Serie 37

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Aufgabe 5

437. Wertungsaufgabe

Hallo Mike, bist du ein Erbauer von Würfeln geworden?“, fragte Lisa. „Nein, die 27 gleichen Würfel habe ich von Bernds Opa bekommen und habe die zu einem Würfel zusammengesetzt. Das hat er mit einer Aufgabe verbunden. Ich soll so viele Würfel wegnehmen, so dass der Restkörper von vorn, von oben und von rechts so aussieht.“437

Aus wie vielen kleinen Würfeln besteht dann der Restkörper und wie sieht der Restkörper aus (Schrägbild)? 4 blaue Punkte.
Was machst du eigentlich mit dem Kantenmodell des Würfels?“, fragte Lisa weiter. „Nun, ich habe hier Fäden, die ich von Ecke zu Ecke spannen kann. So kann ich mir leichter vorstellen, wie Dreiecke in den Würfel passen.“ „Verstehe.“ Wie viele Dreiecke kann Mike maximal in dem Würfel „unterbringen“, wenn die Ecken der Dreiecke, gleichzeitig immer auch Eckpunkte des Würfels sind. Weiter soll gelten, dass die Eckpunkte eines Dreiecks nicht auf einer Seite des Würfels liegen sollen. 4 rote Punkte.

Termin der Abgabe 25.09.2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 25.09.2014. Deadline for solution is the 25th. September 2014.

“Ciao Mike, sei diventato un costruttore di dadi?”, chiese Lisa. “No, i 27 dadi uguali li ho ricevuti dal nonno di Bernd e ho formato di loro un dado unico. Questo l’ha abbinato ad un esercizio. Devo eliminare cotanti dadi, cosicché la forma restante da davanti, da sopra e da destra resti uguale.”

437<Di quanti dadi piccoli consiste la forma restante e come sembrerebbe questa forma (immagine in diagonale)? 4 punti blu.
Che cosa fai con il modello degli spigoli del dado?”, chiese Lisa ancora. “Dunque, ho dei fili che posso tendere da un angolo all´altro. Così potrò immaginarmi più facilmente, come centrano i triangoli nel dado“. “Ho capito”. Quanti triangoli può mettere Mike al massimo nel dado, se gli angoli dei triangoli sono anche sempre i punti angolari del dado? In più vale, che i punti angolari di un triangolo non possono stare su un lato del dado. 4 punti rossi.

437

"Hi Mike, have you become a constructor of cubes?", Lisa asked.
"No, these 27 identical cubes I got from Bernd's granddad. I put them together into one big cube. Then he set a task for me. I was to take away cubes so that the resulting solid looked like this when seen from the front, from above and from the right."

437 How many cubes are used for the resulting solid and how does it look in cavalier projection? - 4 blue points
"What are you doing with this edge-model of a cube?", Lisa went on asking.
"Well, here I've got strings that can be stretched from one corner to another. So it's really easy to imagine how triangles would fit inside the cube."
"I see."
How many triangles can Mike fit inside the cube at most if all vertices of the triangle are at the same time vertices of the cube and no triangle is part of a face of the tube?

Lösung/solution/soluzione:

 Es sind noch 20 Würfel, die man für den Körper braucht.
437-1437-2

Rot --> es gibt 32 solche Dreiecke Begrüdnung von Hans, danke.


Erklärung: Beschriftet man die Eckpunkte des Würfels mit A, B, C, D, E, F, G und H (E über A, F über B, G über C und H über D), dann lassen sich z.B. vom Eckpunkt A aus folgende 12 Dreiecke aufspannen: ABG, ABH, ACE, ACF, ACG, ACH, ADF, ADG, AEG, AFG, AFH, AGH. Somit ergeben sich für alle 8 Eckpunkte insgesamt 12*8=96 Dreiecke. Betrachtet man z.B. das Dreieck ABG, so scheint dieses Dreieck insgesamt dreimal unter den 96 Dreiecken auf, denn es kann von A, von B und von G aus aufgespannt werden. Es sind also unter den 96 Dreiecken jeweils drei Dreiecke identisch. Daher ist die Gesamtzahl 96 noch durch drei zu dividieren, wodurch sich die Anzahl 32 ergibt.

Kommentare   

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