Serie-5

Aufgabe 1:

Bernd hatte Anfang Oktober Geburtstag und bekam von Mike ein nicht mehr neues Buch mit mathematischen Knobeleien. Anfangs war er nicht so begeistert, aber dann kam seine Neugierde doch durch und er fand etliche Aufgaben, die ihn regelrecht fesselten, so auch diese:
Irgendwann im Mittelalter kurz nach 16.00 Uhr wurde Prinz Albert, seine Braut Beatrix und deren Dienerin Corinna überfallen und trotz heftiger Gegenwehr der drei (ja auch die Frauen käpften mit) wurden sie gefangengenommen und in in einen hohen Turm eingesperrt, welcher zu diesem Zwecke neu erbaut worden war.
Als die Wachen sich zurückzogen, untersuchten die drei ihr Gefängnis. Sie sahen, dass zwei Baukörbe, mit denen die Steine nach oben tranportiert worden waren, noch in greifbarer Nähe hingen und mit einem Seil verbunden an einer Rolle hingen. - Eine feste Rolle halt, an der die zwei Körbe hingen. - Nun konnte sich zwar eine oder einer oder auch zwei in so einen Korb setzen, aber dann wäre der natürlich so schnell herunter gesaust, dass die Verletzungsgefahr enorm gewesen wäre. Im letzen Licht des Tages sahen die drei noch sehr viele Steine liegen, die noch nicht vermauert waren. Albert meinte, dass die jeweils 5 kg wiegen. Also wenn nun Albert 90 kg (mit Schwert), Beatrix 50 kg und Corinna 40 kg wiegen, dann sollte es doch möglich sein, die Körbe so zu beladen, dass der Unterschied in den Körben nicht mehr als 5 kg beträgt und so mit der Aufprall so gering sei, das zum einen der Lärm recht gering sei und auch die Verletzungsgefahr minimiert würde. Das Seil war so lang, dass die Möglichkeit den oben seienden Korb in den Turm zu ziehen, gegeben war.
Schreibe eine Möglichkeit auf die Körbe mit Menschen (max. 2) und (oder) Steinen zu beladen, so dass die drei ihrem Gefängnis unverletzt entkommen können.
Zu erreichen sind 8 Punkte.

Nun sehr sehr schwierig war die Aufgabe nicht, aber wahrscheinlich haben einige Dauermitmacher, das Aufschreiben gescheut, nun ja.
Es gibt eine Reihe von Möglichkeiten, da es am Ende nur die wichtige Bedingung gibt, den Unterschied von 5 kg in den Körben einzuhalten.
Beispiellösung von Christoph:
Als erstes den Korb mit 5kg beladen und nach unten lassen. Den angekommenen Korb mit 10kg beladen und wieder ablassen, dann wieder plus 10kg usw. bis in dem einem Korb (erstes hoch kam) 80kg drin sind und in dem der dann unten ist 85kg. Albert (der sich für am wichtigsten hält und deshalb als erstes runter will) steigt nun (nachdem die Steine rausgenommen wurden) in diesen Korb und schreitet mit einem Gegengewicht von 85kg sanft zu Boden. Unten angekommen nehmen Beatrix und Corinna die Steine oben wieder raus, bis auf einen Stein von 5kg. Dann steigt Albert aus und der Korb geht wieder runter. Albert nimmt diesen Stein dann heraus. Die beiden Frauen legen nun immer einen Stein in den Korb den Albert dann wieder heraus nimmt, bis er 85kg zusammen hat. Dann machen sie das gleiche was als erstes gemacht wurde (erst 5kg und dann immer 10kg in den ankommenden), bis der der unten ist 85kg an Gewicht hat. Sie steigen dann zusammen in den Korb und gleiten hinunter. Dort werden unten in den Korb alle Steine die schon herunter geschafft wurden gehievt. Dann steigen Beatrix und Corinna aus und der Korb wird sich irgendwo einpendeln oder auch (da die Steine ja nicht exakt gleich viel wiegen) unten bleiben oder nach oben gehen. So können sie fliehen ohne Lärm verursacht oder sich Brüche zugezogen zu haben.

Aufgabe 2

Nach der körperlich so schweren Aufgabe 1, nun wieder was für die die kleinen grauen Zellen.
In dem alten Buch von Bernd findet sich auch diese recht alte Aufgabe:
Ein Mann hinterlässt seinen drei Söhnen 17 Kamele. Zum Verlesen des Testaments gehen die drei zu ihrem Dorfrichter. Dieser verkündet folgendes. Der erste Sohn bekommt die Hälfte aller Kamele, der zweite Sohn bekommt 1/3 und der dritte Sohn 1/9 aller Kamele.
Nun fängt eine große Diskussion an. Das Testatement darf muss so angewendet werden wie es da steht, aber schlachten wollen sie die wertvollen Tiere ja auch nicht. Da hat der Dorfrichter eine Idee. Er stellt sein Kamel hinzu und nun geht die Teilung ohne jede Schlachterei ab, ja es bleibt sogar am Ende das Kamel des Richters übrig.
Wie so klappt das eigentlich?
Zu erreichen sind 3 Punkte.

Nun das das Testament des alten Herrn ist nicht perfekt. Werden die Erbanteile zusammengerechnet, so ergibt sich:
1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18
17 Kamele des Mannes und das Kamel des Richters ergeben 18 Kamele, die ganze Herde mit 18/18. Diese lässt sich in die gegebenen Anteile und das eine Kamel teilen. Deshalb geht dass halt so auf.
PS.: Wenn die Herde aus 35 Kamelen besteht, springt für den Richter sogar noch ein Kamel als Belohnung heraus.

Aufgabe 3

Der Opa von Bernd las neulich die Aufgabe mit den Omletts aus Serie 4 und da fiel ihm eine Aufgabe wieder ein, die im Mathebuch seiner Großmutter stand:
Eine Frau trug einen Eierkorb zum Markt. Ein Passant rannte an ihr so knapp vorbei, dass der Korb so auf die Straße fiel, dass kein Ei mehr heil blieb. Die Frau schimpfte erst mächtig, dann erkannte sie, dass es der Stadtmathematikus, der wahrscheinlich mit seinen Gedanken wieder ganz wo anders gewesen war. Er wollte ihr die Eier ersetzen und fragte wieviele Eier waren es denn. Da bekamm er folgendes zu hören.
Wenn ich immer nur 2 Eier aus dem Korbe genommen hätte, dann wäre ein Ei im Korb geblieben. Hätte ich immer nur 3 verkauft, dann wäre auch ein Ei im Korb geblieben. Genau wäre es bei 4, 5 oder auch 6 Eiern gewesen. Nur wenn ich immer 7 Eier jeweils verkauft hätte, dann wäre mein Korb leer geworden. Tja, nun war es für den Stadtmathematikus kein Problem, die Anzahl zu ermitteln. Zwar gibt es viele solche Zahlen, aber die Größe des Korbes sagte ihm, dass es nur die kleinste dieser Zahlen sein konnte. Wie viel Franc musste er bezahlen, wenn ein Ei 2 Centimes kostet?
Zu erreichen sind 5 Punkte.

Die gesuchte Zahl muss zum einen bei der Division durch 2; 3; 4; 5 und 6 immer den Rest 1 lassen. Die kleinste Zahl (kgV), die durch all diese Zahlen teilbar ist, ist die 60. Die Zahl die den Rest lässt ist dann 60 +1, oder 2 * 60 + 1, ... kurz n*60 +1.
Diese Zahl muss allerdings auch durch 7 teilbar sein. Da bei sieben Zahlen mit gleichem Abstand eine durch sieben teilbar sein muss, lohnt sich das einfache Probieren mit den Kandidaten:
61 geht nicht
121 geht nicht
181 geht nicht
241 geht nicht
301 geht
Da die kleinste Zahl gesucht war, für die all diese Bedingungen gelten, ist 301 die Anzahl der Eier und da ein Ei 2 Centimes kostet, muss er 602 Centimes bzw. 6,02 Franc bezahlen.

Aufgabe 4

Bernd und sein Freund Mike waren in den Herbstferien mit Mike's Eltern unterwegs. Es war eine Art Rundtour in Sachsen. Am dritten Tag sollte eine Radtour für die Jungs sein. Der Start war in A und sollte nach genau 100 km in B enden. Die Eltern fuhren mit dem Auto schon mal voraus, weil sie sich in B ein Museum anschauen wollten, wo zu Mike und Bernd sowieso keine Lust hatten. Kurz vor 9.00 Uhr starteten sie und mit 20 km/h brausten sie dahin. Es kam wie es kommen musste nach einer Stunde ging Mike's Fahrrad kaputt. Nach dem Sie kurz beratschlagt hatten beschlossen sie folgendes: Wir schließen das kaputte Fahrrad an. Dann fährt Bernd eine Stunde mit dem Rad und läuft weiter. Mike läuft bis zu dem abgestellten Rad, dann fährt er eine Stunde mit dem Rad und lässt es wieder stehen ... Wann ist die Tour in B zu Ende (Ende zählt, wenn beide da sind), wenn die restlichen 80 km um 10.00 Uhr in Angriff genommen werden und der Fußgänger 5 km/h schafft? Wären Sie mit einer 2-Stunden Radzeit oder 1/2-Stunden Radzeit besser gekommen?
Zu erreichen sind 6 Punkte.
PS.: Die Eltern machten sich ziemliche Sorgen, weil es so lange dauerte, da die Jungs aber kein Handy mit hatten, waren Sie nicht erreichbar, aber Ende gut alles gut. Das Fahrrad wurde dann am nächsten Tag geholt und repariert.

Teil 1:
Bernd fährt eine Stunde (20 km), wenn er danach 4 Stunden läft (20 km), schafft er so in 5 Stunden 40 km.
Mike läuft 4 Stunden (20 km), dort ist das Rad und fährt danach eine Stunde (20 km), so schafft auch er in 5 Stunden 40 km.
Also haben sie nach 5 Stunden, die halbe Strecke absolviert und die Ausgangsbedingungen liegen vor.
D. h. sie brauchen für die 80 km genau 10 Stunden, kommen zur gleichen Zeit an und die Eltern sind erleichtert.
Teil 2: Es ändert sich nichts an der Zeit, 2 Stunden Rad (40 km) + 8 Stunden laufen (40 km) bzw. umgekehrt für Mike, macht wieder 10 Stunden.
Teil 3: Es ändert sich wieder nichts an der Zeit, 0,5 Stunden Rad (10 km) und 2 Stunden laufen (10km) für Bernd, entsprechend umgekehrt für Mike. Das Ganze 4-Mal, ...
Die eine Stunde vom Anfang kann man dazurechnen oder auch nicht, dass ändert ja nichts am Prinzip.
Ist im ersten Moment schon erstaunlich.

Aufgabe 5

Bernd hat in seinem alten Buch wieder eine sehr alte Aufgabe gefunden:
Ali und Bobo sind in einer Oase und treffen dort auf den Kaufmann Chalim. Dieser hat zwar viel Geld, aber kein Brot. Ali dagegen hat 5 Brote und Bobo hat 3. Ich gebe Euch am Ende der Reise 8 Goldstücke, wenn wir die Reise glücklich überstehen. Abgemacht.
Nach 8 Tagen erreichen Sie abgekämpft, das Brot hat genau gereicht und jeder hat unterwegs die gleiche Menge gegessen.
Chalim gibt ihnen - wie versprochen - die 8 Goldstücke. Mit der Verteilung 5 Goldstücke für Ali und 3 für Bobo ist Ali nicht einverstanden. Sie gehen zu dem schlauen Dorfrichter, der überlegt eine Weile und gibt dann dem Ali recht.
Welchen - mathematisch richtigen - Vorschlag macht der Dorfrichter, *welches wäre der - menschlich richtige - Vorschlag?
Für den mathematisch richtigen Vorschlag soll es 4 Punkte geben und von mir aus auch einen Extrapunkt für *.

Die acht Brote werden auf drei Leute verteilt, das ergibt 8 = 24/3. Jeder isst 8/3. Damit gibt Ali von seinen 5 Broten (15/3) sieben Stücke und Bobo von seinen 3 Broten (9/3) nur eins. Mathematisch gesehen stehen Ali also 7 Goldstücke und Bobo nur 1.
Menschlich wäre wohl eher, dass sich die beiden das Geld 4 : 4 teilen, schließlich haben sie ja beide das Brot geteilt, verzichten sollten sie auf das Geld nicht, denn schließlich kam ja der Vorschlag vom Kaufmann Chalim selber.

Aufgabe 6

Bernds Mutter hat 21 Gläser für das Einkochen von Marmelade eingekauft. Da Sie die Früchte aus dem Garten immer frisch verarbeitet hat, sind manche Gläser voll und andere nur halbvoll. Als Sie jetzt nachzählte, stellte sie fest, es waren genau 7 volle Gläser, 7 waren halbvoll und 7 Gläser waren leer geblieben. Das erinnerte sie an eine Aufgabe aus dem Buch "Beremis, der Zahlenkünstler". Diese lautete bezogen auf die Gläser so, wie kann ich die Gläser auf drei Regale verteilen, so dass in jedem Regal gleich viele Gläser und gleich viel Marmelade untergebracht wird? Der Inhalt der Gläser darf nicht verändert. werden.
Bernd brauchte recht lange für die Lösung, aber für 4 Punkte kann man sich schon mal anstrengen oder?

Ausgehend von der Marmelade - 7 volle und 7 halbvolle Gläser - ist eine Zahl von 21/2 vollen Gläsern auf drei Regale zu verteilen, also pro Regal 7/2 Gläser in je sieben Gläsern .
Folgende Lösungen wurden gefunden, eine war nur verlangt.
v- steht für voll, h für halbvoll und l für leer
1. 3v, 1h, 3l + 3v, 1h, 3l + 1v, 5h, 1l
2. 3v, 1h, 3l + 2v, 3h, 2l + 2v, 3h, 2l
Beide Lösungen entsprechen der Aufgabenstellung. Es sind, abgesehen von der Reihenfolge, auch alle.

Aufgabe 7

Im Nachbarhaus von Bernd ist vor 4 Wochen eine neue Familie eingezogen. Oh, das sind ja noch mehr Kinder als bei uns, dachte sich Bernd als er sie beim Spaziergang traf. Er unterhielt sich mit ihnen und dachte, schön, da sind einige dabei, mit denen werde ich wohl ab und spielen können. Natürlich nur mit den großen, denn Kindergartenniveau, also nein. Umso erstaunter war er, als der kleine Klaus Mike erzählte, er hätte genauso viele Schwestern wie Brüder und seine 5--jährige Schwester Maxi schlagfertig meinte, ätsch, ich habe doppelt so viele Brüder wie Schwestern. Ganz schön pfiffig die Kleinen. Sie hatten ja recht.
Wie viele Kinder (Brüder und Schwestern) sind in der Familie?
Zu erreichen sind auch hier 4 Punkte.

Klein aber, oho. Allerdings bezogen auf die Schlagfertigkeit, nicht die Anzahl der Kinder.
Die Lösungsvariante als Gleichungssystem zeigt, dass es genau eine Lösung gibt. Es sei hier aber auf eine mehrfachfach verwendete inhaltliche Vorgehensweise verwiesen:
Die Aussage, ich habe doppelt so viele Brüder wie Schwestern von Maxi zeigt automatisch, dss die Zahl der Jungen eine gerade Zahl sein muss. Also 2; 4; 6 usw.
2 Jungen würde aus der Sicht von Klaus bedeuten, er hätte einen Bruder und eine Schwester, also Maxi, die dann allerdings keine Schwester hätte Widerspruch
4 Jungen würde aus der Sicht von Klaus bedeuten,er hätte 3 Brüder und müsste also auch 3 Schwestern haben. Maxi hätte dann 4 Brüder und zwei Schwestern. Alle Bedingungen erfüllt.
Die Familie hat sieben Kinder, davon 4 Jungen und 3 Mädchen.

Aufgabe 8

Die sieben Kinder aus dem Nachbarhaus - die Familie heißt ü,brigens Mimlitt - sowie Bernd und seine beiden Schwestern stellen sich entlang einer gerade Linie in jeweils 10 Meter Entfernung voneinander auf. Mike testet die Genauigkeit aus, in dem er vom ersten bis zum 10. läuft. Er zählt seine Doppelschritte aus und da er weiß, dass ein Doppelschritt 1,50 m entspricht, ist die Überprüfung kein Problem. Die Entfernungen stimmen und tja wie viele Doppelschritte ist Mike denn nun gegangen?
Zu erreichen sind 3 Punkte.

Nun schwierig war es nicht, aber ein kleiner Holperer hat sich schon eingestellt bei einigen.
Bei 10 Menschen sind es 9 Abstände, also 90 Meter. Da ein Doppelschritt 1,50 m lang ist, sind es genau 60 Dopellschritte.

Aufgabe 9

Weihnachten steht vor der Tür und Bernd träumt von seinem neuen Fahrrad. So plant er schon mal eine Einweihungstour. Dies soll eine Rundtour werden. Er wohnt in A-Hausen. Die Tour soll durch B-dorf, C-Hütte, D-rode und E-leben führen und bei ihm zu Hause ene. Als er auf seine Radwanderkarte schaut, stellt Bernd fest, dass es von jedem der Orte eine Verbindung zu einem der anderen Orte gibt. Er kann also eine Tour ABCDEA genau so machen wie AECDBA usw. Wie viele solche Touren gibt es, wo er durch jeden Ort genau einmal fahren will?
Zu erreichen sind 6 Punkte.

Die recht hohe Punktzahl gab es diesmal u.a. für die nicht so komplizierte Erkenntnis, dass es ja eigentlich nur um die Zwischenorte ging. Es kam also darauf an, herauszufinden wie viele Möglichkeiten es bei der Kombination der Ort B, C, D, E gab. Nur zwei Teilnehmer haben sich verwirren lassen.
Eine der vielen Varianten sei hier aufgezeigt:
Von A-Hausen hat Bernd vier Möglichkeiten, wenn er dann in einem der vier Orte ist, hat er noch 3 Möglichkeiten, also sind es bis dahin 4*3. Im dritten Ort hat er dann in jedem Fall noch 2 Möglichkeiten, also sind es bis dahin 4*3*2. Hat er dann den dritten Ort erreicht, gibt es nur noch eine Möglichkeit und von dem ort fährt er dann nach Hause.
Damit steht fest, es gibt genau 24 Möglichkeiten.

Aufgabe 10

Bernd stöbert im Internet, da findet er beim Chemnitzer Schulmodell in einem alten Weihnachtskalender eine interessante Aufgabe:

Einstein's Weihnachtsrätsel

Gehörst Du zu den 2% der intelligentesten Personen auf der Welt?

Es gibt KEINEN Trick bei diesem Rätsel, nur pure Logik. Also: Viel Glück und gib nicht auf!

01. Es gibt fünf Häuser mit je einer Farbe.
02. In jedem Haus wohnt eines der Kinder.
03. Jeder Hausbewohner bevorzugt ein bestimmtes Getränk, isst eine weihnachtliche Spezialität und hält ein bestimmtes Haustier.
04. KEINES der 5 Kinder trinkt das gleiche Getränk, isst die gleiche Spezialität oder hält das gleiche Tier wie einer seiner Nachbarn.
05. Der Artikel „der“ ist kein Hinweis auf das Geschlecht.

Frage: Wem gehört der Fisch????

Die Hinweise:

01. Paul lebt im roten Haus.
02. Maxi hält einen Hund.
03. Friedrich trinkt gerne Tee.
04. Das grüne Haus steht direkt links vom weißen Haus.
05. Der Bewohner des grünen Hauses trinkt gerne Limo.
06. Das Kind, das die Brezel isst, hält einen Vogel.
07. Das Kind, das im mittleren Haus wohnt, trinkt gerne Milch.
08. Der Bewohner des gelben Hauses isst Stollen.
09. Max wohnt im ersten Haus.
10. Der Pfefferkuchen-Esser wohnt neben dem, der eine Katze hält.
11. Das Kind, das ein Pferd hält, wohnt neben dem, der Stollen isst.
12. Der Apfelsinen-Esser trinkt gerne Cola.
13. Neben dem blauen Haus wohnt Max.
14. Pauline isst Walnüsse.
15. Derjenige, der Pfefferkuchen isst, hat einen Nachbarn, der Wasser trinkt.

Das Weihnachtsrätsel entstand nach der Vorlage des nach Einstein verfassten Rätsels. Er behauptete, 98% der Weltbevölkerung seien nicht in der Lage, es zu lösen. Viel Spaß!!!

Kleiner Tipp: Es hilft sich die Häuser in einer Reihe vorzustellen, auch wenn dies nicht explizit erwähnt wird.
Bernd knobelt und weil Weihnachten vor der Tür steht darf er sich auch Zeit lassen.
Wer die komplette richtige Lösung - also mit Begründung - herausfindet, kann sich sich über 10 Punkte freuen. Nur die Angabe der Lösung, nun das sind dann 4 Punkte.
Ein Frohes Fest und einen guten Rutsch.

Es haben leider wieder einige trotz richtiger Lösung nicht die volle Punktzahl erreicht, da der Lösungsweg fehlt, schade.
Vielen Dank für die sehr ausführlichen Lösungen. Allerdings musste man sich beim Aufschreiben doch ganz schön konzentrieren. Eine günstige Variante war so ein Schema wie es beim Logiktrainer benutzt wird.
Dass es auch ohne eine solch komplizierte Tabellenform geht zeigten andere Varianten, ich stelle hier die Varinate von Doreen Naumann vor, vielen Dank.
Lösung Aufgabe 10:

-> nach Hinweis 6 im 3.Haus Brezel und Vogel

War eigentlich gar nicht schwer.

Finde ich auch, Thomas

Aufgabe 11

Bernd hat in den Zwischentagen mit seiner Oma ferngesehen. Da gibt es einen Sender, der andauernd irgendwelche Fragen stellt und die Leute dazu bringen will, das sie anrufen. Viele der Fragen sind sehr einfach, so dass man sich gar nicht traut, sie zu nennen, aber bei einer hat Bernd denn doch gestutzt und dann kam das AHA-Erlebnis.
Marias Vater hat fünf Töchter. Folgende Namen wurden genannt:

ANNA , BETTINA, CELIA und DAMARIS

Nur wenige lißen sich für kurze Zeit irritieren und kamen auf die richtige Antwort.
Es war Maria, denn ihr Vater hat fünf Töchter, von denen ungerechterweise nur vier noch einmal genannt werden, also ist sie die fünfte.
So viele Mails zu einer Aufgabe gab es noch nie.

Aufgabe 12

Bernd liest Mike einen Aufsatzentwurf vor:
Edeltraut aus Endover saß einsam im Wald. Sie war verzweifelt. Sie beobachtete die Vögel. Da kam ihr ein schönes Lied in den Sinn. Sie benutzte Ihre Mundharmonika und spielte die Melodie nach. Theo hörte es und sang dazu. Elfengleich klang es durch den Wald.
Danach fragte Theo sie nach der Hausaufgabe, die Elvi, er und Edeltraut bis zum nächsten Tag zu erledigen hatten. Wenn wir hier noch Zehn Minuten sitzen, macht es auch nichts, dass schaffen wir schon. ...
Mike sagte zu Bernd also in Mathe bist du deutlich besser, da wirst du wohl noch mal anfangen müssen, aber als Zahlenversteck ist die Story gut. Ich habe einige Zahlen entdeckt, sogar über Wortenden hinweg.
Schreibe die Zahlen der Reihe nach heraus und ermittle die Summe.
Zu erreichen sind 4 Punkte.

Serie-4

Aufgabe 1:

In die Klasse von Bernd gehen 12 Mädchen. Alle haben im gleichen Jahr Geburtstag. Als Bernd sich für die Mädchen zu interessieren beginnt - oder so - schreibt er die Geburtstage alle auf. Dabei ergibt sich, dass jedes der Mädchen in einem anderen Monat Geburtstag hat. Bernd multipliziert die Tagzahl des Geburtstages mit der Monatszahl (das wäre also beim 14.7. dann die 98 gewesen, war aber nicht dabei) und erhält folgende Ergebnisse:
Astrid 49,
Beate 3,
Christina 52,
Doris 130,
Evelyn 187,
Friederike 300,
Gudrun 14,
Heike 42,
Ines 81,
Kerstin 135,
Liane 128 und
Martina 153.
Als Bernd nach Hause kommt, möchte er die Geburtsdaten in seinen Kalender eintragen. Allerdings hat er nur noch den Ergebniszettel. Ob er seine Liste verloren hat oder ob Mike sie an sich genommen hat, ist nicht heraus zu bekommen.
Wer an welchem Tag Geburtstag hat schon.
Es ist eine Liste in kalendarischer Reihenfolge mit genauem Datum zu ermitteln!

Zu erreichen sind 8 Punkte.

Es geht also darum, die vorgegeben Zahlen in je zwei Faktoren zu zerlegen. Einige der Zerlegungen sind eindeutig:
49 = 7 * 7 ==> Astrids Geburtstag 7.7.
187=11 * 17==> Evelins Geburtstag 17.11.
Es ist also nicht jede Zerlegung sinnvoll, da einer der Faktoren nicht größer als 12 sein darf und die Monatszahl darf bei jedem nur einmal vorkommen.
Die einzige Zahl, die 12 als Teiler hat ist die 300. 300= 25 * 12 ==>Friederikes Geburtstag 25.12.
153 = 17 * 9 ==> Martinas Geburtstag 17.9.
Damit kommt nun von den möglichen Zerlegungen der 81= 9* 9 = 3 * 27 nur noch die 3 * 27 in Frage, da der Septembermonat schon für die Martina vergeben ist. ==> Ines Geburtstag 27.3
Damit kommt in Auswertung der 3 = 3 * 1 nur der 1.3 für Beate in Frage und zugleich ist die Zerlegung von 14 = 1 * 14 ausgeschlossen. Also muss 14 = 2 * 7 genommen werden ==> ( wegen Astrid) Gudruns Geburtstag 7.2.
42 = 6 * 7 = 3 * 14 = 2 * 21 von diesen Zerlegungen entfallen die beiden letzten (Ines 27.3. und Gudrun 7.2.) wegen Astrid (7.7) ==> Heikes Geburtstag 7.6.
Das System ist jetzt klar wie also die Zerlegungen weiter untersucht werden.
Hier nun die komplett sortierte Liste:
Beate 3.1
Gudrun 7.2
Ines 27.3
Christina 13.4
Kerstin 27.5
Heike 7.6
Astrid: 7.7
Liane 16.8
Martina 17.9
Doris 13.10
Evelin 17.11
Friederike 25.12

Aufgabe 2:

Bernd hat für ein paar Tage den Hund von Mike. Er geht mit ihm auf den Sportplatz. Beide stellen sich am Start für die 400-Meterstrecke auf. Beide rennen los, allerdings läuft der Dackel anders herum um die Bahn. Nach wie viel Sekunden treffen sich die beiden wieder, wenn Bernd 5 m/s und der Dackel 3 m/s schafft? Wie viele Meter ist Bernd gerannt?
Zu erreichen sind 4 Punkte.

Auch wenn sie am gleichen Ort loslaufen, so ist doch der Gesamtweg den sie absolvieren müssen 400 m, die sie praktisch auf einander rennen.
Mit 1 für Bernd und 2 für den Dackel ergibt sich, da ja beide dieselbe Zeit t unterwegs sind:
400m = v₁^.t + v₂^.t
400 m = 5 m/s^.t + 3 m/s ^.t
400 m = 8 m/s^.t
t = 50 s.
Für Bernd ergibt das also einen Weg von 250 m, wo er dann nach 50 Sekunden den Dackel wieder findet.
Geschafft dachte Bernd, als er endlich den Hund wieder los war.

Aufgabe 3:

Bernd findet im Schrank seines Vaters ein altes Briefmarkenalbum. Obwohl er sich eigentlich gar nicht für die langweiligen Papierschnipsel interessiert, fallen ihm die besonderen Marken mit den Weltwundern ins Auge. Das muss ich mal meiner Geschichtslehrerin erzählen, das ist vielleicht mal was, was die nicht weiß. Vorher zählt er noch schnell alle Marken durch. Als er am nächsten Tag Mike davon berichtet, sagte der, da habe ich ja genau doppelt so viele Marken wie dein Vater. Allerdings hat mein kleiner Mirko, obwohl er 2 Alben mit je 350 Marken hat, nur 40 Marken mehr als dein Vater.
Wie viele Marken haben alle drei Sammler zusammen?
Zu erreichen sind 4 Punkte.
PS.: Die Geschichtslehrerin hatte die Marken erst geschenkt bekommen. War wieder nichts, womit er seine Lieblinglehrerin erfreuen konnte, schade.

Textversion:
Mirko hat 2 mal 350 Marken, also 700.
Der Vater hat 40 Marken weniger, also 660 Marken.
Mike hat doppelt so viele wie der Vater, also 1320 Marken.
Insgesamt hat die drei Sammler also 2680 Marken.

Serie 4 Aufgabe 4

Bernd lernt in der Schule, was eine Quersumme einer natürlichen Zahl ist. Das ist die Summe ihrer Ziffern. Er denkt sich einen neuen Begriff aus, das Querprodukt, also sollen die Ziffern multipliziert werden. Bei 36 ist das Querprodukt dann 18, da 3 mal 6 18 ergibt.
Seinem Freund Mike, dem er von seiner Erfindung erzählt, fällt dazu folgende Aufgabe ein:
Finde die größte vierstellige Zahl, deren Querprodukt 504 ergibt! Während Bernd seine Erfindung etwas verflucht, sollte die Lösung doch zu finden sein, oder?
Zu erreichen sind 4 Punkte.

Die Zahl 504 lässt sich in Primfaktoren zerlegen:
504 = 2*2*2*7*9
Die größten einstelligen Faktoren sind also 8, 7, 9. Da die Zahl vierstellig sein soll, kann nur noch die Ziffer 1 fehlen, da jede andere Zahl das Querprodukt ändern würde. Die Sortierung der Ziffern liefert das Ergebnis:

9871

Aufgabe 5

Gulliver kam auf seiner Reise bekanntlich in Lilliput vorbei. Er war 12 mal größer als die Landesbewohner. Nach dem der Schrecken vorbei war, den sie wegen des Riesen hatten, wollten sie es ihm ein wenig bequemer macher und gaben eine Zudecke und einen Krug in Auftrag der in entsprechender Vergrößerung angefertigt werden sollte. Die normale Decke maß bei den Lilliputanern 3 lilmeter mal 1 lilmeter. Wie viel limeter² brauchten die Schneider? Ein Krug fasste normalerweise 1 Lilliter. Wie viel Lilliter musste in den entsprechend vergrößerten Krug für Gulliver hineinpassen?
Zu erreichen sind 2 +3 Punkte.
In vielen Ausgaben von Gullivers Reisen wird der dritte Aufenthalt einfach weggelassen. Dieser führte ihn auf eine Insel mit schlauen Pferden, den Yahoos, deren Namen heute in einem anderen Zusammenhang wieder zu Ehren gekommen ist.

Teil 1:
Die Decke muss in Länge und Breite jeweils 12 mal größer sein. Die Maße sind also 36 bzw. 12 lilmeter.
Die Schneider brauchen also 432 lilmeter².
Teil 2:
Auch hier findet die Ähnlichkeit wieder Anwendung. Allerdings in 3 Dimensionen. Die Grundfläche wird in Länge und Breite 12 mal größer und natürlich müsste auch die Höhe 12 mal größer sein.
Daraus ergibt sich, dass der Krug 1 Lilliter*12*12*12= 1728 Lililiter fassen würde.

Serie 4 Aufgabe 6

Bernd hat in den Sommerferien 4 (!) Mädchen kennengelernt, die kannten sich auf unterschiedliche Weise und hießen Anne, Birgit, Celia und Damaris und wohnten in Berlin, Cottbus, Halle und Leipzig:
1. Birgit und das Mädchen aus Halle hatten sich in Chemnitz kennen gelernt.
2. Anne und Birgit schreiben sich mit den Mädchen aus Berlin und Leipzig regelmäßig SMS.
3. Celia und das Mädchen aus Berlin waren neulich zusammen in Dresden.
Welches Mädchen wohnt in welcher Stadt?
Zu erreichen sind 6 Punkte.

Aus 1. folgt Birgit wohnt nicht in Halle.
Aus 2. folgt Birgit und Anne wohnen nicht in Berlin und Leipzip.
--> Birgit wohnt in Cottbus und
--> Anne wohnt in Halle.
Aus 3. folgt Celia wohnt nicht in Berlin.
--> Celia wohnt in Leipzig
--> Damaris wohnt in Berlin

Zusammenfassung in alphabetischer Reihenfolge:
Anne wohnt in Halle, Birgit in Cottbus, Celia in Leipzig und Damaris in Berlin

Aufgabe 7

In einem Haus wohnen 12 Familien mit insgesamt 41 Personen. Die Familien bestehen aus 3, 4 oder 5 Personen. Familien mit drei Personen gibt es am häufigsten, die mit 5 Personen sind am wenigsten vertreten. Stelle die Familienverteilung für das Haus zusammen.
Zu erreichen sind 6 Punkte.

Da hat sich doch ein Fehler eingeschlichen, danke Paul für deinen Hinweis.
Lösungsweg von Mawi, vielen Dank.
3x+4y+5z = 41 mit x>y>z
=> x>=3, y>=2, z>=1 bzw. x=3+a, y=2+b, z=1+c mit a>=b>=c
=> 9+3a+8+4b+5+5c=22+3a+4b+5c=41 => 3a+4b+5c=19 mit a>=b>=c
c=0, b=0 => geht nicht, da 19 nicht durch 3 teilbar
c=0, b=1 => a=(19-4)/3=5
c=0, b=2 => geht nicht, da 11 nicht durch 3 teilbar
c=0, b=3 => geht nicht, da 7 nicht durch 3 teilbar
nun wird c
c=1, b=1 => geht nicht, da 10 nicht durch 3 teilbar
c=1, b=2 => a=(19-4*2-5*1)/3=6/3=2
nun wird c
c=2 => nun wird c

=> 1. Lösung: x=3+a=3+5=8; y=2+b=2+1=3; z=1+c=1+0=1 => 3*8+4*3+5*1=24+12+5=41
=> 2. Lösung: x=3+a=3+2=5; y=2+b=2+2=4; z=1+c=1+1=2 => 3*5+4*4+5*2=15+16+10=41
Die beiden Lösungen sind die einzigen wie der Lösungsweg verdeutlicht.
Die Verteilung kann also sein:
8 Familien zu 3 Personen, 3 Familien zu 4 Personen und 1 Familie mit 5 Personen.
oder
5 Familien zu 3 Personen, 4 Familien zu 4 Personen und 2 Familien mit 5 Personen.

Also noch einmal:
Ich verwende die Variablen d für drei Personen, v für vier Personen und f für fünf Personen:
Es gilt: d > v > f. Es sind nur positive ganze Zahlen erlaubt.
1. Gleichung: d + v + f = 12
2. Gleichung: 3d + 4v + 5f = 41
Dieses Gleichungssystem ist unterbestimmt, aber dass f kann nicht sehr groß sein, genauer gesagt < 4, ist schnell erkennbar, denn die Ungleichungsbedingung verlangte in dem Fall f=4 v mindestens 5 und d mindestens 6 ==> Widerspruch zu 1. ( Größeres f analog)
Es sind also nur noch drei Fälle zu untersuchen:
1. Fall: f = 3
Aufgrund der Ungleichung und 1. ergibt sich nur die Variante v = 4 und d = 5. ==> Widerspruch zu 2.
2. Fall: f = 2
==> 1*: d + v = 10
und 2*: 3d + 4v = 31
1** d = 10 - v in 2* eingesetzt ==>
3(10 - v) +4v = 31
30 - 3v + 4v = 31
v = 1 und d = 9
Die Gleichungen 1 und 2 sind zwar erfüllt, aber nicht die Ungleichung also entfällt auch Fall 2.
3. Fall: f = 1
==> 1*: d + v = 11
und 2*: 3d + 4v = 36
1** d = 11 - v in 2* eingesetzt ==>
3(11 - v) +4v = 36
33 - 3v + 4v = 36
v = 3 und d = 8
Der Fall 1 erfüllt alle Bedingungen und auch der einzige.
Puh, geschafft. Es sind 8 Familien mit 3 Personen, 3 Familien mit 4 Personen und 1 Familie mit 5 Personen.

Aufgabe 8

Zum Start eine Sonntagsfrühstücksaufgabe:
Aus einem Korb mit Eiern entnahm Bernd die Hälfte aller Eier, seine jüngere Schwester die Hälfte des Restes, Mike die Hälfte des neuen Restes und zum Schluss nahm Bernds Mutter die Hälfte des letzten Restes. Im Korb waren danach noch 10 Eier.
Wie viele Eier waren am Anfang im Korb und wie viele Eier nahmen die einzelnen Leute heraus?
Zu erreichen sind 4 Punkte.

Jetzt wird nicht herum geeiert, sondern los geht es.
Die Mutter nahm 10 Eier heraus, denn sie nahm als letzte die Hälfte heraus. Damit sind es zu dem Zeitpunkt 20 Eier.
Mike nahm 20 Eier heraus, denn ... Damit sind es zu dem Zeitpunkt 40 Eier.
Die jüngere Schwester nahm 40 Eier heraus, denn ... Damit sind es zu dem Zeitpunkt 80 Eier.
Bernd nahm 80 Eier heraus, denn ... Damit waren es am Anfang 160 Eier.
PS.: Einige fragten, wozu die vielen Eier gebraucht wurden. Nun es sollte an der Schule von Bernd und Mike ein neuer Omelettrekord aufgestellt werden. Sie haben es auch geschafft, allerdings ist seit dem der Appetit auf Omelett nicht mehr so groß. Der Weltrekord liegt allerdings bei 46 000 Eiern. Am 13. Mai 2002 wurde im Brockville Memorial Centre (Ontario, Kanada) das Superomelett gebacken, es war 141 Quadratmetern groß.

Aufgabe 9

Bei dieser Aufgabe stehen gleiche Buchstaben für die gleiche Ziffer und verschiedene Buchstaben für verschiedene Ziffern.
ABCDC ^. C = CDCBA
Zu erreichen sind 4 Punkte.

Die zentrale Rolle spielt die Ziffer C.
C kann nicht 0 sein, wegen der verschiedenen Ziffernbedeutung.
C kann nicht 1 sein, sonst wäre C = A (1 ^. 1 = 1).
Daraus folgt CDCBA > ABCDC und damit C > A. ¹
Weitere C ^. C Untersuchung
2 ^. 2 = 4 Widerspruch zu ¹
Dieser Widerspruch ergibt sich ebenso für die Ziffern 3 bis 7.
Für C = 8 wäre A = 4 und damit allerdings würde das Produkt sechsstellig.
So bleibt also nur C = 9 als einzige Möglichkeit.
Daraus folgt A = 1.
Zwischenergebnis: 1B9D9 ^. 9 = 9D9B1
Nun ist B = 0 zwingend, denn B kann nicht mehr 1 sein und für größere Ziffern würde das Produkt sechsstellig.
Zwischenergebnis: 109D9 ^. 9 = 9D901
Da 109XX ^. 9 bereits für XX = 00 auf 98100 führt liegt damit auch die letzte Ziffer eindeutig fest, D = 8.
Die Aufgabe hat nur eine einzige Lösung: 10989 ^. 9 = 98901

Aufgabe 10

In der Klasse von Bernd ist ein Fussball in eine Scheibe geflogen.Der Hausmeister fragt bei den vier anwesenden Schülern nach und kriegt folgendes zu hören.
1. Anton sagt, dass Britta geschossen hat.
2. Britta sagt, es sei Claus gewesen.
3. Claus sagt, ich war es nicht.
4. Dieter sagt, ich war es auch nicht.
Der Hausmeister ist ratlos. Bernd kommt dazu und ist sich sicher, dass drei der Aussagen falsch sind.
Mit wem muss er reden, damit sich der - oder die - Schuldige, zu der Tat bekennt.
Zu erreichen sind 5 Punkte.

Systematisch wird der Wahrheitsgehalt untersucht, d. h. ist die untersuchte Aussage wahr, dann sind die drei anderen falsch und daraus muss auf einen einzigen Täter geschlossen werden können.
1. Aussage wahr ==> es waren Britta (1.), aber auch Claus(3.) und Dieter (4.) ==> die Variante entfällt
2. Aussage wahr ==> es waren Claus(2., 3.) und Dieter (4.) ==> die Variante entfällt
3. Aussage wahr ==> es war nicht Britta (1.), es war nicht Claus (2., 3.). Es war Dieter (4.) ==> die Variante ist möglich
4. Aussage wahr ==> es war nicht Claus (2.) und es war Claus (3.) ==> die Variante entfällt
Alle Aussagen sind untersucht. Es bleibt nur die Variante 3, d.h. Dieter war der Täter und er sollte sich dazu bekennen.
Es ist allerdings auch das Verhalten von Anton und Britta zu untersuchen und das nicht nur im Ethikunterricht.

Serie 4 Aufgabe 11

Bernd liest einen Artikel über die Fibo-Kaninchen. Mit diesen hat es folgende Bewandtnis. Diese Tiere werden bereits mit einem Monat geschlechtsreif und werfen dann nach einer Tragzeit von jeweils einem Monat monatlich genau ein Pärchen Kaninchen, die in einem Monat geschlechtreif werden und dann nach einer Tragzeit von einem Monat monatlich genau ein Pärchen Kaninchen, die in ...

Wenn nun Bernd sich so ein gerade geworfenes Pärchen Kaninchen wirklich kaufen würde, wie groß müsste die Anzahl der Boxen in seinem Stall sein, damit nach einem Jahr jedes Pärchen seine eigene Box hat?
Zu erreichen sind 6 Punkte.

Diesmal war es doch recht schwierig für einige Teilnehmer den richtigen Ansatz zu finden. Diese Aufgabe aus dem 12. Jahrhundert von Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci, ist natürlich auch sehr idealisiert. Keines der Kaninchen stirbt, es gibt keine Inzuchterscheinungen, ... Das mahnten die Teilnehmer zu recht an, aber nun ja.
1. Monat: 1 Paar
2. Monat: 1 Paar, am Ende wird das erste neue Paar geboren, also
3. Monat: 2 Paare, am Ende wirft das erste Paar wieder ein Paar, also
4. Monat: 3 Paare, am Ende wirft das erste Paar wieder ein Paar, aber das zweite Nachwuchspaar bekommt auch sein erstes Nachwuchspaar, also
5. Monat: 5 Paare, am Ende wirft das erste Paar wieder ein Paar, aber das zweite Nachwuchspaar bekommt auch sein zweites Nachwuchspaar,aber das dritte Nachwuchspaar bekommt auch sein erstes Nachwuchspaar, also
6. Monat: 8 Paare, am Ende wirft das erste Paar wieder ein Paar, aber das erste Nachwuchspaar bekommt auch wieder Nachwuchspaar, das zweite Nachwuchspaar bekommt auch sein Nachwuchspaar, das dritte Nachwuchspaar bekommt auch sein zweites Nachwuchspaar,das vierte Nachwuchspaar bekommt auch sein erstes Nachwuchspaar, also
7. Monat: 13 Paare, ...
Wenn man sich die Zahlenentwicklung anschaut, ergibt sich die aktuelle Monatszahl immer durch Addition der beiden Vormonatszahlen, also 8. Monat: 21 Paare
9. Monat: 34 Paare
10. Monat: 55 Paare
11. Monat: 89 Paare
12. Monat: 144 Paare
Am Ende des Monats sind es es sage und schreibe: 233 Paare.
So viele Boxen müsste Bernd bereitstellen, hoffentlich hat er das sich vorher überlegt.
Die Fibonacci- Zahlen finden vielfältige Anwendungen in der Natur und Mathematik und sie wachsen rasend schnell, auch wenn es am Anfang nicht so aussieht.
Hiermal noch die nächsten: 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, ...
Wird eine Fibonaccizahl durch ihren Vorgänger dividert, so konvergiert dieset Quotient gegen 1,618... Dieser Wert ist beim goldenen Schnitt das Ergebnis und wahrscheinlich eine irrationale Zahl, von der man schon lange weiß und wegen der auch schon ein Mathematiker ermodert wurde. Mehr sei an der Stelle nicht verraten.

Serie 4 Aufgabe 12

Bernd bekommt Besuch von seinem Cousin Nick. Der ist erst 1 Jahr alt und kommt deshalb mit seiner Mutter zu Besuch. Nick kann natürlich noch nicht aufs Töpfchen gehen, weshalb er Windeln dran hat. Nicks Mutter behauptet, dass man durch die Verwendung von Stoffwindeln unwahrscheinlich Geld sparen kann. Bernd will das nun ganz genau wissen und überprüfen. Dazu holt er sich alle nötigen Daten ein:
Die Stoffwindeln mussten nicht gekauft werden, da Nick diese von seinem großen Bruder geerbt hat. Davon benötigt er in 24 h durchschnittlich 7 Stück. Eine Waschnmaschinenladung fasst 23 Stoffwindeln. Das Waschmittel kostet pro Waschgang 0.07 EUR. Die Waschmaschine verbraucht 70 Liter Wasser pro Waschgang und 1,1 kWh pro Waschgang. Bei den Stadtwerken hat Bernd nachgefragt, was Wasser und Strom kosten. Dort erhielt er folgende Auskünfte: 1000 l Trinkwasser kosten 4,50 EUR und 1kWh kostet 0,17 EUR. Außerdem legt Nicks Mutter immer ein Vlies in die Windel, das wann weggeworfen wird. Davon kosten 100 Stück 4,95 EUR. Sie verbraucht noch 25 EUR im Jahr für neue Windelhöschen, die einfach ab und zu erneuert werden müssen, weil der Kleine noch im Wachstum ist.
Bei Pampers und Co. entstehen folgende Kosten: Nick braucht davon 6 Windeln in 24 Stunden, da diese saugstärker sind. 70 Stück kosten 9,59 EUR.
Wieviel EUR spart die Mutter in 1 Jahr (365 Tagen), wenn sie konsequent Stoffwindeln verwendet??
Zu erreichen sind 6 Punkte.

Schwierig war die Aufgabe an sich eigentlich nicht, aber ein paar Fehler schlichen sich dort da und dort ein.
Hier die Beispiellösung von D. Neumann - vielen Dank.

gegeben: -Pampers: 6 Stück pro Tag
                              70 Stück 9,95 EUR
              -Stoffwindeln: 7 Stück pro Tag
              -Vlies: 7 Stück pro Tag
                        100 Stück 4,95 EUR
              -Waschmaschine: 23 Windeln / Ladung
                                         pro Waschgang: 0,07 EUR Waschmittel
                                                                  70 l Wasser
                                                                  1,1 kwh Strom
              -Stadtwerke: 1000 l Wasser 4,50 EUR
                                  1 kwh 0,17 EUR
              -Windelhöschen: 25,00 EUR pro Jahr
Lösung: Stoffwindeln: 7*365=2555
                               Vlies: 2555:100*4,95 = 126,47 EUR
                               Waschen: Wasser: 70 l: 1000 l l*4,50 =0,315 EUR
                                               Strom: 1,1kwh*0,17 =0,187 EUR
                                               0,315+0,187+0,07 =0,572 EUR (pro Waschgang)
                                               2555:23*0,572 =63,54 EUR
                               126,47 + 63,54 + 25,00 (Windelhöschen]= 215,01 EUR
             Pampers: 365*6=2190
                            2190:70*9,59 =300,03 EUR
            =>300,03 - 215,01 =85,02 EUR
            Mit den Stoffwindeln spart man 85,02 pro Jahr. 

Auswertung Serie 4

Serie-3

Aufgabe 1:

Seit der letzten Woche gibt es einen
Link kommt wieder
über die Bruchrechnung bei den Pharaonen. War mal ein Projekt in Klasse 5.
Es sind für folgende Brüche EINE Zerlegung in Stammbrüche zu finden. Es kann, aber es muss nicht das Verfahren benutzt werden. Bedingung ist, dass keiner der Brüche in der Zerlegung mehrfach verwendet wird. 2/3 = 1/3 + 1/3 ist keine zugelassene Lösung, sondern beispielsweise 2/3 = 1/2 + 1/6
7/11 ,
9/11 ,
13/15 und
5/39 .

Zu erreichen sind 4 ^. 2 = 8 Punkte.

Als Lösung wurde die Einsendung von Salomon gewählt.
 
7/11=7/14+(7/11-7/14)
7/11=1/2+(7/11-7/14)
7/11=1/2+3/22
7/11=1/2+3/24+(3/22-3/24)
7/11=1/2+1/8+(3/22-3/24)
7/11=1/2+1/8+1/88
=================
 
9/11=9/18+(9/11-9/18)
9/11=1/2+7/22
9/11=1/2+7/28+(7/22-7/28)
9/11=1/2+1/4+3/44
9/11=1/2+1/4+3/45+(3/44-3/45)
9/11=1/2+1/4+1/15+1/660
=======================
 
13/15=13/26+(13/15-13/26)
13/15=1/2+11/30
13/15=1/2+11/33+(11/30-11/33)
13/15=1/2+1/3+1/30
==================
 
5/39=5/40+(5/39-5/40
5/39=1/8+1/312
==============

Aufgabe 2:

Um einen quadratischen Teich sollen Bäume symmetrisch herum gepflanzt werden, so das dieses Muster entsteht:

Um den Eindruck von 9 Bäumen zu erreichen und wegen der geforderten Symmetrie ergeben sich folgende Möglichkeiten:

Aufgabe 3:

Aus Anlass eines Klassentreffens schreibt Peter alle ehemaligen Lehrer an. Bis auf drei sagen alle ihre Teilnahme zu. In dem Brief an seine ehemaligen Mitschüler schreibt der als Matheass bekannte Peter folgendes:

1. Die drei Lehrer Schulze, Ufer und Krause, die jeweils genau zwei der Fächer unterrichteten, können leider nicht kommen.
   Die Fächer Deutsch, Russisch, Geschichte, Mathematik, Physik und Biologie bleiben uns also leider erspart.

   Wer nicht mehr weiß, wer was unterrichtet hat, bekommt es mit folgenden Aussagen sicher heraus.

2. Sowohl der Lehrer für Biologie als auch der Lehrer für Physik sind älter als Herr Schulze.
3. In ihrer Freizeit spielten der Lehrer für Russisch, der Lehrer für Mathematik und Herr Schulze gern Skat. Dabei gewann Herr Krause öfter als der Lehrer für Biologie und der Lehrer für Russisch.

Herr Schulze unterrichtet nicht Biologie und Physik - wegen 2. - und auch nicht Russisch und Mathematik - wegen 3.-.
Also bleibt für Herrn Schulze nach 1. nur Deutsch und Geschichte.
Herr Krause unterrichtet nicht Russisch und Biologie - wegen 3. - und da Deutsch und Geschichte schon weg sind, folgt:
Herr Krause unterrichtet Mathematik und Physik.
Somit bleiben nach 1. für Herrn Ufer die Fächer Russisch und Biologie.

Aufgabe 4:

Bunte Kugeln
Eine grüne Kugel ist so schwer wie zwei rote Kugeln und zwei blaue Kugeln sind so schwer wie eine rote Kugel.
Wie viele blaue Kugeln sind so schwer wie drei grüne Kugeln?
Zu erreichen sind 2 Punkte.

Wenn eine grüne Kugel so schwer ist wie zwei rote, dann sind drei grüne Kugeln so schwer wie 6 rote Kugeln.
Da eine rote Kugel so schwer ist wie zwei blaue, sind 6 rote Kugeln so schwer wie 12 blaue.
Also sind drei grüne Kugeln so schwer wie 12 blaue Kugeln.

Aufgabe 5:

Würfelturm
Der kleine Bernd stapelt seine sieben Würfel aus dem neuen Mensch-ärgere-dich-nicht-Spiel übereinander. Es sind alles regelgerechte Würfel.
Wie groß ist die sichtbare Augenzahl aller Würfel, wenn ganz oben auf eine drei liegt?
Zu erreichen sind 3 Punkte.

Regelgerecht sind Würfel, wenn die Augenzahl gegenüber liegender Seiten 7 ergibt. Daraus folgt, dass bei den Würfeln die Augenzahl an den sichtbaren Seiten 14 beträgt. Bei sieben Würfeln sind das dann 98 und mit der 3, die oben drauf liegt, ergibt sich der gesuchte Wert zu 101.

Aufgabe 6:

Kaputte Schachbretter
Der kleine Bernd erwischt bei seiner großen Schwester einen Stapel Blätter mit leeren Schachbrettern drauf. Mit seiner neuen Schere schneidet aus einem Blatt ein 3 x 3 Feld raus, aus dem nächsten ein 4 x 4 Feld, dann ein 5 x 5 Feld, ein 6 x 6 Feld, ein 7 x 7 Feld und ein vollständiges Blatt nahm er so mit in sein Zimmer.
Als er stolz die Schachbrettstücke betrachtete fiel ihm bei dem kleinsten Brett auf, dass er ja dort ein großes 3 x 3 sehen kann, aber auch 2 x 2 Quadrate und natürlich die 1 x 1 Felder. Er rechnete zusammen und fand heraus, dass er auf dem 3 x 3 Feld insgesamt 14 Quadrate finden konnte.
Mit etwas systematischer Suche lassen sich auch Anzahl der möglichen Quadrate auf dem
4 x 4 Feld,
5 x 5 Feld,
6 x 6 Feld,
7 x 7 Feld und
8 x 8 Feld ermitteln.
Zu erreichen sind 8 Punkte.

Um das System zu finden, sollte ganz von vorn begonnen werden.
1 x 1 Feld --> 1 Quadrat
2 x 2 Feld --> 5 Quadrate, es sind also zu dem einen vier dazu gekommen: 5=1+4
3 x 3 Feld --> 14 Quadrate, es sind also 9 Quadrate mehr geworden: 14=5+9 bzw. 14=1+4+9
Das System für ein n x n Feld ist beschreibbar als Anzahl(n)= Anzahl (n-1)+n² oder als Anzahl (n)=1²+2²+...+n².

Die Summenformel erlaubt die Berechnung für ein n x n Feld, ohne die vorherigen Felder zu berechnen.
Eine andere Überlegung zur Herleitung der Formel ist die Gedankenspielerei mit Schablonen:
Ein n x n Feld besitzt ein Quadrat der Kantenlänge n. Eine Schablone der Kantenlänge n-1 lege ich links unten auf, die Schablone kann ich eins nach rechts verschieben und wenn ich dasselbe eine Verschiebung weiter oben mache habe ich alle 4 Möglichkeiten für die n-1 Schablone erreicht.
Die n-2 Schablone kann nun nach dem Auflegen noch zweimal nach rechts verschoben werden und ich kann das zweimal auch nach oben ausführen. Das ergibt 3x3=9 bzw. 3² Möglichkeiten.
...
Damit ist die Formel Anzahl (n)=1²+2²+...+n² auch bestätigt.
Ergebnisse:
4 x 4 Feld --> 30
5 x 5 Feld --> 55
6 x 6 Feld --> 91
7 x 7 Feld --> 140
8 x 8 Feld --> 204

Aufgabe 7:

Bernds Traum

Im verschlossenen Hinterzimmer der Monster-Bar. Es ist kurz nach Mitternacht. Auf dem runden Tisch liegen noch die Karten. Ihnen gilt kein Blick. Vor 10 Minuten saßen noch sechs Männer am Tisch. Der alte Frisky, John Dalmas, George Hawkins, Allan Cunneway, Fred Buster und Tom Snider. Nun aber liegt einer von ihnen tot über dem Tisch. Der tote Falschspieler hält noch sein Whiskyglas in der Hand. Da keiner den Raum verlassen hatte und auch der Wirt sich Stunden nicht hatte blicken lassen, musste einer der sechs der Mörder sein. Wer sind Täter und Opfer, wenn folgendes bekannt ist:

Aus 4. folgt, dass A und E Onkel bzw. Neffe sind. Wegen 1. ergibt sich D ist George und damit wird nach 4. C zum Täter.
A ist Fred wegen 5. Damit wird 6. aber nur durch E und B erfüllt. Nach 3. gilt nun B heißt Frisky und E muss Tom sein Damit ist C, also der Täter, Allan Cunnuway und John Dalmas das Opfer. Warum hat er auch falsch gespielt, wo bei Mord ein noch größeres Verbrechen ist. Aber es war ja nur ein Traum.

Aufgabe 8:

Bernd unterhält sich mit seinem Vater. Irgendwie kommen sie auf seinen Freund Mike zu sprechen. Dieser hat noch drei Brüder. Das ist doch echt selten, dass bei vier Kinder alle Jungs bzw. Mädchen sind. Da die Chance für ein Mädchen und einen Jungen ja gleich sind, meint Bernd, dass die Anzahl der Mädchen und Jungen doch am ehesten gleich sein müsten. Also beispielsweise:
M, J, J, M.
Schreibe alle Möglichkeiten der Geburtsreihenfolge auf.
Hat Bernd recht oder ist die Möglichkeit, dass drei der vier Kinder das gleiche Geschlecht haben größer?
Zu erreichen sind 4 Punkte.

Einige Teilnehmer haben die Aufgabenstellung nicht im Sinne der Verteilung der Möglichkeiten bezogen auf viele Familien interpretiert. Es stimmt schon, dass das Geschlecht der bereits geborenen keinen Einfluss auf den Neuankömmling hat, also immer wieder die 50 Prozent Chance auftritt, aber die Fragestellung war halt doch anders.
Hier die Lösung von Hermann T.:
M = Mädchen
J = Junge

Aufgabe 9:

Eine Schnecke fällt in einen 10 Meter tiefen Brunnen und treibt auf dem Wasser. Sie erreicht den Rand und beginnt nach oben zu kriechen. Am Tag schafft sie so 4 Meter nach oben. In der Nacht rutscht sie während des Schlafes wieder drei Meter zurück. Unverdrossen probiert sie den Rand zu erreichen.
Am wie vielten Tagen erreicht sie den Rand?
Zu erreichen sind 3 Punkte.

Einige Teilnehmer sind bei ihren Überlegungen über die effektiven 1 Meter nicht hinausgekommen und haben so die Antwort mit 10 Tagen angegeben. Wenn aber nach 10 Tagen die 10 Meter Endstadium sein würden, so wären ja da am Tag die 13 Meter erreicht worden, nun ja mehr als einen Punkt gibt es dann dafür nicht.
Hier die Lösung von Christoph.
Sie beginnt am Tag 1 Schafft 4m, rutsch wieder in der Nacht 3m runter und ist auf 1m.
Tag 2 + 4m =5m - 3m = 2m.
3. Tag: von 2m auf 6m auf 3m.
4. Tag: von 3m auf 7m auf 4m.
5. Tag: von 4m auf 8m auf 5m.
6. Tag: von 5m auf 9m auf 6m.(h�tte sie es nur noch ein paar Stunden probiert... :-) )
7. Tag: von 6m auf 10m (na endlich)
Sie erreicht den Rand am 7. Tag.
Danke Christoph.

Aufgabe 10:

Bernd feiert seinen 10. Geburtstag. Seine Schwester ist genau so viele Jahre älter als er wie sein Bruder jünger ist als er. Mit anderen Worten, Bernd ist wirklich der Mittlere von den dreien. Wenn er die Quadrate der Lebensalter aller drei addiert erhält er 318.
Wie alt sind die drei Geschwister?
Zu erreichen sind 4 Punkte.

Nun viele haben probiert und einige haben eine Gleichung aufgestellt. Falsches war nicht dabei, prima.
Mit dem Altersunterschied b zum Bernd ergibt sich folgende Gleichung:
(10-b)² + 10² + (10+b)² = 318
100 -20b + b² + 100 + 100 + 20b + b² = 318
300 + 2b² = 318
2b² = 18
b²=9
b= 3 oder -3
Der Altersunterschied ist also 3 und damit ist der Bruder 7 und die Schwester 13.
Probe: 7² + 10² + 13² = 49 + 100 + 169 = 318

Aufgabe 11:

Bernd ist mit seinen Geschwistern und Eltern im Urlaub. Auf dem gleichmäßig dahin fließenden Fluss wird ein kleines Familienrennen organisiert. Bei den Probefahrten ergeben sich für die Besatzung Bernd und Anna - seine Schwester -, dass diese in einer halben Stunde 3 km schaffen, während die Mutter zusammen mit Christian es auf beachtliche 10 Kilometer in der Stunde bringen.
Da die Chanchen so unterschiedlich sind wird es dann doch eher ein Ausflug als ein echtes Rennen.
Anne und Bernd bekommen 6 Kilometer Vorsprung. Wieviel Kilometer holen Christian und seine Mutter in einer halben Stunde auf? (2 Punkte)
Wie lange dauert es bis das erste Boot eingeholt wird und wie viel Kilometer war die Wasserwanderung lang, wenn sie mit dem Einholen endet?(3 Punkte)
Zu erreichen sind insgesamt 5 Punkte.

Die Angabe der Kilometer bezogen auf die Stunde bzw. halbe Stunde führte nur einmal zur Verwirrung, sonst war das allen Teilnehmern klar.
Das Boot mit Vorsprung schafft in der halben Stunde 3 km, das Verfolgerboot 5 km, also holen diese in einer halben Stunde 2 Km auf. Daraus folgt, dass die 6 km Vorsprung nach 1,5 Stunden ausgeglichen werden. Die Bootstour ist also nach 15 km zu Ende. Das Verfolgerboot braucht also 1,5 Stunden, während das andere Boot 2,5 Stunden unterwegs war, wenn man davon ausgeht, dass sie ihren Vorsprung selber erpaddelt haben und nicht einfach nur 6 km weiter einsetzten.

Aufgabe 12:

Bernd und Ines wollen sich von ihrem gemeinsamen Taschengeld ein Fahrrad kaufen. Sie gehen in einen Second-Hand-Shop und fragen, was sie für 50 Euro kriegen können. Der Verkäufer bietet den beiden gleich ein Fahrrad zu diesem Preis an. Die beiden zahlen und verlassen den Laden. Dann bekommt der Verkäufer ein schlechtes Gewissen, da es eine ziemlich alte Mühle war, an der nicht mal das Licht geht. Also will er den beiden 5 Euro zurückerstatten. Er schickt seinen Angestellten los, den beiden zu folgen und ihnen die 5 Euro noch zu geben. Der Angestellte fühlt sich aber chronisch unterbezahlt und steckt davon erst mal 2 Euro in die eigene Tasche. Er erwischt die beiden noch und gibt jedem 1,50 Euro zurück mit den besten Grü�en vom Chef. Was ein ordentlicher Mathematiker ist, der macht erst mal die Probe, ob auch alles stimmt: Bernd und Ines haben ursprünglich jeder 25 Euro gezahlt. Nun bekamen sie 1,50 Euro zurück, d.h. sie bezahlten nur 23,50 Euro. wenn man nun die 23,50 von Bernd mit den 23.50 von Ines addiert, erhält man 47 Euro. Addiert man nun noch die zwei Euro des Angestellten, fehlt aber ein Euro bis zum Ausgangswert von 50 Euro.
Frage: Wer hat den Euro??
Zu erreichen sind 5 Punkte.

Was ein ordentlicher Mathematiker ist, der macht erst mal die Probe, ob auch alles stimmt. Nun dann machen wir das mal.
Ein kleiner Logikfehler ist es, der hier die Frage aufkommen lässt.
Von den 47 Euro, die Bernd und Ines letzt endlich bezahlen, hat der Verkäufer 45 (50 Euro vorher - 5 Euro zurück) in seiner Kasse und sein Angestellter hat die 2 Euro. Es fehlt also kein Euro, sondern die Überlegung mit der Addition der 2 Euro zu den 47 Euro war falsch.

Auswertung

Serie 3

aktuelle Wochenaufgabe

Aufgabe der Woche

exercice de maths de la semaine, math problem of the week, problema di matematica della settimana, सप्ताह के गणित समस्या, математическая задача недели, Ejercicio de matemáticas semanal, 今週の数学問題, בעיה מתמטית של השבוע, مشكلة الرياضيات الأسبوع, 这个周的数学问题, Haftanın matematik problemi, temporäre Problem vun der Woch, μαθηματικό πρόβλημα της εβδομάδας, math tatizo la wiki, 這個週的數學問題,

Jede Woche wird freitags eine neue Aufgabe auf dieser Seite zur Verfügung gestellt.
Die Aufgabenlösung ist bis spätestens zum darauf folgenden Donnerstag zu übermitteln.
Die Aufgaben haben unterschiedliche Schwierigkeitsgrade (blau einfacher, rot komplexer) und werden bei vollständiger Beantwortung - nur die Angabe der Lösung reicht nicht - mit je 2 bis 12 blauen oder eben roten Punkten bewertet.
Eine Serie umfasst 12 Aufgaben, danach stehen die Etappensieger fest.
Die jeweils erreichte Punktzahl wird --> hier <-- veröffentlicht.
Es werden pro Serie 3 Buchpreise verlost. Diese werden unter den Teilnehmern ausgelost, die in der Gesamtwertung der Serie auf den Plätzen 1 bis 10 liegen. Die Buchpreise stellt der Buchdienst Rattei aus Chemnitz zur Verfügung.

Lösungen bis zum 02.05.2024 an wochenaufgabe[at]schulmodell.eu oder wochenaufgabe[at]gmx.de

Serie 66

Aufgabe 5

785. Wertungsaufgabe

„Das sieht aber gut aus.“, sagte Bernd zu seiner Schwester. „Ja, das gefällt mir auch. Ich habe ein kleines gleichseitiges Dreieck ABC (a = 1 cm) gezeichnet. Dann habe ich überlegt, welche gleichgroßen, regelmäßigen n-Ecke das Dreieck vollständig umschließen können, so dass die n-Ecke (rot) sich an jeweils einer Kante berühren. So habe ich dann die drei Zwölfecke konstruiert.“ „Toll.“
Wie groß ist der Umfang des 27-Ecks? 2 blaue Punkte. Wie groß ist der Flächeninhalt der Figur? 4 blaue Punkte
Welche regelmäßigen n-Ecke gibt es noch, die sich durch einen „Ring“ von regelmäßigen n-Ecken - wie bei der blauen Aufgabe - umschließen lassen? 6 rote Punkte.

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Ansonsten kann die Abgabe der Aufgabe auch --> hier <-- erfolgen. Bitte beim Formular auf den vollständigen Namen achten, damit die Punktevergabe korrekt erfolgen kann. Wer die Aufgabe regelmäßig automatisch erhalten möchte, kann

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http://www.wurzel.org/   Alle vier Wochen erscheint hier eine unserer Wochenaufgaben, aber natürlich noch viel mehr.

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https://www.spektrum.de/raetsel/ Die Aufgaben von Professor Hemme

Serie-2

Aufgabe 1:

Aufgabe 2

Aufgabe 3:

Aufgabe 4:

Aufgabe 5:

Aufgabe 6:

6.1: Altersaufgabe: Ein Mann antwortet auf die Frage nach seinem Alter so: Meine Mutter war vor vier Jahren doppelt so alt wie ich jetzt bin. Mein Vater wird in fünf Jahren doppelt so alt sein, wie ich dann sein werde. Addiert man die momentanen Lebensalter, so sind wir drei zusammen 109 Jahre. Wie alt sind Mutter, Vater und Sohn jetzt?
Zu erreichen sind 4 Punkte.

V - Vater, M - Mutter, S - Sohn Daraus lässt sich das Gleichungssystem aufstellen:

1. M -4 = 2S
2. V + 5 = 2(S + 5)
3. M + V + S = 109

1. M = 2S +4
2. V = 2S +5

6.2: Gib Name, Haarfarbe, Körpergröße und Platzierung eines 100 m Laufes an.

1. Die Namen sind Axel, Bernd und Christoph.
2. Die Haarfarben sind blond, rot und schwarz.
3. Die Körpergrößen sind 162 cm, 164 cm und 165 cm.
4. Wenn Axel schwarzes Haar hat, so ist Christoph nicht der Sieger.
5. Der Sieger ist blond und größer als Bernd.
6. Der 3. hat schwarzes Haar.
7. Axel ist kleiner als Bernd.

Lösung

Aus 1, 3, 5 und 7 folgt Christoph ist blond, 165 cm groß und Goldmedaillengewinner, Bernd ist 164 cm groß und Axel ist 162 cm groß.
Aus diesen ersten Erkenntnissen folgt aus 4., dass Axel rote Haare hat und so muss Bernd schwarze Haare haben.
Wegen 6. Bernd dann der 3., so dass Axel den zweiten Platz belegt
Zusammenfasung:

1. Christoph, blond, 165 cm
2. Axel, rot, 162 cm
3. Bernd, schwarz, 164 cm

Aufgabe 7

Da ich gerne Karten spiele lud ich mir 4 Mädchen ein. Anna, Britta, Cecil und Doreen. Jede brachte noch ihren Bruder mit. Da ich in der Küche zu tun hatte, haben die 8 alle 32 Karten des Spiels schon mal aufgeteilt.
Anna hatte eine, Britta hatte zwei, Cecil hatte drei und Doreen hatte vier Karten. Ralf Müller hatte soviele Karten wie seine Schwester, Steffen Fischer hatte doppelt so viele Karten wie seine Schwester, Thomas Schmidt sogar dreimal so viele wie seine Schwester und Ulf Müller genau vier mal so viele wie seine Schwester.
Finde die Geschwisterpaare heraus.

Zu erreichen sind 6 Punkte.

Anna und Thomas Schmidt
Britta und Ulf Müller
Cecil und Ralf Müller
Doreen und Steffen Fischer

Aufgabe 8

Welches ist die kleinste natürliche Zahl, die alle 10 Ziffern genau einmal enthält?
Zu erreichen sind 2 Punkte.

Die einfache Form 0123456789 entfällt, da die ja eigentlich nur 9-stellig ist. So ergibt sich als echte Lösung: 1023456789

Aufgabe 9

Hier nun der Klassiker der Klassiker:
Diese Aufgabe stammt aus dem 9. Jahrhundert.
Ein Mann kommt mit einem Wolf, einer Ziege und einem Kohlkopf an einen Fluss. Dort findet er ein kleines Boot vor, mit dem er jeweils nur den Wolf, die Ziege oder Kohlkopf transportieren kann. Er überlegt: Den Wolf kann er mit der Ziege nicht allein lassen, ebenso wenig ist es möglich, die Ziege und den Kohlkopf ohne Aufsicht zu lassen. Da die nächste Brücke viel zu weit entfernt ist, muss er das Boot zum Übersetzen benutzen.
Gib eine Möglichkeit an, wie der Mann mit möglichst wenig Fahrten, Wolf, Ziege und Kohlkopf verlustfrei zum anderen Ufer schaffen kann.
Zu erreichen sind 5 Punkte.

Vorschläge wie Kohlkopf auf dem Wasser treiben lassen oder ihn einen Rucksack zu tun entsprachen nicht der Aufgabenstellung.
Das Hauptproblem ist die Ziege, da diese nicht mit dem Wolf und dem Kohlkopf alleine gelassen werden kann.
Mögliche Lösung:
1. Fahrt: Ziege zum anderen Ufer.
2. Fahrt: Leerfahrt zurück.
3. Fahrt: Kohlkopf zum anderen Ufer
4. Fahrt: Ziege zurück.
5. Fahrt: Wolf zum anderen Ufer.
6. Fahrt: Leerfahrt zurück.
7. Fahrt: Ziege zum anderen Ufer.
Alle Dinge sind jetzt am anderen Ufer. Mögliche andere Lösungen sind nicht mit weniger Fahrten machbar.

Aufgabe 10

Das Jahr 1989 war ein sehr wichtiges Jahr der jüngeren Geschichte.
Aber auch mathematisch lässt sich sich mit den Ziffern viel anfangen. Die vier Ziffern sollen genau einmal und das in der Reihenfolge 1 9 8 9 zur Berechnung verwendet werden. Es sind die Grundrechenarten, das Setzen von Klammern, das Quadratwurzelziehen (kurz Wurzel), Fakultät und das Potenzieren erlaubt.
Beispiele:
14 = - 1 - 9 + 8 ^. Wurzel(9)
23 = -1⁹ + 8 ^. Wurzel(9)
36 = 19 + 8 + 9
65 = (1 + Wurzel (9)!) ^. 8 +9 und
70 = -19 + 89 und
Finde je eine Darstellung für: 7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97
Für jede Darstellung gibt es einen Punkt. Es sind also 10 Punkte möglich.

War wohl nicht ganz so einfach. Hier ist nun jeweils eine Möglichkeit angegeben:
  7 = - 1 - 9 + 8 + 9
17 = 1 ^{9 .} 8 + 9
27 = 1 + 9 + 8 + 9
37 = (- 1 + Wurzel(9)!) ^. 8 - Wurzel(9)
47 = (1 + Wurzel(9)!) ^. 8 - 9
57 = 1 ^. Wurzel(9)! ^. 8 + 9
67 = (- 1 + 9) ^. 8 + Wurzel(9)
77 = (1 + 9) ^. 8 - Wurzel(9)
87 = 1- Wurzel(9) + 89
97 = -1 +9 + 89

Aufgabe 11

Mal was Schnelles für zwischendurch.
Wieviel Minuten sind es bis 8.00 Uhr, wenn es vor 50 Minuten genau viermal soviel Minuten nach 5 Uhr war?
Zu erreichen sind 3 Punkte.

Die Aufgabe war wohl nicht für alle Beteiligten so leicht, aber okay. Hier nun ein Lösungsansatz.
Es fehlen x Minuten bis 8.00 Uhr, dann 50 Minuten zurück und nun sind es noch 4x Minuten bis 5.00 Uhr, da es von 5 bis 8 Uhr 180 Minuten sind ergibt sich:
x + 50 + 4x = 180 | -50
5x = 130 | : 5
x = 26
Es sind noch 26 Minuten bis 8.00 Uhr also ist es 7.34 Uhr.

Aufgabe 12

Grundwissen in schriftlichen Multiplikation ist gefragt:
x steht für irgendwelche fehlenden Ziffern

Zu erreichen sind 5 Punkte.

Der erste Faktor ist leicht aus dem zweiten Teilergebnis zu ermitteln.
912 : 2 = 456 (Die Angabe der 4 an dieser Stelle wäre also nicht notwendig gewesen, aber nun ja.)
Wegen der 8 an der letzen Stelle im Ergebnis, kommt für die letzte Stelle des zweiten Faktors nur die 3 oder 8 in Frage. (6 ^. 3 = 18 bzw. 6 ^. 8 = 48)
Das erste Teilergebnis wäre dann 1368 bzw. 3648. Da als vorletzte Stelle die 4 vorgegeben ist fällt die 3 aus und der zweite Faktor heißt jetzt. x28.
Das letzte Teilergebnis hat eine 3 an der Hunderterstelle. Gesucht ist also eine einstellige Zahl z, so dass z ^. 456 = x3xx ist. Durch Probieren lässt sich zeigen, dass nur z = 3 die Bedingung erfüllt. Damit ist die Aufgabe vollständig gelöst und gezeigt es gibt nur die eine Lösung.

Serie-1

Serie 1
Aufgaben und Lösungen Aufgabe 1: Wie viele Möglichkeiten einen 50-Euro Schein in Euroscheine zu wechseln gibt es? Lösung Hier hilft systematisches Probieren. Z - steht für 20 z - steht für 10 f - steht für 5
1. Z + Z + z
2. Z + Z + f + f
3. Z + z + z + z
4. Z + z + z + f + f
5. Z + z + f + f + f + f
6. Z + f + f + f + f + f + f
7. z + z + z + z + z
8. z + z + z + z + f + f
9. z + z + z + f + f + f + f
10. z + z + f + f + f + f + f + f
11. z + f + f + f + f + f + f + f + f
12. f + f + f + f + f + f + f + f + f + f
Also gibt es 12 Möglichkeiten.

Aufgabe 2: Fünf Läufer laufen gegen einander. Wie viele Möglichkeiten für den Zieleinlauf gibt es? Lösung Es handelt sich um eine Permutation. Es geht also darum, Elemente - Läufer - in einer Reihe zu ordnen. Für den ersten gibt es 5 Möglichkeiten - (n) -, wenn dieser feststeht, bleiben für den zweiten Platz noch 4 Möglichkeiten - (n-1) -, d.h. 5 mal 4 Möglichkeiten, für den 3. Platz bleiben noch 3 - (n-2) - Möglichkeiten, d.h. 5 mal 4 mal 3 Möglichkeiten usw. Damit ergibt sich eine Anzahl von 120 Möglichkeiten. (5!=5.4.3.2.1) Bei nur einem Läfer mehr sind dies dann schon 720 Möglichkeiten. Die Zahl wächst sehr schnell an.

Aufgabe 3: Peter hat eine Gruppe von Schülern überredet eine Radtour zu machen. Damit die Mitfahrer nicht erschrecken, fängt er harmlos an und steigert dann jeden Tag die Strecke um 20 km. Am neunten Tag haben Sie das Ziel ihrer Rundreise erreicht und damit sagenhafte 1170 km zurück gelegt. Wie lang sind die erste und die letzte Etappe? - zu erreichen sind 4 Punkte PS.: Lasst Euch nicht von Peter einwickeln. Lösung Musterlösung von Nifi: x steht für die Länge ersten Etappe: x+(x+20)+(x+40)+(x+60)+(x+80)+(x+100)+(x+120)+(x+140)+(x+160)=1170 9x+720=1170 9x=450 x=50 Damit ergibt sich als Lösung: Die erste Etappe ist 50 Kilometer, die letzte 210 Kilometer lang.

Aufgabe 4: Gesucht sind zwei natürliche Zahlen. Werden die beiden Zahlen addiert, so ergibt sich als Summe die 545. Lässt man bei der einen Zahl die letzte Ziffer weg, so erhält man die zweite Zahl. Wie heißen die beiden Zahlen? - zu erreichen sind 4 Punkte Lösung Man kann die Lösung durch systematisches Probieren finden. Berechnen ginge beispielsweise so: a sei die kleinere Zahl und die b die letzte Ziffer der anderen Zahl, dann gilt: (10a + b) + a = 545 11a + b = 545 Teilt man nun 545 durch 11, ergibt dies 49 Rest 6. Also gilt: 11 . 49 + 6 = 545 Durch Vergleich mit der ersten Gleichung sieht man die Lösung jetzt sofort: Die eine Zahl heißt 496, die andere 49.

Aufgabe 5: Hans Blond erhält einen gefährlichen Auftrag. Er muss die Welt retten - wie immer - und dazu muss er den Code zum Abschalten des atomaren Infernos herrausbekommen. Nach vielen überwundenen Hindernissen dringt er in den Raum mit dem Abschaltmechanismus ein. Es ist genau 16.00 Uhr und in diesem Moment erkennt er, dass er nur noch eine kurze Zeitspanne zur Verfügung hat. Das Inferno beginnt, wenn die Zeiger der gepanzerten Uhr genau übereinander stehen. Wann stehen die Zeiger genau übereinander? - zu erreichen sind 5 Punkte. Wer begründet, dass er mindestens 15 Minuten Zeit hat, kann für die Teillösung 2 Punkte erhalten. Lösung Die Teillösung, dass er mindestens 15 Minuten Zeit hat war elementar, denn der kleine Zeiger war ja selbst um 16.00 Uhr schon weiter. Der Weg in Grad, den die Zeiger zurück legen müssen, lässt sich mit s = v . t berechnen. t ist dabei die gesuchte Zeit. vg = 360° / 60 min und vk = 30° / 60 min Beide Zeiger treffen sich bei: sg = vg . t bzw. sk = vk . t + 120° Daraus folgt: vg . t = vk . t + 120° bzw. 360° / 60 min . t = 30° / 60 min . t + 120° Diese Gleichung aufgelöst nach t ergibt: t = 21 9/11 min. das sind 21 Minuten 49 1/11 Sekunden. Da wird unser Hans Blond sich wohl 21 Minuten 49 Sekunden Zeit lassen.

Aufgabe 6: Auf dem Weg nach Süden treffen sich Störche an einem See in Spanien. Wie lange benötigen 100 Störche, um 100 Frösche zu fangen, wenn 5 Störche 5 Minuten brauchen, um 5 Frösche zu fangen? - zu erreichen sind 2 Punkte. Lösung Nun die Lösung der Scherzaufgabe war nicht schwer. Aus dem zweiten Teil der Aufgabe geht hervor, dass ein Frosch 5 Minuten braucht für einen Frosch, also schaffen 100 Störche es auch in fünf Minuten.

Aufgabe 7: Einem Wirt geht am Sonntag sein 1 Liter Maßkrug kaputt, er kann also keinen Ersatz besorgen. Er hat nur noch seinen 3 und seinen 5 Liter Krug. Wie kann er trotzdem seinen Gästen 1 Liter Wein in einer Karaffe anbieten? - zu erreichen sind 3 Punkte. Lösung Wenn man die Lösung sieht, sagt man das ist ja einfach, aber ... Der Wirt füllt den 3-Liter Krug und gießt dessen Inhalt in den 5-Liter Krug. Dann füllt den 3-Liter Krug noch einmal und gießt dessen Inhalt vorsichtig in den 5-Liter Krug. Da dort schon 3 Liter drin sind, passen nur noch 2 Liter hinein, also bleibt im 3-Liter Krug genau noch ein Liter übrig.

Aufgabe 8: Sokrates ist im Streitgespräch mit einem reichen Mitbürger. Dieser behauptet, dass die Methode von Sokrates durch Nachfragen zum Ziel zu kommen bei einfachen Sklaven versagt. Sokrates stellt dem anwesenden jungen Mundschenk folgende Frage: Wie lässt sich die Fläche eines Quadrates konstruktiv verdoppeln? Erste spontane Antwort: "Ich verdoppele die Seitenlänge". Diese Anwort weist Sokrates geschickt zurück und bringt den Mundschenk nach kurzer Zeit zur richtigen Lösung. Wie würdest du vorgehen (2 Punkte) und warum (2 Punkte)? Lösung Die Lösung des Sokrates kann man dem Bild entnehmen. Das Originalquadrat ist das Innere, welches aus 4 Dreiecken besteht, das große Quadrat, dessen Kantenlänge der Diagonalen des kleinen Quadrates entspricht umfasst dann insgesamt 8 Teildreiecke. Eine weitere Begründung lässt sich mittels der Formel für die Diagonale herleiten. Die Aufgabe war wohl nicht so leicht beschreibbar, denn es gab nur eine richtige Antwort.

Aufgabe 9: Gegeben ist dieses Feld aus 7 mal 7 Feldern:

 Finde eine Lösung, bei der in jeder Zeile, jeder Spalte und in den Hauptdiagonalen, die Zahlen von 1 bis 7 genau einmal vorkommen. Wird die Hauptdiagonalbedingung nicht eingehalten gibt es 4 Punkte, sind alle Bedingungen erfüllt, sind diesmal 7 Punkte möglich. Lösung

Eine mögliche vollständige Lösung ist:

Aufgabe 10: Im Lehrerzimmer treffen sich früh 15 Lehrer. Jeder gibt jedem die Hand - sind ja höfliche Menschen -. Wie oft werden dabei Hände geschüttelt? Zu erreichen sind 3 Punkte. Lösung Jeder der 15 Lehrer gibt 14 mal einem anderen die Hand. Rechnet man nun 15 mal 14 gleich 210 ist zu berücksichtigen, dass bei dieser Berechnung jedes Handgeben doppelt gezählt wird. (A B und B A). Deshalb ist 210 zu halbieren. Es werden also 105 mal die Hände gegeben.

Aufgabe 11: Ein Schwan trifft auf einen Zug Wildgänse. He ihr seid ja wohl 100 rief er aus. Falsch mein Lieber schnatterte die Obergans. Wenn wir noch einmal so viele wären wie wir sind und dann noch einmal Halb so viele und ein Viertel mal so viele und du dazu, erst dann sind die 100 erreicht. Aber du Schwan wirst wohl nun heraus bekommen, wie viele wir wirklich sind. Zu erreichen sind 4 Punkte. Lösung Ich bezeichne die Anzahl der Wildgänse in dem Zug mit z. Dann gilt: z + z + z/2 + z/4 +1 = 100 | -1 11/4 z = 99 | : 11/4 z = 36 Es sind also 36 Wildgänse gewesen. Der Schwan lag ziemlich daneben.

Aufgabe 12: KERZE Immer wieder stehen die Leute vor der Frage, wie lassen sich die Kerzenbrennzeiten und der Kerzenverbrauch optimieren für den Adventskranz optimieren? Vor kurzem stand in der Zeitung ein recht brauchbarer Vorschlag wie das Problem recht optimal geöst werden könnte. Die Idee ist wie fast immer recht simpel, aber man muss eben drauf kommen? Es werden 5 (!) gleiche Kerzen insgesamt eingesetzt. Wie muss man vorgehen, damit an jedem Adventsonntag, die entsprechende Zahl von Kerzen brennt und die Brenndauer an jedem Sonntag gleich ist? Zu erreichen sind 6 Punkte. KERZE Lösung Wenn man an jedem Advent die Kerzen vollständig abrennen lassen würde bräuchte man 10 Kerzen. Da bloß 5 zur Verfügung stehen, ergibt sich pro Sonntag eine Brenndauer einer halben Kerze. Die Kerzen werden mit A, B, C, D und E bezeichnet: 1. Advent: Kerze A 2. Advent: Kerzen A und B. Kerze A ist damit herunter gebrannt und wird durch Kerze E ersetzt. 3. Advent: Kerzen C, D und E (auch wenn B einen angebrannten Docht hat.) 4. Advent: Kerzen B, C, D und E Das Fest kann kommen

Auswertung

Serie 1