Serie-27

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Aufgabe 2


314. Wertungsaufgabe
"Hallo Mike, schau mal, ich habe hier einen recht ungewöhnlichen Bruch: \frac{503}{504}". "Was ist an dem ungewöhnlich?" Nun, er ist die Summe von drei Brüchen, deren Nenner alle teilerfremd sind und die Zähler einen "direkten Bezug" zur Aufgabennummer haben. Wie heißen die drei Brüche? 3 blaue Punkte. "Kannst du eigentlich noch die Stammbruchumwandlung?" Du meinst diese ägyptische Bruchrechnung, die auf der Homepage beschrieben ist?". "Genau." Wie sieht die Zerlegung des Bruches \frac{503}{504} in eine Summe von Stammbrüchen aus? - 4 rote Punkte.

Lösung:
blau: Die drei gesuchten Brüche sollen teilerfremd sein. Damit ist die 504 also das kleinste gemeinsame Vielfache von drei teilerfremden Zahlen. Die Primfaktorenzerlegung von 504 ist 2*2*2*3*3*7. Diese Zerlegung enthält drei verschieden Primzahlen, die wegen der Teilerfremdheit nicht "gemischt werden dürfen. Als sind die gesuchten Nenner 2³ = 8, 3² = 9 und 7. Geordnet 7, 8 und 9. Es gilt also zu folgendes untersuchen: \frac{x}{7} + \frac {y}{8} + \frac {z}{9} = \frac{503}{504}
Macht man die Brüche gleichnamig so erhält man: \frac{72x}{504} + \frac {63y}{504} + \frac {56z}{504} = \frac{503}{504}.
Gesucht wären also ganzzahlige Lösungen der Gleichung 72x + 63y + 56z = 503. Da gibt es letztlich unendlich viele. Nun gibt es aber noch den Hinweis mit dem Bezug Nenner und Aufgabenzahl 314 - eine kleine Hommage an \Pi. Die Zahlen 3 1 und 4 den Nenner zuzuordnen geht auf 6 verschiedende Arten. Probiert man die durch, so verbleibt: \frac{3}{7} + \frac {1}{8} + \frac {4}{9} = \frac{503}{504}
rot: Den Bruch in eine Summe von Stammbrüchen zu zerlegen, ist nicht nur auf eine Art und Weise möglich. Das System der ägytischen Bruchrechnung leifert folgende Variante:
\begin{array}{rcl}\frac{503}{504}&=&\frac{503}{1006} + \frac{503}{504} - \frac{503}{1006}\\ &=&\frac{1}{2} + \frac{251}{504} \\ &=&\frac{1}{2} + \frac{251}{753} + \frac{251}{504} - \frac{251}{753}\\ &=&\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{83}{504}\\ &=&\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{83}{581} + \frac{83}{504} - \frac {83}{581}\\ &=&\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{11}{504}\\ &=&\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{11}{506}+ \frac{11}{504} - \frac{11}{506}\\ &=&\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{46}+ \frac{1}{11592} \end{array}
Zerlegung in Stammbrüche gefunden.
Den Nachweis, dass diese Methode der Zerlegung endlich ist, überlasse ich dem geneigten Leser.