Serie 41

Serie 41

Aufgabe 1

481. Wertungsaufgabe - die Logikaufgabe

Im September fand das große Zirkusprojekt statt. Jeremias, Anne, Franz, Helene und Hannes waren in verschiedenen Gruppen. (Trapez, Seillaufen, Jonglieren, Einradfahren bzw. Zaubern). Die täglichen Trainingszeiten in den Gruppen waren alle unterschiedlich. (3, 4, 5, 6 oder sogar 7 Stunden.) Am Ende des Projekts erhielten alle 5 eine Teilnahmebestätigung. Dort standen jeweils der Vorname, der Nachname (Berg, Carlay, Kent, Müller bzw. Stevens), die Trainingszeiten und die Gruppe drauf. Was steht auf den Urkunden (6 blaue Punkte), wenn folgendes bekannt ist:

(Die Verwendung des Begriffs der Teilnehmer sagt nicht über das Geschlecht aus.)

1. Hannes trainierte 4 Stunden täglich.

2. Der Teilnehmer, der am Trapez trainierte, hat entweder 1 Stunde oder aber 3 Stunden länger als Franz Müller trainiert.

3. Der Teilnehmer am Einradfahren trainierte länger als der Jongleur, aber nicht so lange wie Jeremias.

4. Helene, die auf dem Seil lief, trainierte mehr als der Teilnehmer mit dem Nachnamen Carlay.

5. Zaubern wurde jeden Tag 6 Stunden trainiert. Der Teilnehmer Berg trainierte genau 5 Stunden pro Tag.

6. Anne trainierte mehr als Stevens.

Am Samstag traten die 5 Schüler nacheinander auf. Die Schüler sind 11, 12, 13, 14 bzw. 15 Jahre alt. Die Gruppen, in denen sie trainierten, hatten 9, 11, 12, 14 bzw. 18 Teilnehmer.

In welcher Reihenfolge traten sie auf, wie alt sind sie und wie viele Teilnehmer waren es pro Gruppe? 6 rote Punkte

(Die Verwendung des Begriffs „der Teilnehmer“ sagt nicht über das Geschlecht aus.)

1. Franz hat mit mehr Mitschülern trainiert als der, der direkt vor ihm auftrat. Der älteste Teilnehmer war irgendwann nach Franz dran.

2. In der Gruppe von Anne waren es 11 Teilnehmer.

3. Jeremias, der zweitjüngste, trainierte mit weniger Teilnehmern als mindestens einer, der vor ihm auftrat.

4. Der 13-jährige, also nicht Helene, war nicht der erste, der auftrat.

5. Der Jüngste trainierte in einer Gruppe mit 12 Teilnehmern.

6. Die größte Gruppe trat als zweite Gruppe in der Manege des Zirkus auf.

Termin der Abgabe 07.01.2016. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 07.01.2016. Deadline for solution is the 7th. January 2016. Date limite pour la solution 07.01.2016.

frz:

481

Exercice de logique

En Septembre, le grand projet de cirque a eu lieu. Jérémie, Anne, Franz, Hélène et Hannes étaient dans des groupes différents. (Trapèze, corde marche, jonglage, monocycle ou magie). Les temps d’entraînements quotidiens dans les groupes étaient tous différents. (3, 4, 5, 6 ou même 7 heures). A la fin du projet chaque ’un des 5 a reçu un certificat de participation avec le prénom, nom, (Berg, Carlay, Kent, Müller et Stevens), les temps de formation et le groupe. Qu'est-ce qu’il y a marqué sur les certificats (6 points bleus), sachant que:

(L'utilisation du terme des participants ne dit rien sur le sexe.)

1. Hannes s'est formé 4 heures par jour.
2. Le participant qui s’entrainaient  sur le trapèze, a eu soit 1 heure, soit 3 heures de plus de formation que Franz Müller.
3. Le participant formé à la monocycle, s’entrainait plus longtemps que le jongleur, mais pas aussi longtemps que Jérémie.
4. Hélène, qui a couru sur la corde, s’entrainait plus que le participant avec le nom Carlay.
5. La magie était entrainée pendant 6 heures chaque jour. Le participant Berg s’entrainait 5 heures par jour.
6. Anne s’entrainait plus que Stevens.

Le samedi, les 5 élèves se sont produits en succession. Les élèves sont âgés de 11, 12, 13, 14 et 15 ans. Les groupes dans lesquels ils ont été formés, avaient 9, 11, 12, 14 ou 18 participants.

Dans quel ordre se sont-ils produits, quel âge sont-ils et combien de participants étaient dans chaque groupe? 6 points rouges

(L'utilisation de l'expression «les participants» ne dit rien sur le sexe.)

1. Franz s’entrainait avec plus de camarades de classe que celui qui se produit juste avant. Le participant le plus âgé se produit peu après Franz.
2. Dans le groupe d'Anne, il y avait 11 participants.
3. Jérémie, le deuxième plus jeune, s’entrainait avec moins de participants qu’au moins un qui se produit avant lui.
4. Le participant de 13 ans, donc pas Hélène, n’était pas le premier à se produire.
5. Le plus jeune s’entrainait dans un groupe de 12 participants.
6. Le plus grand groupe se produit en second groupe dans le ring du cirque.

en:

Logical Task

In September the Circus Project took place. Jeremias, Anne, Franz, Helene and Hannes were in different groups. (trapeze, walking the rope, juggling, unicycling and conjuring). The daily training times in the groups were different. (3, 4, 5, 6 or even 7 hours.) In the end of the project all 5 got a certificate of participation. On them their name, their surname (Berg, Carlay, Kent, Müller resp. Stevens), their training times and their group were written. What is written on the certificates (6 blue points) if the following things are given:

(The use of the term "participator" doesn't say anything about the gender.)

1. Hannes trains 4 hours a day.

2. The participant who trained on the trapeze has trained either 1 or 3 hours longer than Franz Müller.

3. The participant in unicycling trained longer then the juggler, but not as long as Jeremias.

4. Helene, who walked on the rope, trained more than the participant with the surname Carlay.

5. Conjuring was trained for 6 hours a day. The participant Berg trained exactly 5 hours a day.

6. Anne trained more the Stevens.

On Saturday all students entered the stage one after another. The students are 11, 12, 13, 14 resp. 15 years of age. The groups, who they trained with, had 9, 11, 12, 14 resp. 18 participants.

In which order did they enter the stage? How old are they? And how many participants were in each group? 6 rose points.

(The use of the term "the participant" says nothing about the gender.)

1. Franz trained together with more schoolmates than the person, who entered the stage before him. The oldest participant came in some time after Franz.

2. The group of Anne consisted of 11 participants.

3. Jeremias, the second youngest, trained with fewer participants than at least one of the persons entering the stage before him.

4. The 13 year old person, so not Helene, was not the first who entered the stage.

5. The youngest person trained in a group consisting of 12 participants.

6. The biggest group entered the circus stage second.

it:

Problema di logica

A settembre ebbe luogo il grande progetto di circo.  Jeremias, Anne, Franz, Helene e Hannes si trovavano in diversi gruppi. (Trapezio, funambolismo, giochi di destrezza, andare con il monociclo e giochi di prestigio). I tempi d´allenamento quotidiani nei gruppi erano diversi (3,4,5,6 o 7 ore). Dopo questo progetto tutti i 5 partecipanti riceverono un certificato di partecipazione. Lì erano scritti il nome, cognome (Berg, Carlay, Kent, Müller e Stevens), i tempi degli allenamenti e il gruppo. Cosa c´è scritto sui certificati (6 punti blu), se si conoscono seguenti elementi: (L´uso del termine partecipante non indica il genere della persona riguardante).
1. Hannes si allenava 4 ore ogni giorno.
2. Il partecipante che si allenava con il trapezio si è allenato 1 ora oppure 3 ore più di Franz Müller.
3. Il partecipante che faceva il monociclo si allenava più a lungo del giocoliere ma non così a lungo come Jeremias.
4. Helene, che camminava sulla corda, si allenava di più di colui che fa Carlay di cognome.
5. La magia si faceva ogni giorno 6 ore. Il partecipante Berg si allenava esattamente 5 ore al giorno.
6. Anne si allenava di più di Stevens.
Nel giorno di sabato i 5 alunni entrarono in scena. Gli alunni hanno  11, 12, 13, 14 e 15 anni. I gruppi nei quali si allenavano avevano  9, 11, 12, 14 e 18 partecipanti. In quale ordine si misero in scena, quanti anni hanno e quanti partecipanti erano ogni gruppo? 6 punti rossi.
(L´uso del termine partecipante non indica il genere della persona riguardante).
1. Franz s´è allenato con più compagni di colui che si è messo in scena prima di lui. IL partecipante più grande d´età si mise in scena in un altro momento dopo di Franz.
2. Nel gruppo di Anne c´erano 11 partecipanti.
3. Jeremias, il secondo più giovane, si allenò con meno partecipanti di almeno uno che si mise in scena prima di lui.
4. Colui che ha 13 anni, che non è Helene, non era il primo che si mise in scena.
5. Il più giovane si allenò in un gruppo con 12 partecipanti.
6. Il gruppo più grande si mise in scena come secondo gruppo sulla pista del circo.

Lösung/solution/soluzione/résultat:

Aufgabe 2

482. Wertungsaufgabe

„Deine Konstruktion sieht aber gut aus“, sagte Maria zu Lisa. „Das ist mein Zauberstern“. „Zauberstern?“ „Ich habe zuerst einen Kreis gezeichnet (Radius=4 cm) und mit dieser Zirkelspanne ein regelmäßiges Sechseck konstruiert. Das geht ja ganz einfach. An jede Sechseckseite habe ich ein gleichschenkliges Dreieck konstruiert. Damit das wie ein Stern aussieht, ist der Flächeninhalt jedes dieser Dreiecke halb so groß wie der Flächeninhalt des Sechsecks.“

Wie lässt sich der Zauberstern konstruieren? Klassische Konstruktion (kein geogebra und kein Abmessen). Für eine gute Konstruktionsbeschreibung (und Begründung) gibt es 6 blaue Punkte.

Der Zauberstern ist als Netz einer sechsseitigen Pyramide nutzbar. Wie groß sind dann Oberfläche und Volumen der Pyramide? 7 rote Punkte

Termin der Abgabe 14.01.2016. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 14.01.2016. Deadline for solution is the 14th. January 2016. Date limite pour la solution 14.01.2016.

en:

“Your construction looks really good”, Maria said to Lisa.
“It's my magic star.”
“Magic star?”
“First I drew a circle (4 cm radius) and, using the same radius, a regular hexagon. Which is really easy. At each side of the hexagon I constructed an isosceles triangle. To make it look like a star the area of each of the triangles is half the one of the hexagon.”
How can you construct such a star? Describe a classical construction (no Geogebra or measuring). There are 6 blue points for a valid description (including rationale).
This magic star can be used as the net of a hexagonal pyramid. What are its surface area and volume? - 7 red points

 fr.

"Ta construction à l’air bien." a déclaré Mary à Lisa. "Ceci est mon étoile magique". "Etoile magique?" "J’ai tracée d’abord un cercle (Rayon = 4 cm) et ensuite, en utilisant un compas, j’ai construit un hexagone régulier. Cela est tout à fait simple. A chaque coin de l’hexagone j’ai construit un triangle isocèle. Pour que cela ressemble à une étoile, la surface de chacun de ces triangles est la moitié de la surface de l'hexagone ".
Comment construisez-vous l’étoile magique? Construction traditionnelle (pas de geogebra et aucune mesure). Pour une bonne spécification de conception (avec raisonnement), il y aura 6 points bleus.
L’étoile magique peut être utilisée en tant que puissance d'une pyramide à six faces. Quelle sont alors la surface et le volume de la pyramide? 7 points rouges

it.

“La tua costruzione è molto bella”. Disse Maria a Lisa. “Questa è la mia stella magica”. “Stella magica?”, “Ho disegnato per primo un cerchio (raggio=4 cm) e con questo palmo circolare ho costruito un esagono regolare. È molto facile. Ad ogni lato del esagono ho costruito un triangolo isoscele. Per farlo sembrare una stella, ogni area di questi triangoli ha la mezza grandezza dell´area del esagono.”
Come si può costruire questa stella magica? Una costruzione classica (senza geogebra, senza misurare). Per una buona descrizione (con addetta fondatezza) si assegnano 6 punti blu. La stella magica è utilizzabile come rete di una piramide esagonale. Quanto sono grandi l´area ed il volume della piramide? 7 punti rossi.

Lösung/solution/soluzione/résultat:
Lösung von Linus, danke: --> als pdf <--

Aufgabe 3

483. Wertungsaufgabe

Bernds Opa gefiel der Zauberstern (Aufgabe der vorherigen Woche), den Lisa konstruiert hatte auch sehr. Er hatte die Konstruktion ebenfalls durchgeführt, dazu hatte er einen Kreis (Radius = 4 cm) gezeichnet und dann das regelmäßige Sechseck in den Kreis. Weil er das aufkleben wollte, hatte der Opa die außerhalb des Sechsecks liegenden Kreisteile abgeschnitten.
Wie viel „Abfall“ (in Prozent) war dabei entstanden? 3 blaue Punkte
Möchte man in den Kreis (Radius = 4 cm) ein regelmäßiges Fünfeck oder Zehneck konstruieren, so ist die Kantenlänge des Fünfecks länger als die Kantenlänge des Secksecks, die vom Zehneck kürzer.
Welche Dreiecksart entsteht, wenn aus den Kantenlängen des Fünfecks, des Sechsecks und des Zehnecks ein Dreieck konstruiert wird? (6 rote Punkte)

Termin der Abgabe 21.01.2016. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 21.01.2016. Deadline for solution is the 21th. January 2016. Date limite pour la solution 21.01.2016.

fr:

Le grand-père de Bernd aimait aussi beaucoup l’étoile magique (l’objet de la semaine précédente) que Lisa avait construite. Il avait également procédé à la construction en commençant par la construction d’un cercle (rayon = 4 cm) et ensuite dessiné un hexagone régulier dans le cercle. Parce qu'il voulait coller sa construction sur un papier, il avait coupé l'extérieur des parties du cercle de l'hexagone.
Combien de «déchets/superflu» (en pourcentage) a t’il coupé? 3 points bleus
Si on veut dessiner dans le cercle (rayon = 4 cm) un pentagone régulier ou un décagone, la longueur d'arête du pentagone est plus long que la longueur d’arête du hexagone, et celle du décagone plus courte.
Quel type de triangle apparait lorsque que des longueurs d’arête du pentagone, de l'hexagone et du décagone forment un triangle? (6 points rouges)

 en.:

Bernd's granddad really liked the magic star (last week's problem), that Lisa had constructed, too. He did his own construction of it. He drew a circle (radius=4cm) and the regular hexagon inside. Because he wanted to stick the hexagon on to something else he cut off the parts of the circle outside the hexagon. How much “waste” (in percent) were thus created? - 3 blue points
If you construct a regular pentagon or decagon inside a circle (radius=4cm) the sides of the pentagon will be longer than the sides of the hexagon, while the sides of the decagon will be shorter. What kind of triangle would you get if you constructed it from the side of a pentagon, a hexagon and a decagon respectively? - 6 red points

it.:

Al nonno di Bernd era piaciuta anche molto la stella magica (esercizio della settimana precedente) che Lisa aveva costruito. Pure lui aveva eseguito la costruzione, in più aveva disegnato un cerchio (raggio=4 cm) e successivamente il esagono regolare nel cerchio. Siccome pensava di incollarlo, il nonno tagliò i pezzi del cerchio che si trovavano al di fuori del esagono.
Quanto è alta la percentuale di residuo che si forma? 3 punti blu.
Nel caso si voglia costruire nel cerchio (raggio=4 cm) un pentagono regolare oppure un decagono, allora la lunghezza degli spigoli del pentagono è più lunga rispetto alla lunghezza degli spigoli del esagono, e quella del decagono invece più corta.
Quale tipo di triangolo si forma se dalle lunghezze degli spigoli del pentagono, del esagono e del decagono si costruisce un triangolo? (6 punti rossi).

Lösung/solution/soluzione/résultat:
Lösung con Calvin, danke. --> als pdf <--

Aufgabe 4

484. Wertungsaufgabe

„Weißt du noch, wie man gemeine Brüche a/b in Dezimalbrüche umwandelt?“, fragte Mike. Bernd meinte: „Das ist doch ganz einfach. Du musst die schriftliche Division a : b ausführen und zwar so, dass du a durch a,0000000 … ersetzt. Dann kannst du a,0000000 … durch b dividieren. Kommt da der Rest Null heraus, bist du fertig. Sollte niemals der Rest Null werden, so wird sich einer der Reste wiederholen. Dann kannst du auch aufhören, denn dann hast einen periodischen Bruch erhalten.“
2 blaue Punkte gibt es für den gemeinen Bruch (kürzen nicht vergessen), der auf 0,12345 führt.
2 rote Punkte gibt es für den gemeinen Bruch (kürzen nicht vergessen), der auf 0,12345 führt.

Termin der Abgabe 28.01.2016. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 28.01.2016. Deadline for solution is the 28th. January 2016. Date limite pour la solution 28.01.2016.

fr.

"Vous souvenez-vous comment convertir les fractions vulgaires a / b dans les fractions décimales?" Demanda Mike. Bernd dit: «Voilà très facile. Il faut écrire la division a : b d’une telle manière que a soit remplacé par a,0000000. Maintenant on peut diviser a,0000000 par b. Si le reste est zéro, c’est fini. Si le reste n’est jamais zéro, cela veut dire qu’un des restes va se répéter infiniment. Dans ce cas, ce n’est plus la peine de continuer car on a une division périodique. »
2 points bleus là pour la fracture commune (n’oubliez pas de raccourcir), qui conduit à 0,12345.
2 points rouges là-bas pour la fracture commune (n’oubliez pas de raccourcir), qui conduit à 0,12345.

en.:

“Do you remember how to transform a fraction a/b into a decimal?”, Mike asked.
Bernd replied: “That's really easy. You only have to perform a long division a ÷ b in such a way that a is noted as a.000000… . The you can divide a.000000… by b. When the result of the last subtraction is 0 you are done. Should this result never be 0, the same result will recur. In that case you are done as well because you got a periodic decimal.”
2 blue points for a fraction (don't forget to reduce it) that results in 0.12345.
2 red points for a fraction (don't forget to reduce it) that results in 0.12345 führt.

it.:

“Ti ricordi come si trasformano frazioni comuni a/b in frazioni decimali?”, chiese Mike. Bernd rispose: “Questo è molto facile. Devi attuare la divisione scritta di a : b in tal modo che sostituisci a con a,0000000.... Successivamente puoi dividere a,0000000.... con b. Se esce come resto lo zero hai finito. Nel caso che il resto non fosse mai zero allora un dei resti si ripeterà. A quel punto puoi smettere; hai ricevuto una frazione periodica.”
2 punti blu si danno per la frazione comune (non dimenticatevi di semplificare) che conduce a 0,12345.
2 punti rossi si danno per la frazione comune (non dimenticatevi di semplificare) che conduce a 0,12345.

Lösung/solution/soluzione/résultat:
Lösung von Paulchen, danke: --> als pdf <--
Lösung von von Linus, danke: --> als pdf <--

Aufgabe 5

485. Wertungsaufgabe

„Was ist denn das für ein merkwürdiger Bruch auf deinem Zettel?“, fragte Mike. Das ist ein regulärer Kettenbruch. Regulär heißt, dass alle Zähler 1 sind. Eine Kurzschreibweise gibt es auch: [2;1,1,2,3]. Wenn du von unten nach oben rechnest, kommst du auf den Bruch 44/17. Probiere es aus.“
Welcher Bruch verbirgt sich hinter der Kettenbruchdarstellung [0;1,2,3,4,5] 4 blaue Punkte.
Kettenbrüche können auch periodisch sein, z. B. wenn die Quadratwurzel aus natürlichen Zahlen gezogen wird, die selber keine Quadratzahl sind. Wurzel (13) = [3; 1,1,1,1,6] Die Wurzel aus welcher Zahl verbirgt sich hinter [4; 1,3,1,8]? 4 rote Punkte

Termin der Abgabe 04.02.2016. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 04.02.2016. Deadline for solution is the 4th. February 2016. Date limite pour la solution 04.02.2016.

fr.:

"Qu'est-ce que c’est comme fraction bizarre sur ta liste?" demanda Mike. C’est une fraction continue régulière. Régulière veut dire que tous les compteurs sont  1. Il y a également une forme de raccourci: [2; 1,1,2,3]. Si tu comptes à partir de la base, tu arriveras à la fraction 44/17. Essaye-le. "

Quelle fraction se cache derrière la représentation en fraction continue [0; 1,2,3,4,5] 4 points bleus.

Les fractions continues peuvent également être périodiques, par exemple, si on calcule la racine carrée des nombres naturels qui ne sont pas des nombres carré eux -mêmes. Racine (13) = [3; 1,1,1,1,6] La racine de quel nombre se cache derrière [4; 1,3,1,8]? 4 points rouges

en

“What kind of strange fraction is that, there on your paper”

“That's a regular continued fraction. Regular, because the all numerators are 1. There is a shorthand for it: [2;1,1,2,3]. When you calculate from the top down you will get the fractional number 44/17. Try it.”
Which fractional number does the continued fraction [0;1,2,3,4,5] denote? - 4 blue points
Continued fraction can be periodic, for example if they describe a square root of a natural number that isn's a square number itself. The square root of 13 = [3; 1,1,1,1,6]. Which square root is denoted by [4; 1,3,1,8]? - 4 red points

it.:

“Ma che frazione strana hai lì sul tuo foglietto?”, chiese Mike. “Questa è una frazione continua regolare. Regolare significa che tutti i numeratori sono 1. Un´abbreviamento esiste anche: [2;1,1,2,3]. Se calcoli da giù a su ti esce la frazione 44/17. Provaci.”
Quale frazione si nasconde dietro la frazione continua [0;1,2,3,4,5]? 4 punti blu.
Frazioni continue possono essere anche periodiche p.E. Se si calcola la radice quadrata da numeri natrali che a loro volta non sono numeri quadrati. Radice (13) = [3; 1,1,1,1,6]. La radice di quale numero si nasconde dietro [4; 1,3,1,8]? 4 punti rossi.

Lösung/solution/soluzione/résultat:
erste Lösung von Paulchen H., danke --> als pdf <-- Hier wird eine vermutete Lösung bestätigt (nachgewiesen).
zweite Lösung von Hans, danke --> als pdf <-- Hier wird die Lösung direkt aus der "Aufgabenstellung" heraus berechnet.
Beide Ansätze sehr interessant und für das Thema Kettenbrüche aufschlussreich.

Aufgabe 6

486. Wertungsaufgabe

„Ich bin ja gespannt, was die Teilnehmer an der Sizilienexkursion zu berichten haben → Link zum Blog ←“, meinte Maria. „Ich auch. Sie können vielleicht sogar helfen, diese Aufgabe zu lösen.“ Lass hören.“
Aus 35 möglichst gleichgroßen Apfelsinen (Durchmesser 8 cm) lässt sich ein „Tetraeder“ - eine dreiseitige Pyramide – aufschichten. Zum Üben wird zwischen die Schichten jeweils eine Pappe mit einer Dicke von 2 mm gelegt. Wie groß ist das Volumen aller 35 Orangen und wie hoch ist die Pyramide? 3 blaue Punkte.
Wenn nun die Pappen vorsichtig entfernt werden, dann rutschten die oberen Apfelsinen in die Lücken der unteren Schichten – aber immer so, dass sich die Apfelsinen einer Schicht entsprechend berühren. Wie hoch wird dann diese Pyramide sein? 5 rote Punkte

Termin der Abgabe 25.02.2016. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 25.02.2016. Deadline for solution is the 25th. February 2016. Date limite pour la solution 25.02.2016.

fr.

«Je suis excité de voir ce que les participants ont à raconter sur leurs excursions en Sicile → lien vers blog ← ", a déclaré Maria. "Moi aussi. Ils peuvent peut-être même aider à résoudre ce problème. "Écoutons ça."
Avec 35 oranges d’à peu près  de la même taille (diamètre de 8 cm) on peut cheminer un "tétraèdre" - une pyramide à trois faces. Pour pratiquer, une planche en corton d’une épaisseur de 2 mm est entreposée entre chaque couche. Quelle est le volume de l'ensemble des 35 oranges, et quelle est la hauteur de la pyramide? 3 points bleus.
Maintenant, si les planches de carton sont retirés doucement, les oranges du haut vont glisser dans les fentes inférieures - mais toujours d’une façon que des oranges d’une même couche se touchent. Quelle sera alors la hauteur de cette pyramide? 5 points rouges

en:

“I'm really curious what the participants of this year's trip to Sicily will have to tell → link to Blog ←”, Maria said.
“Me too. Perhaps they can help to solve this Problem here.”
“Let's hear about it.”
35 oranges, preferably of equal size (diameter 8  cm) can be stacked into a “tetraeder” - a triangular pyramid. To make this easier a piece of cardboard (thickness 2mm) is inserted between each layer. What's the volume of all 35 oranges and what's the height of the pyramid? - 3 blue points.
If the cardboard is removed, the upper oranges will settle into the gaps below – but always in such a way that the oranges of each layer keep touching. What will be the height of this pyramid? - 5 red points

it:

“Sono curioso di sentire cosa hanno da raccontare i partecipanti dell´escursione in → blog ← Sicilia”, disse Maria. “Anch´io. Forse possono anche aiutare a risolvere questo eserciszio.” “Lascia sentire.”
Di 35 aranci quanto più possibile grandi uguali (diametro 8 cm) si lascia accatastare un tetraedro – una piramide trilaterale. Per esercitarsi si mette fra le falde un pezzo di carta con uno spessore di 2mm. Quanto è grande il volume di tutte e 35 aranci e quanto è alta la piramide? 3 punti blu.
Se si tolgono prudentemente i pezzi di carta allora gli aranci superiori cadono negli spazi delle falde di sotto- ma sempre a tal modo che gli aranci si toccano rispondente ad una falda. Quanto sarà alta allora questa piramide? 5 punti rossi.

Lösung/solution/soluzione/résultat:
Hier die Musterlösung von Detlef Eder, danke --> als pdf <--
Zwei Schichten mit Geogebra von Felix, danke --> ggb <--

Aufgabe 7

487. Wertungsaufgabe

„Was sind das für Rechnungen, die da auf deinem Zettel stehen?“, fragte Bernd. „Ich bereite den Mathematikkurs für die Klassen 5 und 6 vor. Die Schüler sollen natürliche Zahlen in Summanden zerlegen (natürliche Zahlen, die größer als 0 sind), die aufeinander folgen. Hier siehst du Beispiele für mögliche Zerlegungen.“
15 = 7 + 8 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 +4 + 5
18 = 5 + 6 + 7 = 3 + 4 + 5 + 6
23 = 11 + 12
25 = 12 + 13 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7
Die Anzahl der möglichen Zerlegungen für eine Zahl ist also durchaus unterschiedlich.
Es sind für die Zahlen 39, 40, 41 und 42 alle möglichen Zerlegungen zu finden. 4 blaue Punkte
Die kleinste Zahl, die sich zerlegen lässt, ist die 3 = 1 + 2. Lassen sich alle natürlichen Zahlen, die größer sind als 2, in aufeinander folgende Summanden zerlegen? Gesucht ist ein Beweis, dass es für alle Zahlen geht, oder wenn nicht, welche Zahlen widersetzen sich einer Zerlegung? (Bildungsgesetz für die Anzahl der Zerlegungen finden) 4 rote Punkte.

Termin der Abgabe 03.03.2016. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 03.03.2016. Deadline for solution is the 3th. March 2016. Date limite pour la solution 03.03.2016.

frz:

«C’est quoi les calculs sur ta feuille ?» Demanda Bernd. "Je prépare les cours de mathématiques pour les classes du 6eme et 5eme. Les élèves doivent décomposer des nombres naturels dans leurs sommes respectives (nombres naturels qui sont supérieures à 0). Voici quelques exemples ".
15 = 7 + 8 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 +4 + 5
18 = 5 + 6 + 7 = 3 + 4 + 5 + 6
23 = 11 + 12
25 = 12 + 13 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7
Le nombre de décompositions additives possibles d'un nombre naturel est donc tout à fait différent.
Il faut trouver toutes les décompositions additives possibles pour des numéros 39, 40, 41 et 42. 4 points bleus
Le plus petit nombre naturel qui peut être rompu est le 3 = 1 + 2. Est-ce que c’est possible de décomposer tous les nombres naturels supérieurs à 2 dans leurs sommes ? On cherche une preuve que c’est possible pour tous les nombres, si non, quel nombre s’y oppose à cette preuve ? (Voir la loi pour la décomposition additive des nombres) 4 points rouges.

it.:

“Che conti sono che hai scritti sul tuo foglio?”, chiese Bernd. “Sto preparando il corso di matematica per le classi 5 e 6. Gli alunni devono dividere numeri naturali in addendi (numeri naturali che sono più grandi di 0) che si succedono. Quì vedi degli esempi di decomposizioni possibili.”
15 = 7 + 8 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 +4 + 5
18 = 5 + 6 + 7 = 3 + 4 + 5 + 6
23 = 11 + 12
25 = 12 + 13 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7
La quantità di possibili decomposizioni è allora molto differente. Per i numeri 39,40,41 e 42 si devono trovare tutte le decomposizioni possibili. 4 punti blu.
Il numeri più picciolo che si lascia decomporre e il 3=1+2. Che tutti i numeri naturali che sono più grandi di 2 si lasciano decomporre in addendi successivi? Si cerca una prova che funziona per tutti i numero, oppure se non, quali numeri si oppongono ad una decomposizione? (Trovare una legge di formazione per la quantità delle decomposizioni). 4 punti rossi.

en.:

“What calculations are these, there on your paper?”, Bernd asked.
“I'm preparing a maths course for the 6^th and 7^th graders. The students are supposed to break natural numbers into addends (natural numbers, bigger than 0) which are consecutive. Here you can see possible partitions.”
15 = 7 + 8 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 +4 + 5
18 = 5 + 6 + 7 = 3 + 4 + 5 + 6
23 = 11 + 12
25 = 12 + 13 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7
As you see the number of possible partitions for one number differs.
Find all possible partitions for the numbers 39, 40, 41 and 42. - 4 blue points
The smallest number that can be thus partitioned is 3 = 1 + 2. Can all numbers greater than 2 be partitioned into consecutive addends? Find a proof that this is possible for all numbers or, if not, find out which numbers cannot be thus partitioned. (find a rule to calculate the number of possible partitions) – 4 red points

Lösung/solution/soluzione/résultat:
Es sind verschiedene Varianten "im Angebot". Danke an alle.
Hans --> als pdf <--
Maximilian --> als pdf <--
Calvin --> als pdf <--
Paulchen --> als pdf <--

Aufgabe 8

488. Wertungsaufgabe

„Das sieht aber kompliziert aus, was du da rechnest", meinte Maria zu Bernd. „Na so schwierig ist das gar nicht. Es sind spezielle Gleichungssysteme. Diese enthalten n Gleichungen mit n Unbekannten und haben alle die gleiche Struktur.“
Beispiel 1:
x₂ + x₃ = 1
x₁ + x₃ = 2
x₁ + x₂ =3

Beispiel 2:
x₂ + x₃ + x₄ = 1
x₁ + x₃ + x₄ = 2
x₁ + x₂ + x₄ = 3
x₁ + x₂ +x₃ = 4
Die erste Gleichung hat auf der rechten Seite die Zahl 1 und auf der linken Seite die Summe aller x_i außer x₁.
Die zweite Gleichung hat auf der rechten Seite die Zahl 2 und auf der linken Seite die Summe aller x_i außer x₂.
…
Die n-te Gleichung hat auf der rechten Seite die Zahl n und auf der linken Seite die Summer aller x_i außer x_n.
Für die Lösung des Beispiels 1 gibt es 3 blaue Punkte.
Für die Lösung des Beispiels 2 gibt es 4 rote Punkte. Für die allgemeine Lösung (n>=3) werden noch einmal 5 rote Punkte vergeben.

Termin der Abgabe 10.03.2016. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 10.03.2016. Deadline for solution is the 10th. March 2016. Date limite pour la solution 10.03.2016.

fr.:

„Tes calculs ont l‘air très compliqués“, dit Maria à Bernd. « Non ils ne le sont pas. Ce sont des équations spéciales. Ceux-ci inclus n équations à n inconnues et ont tous la même structure.
Exemple 1:
x₂ + x₃ = 1
x₁ + x₃ = 2
x₁ + x₂ =3

Exemple 2:
x₂ + x₃ + x₄ = 1
x₁ + x₃ + x₄ = 2
x₁ + x₂ + x₄ = 3
x₁ + x₂ +x₃ = 4

La première équation a le chiffre 1 à la droite et la somme de tous les x à la gauche ; sauf x₁.
La deuxième équation a le chiffre 2 à la droite et la somme de tous les x à la gauche ; sauf x₂.
La n-ième équation a le chiffre n à la droite et la somme de tous les x à la gauche ; sauf x_n.
3 points bleus pour la solution de l'exemple 1.
4 points rouges pour la solution de l'exemple 2. Pour la solution générale (n> = 3) il y aura 5 points rouges en plus.

en:

“That does look complicated whatever you are calculating”, Maria said to Bernd.
“It's not that hard. I'm looking at special systems of linear equations. They contain n equations with n variables and they all have the same structure.”
example 1:
x₂ + x₃ = 1
x₁ + x₃ = 2
x₁ + x₂ = 3

example 2:
x₂ + x₃ + x₄ = 1
x₁ + x₃ + x₄ = 2
x₁ + x₂ + x₄ = 3
x₁ + x₂ + x₃ = 4
The first equation consists of the number 1 on the right side and the sum of all x_i except x₁.
The second equation consists of the number 2 on the right side and the sum of all x_i except x₂.
…
The nth equation consists of the number n on the right side and the sum of all x_i except x_n.
Find a solution for example 1. - 3 blue points.
Find a solution for example 2. - 4 red points. There will be another 5 red points for finding a general solution (n>=3).

it:

“Quello che stai calcolando sembra molto complicato” diceva Maria a Bernd. “Non è così difficilie. Sono sistemi di equazioni particolari. Hanno n equazioni con n sconosciute e hanno tutti l astessa struttura.”
Esempio 1:

x₂ + x₃ = 1
x₁ + x₃ = 2
x₁ + x₂ =3

Esempio 2:
x₂ + x₃ + x₄ = 1
x₁ + x₃ + x₄ = 2
x₁ + x₂ + x₄ = 3
x₁ + x₂ +x₃ = 4
La prima equazione ha sulla parte destra il numero 1 e sulla parte sinistra la somma di tutti x_i tranne che x_1.
La seconda equazione ha sulla parte destra il numero 2 e sulla sinistra la somma di di tutti x_i tranne che x₂.
….
La equazione n ha sulla parte destra il numero n e sulla sinistra la somma di tutti x_i tranne che x_2.
Per la soluzione dell´esempio 1 si assegnano 3 punti blu.
Per la soluzione dell´esempio 2 si assegnano 4 punti rossi. Per la soluzione generale (n>=3) si assegnano altri 5 punti rossi.

Lösung/solution/soluzione/résultat:
elegante Lösung von Detlef, Edler, danke. --> als pdf <--

Aufgabe 9

489. Wertungsaufgabe

„Das ist ja eine schöne mathematische Tasse.“, sagte Mike.

“Wie viel passt denn in die Tasse rein?“ „Der Innendurchmesser und die Innenhöhe sind jeweils rund 7,6 cm groß“, sagte Bernd, der ganz stolz auf diese Tasse ist. Wie groß ist das Volumen der Flüssigkeit, die (randvoll) in die zylinderförmigen Tasse passt? 3 blaue Punkte. Noch mal drei blaue Punkte gibt es für die Berechnung des Volumens der Tasse – als Hohlkörper (ohne Henkel) - wenn der Außendurchmesser 8,0 cm und die Gesamthöhe 9,3 cm beträgt.
Wird die Tasse fast voll mit 90 °C heißem Kaffee gefüllt, so ergeben sich bei einer Raumtemperatur von 20 °C folgende Werte.

Wie heiß wäre der Kaffee nach 20 Minuten? 5 rote Punkte

Termin der Abgabe 17.03.2016. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 17.03.2016. Deadline for solution is the 17th. March 2016. Date limite pour la solution 17.03.2016.

fr.:

489

"Ceci est une belle tasse mathématique.», a déclaré Mike.

«Combien est-ce qu’on peut mettre dans une tasse comme ça ?" "Le diamètre intérieur et la hauteur intérieure sont autour de 7,6 cm, respectivement", dit Bernd, qui est très fier de cette tasse. Quelle est le volume de liquide (à ras le bord) qui rentre dans la tasse cylindrique? 3 points bleus. Trois points bleus supplémentaires pour le calcul du volume de la tasse - le corps creux (hors poignée) - lorsque le diamètre extérieur est de  8,0 cm et la hauteur totale est de 9,3 cm.

Si la tasse est remplie presque à ras le bord avec du café chaud à 90 ° C, les valeurs suivantes sont obtenues à une température ambiante de 20 ° C.

Quelle est la température du café après 20 minutes ? 5 points rouges

en:

“Nice math-themed mug”, Mike remarked.

“Nice math-themed mug”, Mike remarked.


“What volumes does it have?”
“The inner diameter and inner height are both roughly 7.6 cm.”, Bernd said, obviously being proud of his mug. What is the volume of the mug when filled to the brim? - 3 blue points.
Another three blue points for calculating the volume of the mug itself – as a solid body (without handle) – when the outer diameter is 8.0 cm and the total height is 9.3 cm.
When almost filled with coffee 90°C hot, you will measure the following data in a room of 20°C:

What would be the temperature after 20 minutes? - 5 red points

it:

Ma che bella tazza matematica!”, disse Mike.

“Quanto spazio ha questa tazza?” “ Il diametro interno e l´altezza interna sono entrambi grandi ca. 7,6 cm”, disse Bernd, che era molto fiero di questa tazza. Quant´è grande il volume dell´liquido che entra (raso) nella tazza a forma di cilindro? 3 punti lbu.

<plang="it-IT">Si possono acquistare altri tre punti blu per il calcolo del volume della tazza – come corpo cavo (senza maniche) – se il diametro esterno è di 8,0 cm e l´altezza completa 9,3 cm.

Riempendo la tazza quasi fino al bordo con caffè a 90°C risultano a temperatura ambiente di 20°C seqzenti valori:

Dopo 20 minuti, quanto caldo sarebbe il caffè? 5 punti rossi

Lösung/solution/soluzione/résultat:
Hier die Lösungen von Paulchen --> als pdf <-- und Calvin --> als pdf <--, danke.

Aufgabe 10

490. Wertungsaufgabe

„Ist das eine Dreiecksblume, die du gezeichnet hast?“, fragte Bernd seine Schwester.

„Stimmt, das sieht im Inneren wie eine Blume aus.“
ABC sei ein gleichseitiges Dreieck (a = 4 cm). Die Punkte D, E, F sind die Mittelpunkte der Seiten.
Wie lang sind alle Bögen zusammen, die über das Dreieck hinausragen? 4 blaue Punkte
Wie groß ist der Flächeninhalt der Blume? 6 rote Punkte

Termin der Abgabe 24.03.2016. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 24.03.2016. Deadline for solution is the 24th. March 2016. Date limite pour la solution 24.03.2016.

fr

«Est-ce une fleur triangulaire que tu as dessiné?" Interroge Bernd sa sœur.

«Ouais, à l’intérieur ça ressemble à une fleur."
ABC est un triangle équilatéral (a = 4 cm). Les points D, E, F sont les points médians des côtés.
Quelle longueur font tous les arcs additionnés qui se prolongent au-delà du triangle? 4 points bleus
Quelle est la superficie de la fleur? 6 points rouges

it
“È un fiore triangolare che hai disegnato lì?”, chiese Bernd a sua sorella.

“Giusto, all´interno sembra come un fiore.”
ABC sia un triangolo equilatero (a=4 cm). I punti D,E,F sono i punti centrali dei lati.
Quanto sono lunghi tutti gli archi insieme che sporgono sopra il triangolo? 4 punti blu.
Quant´è grande l´area del fiore? 6 punti rossi.

en

“What did you draw here? A triangular flower?”, Bernd asked his sister.

“True, the inner part looks like a flower.”
Let ABC be an equilateral triangle (a = 4 cm). Points D, E, F are the centers of its sides.
What is the total length of all arcs outside the triangle? - 4 blue points
What is the area of the flower? - 6 red points

Lösung/solution/soluzione/résultat:

Hier die Lösungen von Calvin --> pdf <--, D. Edler --> pdf <-- und Hans --> pdf <--, danke

Aufgabe 11

491. Wertungsaufgabe

„Die Blume aus der letzten Woche lässt sich für jedes Dreieck konstruieren, auch wenn die Blütenblätter nicht unbedingt immer gleich groß sind.“, meinte Bernds Opa. „Hier ein Beispiel mit einem rechtwinkligen Dreieck.“ Jedes Kästchen ist 1 cm groß, so dass die Maße dem Bild entnommen werden können.“ (C₁F₁ = 1cm)

Wie groß (Radien) sind die drei Kreise? (Ermittlung durch Konstruktion – Beschreibung nicht vergessen – 6 blaue Punkte, Berechnung 9 blaue Punkte)
Wie groß ist der Flächeninhalt der Blume? 9 rote Punkte. (Wer zeigte wann zum ersten Mal, dass sich die so konstruierten Kreise in jedem Dreieck bei beliebiger Lage der Punkte D1, E1 und F1 auf den Seiten des Dreiecks immer in einem Punkt schneiden?) 1 roter Punkt

Termin der Abgabe 07.04.2016. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 07.04.2016. Deadline for solution is the 7th. April 2016. Date limite pour la solution 07.04.2016.

fr:

"La fleur de la semaine dernière peut être construit pour chaque triangle, même si les pétales ne sont pas nécessairement toujours de la même taille.» dit le grand-père de Bernd. "Voici un exemple d'un triangle rectangle." Chaque boîte est de 1 cm de taille, de sorte que les mesures peuvent être prises depuis l'image ".  (C₁F₁ = 1cm)

Quelle est la taille (rayons) des trois cercles? (Détermination par construction – ne pas oublier la description -  6 points bleus, le calcul 9 points bleus)
Quelle est la superficie de la fleur? 9 points rouges. (Qui a démontré pour la première fois, que les cercles construits dans chaque triangle à une position quelconque des points D1, E1 et F1 sur les côtés du triangle à un moment donné se coupent toujours dans un seul point?) 1 point rouge

en:
“Last week's triangle-flower can be constructed with any triangle, even if its petals aren't necessarily equal in size.”, Bernds granddad said.
“Here is an example using a right-angled triangle. Each square is 1 cm so that measurements can be taken from the picture.” (C₁F₁ = 1cm)

How big (radii) are the three circles? (determinating by construction – don't forget an explanation – 6 blue points, calculation – 9 blue points)
What is the area of the flower? - 9 red points
(Who showed for the first time (and when) that the circles constructed in such a way will in any triangle and with any position of D1, E1 and F1 on the sides of the triangle intersect in one point?) - 1 red point

it.:
“Con il fiore di settimana scorsa si può costruire ogni triangolo, anche mettendo caso che i petali non sono sempre grandi uguali”, disse il nonno di Bernd. “Quì un esempio un triangolo rettangolare.” Ogni casella è grande 1 cm nel modo che le misure si possono rilevare dall´immagine. (C₁F₁ = 1cm)

Quanto sono grandi i tre cerchi (raggi)? (accertamento tramite una costruzione – non dimenticatevi una descrizione – 6 punti blu, calcolo 9 punti blu)
Quant´è grande la superficie del fiore? 9 punti rossi. (Chi fece vedere per la prima volta, e quando, che i cerchi così costruiti in ogni triangolo si tagliano sempre sui lati del triangolo in un punto, con una posizione qualunque dei punti D1, E1 e F1? 1 punto rosso.

Lösung/solution/soluzione/résultat:
Hier die Lösungen von Calvin --> pdf <-- und D. Edler --> pdf <--, danke.

Aufgabe 12

492. Wertungsaufgabe

„Sieh dir mal mein Quadrat ABCD (a= 8 cm) an. Ich habe mit dem Zirkel diese Halbmonde gezeichnet“, sagte Lisa zu Mike. „Das sieht richtig gut aus“, gab Mike zu.
Wie groß ist die Fläche aller Monde zusammen? 5 blaue Punkte.
Der Punkt I ist 2 cm von C entfernt. Die Gerade durch M und I schneidet vom oberen Mond ein kleines Stück ab. Wie groß ist der Flächeninhalt des abgeschnittenen Teiles des Mondes? 5 rote Punkte. Im Bild ist ein Dreieck LPK zu erkennen. Bernds Opa meint, wenn das Dreieck LPK gleichschenklig ist, dann stimmt der Flächeninhalt von LPK mit dem Flächeninhalt des abgeschnittenen kleinen Mondteiles überein. Wer die Aussage vom Opa beweisen oder widerlegen kann, bekommt noch einmal 5 rote Punkte.

Termin der Abgabe 14.04.2016. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 14.04.2016. Deadline for solution is the 14th. April 2016. Date limite pour la solution 14.04.2016.

fr.

"Regarde mon carré ABCD (a = 8 cm). Je dessinée ces croissant de lune avec mon compas. ", a déclaré Lisa à Mike. "Ça a l'air vraiment bien", a reconnu Mike.
Quelle est la superficie de toutes les lunes ensemble? 5 points bleus.
Le point I est à une distance de 2 cm du point C. La droite qui passe par M et I coupe un petit morceau de la partie supérieure de la lune. Quelle est la surface de ce petit morceau ? 5 points rouges.
Le dessin montre un triangle LPK. Le grand-père de Bernd pense que si le triangle LPK est isocèle, alors la superficie de LPQ et égale à la superficie du petit morceau de la lune. Qui peut prouver ou de réfuter la déclaration du grand-père, obtient 5 points rouges supplémentaires.

en:

“Have a look at my square ABCD (a = 8 cm). I used a compass to draw these crescents”, Lisa said to Mike.
“That looks great”, Mike agreed.
What is the combined area of all crescents? - 5 blue points
Point I is 2 cm from C. The line through M and I cuts a little piece from the upper crescent. What area does this piece have? - 5 red points
In the picture you'll find a triangle LPK. Bernd's granddad argues that if this triangle LPK is isosceles, its area will be equal to the little piece that was cut from the crescent. Proving or refuting grandfathers claim will get you another 5 red points.

it:

“Guardati il mio quadrato ABCD (a=8 cm). Ho disegnato con il compasso queste mezze lune”, disse Lisa a Mike. “È molto bello”, ammise Mike.
Quant´è grande la superficie di tutte le lune insieme? 5 punti blu.
Il punto I dista dal punto C 2 cm. La retta attraverso M ed I taglia del bordo superiore della luna un piccolo pezzo. Quant´è grande la superficie del pezzo tagliato della luna? 5 punti rossi. Nell´immagine si vede un triangolo LPQ. Il nonno di Bernd sostiene che se il triangolo LPK fosse isoscele allora la superficie di LPK corrisponderebbe alla superficie del pezzo piccolo della luna tagliato. A chi riesce dimostrate o confutare la tesi del nonno vengono assegnati ulteriormente 5 punti rossi.

Lösung/solution/soluzione/résultat:

Hier die Lösungen von Linus --> pdf <--,  Hans --> pdf <-- und Paulchen --> pdf <--, danke.

Die Buchpreise wurden gewonnen von Hans, Detlef Edler und Calvin, herzlichen Glückwunsch.
Der Buchpreis: 3 x Ian Stewart Mathematische Detektivgeschichten überreicht vom Buchdienst Chemnitz.