die Maximierung des Oberflächeninhaltes steht noch aus.
Ich stelle hier mal meine Variante vor, die einen Oberflächeninhalt hat, der alle bisher eingegangen Werte für den Oberflächeninhalt überschreitet.
321
Au verflixt, da hat sich ein Fehler eingeschlichen, sorry, wird noch korrigiert.
Mit rot sind hier zwei Ebenen eingezeichnet, die den Würfel vom Volumen her gesehen halbieren. Die Fläche EFYX ist halb so groß wie EFGH. HX ist mit a/4 gewählt, damit muss dann GY a/3. sein. --> Fläche EXH = a*a/4 = a²/4 und Fläche YGX = a/3*3/4a = a²/4 zusammen also a²/2.
Die Oberfläche des entstandenen Prismas ergibt sich dann aus. 2* Grundfläche (= a²) + Fläche ABFE (= a²) + 2/3a² (= Fläche BFY?) + XY*a + EX*a
EX = \frac {\sqrt {5}}{2} \cdot a ebenso ergibt sich mittels Satz des Pythagoras für XY = \frac {\sqrt {97}}{12} \cdot a
Setzt man alle Teilergebnisse ein, so ergibt sich die Oberfläche zu 4,605 a².
Wer mag, kann ja diesen Ansatz auf eine optimale Lage von X und damit von Y untersuchen, über eine Zusendung würde ich mich freuen.
Anmerkungen: Wählt man Y=F so erhält man ein dreiseitiges Prisma, welches unanhängig von der Lage von X ein volumenmäßig halbiertes Volumen liefert. Halbiert X die Strecke GH so hat dieses Prisma, die kleinste aller Oberflächen mit 4,23 ... a². Das Maximum läge bei X= H oder X = G mit 4,414 .. a². (Das lässt sich dann aber schon mit einem Schnitt bewältigen.)