Nebenwinkel

Nebenwinkel

Schneiden sich zwei Geraden, so entstehen am Schnittpunkt vier Winkel. Je zwei Winkel davon, die einen Schenkel gemeinsam haben, werden als Nebenwinkel bezeichnet. Die Summe zweier Nebenwinkel beträgt 180°.
Stufenwinkel

s. Winkelbeziehungen

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Lot

Lot

delisches Problem

delisches Problem

delisches Problem - auch Würfeldopplung
Der Name leitete sich ab von der Insel Delos. Deren Bewohner sollten zwecks Bekämpfung einer Epidemie den würfelförmigen Altarstein doppelt so groß herstellen.
Die Frage besteht also darin herauszufinden, wie groß muss die Kantenlänge des neunen Würfels sein.
Sei a₁ die Kantenlänge des Ausgangswürfels, so hat der ein Volumen von a₁³. Das neue Volumen ist dann 2*a₁³ ==> $$ a_2 = {\sqrt[3]{2 \cdot a_1}} $$
Das Problem eines solche Länge zu konstruieren, ist mit den Mitteln der klassischen Geometrie - Konstruktionen nur mit Zirkel und Lineal - nicht lösbar.
Der Nachweis der Unmöglichkeit gelang erst im 19. Jahrhundert.
Ausrechnen geht, aber konstruieren, sorry.

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Gärtnerkonstruktion

Gärtnerkonstruktion:

auch bei --> Ellipse <-- nachlesen
Man nimm einen Faden (Länge l = r₁ + r₂) und legt zwei Punkte fest (die Brennpunkte). Dort werden die Enden des Fadens befestigt. Wenn nun der Faden straff gespannt wird, so bewegt sicht der "Straffhaltepunkt" auf einer Ellipse. Pflanzt man eine Hecke in Ellipsenform - muss nicht vollständig sein - und stellt bei den Brennpunkten Bänken auf, so wird jedes geflüsterte Wort von einer Bank ganz deutlich übertragen. Die nach allen Seiten von einem der Brennpunkt ausgehenden Schallwellen werden so reflektiert, dass sie im anderen Brennpunkt ankommen.
Mit Licht funktioniert das natürlich auch. Hecke durch Spiegel ersetzen. Steht einer in einem Brennpunkt, so kann er jemanden, der im anderen Brennpunkt steht sehen, egal wohin er schaut. (Mit einer Ausnahme, dass er sich gerade selber sieht.)

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Ellipse

Ellipse

Den Begriff Ellipse gibt es als Ausdrucksmittel in der Sprache.
Hier ist diese Figur gemeint:

Die Ellipse ist definiert als Ort aller Punkte, für die gilt r₁ + r₂ ist konstant. Die Punkte F₁ und F₂ heißen Brennpunkte der Ellipse. a und b sind die Halbachsen der Ellipse.
Fallen die beiden Brennpunkte zusammen, so erhält man einen Kreis.
Eine Ellipse ist eine der Figuren, die entstehen können, wenn man einen (Doppel-)Kegel mit einem ebenen Schnitt schneidet.
Gärtnerkonstruktion: Man nimm einen Faden (Länge l = r₁ + r₂) und legt zwei Punkte fest (die Brennpunkte). Dort werden die Enden des Fadens befestigt. Wenn nun der Faden straff gespannt wird, so bewegt sicht der "Straffhaltepunkt" auf einer Ellipse. Pflanzt man eine Hecke in Ellipsenform - muss nicht vollständig sein - und stellt bei den Brennpunkten Bänken auf, so wird jedes geflüsterte Wort von einer Bank ganz deutlich übertragen. Die nach allen Seiten von einem der Brennpunkt ausgehenden Schallwellen werden so reflektiert, dass sie im anderen Brennpunkt ankommen.
Mit Licht funktioniert das natürlich auch. Hecke durch Spiegel ersetzen. Steht einer in einem Brennpunkt, so kann er jemanden, der im anderen Brennpunkt steht sehen, egal wohin er schaut. (Mit einer Ausnahme, dass er sich gerade selber sieht.)
Die Keplerschen Gesetze beschreiben ebenfalls Ellipsen.
Richtig interessant wird es, wenn man die Gärtnerkonstruktion mit drei Festpunkten ausführt.  --> Mathematik ist überall <--

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Dualsystem

Dualsystem

Das Dualsystem ist ein Positionssystem mit der Basis 2 und den Ziffern 0 und 1. Es wird auch als Binärsystem bezeichnet und ist die Grundlage für die Verarbeitung von Daten im Computer.
siehe --> Positionssysteme

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diophantische Gleichungen

diophantische Gleichungen

Eine Gleichung heißt diophantische Gleichung, wenn es ganzzahlige (oder auch nur natürliche) Zahlen gibt, die die Gleichung erfüllen.
Benannt sind die nach dem griechischen Mathematiker Diophant.
Eines der bekanntesten Probleme war die Gleichung xⁿ +yⁿ = zⁿ. Mit n =1 ist Lösung elementar. In x + y = z finden sich immer ganzzahlige Lösungen. Für n=2 sind die pythagoräischen Tripel gesucht. Pierre Fermat vemutete, dass es außer x = y = z = 0 keine diophantische Lösung für n > 2 gäbe. Nach es dem viele "Einzelbeweise" für die Richtigkeit dieser Vermutung von Fermat gab, gelang es erst 1995 zu beweisen, dass es wirklich so stimmte.

In der linearen Optimierung spielen diophantische Näherungslösungen eine große Rolle, wenn es z.B. darum geht ein Optimum zu finden, wenn es um den Einsatz von Menschen und Maschinen geht, die nun mal nicht mit 5,34 Personen eingesetzt werden können.
Auch die Aufgabe nach Wahlen eine Sitzverteilung im Parlament vorzunehmen, erfordert eine diophantische Annäherung, da eine Partei ja keine 45, 82... Sitze erhalten kann.
Empfehlenswertes Buch zum letzten Thema: "Die verflixste Mathematik der Demokratie" von Szpiro.

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quadratfreie Zahl

quadratfreie Zahl

qed

qed

Strahlensatz

Strahlensatz

Manche sagen Strahlensätze, andere Strahlensatz Teil1, 2 oder 3. Nun ja, worum geht es?

In dem Bild sind drei Strahlen (a, b und c) mit gemeinsamen Anfangspunkt S und zwei Parallelen (h und g) zu sehen.
a, b und c bilden ein Strahlenbüschel. h und g eine (zugegeben kleine) Parallelenschar.
Es sind Strahlenabschnitte und Parallelenabschnitte erkennbar.
Im Teil 1 geht es um Strahlenabschnitte, im Teil 2 Strahlenabschnitte und Parallelenabschnitte und im Teil 3 um Parallelenabschnitte.
In der Alltagsmathematik werden häufig die Teile 1 und 2 benutzt.
Es werden einige Beispiele für die Streckenverhältnisse angegeben aus deren System sich (hoffentlich) der Inhalt erschließt. Zu beachten ist, dass bei Teil 2 alle Strahlenabschnitte den Punkt S enthalten müssen.
Teil 1:

$$ \frac  {\overline {SB}}{\overline{SE}} = \frac  {\overline{SC}}{\overline{SF}}$$ oder
$$ \frac {\overline {SA}}{\overline{SB}} = \frac {\overline {AD}}{\overline{BE}}$$

Teil 2:
$$ \frac {\overline {SA}}{\overline{SD}} = \frac {\overline {AB}}{\overline{DE}}$$
oder
$$ \frac {\overline {SB}}{\overline{SE}} = \frac {\overline {AC}}{\overline{DF}}$$

Teil 3:
$$ \frac {\overline {AB}}{\overline{AC}} = \frac {\overline {DE}}{\overline{DF}}$$
oder
$$ \frac {\overline {AB}}{\overline{DE}} = \frac {\overline {BC}}{\overline{EF}}$$


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harmonisches Mittel

harmonisches Mittel

Das harmonisches Mittel ist ein weiterer Mittelwert, so wie das arithmetische Mittel und das geometrische Mittel.
Hat man die Messwerte x₁, x₂, ... und x_n so wird das harmonische Mittel berechnet, in dem die Reziproken der Messwerte addiert und anschließend wird n durch diese Summe dividiert.
$$ \large x_{harm} =\frac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^n {\frac{1}{x_i}}}$$
Für nur zwei Werte x₁ und x₂ vereinfacht sich das Ganze in wenigen Schritten zu:
$$\large x_{harm}= \frac {2x_1 x_2}{x_1 + x_2} $$

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Catalanzahl

Catalanzahl

Catalanzahl oder catalanische Zahlen bilden eine Folge von natürlichen Zahlen. Der Name geht auf den Mathematiker Catalan zurück.
Die Bildungsvorschrift ist:
$$ \large C_n = \frac{1}{1 + n} \binom{2n}{n} mit  ~ n \geq 0 $$
Weitere Varianten der gleichen Formel:
$$ \large C_n = \frac{(2n)!}{(n+1)!n!} $$
$$ \large C_n = \binom{2n}{n} - \binom{2n}{n+1} $$
Die Zahlen sind in der Kombinatorik von einiger Bedeutung.
So untersuchte u.a. Euler die Anzahl von Zerlegungen von konvexen n-Ecken in Teildreiecke, die durch die Diagonalen gebildet werden, die jeweils einen Eckpunkt gemeinsam haben. Ist die Eckenzahl n = 6  so ist die gesuchte Zahl von Möglichkeiten C₄, also 14.

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Pseudovollkommene Zahlen

Pseudovollkommene Zahlen

Eine natürliche Zahl heißt pseudovollkommene Zahl, wenn die Summe von echten Teilern der  Zahl - aber nicht notwendiger alle echten Teiler - sonst wäre sie ja vollkommen - die Ausgangszahl ergibt.
Die vollkommenen Zahlen sind also auch pseudovollkommenen Zahlen.
Beispiel:
12 --> Die Teiler sind 1; 2; 3; 4 und 6 .
1 + 2 + 3 + 6 = 12 (4 fehlt)
Damit eine Zahl pseudovollkommen sein kann, muss es sich um eine abudante (reiche) Zahl oder eine vollkommene Zahl handeln.
Eine echte Teilmenge der pseudovollkommenen Zahlen sind die primär pseudovollkommenen Zahlen.
Man nimmt alle Primfaktoren (p₁; p₂; ...; p_m) einer pseudovollkommenen Zahl n.
Es muss dann gelten: Die Summe aus p₁/n +  p₂/n + ... + p_m/n = n - 1

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erhabene Zahl

Erhabene Zahl

Erhabene Zahl wird auch sublime Zahl (sublim number) genannt.
Eine Zahl heißt erhaben, wenn die Anzahl aller Teiler eine vollkomme Zahl ist, aber auch die Summe aller Teiler eine vollkomme Zahl ergibt.
Bekannt sind derzeit nur zwei Zahlen mit dieser Eigenschaft:
12
Die Teiler sind 1; 2; 3; 4; 6 und 12 ,also 6 Teiler
1+2+3+4+6+12 = 28
6 und 28 sind vollkomme Zahlen.
Die derzeit bekannte zweite Zahl ist:
6086555670238378989670371734243169622657830773351885970528324860512791691264
zum Nachlesen (englisch)

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Sphenische Zahl

Sphenische Zahl