Serie 37

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Aufgabe 9

441. Wertungsaufgabe

„Schau mal Bernd, ich habe das Spiel „Elfer raus“ aus unserer Spielekiste geholt“, sagte Maria. „Cool, lass mich kurz überlegen, wie viele Karten das Spiel umfasst.“ „Das ist ganz einfach“, sagte Maria, „es sind 80 Karten. Auf jeder Karte ist eine der Zahlen 1 bis 20 und zwar in vier Farben (blau, rot, grün und gelb: 4x20 = 80, die Rückseiten der Karten sind alle gleich). Ich habe eine Spielidee.“ „Lass hören.“ Maria sagt: „Ich nehme nur die roten Karten. Erst einmal nur die mit den Zahlen 1 bis 4. Die Karten mische ich und decke dann die vier Karten der Reihe nach auf. Ist die erste Karte die „1“ geht der Punkt an mich. Ist die erste Karte keine „1“, decke ich die zweite Karte auf. Ist das eine „2“, dann geht auch der Punkt an mich, wenn nicht, darf ich es mit der dritten Karte und der „3“ probieren, um den Punkt zu bekommen und als letzte Chance die vierte Karte mit der „4“. Wenn jede der Karten an der falschen Stelle liegt, hast du gewonnen.“
Wie viele Möglichkeiten gibt es, die vier Karten auszuspielen und wie viele davon sind für Maria günstig? (4 blaue Punkte)
4 rote Punkte gibt es für die Untersuchung des Spieles, wenn 5 Karten verwendet werden.
Für ganz Fleißige gibt es noch einmal 6 rote Punkte, wenn alle 20 roten Karten des Spieles zum Einsatz kommen.

Termin der Abgabe 06.11.2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 06.11.2014. Deadline for solution is the 06th. November 2014.

Guarda Bernd, ho tirato fuori il gioco “Fuori l´undici” dalla cesta dei giochi”, disse Maria. “Bello, fammi pensare un attimo quante carte ha il gioco.” “Questo è molto facile”, disse Maria, “sono 80 carte. Su ogni carta c´è un numero da 1 a 20 in quattro colori diversi (blu, rosso, verde e giallo: 4x20=80, i didietro delle carte sono tutti uguali). Ho un´idea di gioco.” “Dimmi pure.” Maria dice: “Prendo solamente le carte rosse. Intanto solo quelle con i numeri 1 fino a 4. Mischio le carte e scopro le quattro carte una alla volta. Se la prima carta è un “1”, allora faccio punto io. Se la prima carta non è un “1”, scopro la seconda carta. Se esce il due, allora faccio punto di nuovo io, nel caso che non, posso provare a scoprire la terza carta e con il numero “3” per fare punto e come ultima possibilità posso scoprire la quarta carta con il numero “4”. Nel caso, che ogni carta stia al posto sbagliato, hai vinto tu.”
Quante possibilità ci sono per scartare le quattro carte e quante di queste sono a vantaggio di Maria? (4 punti blu).
4 punti rossi si danno per l´analisi del gioco con 5 carte.
Ai più diligenti vengono assegnati 6 punti rossi, nel caso vengano usate tutte e venti delle carte del gioco.

441
“Look, Bernd, I found the game “Eleven Out” in our box of games”, Maria said.
“Great, let me think: How many cards were in the game?”
“That’s easy”, Maria said, “there are 80 cards. On each card is one of the numbers from 1 to 20 in one of the four colours (blue, red, green and yellow: 4x20=80. The reverse sides are all equal.) I’ve got an idea for a game.”
“Let me hear”
Maria said: ”I’ll only take the red cards and only those with the numbers from 1 to 4 to start with. I’ll shuffle the cards and the turn them over. If the first card is a number “1” I’ll get a point. If it isn’t a “1”, I’ll turn over the second card. If that is a “2” I’ll get a point, too. If it isn’t I get to try again with the third card and a “3” or, as a last chance, with the fourth card and a “4”. If each card shows a wrong number you’ll win.”
How many possibilities are there to deal the cards and how many would be in favour of Maria? – 4 blue points
4 red points for the analysis ogf the same game containing 5 cards. Another 6 red points to analyse a game of all 20 red cards.

Lösung/solution/soluzione:

Basis dieser Aufgabe war eine Aufgabe aus dem Buch "berühmte Aufgaben der Stochastik" von Haller und Barth. Zu finden auf Seite 172 ff.

(Die Wahrscheinlichkeit eines Sieges von Marie wird im Folgenden immer mit p bezeichnet, die Anzahl der günstigen Möglichkeiten ist dann p * Anzahl aller Möglichkeiten.)
Blau/rot:
Gibt es nur eine Karte - die 1, so gewinnt Maria immer. p =1 Anzahl aller Möglichkeiten 1= 1!
zwei Karten Anzahl aller Möglichkeiten 2= 2!: (1;2), (2;1) p= 1/2 = 1- 1/2!
drei Karten:Anzahl aller Möglichkeiten 6= 3!: (1;2;3), (1;3;2), (2;1;3), (2;3;1), (3;1;2), (3;2;1)  p=4/6  p= \frac{4}{6}= \frac{2}{3} = 1- \frac{1}{2!} + \frac{1}{6} = 1- \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!}
vier Karten: Anzahl aller Möglichkeiten 24= 4! Die fleißigen Löser haben herausgefunden, es gibt 15 Möglichkeiten in den Maria gewinnt. p =15/24 = 5/8
 p= \frac{5}{8} = 1- \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} - \frac{1}{24}= 1- \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}
5 Karten: Anzahl aller Möglichkeiten 5= 120!
Mal den Trend der obigen Formel folgend:  p = 1- \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} - \frac{1}{4!} + \frac{1}{5!}= \frac{19}{30} Diese Wahrscheinlichkeit multipliziert mit 5! = 120 führt auf die von einigen gefunden 76 Möglichkeiten.
Es lässt sich beweisen (s. Buch), dass der "Trend" immer gilt:
6 Karten:  p = 1- \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} - \frac{1}{4!} + \frac{1}{5!} - \frac{1}{6!}= \frac{91}{144} ist mit 6! zu multiplizieren.
7 Karten:  p = 1- \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} - \frac{1}{4!} + \frac{1}{5!} - \frac{1}{6!} + \frac{1}{7!}= \frac{531}{841} ist mit 7! zu multiplizieren.

n Karten:   \large p = \sum_{i=1}^n {\frac{(-1)^i}{i!}} Um die Anzahl der für Maria günstigen Fälle zu berechnen, müsste p mit n! multipliert werden:
Wie man leicht sieht ist p immer größer (gleich) 1/2. Außer im Fall von zwei Karten hat Maria das "Glück" immer auf ihrer Seite.
Für Genießer:   \large p = \sum_{i=1}^\infty {\frac{(-1)^i}{i!}}=1 - \frac{1}{e}                     e - eulersche Zahl

Kommentare   

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