Serie-27
Serie 27
Aufgabe 1
313. WertungsaufgabeZu Opas Geburtstagsfeier hat Bernds Mutti die lange nicht benutzten Zauberschachteln geputzt und mit Kugeln gefüllt. "Zauberschachteln?", fragt Lisa, die diese zum ersten Mal sieht, nach. "Die sollten besser Logikschachteln heißen", schmunzelte Bernds Mutti, "denn ähnlich dem Mastermind gilt es herauszufinden, was in den Schachteln ist."
Es sind fünf Schachteln von links nach rechts eine weiße mit einer 11 drauf, eine schwarze mit einer 4, eine rote mit einer 7, eine blaue mit einer 16 und eine grüne mit einer 17.
In jeder Schachtel sind genau zwei Kugeln drin, die von 1 bis 10 durchnummeriert sind. Die Zahl auf der Schachtel gibt die Summe der Zahlen an, die auf den in den Schachteln versteckten Kugeln stehen. Wie lauten die Nummern in den einzelnen Schachteln? 4 blaue Punkte.
Es geht noch weiter. Die Kugeln gibt es in den selben Farben wie sie auch die Schachteln haben -- von jeder Sorte genau zwei.
1. In keinem Fall stimmen Schachtelfarbe und Kugelfarbe überein.
2. In der weißen oder der schwarzen Schachtel sind eine rote und eine grüne Kugel zusammen drin.
3. In der blauen Schachtel ist eine schwarze Kugel drin.
4. Es gibt eine Schachtel mit einer weißen und einer blauen Kugel.
5. In der schwarzen Schachtel findet man eine grüne und eine blaue Kugel.
6. In der roten Schachtel ist keine blaue Kugel.
Wo ist was drin? 4 rote Punkte.
Lösung:
Hier die Lösungsvariante von Doreen N., danke.
blau:
-in schwarzer Schachtel mit der Zahl 4 müssen Kugeln 1 und 3 sein, da keine andere Zahlenkombination möglich
-in roter Schachtel mit der Zahl 7 müssen Kugeln 2 und 5 sein, da sonst nur noch 3+4 möglich und die 3 ist bereits für schwarz benutzt
-in weißer Schachtel mit der Zahl 11 müssen Kugeln 4 und 7 sein, da 1, 2, 3 und 5 schon anderweitig benutzt wurden
-übrig bleiben die Kugeln 6 und 10 für die blaue und die Kugeln 8 und 9 für die grüne Schachtel
=> weiß: 11=4+7
schwarz: 4=1+3
rot: 7=2+5
blau: 16=6+10
grün: 17=8+9
rot:
-nach 3. in blauer Schachtel 1 schwarze Kugel und nach 5. in schwarzer Schachtel 1 grüne+1 blaue Kugel
-nach 2. muss in weißer Schachtel 1 rote+1 grüne Kugel, da der Inhalt der schwarzen Schachtel bekannt ist
-nach 6. muss die zweite blaue Kugel in grüner Schachtel sein, da sie nicht in roter (nach 6.)und blauer (nach1.) ist
-nach 4. kommt in die grüne Schachtel zu der blauen eine weiße Kugel
-die zweite rote Kugel muss in blauer Schachtel sein, da sonst nur noch rote Schachtel übrig (nach 1. nicht erlaubt)
-übrig bleiben 1 weiße + 1schwarze Kugel für die rote Schachtel
=> weiße Schachtel: 1 rote + 1 grüne Kugel
schwarze Schachtel: 1 blaue + 1 grüne Kugel
rote Schachtel: 1 weiße + 1 schwarze Kugel
blaue Schachtel: 1 rote + 1 schwarze Kugel
grüne Schachtel: 1 blaue + 1 weiße Kugel
Aufgabe 2
314. Wertungsaufgabe
"Hallo Mike, schau mal, ich habe hier einen recht ungewöhnlichen Bruch: {tex} \frac{503}{504}{/tex}". "Was ist an dem ungewöhnlich?" Nun, er ist die Summe von drei Brüchen, deren Nenner alle teilerfremd sind und die Zähler einen "direkten Bezug" zur Aufgabennummer haben. Wie heißen die drei Brüche? 3 blaue Punkte. "Kannst du eigentlich noch die Stammbruchumwandlung?" Du meinst diese ägyptische Bruchrechnung, die auf der Homepage beschrieben ist?". "Genau." Wie sieht die Zerlegung des Bruches {tex} \frac{503}{504}{/tex} in eine Summe von Stammbrüchen aus? - 4 rote Punkte.
Lösung:
blau: Die drei gesuchten Brüche sollen teilerfremd sein. Damit ist die 504 also das kleinste gemeinsame Vielfache von drei teilerfremden Zahlen. Die Primfaktorenzerlegung von 504 ist 2*2*2*3*3*7. Diese Zerlegung enthält drei verschieden Primzahlen, die wegen der Teilerfremdheit nicht "gemischt werden dürfen. Als sind die gesuchten Nenner 2³ = 8, 3² = 9 und 7. Geordnet 7, 8 und 9. Es gilt also zu folgendes untersuchen: {tex} \frac{x}{7} + \frac {y}{8} + \frac {z}{9} = \frac{503}{504}{/tex}
Macht man die Brüche gleichnamig so erhält man: {tex} \frac{72x}{504} + \frac {63y}{504} + \frac {56z}{504} = \frac{503}{504}{/tex}.
Gesucht wären also ganzzahlige Lösungen der Gleichung 72x + 63y + 56z = 503. Da gibt es letztlich unendlich viele. Nun gibt es aber noch den Hinweis mit dem Bezug Nenner und Aufgabenzahl 314 - eine kleine Hommage an {tex}\Pi{/tex}. Die Zahlen 3 1 und 4 den Nenner zuzuordnen geht auf 6 verschiedende Arten. Probiert man die durch, so verbleibt:{tex} \frac{3}{7} + \frac {1}{8} + \frac {4}{9} = \frac{503}{504}{/tex}
rot: Den Bruch in eine Summe von Stammbrüchen zu zerlegen, ist nicht nur auf eine Art und Weise möglich. Das System der ägytischen Bruchrechnung leifert folgende Variante:
{tex}
\begin{array}{rcl}\frac{503}{504}&=&\frac{503}{1006} + \frac{503}{504} - \frac{503}{1006}\\
&=&\frac{1}{2} + \frac{251}{504} \\
&=&\frac{1}{2} + \frac{251}{753} + \frac{251}{504} - \frac{251}{753}\\
&=&\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{83}{504}\\
&=&\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{83}{581} + \frac{83}{504} - \frac {83}{581}\\
&=&\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{11}{504}\\
&=&\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{11}{506}+ \frac{11}{504} - \frac{11}{506}\\
&=&\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{46}+ \frac{1}{11592}
\end{array}
{/tex}
Zerlegung in Stammbrüche gefunden.
Den Nachweis, dass diese Methode der Zerlegung endlich ist, überlasse ich dem geneigten Leser.
Aufgabe 3
315. Wertungsaufgabe"Hallo Mike, was hast du denn da?", fragt Bernd. "Das sind Denksportkarten. Die hat mir mein Lehrer mal ausgeliehen. Es gibt verschiedene Schwierigkeitsstufen." "Dürfen wir mal ein Beispiel zeigen?" "Ich denke schon." Nehmen wir ein Tierrätsel: Unter einem Adler steht die Zahl 0104120518.
Welche Zahl steht dann unter dem Pferd. Kleiner Tipp die Zahl ist genau so lang wie beim Adler und beginnt mit einer 1 und endet auf 4. (4 blaue Punkte)
Hier noch ein zweites Beispiel: In der Zeit von vorgestern bis übermorgen liegen so viele Tage wie von Sonntag bis zum gesuchten Tag. Welcher Tag ist morgen, wenn es in drei Tagen fünf Tage nach dem gesuchten Tag sein wird? (4 rote Punkte)
Lösung:
blau: Dem Adler wird eine Zahl zugeordnet. Es könnte also eine "Chiffre" sein. Das einfachste A = 1, B = 2, ... Cool, das passt. Es werden lediglich die führenden Nullen mit geschrieben. Beim Pferd ist der letzte Buchstabe d - das wäre also 04. Auch dass passt mit dem Hinweis Pferd endet auf 4 überein. Zählt man das Alphabet bis zum jeweiligen Buchstaben durch wird Pferd zu 1606051804.
rot: Vorgestern bis übermorgen = 5 Tage Fünf Tage von Sonntag ...... Donnerstag.
Zweiter Tei ähnlich einfach Morgen ist dann Sonntag.
Quelle der Aufgaben Denksportkarten TOPASS giga IQ
Aufgabe 4
316. WertungsaufgabeAls Mike zu Bernd ins Zimmer tritt, sieht er 4 Holzquader auf dem Tisch. "Was willst du denn damit?" "Diese Quader -- wie du siehst, sind alle gleich groß (4 cm x 6 cm x 10 cm) und wiegen jeweils 192 Gramm. In drei der Quader soll ein "quadratisches" Loch durchgebohrt werden - zentriert und jeweils 2 cm groß." "Ach, ich verstehe, ich vermute mal, dass die Löcher jeweils durch die unterschiedlich großen Seiten verlaufen sollen." "Genau." Wie schwer sind die jeweils herausgebohrten Teile? (3x2=6 blaue Punkte.) Wie schwer ist der Abfall, wenn man in dem vierten Quader alle 3 Bohrungen vornimmt. (3 rote Punkte) Noch mehr rote Punkte kann man erhalten, wenn man statt der rausgebohrten Quader drei Zylinder mit d = 2 cm verwendet, die alle aus einem 5. Holzquader gebohrt werden sollen.
Lösung:
Hier die Lösung von Jürgen Urbig, danke.
als pdf
Aufgabe 5
317. Wertungsaufgabe"Lisa, ist das dein Spickzettel für deinen Vortrag, der ist so winzig?", fragte Maria. "Nicht wirklich, der ist so klein, weil dort die größte Zahl drauf steht, die mit drei Ziffern geschrieben werden kann." Welche Zahl steht auf dem Zettel von Lisa? 2 blaue Punkte. Wie viele Stellen hat wohl diese Zahl drei rote Punkte. Noch mehr rote Punkte gibt es, wenn jemand die letzten 10 Ziffern der Zahl angibt.
Lösung:
Die Ziffern der gesuchten Zahl sind 9 9 9, aber die Zahl 999 ist es nicht, sondern: {tex}9^{9^9}{/tex}
Um Missverständnisse zu vermeiden setze ich mal noch Klammern {tex}9^(9^9){/tex}.
Gibt man 9^9^9 in den Taschenrechner ein, so rechnet der allerdings {tex}(9^9)^9{/tex}
Ein paar Größenordnungen als Vergleich:
(99)9 = 1,966 .. * 1077
999 = 2,9512 * 1094
Bei der größten Zahl aber wird der Faktor 9 sagenhafte 387420489 mal miteinander multipliziert.
Die Zahl hat 369.693.100 Ziffern - lässt mittels Logarithmengesetz ermitteln.
In dem in der nächsten Aufgabe genannten Buch kann man noch die ersten und letzten Stellen finden:
Die ersten Ziffern: 428124773175747028036987115930563521339055...
die letzten Ziffern: ...681422627177289
Die Quelle dafür ist (also wie man darauf kommt) Chr. Weiss, "Hu", Tallet {tex}9^(9^9){/tex} og Endecifrene i Potenser af 9, Matematisk Tidsskrift A 1941, S. 63 ff.
Falls jemand diese Zeitschrift hat - ich würde mich über eine Kopie freuen.
Eine englische Version des Artikel gefunden von J. Urbig, danke --> als pdf <--
Aufgabe 6
318. WertungsaufgabeLisa hat das Büchlein " Riesen und Zwerge im Zahlenreich" vor sich liegen. "Ach, daher war wohl deine Aufgabe der letzten Woche?", fragte Mike. "Stimmt. Aus diesem Buch stammt -- leicht abgewandelt - auch diese Problemstellung: Mal angenommen, der Bodensee friere komplett zu und alle Menschen Europas -- Russland komplett gerechnet -- würden dieses Ereignis sehen wollen und dorthin fahren. Passen alle Menschen auf das Eis, wenn man bequem steht, also mit 3 Leuten pro Quadratmeter rechnet. (5 blaue Punkte wegen der notwendigen Recherche) Bleiben wir mal noch bei großen Zahlen. Wie groß wäre ein Goldwürfel, dessen Masse genau so groß wäre wie die Masse der Weltbevölkerung (rund 7 Mrd. Menschen), wenn -- wegen der vielen Kinder -- von 48 Kilogramm pro Person ausgegangen wird? 3 rote Punkte.
Lösung:
Blau. Es gibt verschiedene Ansätze. So haben viele Einsender die Einwohnerzahl(en) ermittelt. Diese liegt bei rund 770.000.000. Der Bodensee hat eine ein Fläche von ca. 536 km². Umgerechnte in m² sind das 536.000.000 m³. Wenn man mit 3 Personen pro m² rechnet, dann passen mehr als die doppelte Anzahl aller Europäer auf den Bodensee - das ist schon erstaunlich.
rot: Masse der Erdbevölkerung: 48 * 7 Mrd = 336.000.000.000 kg. Die Dichte des Goldes beträgt 19,32 g/cm³ = 19,32 kg/dm³ = 19320 kg/m³
Das Volumen des Würfels ergibt sich dann mit V = Masse : Dichte mit 17391304,347... m³. Die dritte Wurzel aus diesem Wert liefert dann die Kantenlänge des Würfels 259,08 m.
Aufgabe 7
319 . Wertungsaufgabe
"Wir hatten doch vor drei Wochen die Holzquader. Hast du vielleicht noch einen?", fragte Mike. "Aber klar doch, was willst du denn damit?". "Lisa will in Ihrer Mathegruppe herausfinden lassen, wie viele verschiedene Wege es gibt, um von A nach G zu gelangen, wenn man nur die Kanten entlang gehen darf, aber keine Kante und keinen Punkt doppelt nutzen darf." "Alles klar" (4 blaue Punkte) Wie lang ist der kürzeste Weg von A nach G, wenn man nicht auf den Kanten des massiven Holzquaders bleiben muss? (4 rote Punkte) Die Maße des Quaders waren 4 cm x 6 cm x 10 cm. (Das Bild des Würfels ist nur zur Orientierung.)Lösung:
Für den blauen Teil ist es möglicherweise am sinnvollsten sytematisch vorzugehen, damit kein Weg übersehen wird. So gibt es von A aus drei Möglichkeiten A --> B, A --> D und A --> E.
Betrachtet man nun B so geht B --> C und B --> F (zurück nach A ist nicht zulässig, auf die nicht zulässigen wird ab jetzt nicht weiter verwiesen.)
Weiter im Alphabet C --> G . 1. Weg A --> B --> C --> G
C --> D --> H --> G 2. Weg A --> B --> C --> D --> H --> G
Aber halt: Von H geht es auch noch so weiter H --> E --> F --> G 3. Weg A --> B --> C --> D --> H --> E --> F --> G
Betrachtet man nun die "offene" Variante von B --> F ergibt das wieder drei Wege. Es gibt also 6 verschiedene Wege A --> --> ...
Damit sind es auch 6 Wege mit A --> D --> ... und letztlich noch 6 Wege mit mit A --> E --> ...
Insgesamt also 18 Wege. Hier noch die Zeichnung von U. Parsche --> als pdf <--, danke.
Die rote Aufgabe erwies sich als recht knifflig, aber wenn man auf den Trick mit dem Netz gekommen war, ging es dann doch.
Die Angaben für die Längen des Quaders waren nicht ganz eindeutig, so dass es durchaus unterschiedliche Ergebnisse geben konnte.
Eine vollständige Beschreibung ist der Lösung von Uwe Parsche entnehmbar, danke. Hier --> als pdf <--.
Aufgabe 8
320. WertungsaufgabeBernd hat auf dem Schreibtisch einen Ausdruck der Eiskarte seiner Lieblingseisdiele. Mike liest.
Fruchteisbecher: 3 Kugeln Erdbeer, 1 Kugel Vanille mit Früchten 4,10 Euro
Der Fruchteisbecher mit Sahne 5,30 Euro
Kalter Genuss: 2 x Erdbeer, 2 Vanille und Sahne 3 Euro
Kalter Genuss mit Früchten 5,20 Euro
Wie viel kostet eine Portion Sahne mit Früchten? - 2 blaue Punkte
Wie viel kostet "Eistraum" (3 x Vanille, 1 x Erdbeer mit Sahne und Früchten)? 3 rote Punkte
Lösung:
Eine sehr ausführliche und nachvollziehbare Lösung hat Linus (Klasse 6) beigesteuert, danke.
als pdf
Aufgabe 9
321. WertungsaufgabeLisa sitzt und träumt. Vor ihr auf dem Tisch steht ein Holzwürfel: "Der Zauberer Maths teilt den Holzwürfel mit einem ebenen Schnitt -- parallel zu einer der Seiten -- glatt in der Mitte durch." Als Lisa erwacht, sind wirklich zwei solche halben Würfel auf dem Tisch. (Mike hatte sich reingeschlichen). Ob nun so ein volumenmäßig halbierter "Würfel" auch eine halb so große Oberfläche wie der ursprüngliche Würfel hat? 3 blaue Punkte. Wie erreicht man, dass mit zwei ebenen Schnitten durch einen Würfel ein Restkörper entsteht, dessen Oberfläche maximal wird, wenn dessen Volumen halb so groß ist wie das des ursprünglichen Würfels? (6 rote Punkte)
Lösung:
blau: Der Restkörper hat als Seiten zwei Quadrate der Kantenlänge a und vier Rechtecke mit den Kantenlängen a und a/2. Rechnet man den Flächeninhalt dieser 6 Seiten zusammen, so erhält man für die Oberfläche 4a². Die Oberfläche des Ausgangswürfels aber war 6a². Der Oberflächeninhalt hat sich also nicht halbiert, im "Gegensatz" zum Volumen.
rot:
Schon mal im Voraus - eine abschließende Lösung - der Nachweis für die Maximierung des Oberflächeninhaltes steht noch aus.
Ich stelle hier mal meine Variante vor, die einen Oberflächeninhalt hat, der alle bisher eingegangen Werte für den Oberflächeninhalt überschreitet.
Au verflixt, da hat sich ein Fehler eingeschlichen, sorry, wird noch korrigiert.
Mit rot sind hier zwei Ebenen eingezeichnet, die den Würfel vom Volumen her gesehen halbieren. Die Fläche EFYX ist halb so groß wie EFGH. HX ist mit a/4 gewählt, damit muss dann GY a/3. sein. --> Fläche EXH = a*a/4 = a²/4 und Fläche YGX = a/3*3/4a = a²/4 zusammen also a²/2.
Die Oberfläche des entstandenen Prismas ergibt sich dann aus. 2* Grundfläche (= a²) + Fläche ABFE (= a²) + 2/3a² (= Fläche BFY?) + XY*a + EX*a
EX = {tex} \frac {\sqrt {5}}{2} \cdot a{/tex} ebenso ergibt sich mittels Satz des Pythagoras für XY = {tex} \frac {\sqrt {97}}{12} \cdot a{/tex}
Setzt man alle Teilergebnisse ein, so ergibt sich die Oberfläche zu 4,605 a².
Wer mag, kann ja diesen Ansatz auf eine optimale Lage von X und damit von Y untersuchen, über eine Zusendung würde ich mich freuen.
Anmerkungen: Wählt man Y=F so erhält man ein dreiseitiges Prisma, welches unanhängig von der Lage von X ein volumenmäßig halbiertes Volumen liefert. Halbiert X die Strecke GH so hat dieses Prisma, die kleinste aller Oberflächen mit 4,23 ... a². Das Maximum läge bei X= H oder X = G mit 4,414 .. a². (Das lässt sich dann aber schon mit einem Schnitt bewältigen.)
Aufgabe 10
322. WertungsaufgabeMaria und Lisa haben ein Quadrat (4 cm) und ein Rechteck (5 x 6 cm). Während sie arbeiten, rutscht das Quadrat über das Rechteck. Mike kommt dazu und sagt: "Cool, es sieht so aus, als ob das Quadrat die halbe Fläche des Rechtecks verdeckt. Schiebt mal nicht weiter, ich will mal nachmessen. Ja, stimmt genau." Wie könnte das Quadrat auf dem Rechteck gelegen haben? (Eine Möglichkeit "zeigen" - 3 blaue Punkte)
Wie müsste man zwei gleichgroße Kreise übereinander schieben, so dass der untere zur Hälfte verdeckt wird -- 6 rote Punkte.
Lösung:
blau: Das Rechteckeck hat einen Flächeninhalt von 30 cm². Die Hälfte davon soll - also 15 cm² - sollen bedeckt sein. Das Quadrat hat einen Flächeninhalt von 16 cm², also muss das Quadrat so auf das Rechteck gelegt werden, dass ein Quadratzentimer "übersteht". Dafür gibt es viele Möglichkeiten. Zum Beispiel wird das Quadrat so geschoben, dass ein rechteckiger Streifen von 4cm x 0,5 cm "übersteht".
rot: Zur Illustration verwende ich hier das Bild von Uwe Parsche, danke.
Die überdeckte Fläche des blauen Kreises, besteht aus zwei gleich großen Kreisabschnitten (Kreissegmenten). ZU sehen ist das Kreisgegment des rechten Kreises, das vom blauen Kreis liegt darunter. Die Fläche der beiden Segmente
(Formel für ein Segment, wenn der Winkel Alpha im Bogenmaß verwendet wird: {tex} A_s = \frac{r^2}{2} (\alpha - sin \alpha){/tex}
soll genau so groß sein wie die halbe Fläche eines Kreises.
Damit ergibt sich:
{tex} \frac {\pi r^2}{2} = r^2 (\alpha - sin \alpha){/tex}
Wird durch r² dividiert und anschließend die Klammer aufgelöst so ergibt sich:
{tex}\frac{\pi}{2} = \alpha - sin \alpha{/tex} bzw.
{tex} sin \alpha = \alpha - \frac{\pi}{2}{/tex}
Es handelt sich hier um eine transzendente Gleichung. Die zu lösen, nun ja. Hier kann man nun zum einen mit einer Tabellenkalkulation arbeiten oder auch graphisch, in dem der Schnittpunkt der beiden Funktionen {tex} y = sin \alpha{/tex} und {tex} y = \alpha - \frac{\pi}{2} mit x = \alpha {/tex} gesucht wird.
Der Winkel der so ermittelt, wird liegt bei 2,30988.... Nun wird noch die Höhe des (bzw. der Segmente) gebraucht. Wer es bis hierhin geschafft hat, schafft den Rest auch allein, so dass letztlich die beiden Mittelpunkte der sich überlagernden Kreise einen Abstand von 0,80794 r haben müssen.
Aufgabe 11
322. WertungsaufgabeBernd stapelt Würfel übereinander und zeichnet verschiedene Ansichten seines „Bauwerkes“.
Von vorn:
von rechts:
von oben:
Wie viele Würfel hat Bernd mindestens verbaut? 3 blaue Punkte
Wie groß ist die Oberfläche des Gebildes – bei minimaler Würfelzahl, wenn jeder Würfel 2 cm groß ist? 4 rote Punkte
Lösung:
Für die Anordnung der Würfel gibt es zwei Möglichkeiten. Es können 14 oder 13 Würfel sein. Die Aufgabenstellung aber verlangte die Minimalzahl der Würfel.
Da bei der Nutzung der Minimalzahl von Würfel keine Lücken im "Bauwerk" entstehen, ist die Zahl der Quadrate schnell ermittelt. Es ist einfach die doppelte Zahl von Quadraten, die bei der Aufgabenstellung zu sehen sind. Also 2 mal 25 ==> 50 Quadrate mit einem Flächeninhalt von je 4 cm². Damit hat das "Bauwerk" eine Oberfläche von 200 cm².
Aufgabe 12
324. Wertungsaufgabe
Bernd hat aus seinem Metallbaukasten eine Balkenwaage gebaut und probiert sie gerade aus. Mike kommt ins Zimmer und fängt an zu grübeln. "Was hast du?". "Ich überlege gerade, wie das ging, dass man mit höchstens zwei Wägeversuchen die falsche Münze entdeckt. Es gibt sieben Münzen, die bis auf eine, alle gleich schwer sind. Eine der sieben Münzen ist leichter als die anderen, ohne dass man es sieht." Wie schafft man das mit Bernds Balkenwaage? - 3 blaue Punkte. Bernds Vater hatte das Gespräch gehört und wandelte die Aufgabe ab. "Es gibt vier Münzen, drei davon wiegen 10 Gramm. Bei der vierten Münze weiß man nicht, ob sie schwerer oder leichter ist. Es gibt aber auch ein 10-Gramm-Stück." Wie lässt sich mit maximal zwei Versuchen auf der Balkenwaage herausfinden, welches die "falsche" Münze ist und auch, ob sie mehr oder eben weniger als 10 Gramm wiegt? - 4 rote Punkte.
Lösung:
Es mehrere sehr überzeugende Darstellungen der Lösungen. Ich habe mich für die Veröffentlichung der Lösung von J. Urbig entscheiden, danke.
--> als pdf <--
Auswertung der Serie 27
Auswertung Serie 27 (blaue Liste)
| Platz | Name | Ort | Summe | Aufgabe | |||||||||||
| 313 | 314 | 315 | 316 | 317 | 318 | 319 | 320 | 321 | 322 | 323 | 324 | ||||
| 1. | Rafael Seidel | Chemnitz | 42 | 4 | 3 | 4 | 6 | 2 | 5 | 4 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 |
| 2. | Jürgen Urbig | Chemnitz | 41 | 4 | 3 | 4 | 6 | 2 | 5 | 3 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 |
| 2. | Sabine Fischbach | Hessen | 41 | 4 | 3 | 4 | 6 | 1 | 5 | 4 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 |
| 3. | Doreen Naumann | Duisburg | 40 | 4 | 3 | 4 | 5 | 1 | 5 | 4 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 |
| 4. | Uwe Parsche | Chemnitz | 39 | 4 | 3 | 4 | 6 | 2 | 5 | 4 | 2 | - | 3 | 3 | 3 |
| 5. | Linus-Valentin Lohs | Chemnitz | 38 | 3 | 3 | 4 | 6 | 2 | 5 | 1 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 |
| 6. | Arne Weißbach | Chemnitz | 37 | 3 | - | 4 | 6 | 1 | 5 | 4 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 |
| 7. | Andree Dammann | München | 35 | 4 | 3 | 3 | 6 | 1 | 5 | 4 | - | 3 | 3 | 3 | - |
| 8. | Felix Haase | Chemnitz | 28 | 4 | 3 | 4 | 6 | - | 5 | 4 | 2 | - | - | - | - |
| 9. | Richard Hahmann | Chemnitz | 26 | 4 | 3 | 4 | 6 | - | 3 | 4 | 2 | - | - | - | - |
| 10. | Jamila Wähner | Chemnitz | 24 | 4 | 3 | 4 | 6 | 2 | 5 | - | - | - | - | - | - |
| 10. | Loise Reichmann | Chemnitz | 24 | 3 | 3 | 4 | 6 | - | 3 | 3 | 2 | - | - | - | - |
| 11. | Anja Posselt | Chemnitz | 23 | 4 | 3 | 4 | 6 | 1 | 5 | - | - | - | - | - | - |
| 12. | Marie Sophie Roß | Chemnitz | 21 | 3 | - | 4 | 6 | - | 5 | 3 | - | - | - | - | - |
| 13. | Nina Zschätzsch | Chemnitz | 20 | 4 | 3 | 3 | 6 | - | - | 4 | - | - | - | - | - |
| 13. | Marion Sarah Zenk | Chemnitz | 20 | 3 | 3 | 4 | 6 | - | - | 4 | - | - | - | - | - |
| 14. | Hermann Thum | Chemnitz | 19 | 4 | 3 | 4 | 6 | - | - | - | 2 | - | - | - | - |
| 14. | Robin König | Chemnitz | 19 | 4 | 3 | 4 | - | - | 3 | 3 | 1 | - | - | - | 1 |
| 14. | Ellen Richter | Chemnitz | 19 | 3 | 3 | 3 | 6 | 1 | - | 3 | - | - | - | - | - |
| 15. | Johanna Ranft | Chemnitz | 18 | 4 | - | 4 | 6 | - | 3 | 1 | - | - | - | - | - |
| 15. | Ria Hopke | Chemnitz | 18 | 3 | 3 | 3 | 6 | - | - | 3 | - | - | - | - | - |
| 15. | Elisa Parsche | Chemnitz | 18 | 4 | - | 4 | - | - | 5 | - | 2 | - | - | - | 3 |
| 16. | Karolin Schuricht | Chemnitz | 17 | 3 | - | 3 | - | - | 5 | 4 | 2 | - | - | - | - |
| 17. | Stephanie Dani | Chemnitz | 16 | 3 | 3 | 4 | - | - | - | 4 | 2 | - | - | - | - |
| 17. | Josephine Pallus | Chemnitz | 16 | 4 | 3 | 3 | 6 | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 18. | Duncan Mahlendorff | Chemnitz | 15 | - | 3 | - | 6 | - | - | 4 | 2 | - | - | - | - |
| 19. | Jonathan Kässler | Chemnitz | 14 | 3 | - | 3 | 6 | - | - | - | 2 | - | - | - | - |
| 20. | Lisa Grassmann | Chemnitz | 13 | 4 | 3 | 4 | - | - | - | - | 2 | - | - | - | - |
| 21. | Paula | Hartmannsdorf | 11 | - | 3 | 4 | - | - | - | 4 | - | - | - | - | - |
| 21. | Mara Neudert | Chemnitz | 11 | 3 | - | 3 | - | - | 5 | - | - | - | - | - | - |
| 21. | Emily Neuwirth | Chemnitz | 11 | 4 | - | 4 | - | - | - | - | - | 3 | - | - | - |
| 21. | Kai-Lutz Wagner | Chemnitz | 11 | 3 | - | 3 | - | - | 5 | - | - | - | - | - | - |
| 22. | Lucas Steinke | Chemnitz | 10 | 3 | 3 | - | - | - | - | 2 | 2 | - | - | - | - |
| 22. | Philipp Fürstenberg | Chemnitz | 10 | 3 | - | 3 | - | - | - | 2 | 2 | - | - | - | - |
| 22. | Ellen Wilde | Chemnitz | 10 | 4 | - | - | - | - | 5 | - | - | 1 | - | - | - |
| 22. | Rebecca Wagner | Oberwiesenthal | 10 | 3 | - | - | 6 | - | - | 1 | - | - | - | - | - |
| 23. | Felix Brinkel | Chemnitz | 9 | 4 | 3 | - | - | - | - | - | 2 | - | - | - | - |
| 23. | Adrian Schlegel | Chemnitz | 9 | - | - | - | - | - | 3 | 1 | - | - | 3 | 2 | - |
| 24. | Willy Stöckel | Chemnitz | 8 | 4 | - | 4 | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 25. | Marcel Reichelt | Chemnitz | 7 | 3 | - | 4 | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 25. | Theresa Jänich | Chemnitz | 7 | - | - | 4 | - | - | - | - | - | 3 | - | - | - |
| 25. | Moritz Duderstadt | Chemnitz | 7 | 3 | - | 4 | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 25. | Ingmar Richter | Chemnitz | 7 | 3 | - | - | - | - | - | 2 | 2 | - | - | - | - |
| 25. | Hannah Gebhardt | Chemnitz | 7 | 4 | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - | - | - |
| 25. | Lena Elisa Penzlin | Chemnitz | 7 | - | - | 4 | - | - | - | - | - | 3 | - | - | - |
| 25. | zge | Chemnitz | 7 | - | - | - | - | - | 5 | 2 | - | - | - | - | - |
| 26. | XXX | ??? | 6 | - | - | - | - | - | - | 3 | - | - | - | - | 3 |
| 26. | Ole Koelb | Chemnitz | 6 | 3 | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - | - | - |
| 26. | Laura Schlosser | Chemnitz | 6 | - | - | - | - | - | 5 | 1 | - | - | - | - | - |
| 26. | Luisa Schlosser | Chemnitz | 6 | - | - | - | - | - | 5 | 1 | - | - | - | - | - |
| 26. | Saskia Schlosser | Chemnitz | 6 | - | - | - | - | - | 5 | 1 | - | - | - | - | - |
| 26. | Astrid Fischer | Chemnitz | 6 | 3 | - | - | - | - | - | 3 | - | - | - | - | - |
| 27. | Felicitas Güra | Chemnitz | 5 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - | - |
| 27. | Franz Artur | Chemnitz | 5 | - | - | - | - | - | 5 | - | - | - | - | - | - |
| 27. | Helene Fischer | Chemnitz | 5 | - | - | - | 5 | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 27. | Felix Taubert | Chemnitz | 5 | - | - | - | - | - | - | 2 | - | 3 | - | - | - |
| 27. | Leon Hoppe | Chemnitz | 5 | - | - | - | 5 | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 27. | Vincent Baessler | Chemnitz | 5 | - | - | - | - | - | 5 | - | - | - | - | - | - |
| 27. | Julia Ritter | Chemnitz | 5 | - | - | - | - | - | 5 | - | - | - | - | - | - |
| 27. | Tobias Morgenstern | Chemnitz | 5 | - | - | - | 5 | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 27. | Lisa Berger | Chemnitz | 5 | - | - | - | - | - | 5 | - | - | - | - | - | - |
| 27. | Florian A. Schönherr | Chemnitz | 5 | - | - | - | - | - | 5 | - | - | - | - | - | - |
| 27. | Wim Winter | Chemnitz | 5 | 3 | - | 2 | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 28. | Ida Heuschkel | Chemnitz | 4 | - | - | - | 4 | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 28. | Christian Wagner | Bamberg | 4 | 4 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 28. | Luis Raupach | Chemnitz | 4 | - | - | 4 | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 28. | Lewis Knittel | Chemnitz | 4 | - | - | - | - | - | 4 | - | - | - | - | - | - |
| 28. | Lukas Kirchberg | Chemnitz | 4 | - | - | 4 | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 28. | Lukas Thieme | Chemnitz | 4 | - | - | - | 4 | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 28. | Andreas M. | Dittersdorf | 4 | 4 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 29. | Celestina Montero Perez | Chemnitz | 3 | - | - | - | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 29. | Lisanne Brinkel | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - | - |
| 29. | Emma Irmscher | Eibenberg | 3 | - | - | - | - | - | - | 3 | - | - | - | - | - |
| 29. | Hannes Hohmann | Chemnitz | 3 | - | - | - | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 29. | Daniel Hufenbach | Leipzig | 3 | - | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 29. | Nicklas Reichert | Chemnitz | 3 | - | - | - | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 29. | Svenja Reinelt | Chemnitz | 3 | - | - | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 29. | Albin Uhlig | Chemnitz | 3 | - | - | - | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 29. | Ole Weiß | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - |
| 29. | Janosch Fiebig | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - |
| 29. | Elena Oelschlägel | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - | - |
| 29. | Heinrich Grossinger | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - | - |
| 29. | Selma Juhran | Chemnitz | 3 | - | - | - | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 29. | Pauline Marschk | Chemnitz | 3 | - | - | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 29. | Tim Jechorek | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - | - | - |
| 29. | Frederike Meiser | Chemnitz | 3 | - | - | - | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 29. | Marie Berger | Chemnitz | 3 | - | - | - | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 29. | Paula Mühlmann | Dittersdorf | 3 | - | - | - | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 29. | Jessica Ritter | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - | - |
| 29. | Simon Winger | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - | - |
| 29. | Valentin Sellin | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - | - |
| 29. | Tom Straßer | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - | - |
| 29. | Charline Patzelt | Chemnitz | 3 | - | - | - | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 29. | Tobias Richter | Chemnitz | 3 | - | - | - | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 29. | Katharina Zweiniger | Chemnitz | 3 | - | - | - | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 29. | Lene Haag | Chemnitz | 3 | - | - | - | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 29. | Moritz Weber | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - | - |
| 29. | Gunnar Reinelt | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - | - |
| 29. | Karl Herrmann | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - | - |
| 29. | Marvin Köllner | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - | - |
| 29. | Melanie Petz | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - | - |
| 29. | Elina Rech | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - | - |
| 29. | Cynthia Raschkowsky | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - | - |
| 29. | Simon Anders | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - | - |
| 29. | Felicitas Hastedt | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - | - |
| 29. | Lilli Weiß | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - | - |
| 29. | Valentin Grundmann | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - | - |
| 29. | Ulrike Böhme | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - | - |
| 29. | Anna Georgi | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1 | - | - |
| 30. | Alex Gähler | Chemnitz | 2 | - | - | - | - | - | - | - | 2 | - | - | - | - |
| 30. | Anna Grünert | Chemnitz | 2 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 2 | - | - |
| 30. | Marie Juhran | Chemnitz | 2 | - | - | - | 2 | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 30. | Carlo Klemm | Chemnitz | 2 | - | - | - | 2 | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 30. | Agnieszka Urban | Chemnitz | 2 | - | - | - | - | - | - | - | 2 | - | - | - | - |
| 30. | Joel Magyar | Chemnitz | 2 | - | - | - | 2 | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 30. | Marvin Gülden | Chemnitz | 2 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 2 | - | - |
| 30. | Franz Kemter | Chemnitz | 2 | - | - | - | 2 | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 30. | Nele Mäding | Chemnitz | 2 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 2 | - | - |
| 30. | Shari Schmidt | Chemnitz | 2 | - | - | - | 2 | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 30. | Josephine Klotz | Chemnitz | 2 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 2 | - | - |
| 30. | Kevin Ngyen | Chemnitz | 2 | - | - | - | 2 | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 30. | Jessica Spindler | Chemnitz | 2 | - | - | - | 2 | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 31. | Justine Schlächter | Chemnitz | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1 | - | - |
| 31. | Erik Walther | Chemnitz | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1 | - | - |
| 31. | Luisa Franke | Chemnitz | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1 | - | - |
| 31. | Clara Stöckel | Chemnitz | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1 | - | - |
| 31. | Hanna Kallenbach | Chemnitz | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1 | - | - |
| 31. | Joshua May | Chemnitz | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1 | - | - |
| 31. | Emmely Schöne | Chemnitz | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1 | - | - |
| 31. | Maxi John | Chemnitz | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1 | - | - |
| 31. | Malte Gebhardt | Chemnitz | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1 | - | - |
| 31. | Alina Berger | Chemnitz | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1 | - | - |
| 31. | Tim Missullis | Chemnitz | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1 | - | - |
| 31. | Jule Irmscher | Eibenberg | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1 | - | - |
| 31. | Eva-Lotta Rümmler | Chemnitz | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1 | - | - |
| 31. | Lina Krug | Chemnitz | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1 | - | - |
| 31. | Tim Sigmund | Chemnitz | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1 | - | - |
| 31. | Laurin Roßberg | Chemnitz | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1 | - | - |
| 31. | Michelle Wade | Chemnitz | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1 | - | - |
Auswertung Serie 27 (rote Liste)
| Platz | Name | Ort | Summe | Aufgabe | |||||||||||
| 313 | 314 | 315 | 316 | 317 | 318 | 319 | 320 | 321 | 322 | 323 | 324 | ||||
| 1. | Jürgen Urbig | Chemnitz | 52 | 4 | 4 | 4 | 8 | 5 | 3 | 4 | 2 | 4 | 6 | 4 | 4 |
| 2. | Uwe Parsche | Chemnitz | 48 | 4 | 4 | 4 | 8 | 5 | 2 | 4 | 3 | - | 6 | 4 | 4 |
| 3. | Doreen Naumann | Duisburg | 44 | 4 | 4 | 4 | 4 | 3 | 3 | 4 | 3 | 2 | 5 | 4 | 4 |
| 4. | Sabine Fischbach | Hessen | 37 | 4 | 2 | 4 | 5 | 3 | 3 | 2 | 3 | - | 3 | 4 | 4 |
| 5. | Arne Weißbach | Chemnitz | 31 | 3 | - | 4 | 5 | - | 3 | 4 | 2 | 2 | - | 4 | 4 |
| 6. | Andree Dammann | München | 30 | 4 | 4 | 3 | 3 | 3 | 2 | 4 | - | 3 | - | 4 | - |
| 7. | Linus-Valentin Lohs | Chemnitz | 26 | 3 | 3 | 3 | - | 4 | - | 2 | 3 | - | - | 4 | 4 |
| 8. | Felix Haase | Chemnitz | 24 | 4 | 4 | 4 | 5 | - | 1 | 4 | 2 | - | - | - | - |
| 9. | Rafael Seidel | Chemnitz | 23 | - | - | 4 | - | 5 | 3 | - | 3 | - | - | 4 | 4 |
| 10. | Jamila Wähner | Chemnitz | 21 | 4 | 4 | 4 | 3 | 3 | 3 | - | - | - | - | - | - |
| 11. | Richard Hahmann | Chemnitz | 20 | 4 | 4 | - | 4 | - | 3 | 3 | 2 | - | - | - | - |
| 11. | Anja Posselt | Chemnitz | 20 | 4 | 4 | 4 | 3 | 2 | 3 | - | - | - | - | - | - |
| 12. | Elisa Parsche | Chemnitz | 18 | 4 | - | 4 | - | - | 3 | - | 3 | - | - | - | 4 |
| 12. | Hermann Thum | Chemnitz | 18 | 3 | 4 | 4 | 4 | - | - | - | 3 | - | - | - | - |
| 13. | Duncan Mahlendorff | Chemnitz | 17 | - | 4 | - | 4 | - | 3 | 3 | 3 | - | - | - | - |
| 13. | Robin König | Chemnitz | 17 | 4 | 4 | 4 | - | - | 1 | 3 | - | - | - | - | 1 |
| 14. | Loise Reichmann | Chemnitz | 15 | 4 | 4 | 4 | 2 | - | - | 1 | - | - | - | - | - |
| 15. | Stephanie Dani | Chemnitz | 14 | 4 | 4 | 4 | - | - | - | - | 2 | - | - | - | - |
| 16. | Marie Sophie Roß | Chemnitz | 13 | 4 | 4 | 3 | 2 | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 17. | Ellen Richter | Chemnitz | 12 | 3 | - | 4 | 2 | 2 | - | 1 | - | - | - | - | - |
| 17. | Karolin Schuricht | Chemnitz | 12 | 3 | - | 1 | - | - | 3 | 2 | 3 | - | - | - | - |
| 17. | Paula | Hartmannsdorf | 12 | - | 4 | 4 | - | - | - | 4 | - | - | - | - | - |
| 18. | Lisa Grassmann | Chemnitz | 11 | 4 | 3 | 4 | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 19. | Johanna Ranft | Chemnitz | 10 | 4 | - | 4 | 2 | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 19. | Jonathan Kässler | Chemnitz | 10 | 4 | - | 4 | - | - | - | - | 2 | - | - | - | - |
| 19. | Philipp Fürstenberg | Chemnitz | 10 | 4 | - | 4 | - | - | - | - | 2 | - | - | - | - |
| 19. | Ria Hopke | Chemnitz | 10 | 3 | - | 4 | 2 | - | - | 1 | - | - | - | - | - |
| 20. | Nina Zschätzsch | Chemnitz | 9 | 4 | - | 4 | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 20. | Emily Neuwirth | Chemnitz | 9 | 4 | - | 4 | - | - | - | - | - | 1 | - | - | - |
| 21. | XXX | ??? | 8 | - | - | - | - | - | - | 4 | - | - | - | - | 4 |
| 21. | Marion Sarah Zenk | Chemnitz | 8 | 3 | 1 | 4 | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 22. | Astrid Fischer | Chemnitz | 7 | 3 | - | - | - | - | - | 4 | - | - | - | - | - |
| 22. | Josephine Pallus | Chemnitz | 7 | 3 | - | - | 4 | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 22. | Lucas Steinke | Chemnitz | 7 | 4 | - | - | - | - | - | 1 | 2 | - | - | - | - |
| 23. | Luisa Schlosser | Chemnitz | 5 | - | - | - | - | - | 3 | 2 | - | - | - | - | - |
| 23. | Laura Schlosser | Chemnitz | 5 | - | - | - | - | - | 3 | 2 | - | - | - | - | - |
| 23. | Lena Elisa Penzlin | Chemnitz | 5 | - | - | 4 | - | - | - | - | - | 1 | - | - | - |
| 24. | Andreas M. | Dittersdorf | 4 | 4 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 24. | Ingmar Richter | Chemnitz | 4 | 3 | - | - | - | - | - | 1 | - | - | - | - | - |
| 24. | Christian Wagner | Bamberg | 4 | 4 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 24. | Daniel Hufenbach | Leipzig | 4 | - | 4 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 25. | Pauline Marschk | Chemnitz | 3 | - | - | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 25. | Kai-Lutz Wagner | Chemnitz | 3 | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 25. | Mara Neudert | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | - | 3 | - | - | - | - | - | - |
| 25. | Saskia Schlosser | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | - | 3 | 0 | - | - | - | - | - |
| 25. | Svenja Reinelt | Chemnitz | 3 | - | - | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 25. | Rebecca Wagner | Oberwiesenthal | 3 | - | - | - | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - |
| 25. | zge | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | - | 3 | - | - | - | - | - | - |
| 25. | Lisa Berger | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | - | 3 | - | - | - | - | - | - |
| 25. | Janosch Fiebig | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - |
| 25. | Ole Weiß | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - |
| 26. | Lisanne Brinkel | Chemnitz | 2 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 2 | - | - |
| 26. | Gunnar Reinelt | Chemnitz | 2 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 2 | - | - |
| 26. | Heinrich Grossinger | Chemnitz | 2 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 2 | - | - |
| 26. | Simon Winger | Chemnitz | 2 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 2 | - | - |
| 26. | Alex Gähler | Chemnitz | 2 | - | - | - | - | - | - | - | 2 | - | - | - | - |
| 26. | Anna Grünert | Chemnitz | 2 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 2 | - | - |
| 26. | Marvin Gülden | Chemnitz | 2 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 2 | - | - |
| 26. | Valentin Grundmann | Chemnitz | 2 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 2 | - | - |
| 26. | Felicitas Hastedt | Chemnitz | 2 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 2 | - | - |
| 26. | Cynthia Raschkowsky | Chemnitz | 2 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 2 | - | - |
| 26. | Nele Mäding | Chemnitz | 2 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 2 | - | - |
| 26. | Anna Georgi | Chemnitz | 2 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 2 | - | - |
| 26. | Jessica Ritter | Chemnitz | 2 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 2 | - | - |
| 27. | Simon Anders | Chemnitz | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1 | - | - |
| 27. | Adrian Schlegel | Chemnitz | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1 | - | - |
| 27. | Tom Straßer | Chemnitz | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1 | - | - |
| 27. | Melanie Petz | Chemnitz | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1 | - | - |
| 27. | Elina Rech | Chemnitz | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1 | - | - |
| 27. | Elena Oelschlägel | Chemnitz | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1 | - | - |
| 27. | Lilli Weiß | Chemnitz | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1 | - | - |
| 27. | Moritz Weber | Chemnitz | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1 | - | - |
| 27. | Theresa Jänich | Chemnitz | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - | 1 | - | - | - |
| 27. | Karl Herrmann | Chemnitz | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1 | - | - |
| 27. | Valentin Sellin | Chemnitz | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1 | - | - |
| 27. | Ulrike Böhme | Chemnitz | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1 | - | - |
Es gibt genau eine natürliche Zahl, die kleiner ist als 110, die ebenfalls diese Eigenschaft hat. 3 rote Punkte. Für die Zahlenspezialisten: Gesucht ist eine Zahl, die sich auf vier verschiedene Arten als Summe von drei Quadratzahlen darstellen lässt. Dafür gibt es extra rote Punkte.
Auf dem Bildern erkennt man noch einmal die Zusammenhänge. Der Rand des "Tortenstücks" wird zum Umfang des Kreises mit dem Radius r, der die Grundfläche bildet. 
Der Grundkörper der Uhr ist (war) ein 10 cm großer Würfel. Dieser wurde abgeschrägt und zwar so, dass die Kanten der schrägen Fläche ein Dreieck bilden, die den Diagonalen der Deckfläche der vorderen Fläche und der rechten Seitenfläche entsprechen. Man betrachte dazu das Bild. Die drei Pyramiden haben jeweils die gleiche Höhe. Damit sie sich drehen können, sind kleine Abstände zwischen ihnen bzw. dem Würfelrestkörper von je 3 mm. Die untere Pyramidenscheibe zeigt die Stunden, die mittlere Scheibe die Minuten und die kleine Pyramide steht für die Sekunden. Wenn man die Uhr um 12 Uhr startet, dann bilden Würfelrestkörper und die drei Pyramiden genau wieder den Urprungswürfel. Wann bilden dann die drei drehbaren Teile zum ersten Mal wieder eine "richtige" Pyramide? 5 blaue Punkte (Achtung, wie das ganze in Bezug auf den Würfelrest aussieht, ist egal.) Wie groß sind die Volumina der drei drehbaren Teile? 6 rote Punkte
Auf dem Bild sind die Konstruktionen für den Punkt D bzw. D1 - Punkt auf A zu erkennen. m ist die Mittelsenkrechte von AX. Deshalb sind die Punkte D bzw. D1 gleichweit von A und X entfernt. (D liegt senkrecht über A bzgl. a, damit eine der Quadratseiten von ABCD auf a liegt.
„Was zeichnest du denn? Das erinnert mich an die Klasse 3.“,sagte Maria. 
"Es gibt doch sicher noch viel mehr Mathematisches bei den Spielen zu finden", meinte Mike. "Aber bestimmt, da wäre ja noch die sogenannte Spieltheorie (manchmal klang die natürlich durch) selbst, Überlegungen bei Computerspielen und so weiter. Nun aber muss ich mich erst mal mit dieser Aufgabe beschäftigen". "Zeig mal". "Auf dem Bild siehst du die zwei Quadrate ABCD und BEFG. Das rechts liegende soll für die Überlegungen der roten Aufgabenstellung immer kleiner sein als das andere. Auf der Strecke AE ist ein Punkt X zu finden. Der Punkt X soll mit F bzw. mit D verbunden werden. Der Punkt X soll folgende Eigenschaften haben: Wird die Figur entlang der Linien DX und XF geteilt, so lassen sich die Teile zu einem Quadrat zusammenlegen. (6 rote Punkte)
blau: Der größte Kreis, der in ein Dreieck, hinein passt ist der Inkreis. Ein konstruktive Lösung geht natürlich mittels einer maßstabsgerechten Zeichnung.
In dem Dreieck sind Um- und Inkreis eingetragen. Das es sich um ein gleichseitiges Dreieck handelt, sind die „besonderen Linien“ identisch. - die Höhen, Mittelsenkrechten, Winkelhalbierenden und die Seitenhalbierenden. Alle schneiden sich in einem Punkt, dem Mittelpunkt der beiden Kreise. Dieser Punkt teilt die Linien im Verhältnis 2 zu 1 - als Eigenschaft des Schnittpunktes der Seitenhalbierenden in jedem Dreieck. Damit ist der Umkreisradius genau doppelt so groß wie der Inkreisradius.
Ein Weg, den auch die Lösung von Samuel K aufzeigte, sei noch vorgestellt.
blau:
rot:
blau:
blau:
rot: Auch hier gab es Irritationen, wegen der Nachbarschaftsregel. *(bezogen auf die vorher noch vollen Würfel) sollte heißen, dass nur die zu ersetzenden großen Würfel einzeln zu betrachten waren. Dass die kleinen dann Nachbarn bekommen, die vorher zu einem anderen großen Würfel gehörten, sollte nicht ber¨cksichtigt werden. Damit entsteht dann dieses Bild. (Nun ja, der sogenannte "Menger-Schwamm", um den es sich hier handelt, lässt sich eindeutiger und kürzer beschreiben, aber dann wäre eben auch ein Teil der Aufgabenstellung nicht mehr vorhanden gewesen. Punkte auf Grund der Irritationen gab es trotzdem.)
Die Lösung für blau lässt sich schnell ablesen. Die unterschiedlichen Schraffuren dienen nur der Kennzeichnung "Farbigkeit" der Schachbrettfelder.
"Hallo Lisa, was machst du denn mit dem Schachbrettmuster?", fragte Bernd. "Ich bereite unseren Mathezirkel vor. Das Schachbrettpapier (8x8 - wie üblich) soll durch Zerschneiden entlang der Kanten in vier gleichgroße und zueinander kongruente Stücke zerteilt werden." "Da fallen mir sofort zwei ganz einfache Varianten ein," meinte Mike, der gerade vom Sport gekommen war. "Mir auch, meinte Bernd, "aber ich bin mir sicher, es gibt noch mehr Möglichkeiten." Für jede echt unterschiedliche Variante gibt es einen blauen Punkt - für besonders originelle auch 2.
"Von dem Skandal der letzten Woche habe ich erst einmal genug." "Das geht mit genau so", gab Mike Bernd Recht."Hast du schon Marias neue Würfelkreation gesehen?" "Zeig mal". Staunend begutachtet Mike den Würfel, an dessen 8 Ecken sich jeweils eine kleine Kugel befindet. Auf zwei der Kugeln stehen die Zahlen 1 und 3. Auf den anderen Kugeln sind mit Bleistift die Buchstaben a bis f zu erkennen. "Was hat es mit den Kugeln und Buchstaben auf sich?" "Maria und Lisa sind noch dabei, die Buchstaben durch die Zahlen 2; 4; 5; 6; 7 und 8 zu ersetzen -- keine Dopplungen, so dass die Zahlen auf jeder der Seiten in der Summe 18 ergeben." "Ich verstehe." 
Lösungen von Andree D. (linkes Bild) und Felix K. (rechtes Bild), danke
Es wurden noch drei weitere Varianten gefunden.
"Da hatte ich ja Glück, dass ich bei dem Kugelwürfel letzte Woche schon richtig angefangen hatte", meinte Maria. "Vielleicht hilft deine mathematische Intuition auch hierbei?", fragte Lisa. "Lass sehen." Ich habe mir aus einem Dominospiel (0-0 bis 6-6, also das mit den 28 Steinen) vier Steine genommen und das gelegt. Was siehst du?" "Hm, ach ja. Die Steine lassen sich als 3 Zahlen auffassen. Eine dreistellige Zahl a oben, eine einstellige Zahl b in der zweite "Reihe" und eine vierstellige Zahl c unten. Es gilt nun noch a mal b = c." " Ist ja cool. Gibt es noch mehr solcher Aufgaben?" "Ich denke schon." Für jede gefundene Aufgabenstellung gibt es zwei Punkte, aber wenn man eine solche gefunden hat, dürfen die Steine nicht noch einmal für eine weitere Aufgabe genommen werden. (Die Steine der Beispielaufgabe sind also auch nicht noch mal verwendbar. Mit den verbleibenden 24 Steinen wären also theoretisch noch 6 Aufgaben legbar, aber auch praktisch? - keine "0" am Anfang der Zahl.) 
"Das mit dem Dominospiel hat mir gefallen und ich hätte nicht vermutet, dass man wirklich sieben verschiedene solche Multiplikationsaufgaben legen kann", meinte Bernds Opa, der sich mal wieder von seinem Garten losreißen konnte und zum Kaffeetrinken gekommen war. "Da habe ich auch gleich eine solche Aufgabe für euch. Schaut euch die vier Steine an, die ich zu einem Quadratrahmen zusammengelegt habe. Die Summe der Punkte auf jeder Seite des Rahmens ist gleich. Nehmt nun die verbleibenden Steine und bildet weitere solche Rahmen." Die blaue Punktzahl für jeden gefundenen Rahmen ist zwei. (Die Steine der Beispielaufgabe sind also nicht noch mal verwendbar. Mit den verbleibenden 24 Steinen wären also theoretisch noch 6 Rahmen legbar, aber auch praktisch? - Die Gleichheit der Seitensumme gilt immer nur für einen Rahmen. Im Beispiel war die Summe 9, es kann aber genau so auch mehr oder weniger pro Quadrat sein.) 
Es werden also 12 einzelne Dreiecke gebraucht.
Es werden also 20 einzelne Dreiecke gebraucht.
2.
4.
6.
8.
10.
12.
Es gibt eine Vielzahl von Möglichkeiten solche ein Sechseck zu legen. Es ist auch möglich aus 9 Figuren ein entsprechend drei mal so großes Sechseck zu legen.
"Ich habe heute den Film Wargames angeschaut und dort ging es unter anderem um das bekannte Spiel Tic-Tac-Toe. Es wurde behauptet, dieses Spiel geht immer unentschieden aus." "Den Film kenne ich auch", sagte Lisa, "aber verlieren kann man da schon, wenn man nicht aufpasst." "Na, das ist ja klar. Die Frage, die ich für 4 rote Punkte stelle, ist: Wohin darf der Spieler B seinen ersten Zug nicht machen, wenn A auf das Feld 3 gesetzt hat, weil sonst der Sieg von A nicht zu verhindern ist?" "Du meinst, so einen Fehler gibt es", gab Mike zu bedenken.
Links sieht man eine Zeichnung des Spielfeldes. Zählt man die Punkte aus, so erkennt man, dass es genau 30 Punkte sind, die zur Mühlebildung geeignet sind.
"Lass uns zum Schluss der Serie noch einen Blick auf das Mensch ärgere dich nicht Spielfeld werfen." "Na, dann mal los", gab Mike an Bernd zurück. "Wie oft muss ein Spieler mindestens würfeln,um alle Spielfiguren ins Ziel zu bringen, wenn er nicht raus geworfen wird?" "Na gut, aber so viele Sechsen nacheinander gibt es ja nicht." Klar ist das sehr unwahrscheinlich, aber trotzdem. Also der Spieler Gelb soll es sein. Sein Startfeld hat die Nummer Null. Er muss den Startplatz frei räumen, wenn noch eine Figur draußen ist.
"Wenn ich mir die Siegerehrungen so anschaue, so bin ich immer wieder verblüfft wie viele Varianten von Siegerpodesten es gibt," meinte Mike. "Da hast du Recht. Es gibt runde, längliche, welche aus Holz, aus Metall usw.," erinnerte sich Maria, als sie an die letzten Olympischen Spiele dachte. Auf dem Bild ist ein recht einfaches zu sehen. Die Flächen oben sind quadratisch (40 x 40 cm). Die Höhe liegen bei 20, 40 bzw. 60 cm. Wie groß sind Oberfläche und Volumen dieses Podestes? (5 blaue Punkte). 
"Schaut mal meine Skizze an. Ich habe aus den Quadraten möglichst große regelmäßige Achtecke gemacht. So gefällt mir das Siegerpodest besser," sagte Lisa. "Nicht schlecht", staunte Bernd. Wie groß sind Oberfläche und Volumen dieses Podestes? (5 rote Punkte). 
Aus der allgemeinen Flächeninhaltsformel für regelmäße n-Ecke (n > 2)lässt sich das Achteck schnell finden. (a - Seitenlänge)
"Nach so viel Rennerei im Stadion habe ich wieder mal den Handballern zugesehen. Da geht es flott zur Sache, wobei es meiner Mannschaft zur Zeit nicht so gut geht," sagte Bernds Opa, der wieder mal zu Besuch war. Aber der Rechtsaußen von denen ist einfach Spitze." "Was ist denn ein Rechtaußen?", fragte Maria. "Hier schau mal auf das Bild des Spielfeldes. Als Verteidiger vor seinem Tor steht er etwa da, wo ich den schwarzen Punkt gesetzt habe. Ist er in der angreifenden Mannschaft, entspricht das dem roten Punkt." "Alles klar." "Sag mal Opa, der Bereich wo nur der Torwart hin darf, das ist doch gar kein Halbkreis, oder?," fragte Bernd nach. "Da hast du Recht, da es Mindestabstände zum Tor gibt, ist das keine Kreislinie, auch wenn die Sportreporter häufig von Kreisspielern sprechen - die Trainer aber auch." (Wie groß ist der Torraum (in m²) - 6 blaue Punkte. Wie groß ist die Fläche zwischen Torraumlinie und Freiwurflinie - 8 rote Punkte) 
Double- und Triple-Ring (Innenmaß) 8 mm 
"Siebenundzwanzig Gänge hast du also nicht wirklich an deinem Fahrrad," bemerkte Maria. "Ja, ja, du hast ja Recht", antwortete Mike. "Da sich die Sportserie dem Ende nähert, möchte ich mich noch einmal mit einem Spielfeld, dem Baseballfeld beschäftigen." "Na, dann mal los".
rot: Die gesuchte Spielfläche ist gleich der Differenz des Kreisausschnittes IAB und den Flächeninhalten der beiden Dreiecke IHB bzw. IHA.
"Die Baseballaufgabe war ja gar nicht so schwer, wobei der rote Teil es schon in sich hatte", fand Lisa. Mike stimmte ihr zu. "Dann lass uns ein letztes Spielfeld anschauen - das vom Tennis." 
"Nach den Zaubereien auf dem Schachbrett, möchte ich mich mal mit der zauberhaften Parabel befassen." "Wie meinst du das?", wollte Mike von Lisa wissen. "Nun, ich habe etwas über eine tolle Eigenschaft der Parabel gelesen. Damit kann man schon jüngeren Schulkindern das kleine 1x1 beibringen." "Ehrlich, wie soll das gehen?" "Also, passt auf: 
Für dir Berechnungen der Flächeninhalt können wir die Formel benutzen: A=2r²sinαsinβsinγ, wobei r der Radius des Umkreises ist, sinα, sinβ , sinγ die Innenwinkel des Dreieckes sind. Da unser Dreieck gleichseitig ist, gilt sinα=sinβ=sinγ= 60 ° 
Löst man die untere Gleichung nach oder b auf, zeigt sich, dass es keine reellen und damit erst recht keine natürlichen Zahlen gibt, die die Gleichung erfüllen. 
Das Basteln hat allen Spaß gemacht, wir haben auch gleich noch Papierschiffchen gebastelt und diese gleich in dem quadratischen Schulhofteich schwimmen lassen. Leider konnten wir nicht alle wieder raus nehmen, da einige in die Mitte abgetrieben waren", sagte Maria. "Lagen da gestern nicht ein paar Bretter rum?", fragte Bernd. "Ja schon, aber die sind nicht lang genug, die Kantenlänge des Brunnens liegt bei 4m (blaue Fläche) und die zwei Bretter waren aber nur jeweils zwei Meter lang (Es waren eigentlich genau 2,03 m)." "Nun, dann hättet ihr doch die Schiffe retten können", meinte Mike. "Bist du sicher?" "Aber klar, doch." - 5 rote Punkte. 
Die Bretter einfach gerade auf das Wasser zu legen, würde zwar gehen, aber wer schon mal versucht hat, solche starken Bretter (24 cm siehe blau) zu bewegen, wenn man nur minimal anfassen kann, der wird wohl diese variante eher verwerfen, noch dazu wo die Chance die Schiffe wirklich ganz aus dem Wasser zu ziehen, nicht so einfach ist. 
Aber irgend so eine "Abkürzung" müsste es schon sein.
"Hallo Bernd, die Konstruktionsaufgabe von letzter Woche war ja richtig attraktiv, das hat unseren kleinen richtig Spaß gemacht, sie haben es auch für 5- und 6-Ecke probiert", meinte Lisa, die eine Zeichnung mitgebracht hatte. Diese stellte eine vereinfachte Darstellung einer atemberaubenden Brücke dar, die sie Urlaub gesehen hatte. 
"Sagt mal, habt ihr gewusst, dass der Herrnhuter Stern möglicherweise von einem Mathematiklehrer erfunden wurde?", fragte Bernds Opa, der lange nicht mehr da gewesen war. „Wie das denn?" "Nun, der Lehrer hatte eine recht große Einheit zum Thema Polyeder geplant. Die Schüler sollten diese Polyeder basteln und deren Oberfläche und Volumen berechnen. Damit das nicht ganz so langweilig war, ließ der Lehrer auf die Flächen der Polyeder noch Pyramiden kleben, na ja und das sah dann eben aus wie ein Stern." "Na klar, wenn ich auf einen Würfel -- ein recht einfaches Polyeder -- sechs Pyramiden draufklebe, dann habe ich einen sechsstrahligen Stern", bemerkte Lisa. "Das stimmt, aber wenn du einen Herrnhuter Stern basteln willst, brauchst du einen Polyeder, dessen Netz so aussieht. Alle Kanten dieses Netzes sind gleichlang, sagen wir einfach 4 cm."
Hier nun ein Bild des Körpers.
"Nun ist die Weihnachtszeit wieder vorbei, aber die Zweifarbigkeit meines Herrnhuter Sterns hat mich zu folgenden Aufgaben geführt", sagte Mike als er mit Bernd, Lisa und Maria zusammen saß. "Na dann zeig mal her," sagte Bernd. 
Wenn man es genau liest, braucht bei der blauen Aufgabe nicht notwendigerweise gerechnet zu werden. Wird das obere Dreieck durch einen parallelelen Schnitt zur Basis des gleichschenkligen Dreiecks gebildet, so ist dieses zum Ausgangsdreieck ähnlich. (Lässt sich mittels Hauptähnlichkeitssatz auch schnell zeigen.) Bei der Halbierung der Höhe wird also das obere Dreieck halb so groß, so dass der gesuchte Flächeninhalt gerade mal 1/4 des ursprünglichen Flächeninhaltes beträgt. 
"Die Lösung der letzten Aufgabe fand ich sehr überraschend", musste selbst Bernds Vater zugeben. "Ist eure Schule eigentlich an der Vorbereitung für die Schacholympiade beteiligt?", fragte er nach. "Ja, ich denke schon", meinte Bernd, "ich werde mal bei unserem Hausmeister nachfragen, denn der ist unser Schachexperte." "Na, wenn das so ist, dann wird er sich über diese Aufgabenserie sicher freuen, denn es wird 12 Aufgaben rund um das Schachbrett geben. Schach und Mathematik passen gut zusammen." "Das stimmt". "Auf dem Bild seht ihr einen aus schwarzen und weißen Würfeln errichteten Schachturm. Auf dem kann man ganz normal Schach spielen, denn von oben betrachtet, sieht er wie ein normales Schachbrett aus. Es ist sicher nicht schwer herauszubekommen, wie viele schwarze und weiße Würfel verbaut wurden – 4 blaue Punkte. Wie hoch ist ein solcher Turm, wenn auf einem n x n Feld etwas mehr als 1000 Würfel (schwarze und weiße zusammen) auf diese Art aufgestapelt werden? 4 rote Punkte" 
" In unserer Gruppe haben wir angefangen, den Würfelturm zu bauen, der wird richtig gut", sagte Lisa, als sie mit Maria bei Bernd und Mike ankam. "Die Vielfalt der Spielmöglichkeiten beim Schach ist schon verblüffend", stellten sie fest. "Dann macht es doch erst mal etwas einfacher. Nehmt vom Spielfeld alle Figuren runter, bis auf den schwarzen König auf e8. Der braucht 7 Züge bis zur gegenüberliegenden Seite (er geht also in jedem Fall vorwärts, ob gerade oder schräg, ist egal.) Wie viele verschiedene Wege gibt es für den König, um zum Feld e1 zu gelangen (7 rote Punkte). Wie viele Felder (und welche) erreicht der schwarze König nicht? (4 blaue Punkte)" 
"Die Wandermöglichkeiten des Königs sind ja wirklich enorm. Noch dazu, wenn man bedenkt, dass er das auf nur 32 der 64 Felder schafft", meinte Bernds Vater, als er die letzte Aufgabe gelöst hatte. "Da fällt mir das Dameproblem ein, aber das war schon mal dran. Nun, dann bleiben wir einfach noch beim König. Gesucht ist eine Aufstellung von so vielen Königen wie möglich, ohne dass sie sich gegenseitig bedrohen. (4 blaue Punkte). Welches ist die kleinste Anzahl von Königen, um alle nicht besetzten Felder zu bedrohen? (4 rote Punkte)".
Die Schachbrettkugel sieht ja erst mal nicht schwierig aus. Der Umfang der Kugel sei gleich dem Durchmesser des größten Kreises, der in das obige Schachbrett hineinpasst. 
"Oh je, die Aufgabe mit der Schachkugel war ja ganz schön schwer und das nicht nur, weil so eine riesige Kugel aus Gold so schwer ist." "Da hat Bernd vollkommen Recht", meinte auch Lisa, die etwas verzweifelt auf ein Schachbrett voller Zahlen schaute. "Was ist denn mit den Zahlen?" "Es sieht so aus, als hätte da jemand die Zahlen von 1 bis 64 recht wahllos auf die Felder geschrieben, aber ich denke, da steckt vielleicht etwas Geheimnisvolles dahinter." Für die Entdeckung des zauberhaften Geheimnisses gibt es 4 blaue Punkte. 
"Ich habe noch eine alte Aufgabe entdeckt", sagte Mike, der auch noch etwas ratlos auf das Zahlenschachbrett schaute. "Das Schachbrett soll durch Schnitte entlang der Kanten der Felder in vier gleichgroße zu einander kongruente Teilstücke zerlegt werden." "Was soll daran schwer sein, wenn ich das Brett halbiere und die Stücke dann noch mal dann sind es vier zu einander kongruente Quadrate." "Ach Bernd, ganz so einfach ist es denn doch nicht, denn auf h1, g2, f3 und e4 soll immer eine Dame oder eine andere Figur stehen. Und nun kommt es, die Zerlegung muss so gemacht sein, dass auf jedem der 4 Teilstücke auch genau eine der Figuren steht." Zu erreichen sind 4 rote Punkte. 
Wobei, für die 6 blauen Punkte braucht man auch Fantasie." "Lass hören". "Statt des Schachbrettes wird ein gleichgroßes Schachtuch (40 cm) genommen und um einen passenden Holzzylinder "geklebt", so dass die a-Kante und die h-Kante aneinander liegen. Welchen Durchmesser muss der Zylinder haben und bis wohin kommt ein Läufer, der auf d1 steht, wenn er eine vollkommen freie Bahn hat."
Blau: Die 40 cm des Schachbrettes sind der Umfang des Zylinders. Mit u=Π * d, ergibt sich d zu rund 12,7 cm.
Für die blaue Aufgabe bietet sich eine Analyse der Zugmöglichkeiten an. Das Feld B2 wird nicht genutzt. Von jedem anderem sind genau zwei Felder erreichbar. Damit lässt sich ein Rundweg konstruieren bzw. wenn ein Springer immer ein Feld nutzt, von dem er nicht kommt, ergibt sich der Rundweg zwangsläufig.
Damit sich die Springer nicht auf die Hufe treten, entscheidet man sich für eine Richtung. Jeder Springer führt 4 Bewegungen aus. Es sind also 16 Bewegungen notwendig.
Die Strecken 
Das Bild zeigt die Schachpyramide gedreht. Nimmt man das obige Bild hinzu lassen sich die schwarzen Flächen schnell auszählen.
Als Koordinatenursprung wählen wir den linken hinteren Rand des Brettes.
Lösung der Eistütenproblematik von Andree, danke
Da Bernd nicht gerade leise gesprochen hatte, schaute sein Vater ins Zimmer und hörte den Rest der Aufgabe mit. "Da habe ich auch etwas Verdunkeltes für euch." Er zeichnete eine Art abnehmenden Mond.
Die Formel A=e*f/2 gilt weil, die Diagonalen des Rhombus senkrecht aufeinander stehen und damit die Flächeninhaltsformel für Dreiecke genutzt werden kann. Die sich halbierenden Diagonalen - Eigenschaften eines Parallelogramms - sind jeweils die Höhen.
Mit X=Y ist der Diagonalfall mit enthalten.
Natürlich ist es egal, ob das Quadrat rot oder blau ist, da man die entsprechende Figur natürlich beidseitig legen kann. Um den Flächeninhalt zu erhalten, gehen folgende Überlegungen voraus: Es entstehen 4 kongruente Figuren, die jeweils an zwei gegenüberliegenden Ecken einen 90° Winkel haben (einmal die Originalaußenecke und einmal bei den sich schneidenden gelben Linien, denn die beiden anderen Ecken ergänzen sich zu 180°) Nun müssen alle vier Figuren so verdreht werden, dass die Innenecken zu den Außenecken des neuen Quadrats werden. Man sieht sofort, dass die neuen Außenkanten die Länge einer gelben Linie haben. Diese berechnet sich aber einfach mit Hilfe des Satzes von Pythagoras: 
und damit gleichzeitig der Flächeninhalt des neuen Quadrats, der beträgt somit: 
Geld ist nicht alles, aber rechnen kann man schon damit. Nicht schwierig, aber sicherlich doch überraschend werden die Antworten ausfallen. Es ist eine Anlehnung an die allererste Aufgabe – mit weniger Geld, aber deutlich mehr Ergebnissen. 
Was meint ihr, wie groß der Abstand zwischen Bild und Rahmen war? (3 blaue Punkte), anschließend wurde das Poster aufgehängt, so dass der Nagel sich genau über der Mitte einer Kante des Posters befand. Wie weit war der Nagel von dem Poster entfernt? (4 rote Punkte).“ „Das erinnert mich an die Aufgabe mit dem Seil um den Äquator“, meinte Lisa, die natürlich auch bei der Party war. „Ja, das ist richtig“, stimmte Maria zu, „da wäre also noch die Frage, wie verändern sich die Abstände, wenn man bei einem anders großen Poster die Aufgabenstellung durchführt.“ „Ja wie ist das mit dem Abstand für das Herumlegen eines solchen Seiles (quadratischer Rahmen) bei beliebig großen Quadraten (noch mal 4 blaue Punkte) bzw. beim Aufhängen des Posters (noch einmal 4 rote Punkte)“, fragte Bernds Vater nach. 
Bezeichnen wir in unserem Dreieck die Strecke 
mit a und die Strecke 
mit b. Da ABCD ein Quadrat ist und das Dreieck XYZ ein rechtwinkliges Dreieck ist, haben wir viele paarweise aufeinander senkrecht stehende Strecken (Geraden), so dass die eingeschlossenen Winkel gleich groß sind. Deshalb sind die Dreiecke XYZ, XBA und CYB zueinander ähnlich. Deshalb gilt:
und mit 
und 
. Daraus ergibt sich 
. Aus 
erhält man damit:
Wie du siehst ist die Figur durch die gestrichelten Linien zu einem Seckseck geworden. Die Frage ist nun, wie groß ist der Flächeninhalt dieses Sechsecks und wie lässt sich der Flächeninhalt eines solchen Sechsecks für jedes rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a und b ermitteln? Da sind auch wieder 8 Punkte drin. Da setzt sich ja der rasante Start in die Serie 16 gleich mal noch fort. Stimmt genau. Hat Lisa schon erzählt, was sie Blaupunktler zu tun haben. Aber ja. Ein König hat in seinem Schloss eine große Schatztruhe. In dieser Schatztruhe sind genau 7 Schatzkisten drin. In jeder dieser Kisten befinden sich 3 kleine Schatullen und in diesen Schatullen sind jeweils genau 7 wertvolle schwarze Perlen. Wie viele Perlen sind es? Jeder dieser Behälter ist gegen Diebe mit einem komplizierten Schloss versehen. Wie viele Schlösser müssen mindestens geöffnet werden, wenn der König genau 26 Perlen herausnehmen möchte, um seiner Frau eine Kette anfertigen zu lassen? (Da gibt es 2 + 3 blaue Punkte) 
Verblüffenderweise erhält man, dass die schraffierten Dreiecke alle denselben Flächeninhalt wie das Dreieck ABC haben. Im Falle des Dreiecks CGH ist dies offensichtlich, da
ist die Verlängerung von 
über A hinaus, K ist der Höhenfußpunkt von I auf 
. Nach Voraussetzung (Quadrat) gilt: 
. Weil Paare von senkrecht aufeinander stehenden Geraden (Strecken) gleiche Winkel einschließen, gilt: 
. Nach Voraussetzung ist 
und nach Konstruktion 
. Somit stimmen die Dreiecke AKI und ABC in zwei Winkeln überein und sind ähnlich. Betrachtet man entsprechende Stücke in den ähnlichen Dreiecken, so erhält man: 
besitzt, sind die schraffierten Dreiecke flächengleich zum Dreieck ABC. Für den Flächeninhalt des Sechsecks gilt demzufolge: 
Klappt man nun die grünen Dreiecke in das große Quadrat, entsteht nebenstehende Figur. Daraus erhält man den gesuchten Flächeninhalt zu:
x <1: -(x-1)+(x+2)<5 <=> 3 <5 gilt immer
1: (x-1)+(x+2)<5 <=> 2x+1<5 <=> x <2
und 
un muss man b mit Hilfe von a ausdrücken und anschließend die Gleichung lösen.
= 
Es gilt (Pythagoras): 0,9² = a² + b², also 
ersetzt und seine Überlegungen entsprechend denen von XXX dargelegt. Ergänzt wurde das durch die graphische Darstellung.
wird zu
Unter den Dreiecken mit Inkreisradius 2 gibt es solche mit zwei verschiedenen Seiten Ein solches hat aber stets eine größere Fläche als ein gleichschenkliges, hier gestrichelt angedeutet. Für ein gleichseitiges Dreieck führt dann die Bewegung der Berührpunkte zu größeren Dreiecken. Das zeigt nicht, dass das flächenkleinste Dreieck das gleichseitige ist, lediglich, dass kein anderes flächenkleinstes sein kann .. Das gesuchte kleinste Dreieck ist ein gleichseitiges mit Inkreisradius 2.
die Mischungstemperatur ist. Vernachlässigt man die Ausdehnung der Milch bei Erwärmung, so erhält man:
