Googol

Googol
Googol steht für 10¹⁰⁰.
Das ist eine 1 mit 100 Nullen.
10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
Das klingt natürlich viel, allerdings 70! (sprich 70 Fakultät) schon größer. Das heißt, wenn man alle Möglichkeiten notieren würde, wie sich 70 Schüler bei deiner Wochenfeier hinsetzten könnten, würde die Zahl schon überschritten. Andererseits schätzt man die Anzahl der Atome im Weltall auf 10⁸⁰ bis 10⁸².
Noch eine Stufe weiter geht dann Googolplex = 10^Googol, also eine Zahl mit 10¹⁰⁰ Nullen, also mit mehr Stellen als es Atome gibt. Schlussfolgerung alle Stellen von Googolplex aufzuschreiben oder irgendwo abzuspeichern ist einfach nicht möglich.
Wo wird wohl der Name Google herkommen?
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Mersennezahl

Mersennezahl

Eine Zahl M, die sich aus 2ⁿ -1 ergibt, wobei n eine natürliche Zahl > 0 sein soll, heißt Mersennezahl.
Ist M eine Primzahl, so werden diese als Mersenneprimzahl M_P bezeichnet. Es lässt sich zeigen, dass das n, welches auf eine M_P führt auch eine Primzahl ist.
Allerdings führt nicht jedes prime n auf eine Mersenneprimzahl. Bei der Jagd auf große Primzahlen werden Mersennestrukturen untersucht.
Hat man eine Mersenneprimzahl M_P so gilt (2ⁿ – 1) 2^n-1 ist eine vollkommenen Zahl.
Die ersten 30 Mersennezahlen:

zusammengesetzte Zahl

zusammengesetzte Zahl

Primzahltest

befreundete Zahlen

befreundete Zahlen

Zwei Zahlen heißen befreundet, wenn die Summe der echten Teiler gleich der anderen Zahl ist und umgekehrt.
Ein solches Paar ist 220 und 284:
Summer der echten Teiler  von (220)=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
Summer der echten Teiler  von s(284)=1+2+4+71+142=220
Es sind relativ wenige Paare solcher Zahlen bekannt, ob es möglicherweise unendlich viele solcher Paare gibt ist nicht klar.


noch mehr Interessantes im großen -->Mathelexikon<--

Stammbruch

Stammbruch

Als Stammbruch wird ein gemeiner Bruch mit dem Zähler 1 bezeichnet.
$$\frac{1}{n}$$
Jeder echte gemeine Bruch lässt sich in eine endliche Summe von Stammbrüchen zerlegen. --> hier <--

Prisma

Prisma

Prisma, Mehrzahl Prismen
Ein Prisma ist ein ebenflächig begrenzter Körper. Er hat zwei zueinander parallel liegende und zueinander kongruente n-Ecksflächen. (Grund- und Deckfläche). Der Abstand  dieser Flächen steht für die Höhe des Körpers. Alle anderen Flächen sind Parallelogramme (oder Spezialfälle davon).
Handelt es sich bei den Seitenflächen um Rechtecke oder  (und) Quadrate, so wird das Prisma als gerades Prisma bezeichnet.
Das Volumen eines Prismas ist das Produkt des Flächeninhaltes der Grundfläche und der Höhe. V = A_G ^. h
Die Gesamtheit der Seitenflächen wird auch als Mantelfläche bezeichnet.
Der Oberflächeninhalt A_O setzt sich aus der Mantelfläche A_M und dem Doppelten des Inhaltes der Grundfläche A_G zusammen.
Spezielle Prismen sind der Würfel und der Quader.

Laplace Wahrscheinlichkeit

Laplace Wahrscheinlichkeit

Gegenkathete

Gegenkathete

Als Katheten bezeichnet man die Seiten, die in einem rechtwinkligen Dreieck, den rechten Winkel einschließen.
Betrachtet man nun einen der nichtrechten Winkel des Dreiecks, so wird die, diesem Winkel gegenüber liegende Kathete, als Gegenkathete bezeichnet.
(Beispiel. Dreieck ABC mit c als Hypotenuse, so ist a die Gegenkathete zum Winkel CAB - α

Ankathete

Ankathete

Als Katheten bezeichnet man die Seiten, die in einem rechtwinkligen Dreieck, den rechten Winkel einschließen.
Betrachtet man nun einen der nichtrechten Winkel des Dreiecks, so wird die, an diesem Winkel anliegenden Kathete, als Ankathete bezeichnet.
(Beispiel: Dreieck ABC mit c als Hypotenuse, so ist b die Ankathete zum Winkel CAB - α)

Kombination

Kombination
Unter Kombination versteht man die Auswahl von k Elementen aus einer Menge von m Elementen. $${k \leq m}$$.
Dabei spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle. (1  2 = 2  1).
Stimmt k mit m überein, so ist es eine Permutation.
Es wird unterschieden, ob die Elemente alle verschieden sind (Ziehen der Lottozahlen) - siehe Binomialkoffezient.

oder die Elemente können mehrfach auftreten, so gilt für die Anzahl A:
$$ {A = {\frac{(n+k-1)!}{(n-1) !\cdot k!)}}} $$

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient

Der Binomialkoffezient wird u.a. genutzt, um eine der Grundaufgaben der Kombinatorik zu ermitteln.
$$ n \choose k $$
Dabei steht n für die Anzahl von Objekten (Elementen). Von denen werden k ausgewählt werden.
Die Anordnung der k Elemente ist dabei egal und die Elemente sind alle verschieden.
Das wird als Kombination bezeichnet.
Beispiel: Wie viele Möglichkeiten gibt es 6 aus 49 Zahlen zu ziehen:
Zieht man eine Zahl gibt es 49 Möglichkeiten:
Zieht man die zweite Zahl, so lässt sich jede der 49 Zahlen mit einer der verbleibenden 48 Zahlen kombinieren, also 49 * 48 Möglichkeiten.
Für die dritte gilt dann. dass sich jede der 49 * 48 Möglichkeiten mit einer der verbleibenden 47 Zahlen kombiniert werden kann, 49*48*47.
...
Für die sechs Zahlen von den 49 sind das 49*48*47*46*45*44 Möglichkeiten. Allerdings ist diese Zahl noch durch k! (sprich k Fakultät) zu divieren. Begründung: Es kommt ja auf die Reihefolge der gezogenen Zahlen ja nicht an. (z.B 123456 ist genau so gut wie 234561 oder 341256 ... 6! - Permutation).
$$ 49 \choose 6 $$ steht eben genau für 49*48*47*46*45*44/ 6!
Möchte man nur mit Fakultäten rechnen, so lässt sich das auch so schreiben:
$$ {n \choose k} = \frac{n!}{(n-k)! \cdot k!} $$
Berechnung

Der Name  Binomialkoffezient kommt daher, dass sich die Koeffezienten von binomischen Ausdrucken (a+b)n nach dem Ausmultiplizieren als B-Koffezienten angeben lassen.
Spezielle Formen:
$$ {n \choose 0} = {n \choose n} = {1} $$
$$ {n \choose 1} = {n \choose n-1} = {n} $$
$$ {n \choose k} = {n \choose n-k} $$

Berechnung des Binomialkoffizienten

Positionssysteme

Positionssysteme

Positionssystem oder auch Stellenwertsystem.
Wenn man das Schreiben von Zahlen lernt, wird einem recht schnell klar, dass 32 und 23 nicht das Gleiche sind. Aber warum?
Da gibt es zum Einen die Zahlzeichen - Ziffern: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 und 9. Diese werden auch als einstellige Zahlen verwendet. Aber dann hört es auf, kein neues Symbol für die Zehn, Elf, Zwölf, ...
32 heißt : Man hat 3 Zehner und 2 Einer. 23 aber sind 2 Zehner und 3 Einer.
Um eine Zahl zu erfassen braucht man also das Wissen um die Ziffer und das Wissen an welcher Stelle diese steht.
Ganz wichtig in dem Zusammenhang die Null als Kennzeichnung einer vorhandenen Zehnerpotenz. 102 ist nicht das Gleiche wie 1 2. !!!
Dezimalsystem:
Es ist das für uns gebräuchlichste und vertrauteste System:
Zweitausenddreihunderteinundsechzig --> 2361 setzt sich zusammen aus 2*1000 + 3*100 + 6*10 + 1*1
andere Schreibweise 2*10³ + 3*10² + 6*10¹ + 1*10⁰
10 - wird als Basis bezeichnet.
Nun wird auch klar, warum hier kein Symbol für die 10, Elf oder Zwölf braucht. Die Faktoren vor den Potenzen sind kleiner als die Basis der Potenzen.
Der letzte Satz führt zu Folgendem:
Als Basis b eines Positionssystems wird eine natürliche Zahl verwendet, die größer ist als 1. Als Zahlensymbole - Ziffern - werden b verschiedene Symbole gebraucht. Diese stehen im landläufigen Sinne für 0; 1; ...; b-1.

Binär- oder Dualsystem:
Basis ist die 2. Symbole sind die 0 und 1 (in manchen Darstellungen auch 0 und L)
Die Stellen stehen dann für ...; 2⁶; 2⁵; 2⁴; 2³; 2²; 2¹; 2⁰
Die Faktoren, die davor stehen dürfen sind lediglich 0 und 1.
Die obige 23 ist dann 1* 2⁴ + 0*2³ + 1*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ auch geschrieben als 10111₂
Das Binärsystem ist die Grundlage für die Datenverarbeitung.

Oktalsytem:
Basis ist die 8. Symbole sind 0; 1; ...; 7.
Die Stellen stehen dann für ...; 8⁶; 8⁵; 8⁴; 8³; 8²; 8¹; 8⁰
Die obige 23 ist dann 2*8¹ + 7*8⁰ auch geschrieben als 27₈

Systeme mit einer Basis größer als 10 brauchen mehr als 10 Symbole. Man behilft sich da meist mit den Buchstaben aus und kommt damit bis zur Basis 36, da zwischen Groß- und Kleinbuchstaben meist nicht unterschieden wird.

Hexadezimalsystem:
Basis ist die 16. Symbole sind die 0; 1; 8; 9; A; B; C; D; E und F (B steht im unserem Sinne als Symbol für eine 11)
Die Stellen stehen dann für ...; 16⁶; 16⁵; 16⁴; 16³; 16²; 16¹; 16⁰
Die obige 23 ist dann 1* 16¹ + 7*16⁰ auch geschrieben als 17₁₆
Unsere 100₁₀ wird dann zur 64₁₆
(In Mesepotamien hatte man ein 60-er System. Also brauchte man ........ Symbole.

Hier noch die Umrechnung in die verschiedenen Systeme: -- Umrechnung --

Noch Fragen?

alte Zahlbezeichnungen

Alte Zahlbezeichnungen

sexy Primzahlen

Sexy Primzahlen

Was sich die Mathematiker - zumindest einige - so einfallen lassen.
Sexy Primzahlen - sexy prime numbers - sind Primzahlen, deren Differenz 6 ist.
So bilden also 2011 und 2017 ein sexy Primzahlpärchen.
Ob dann allerdings die 13 der Untreue zu bezichtigen ist, da die ja zur 7 und 19 ein "Verhältnis" hat, ist nicht nicht abschließend geklärt.
Viererpaarungen gibt es auch, z.B. 5, 11, 17,  23
Wie viele solcher sexy Paare, Tripel oder Quadrupel es gibt, ist - wie so vieles bei den Primzahlen - nicht geklärt.
Allerdings lässt sich leicht zeigen, dass es nur einen "Fünfer" gibt: 5, 11, 17, 23, 29.
Mit mehr Zahlen geht es dann nichts mehr.

Kubikwurzel

Kubikwurzel

Kubikwurzel oder auch 3. Wurzel aus einer nichtnegativen Zahl: $$\sqrt[3]{ x } ~= ~a, ~wenn~~~ a³ ~=~ x ~gilt. $$
Zur näherungsweisen Berechnung lässt sich folgende Formel verwenden:
Mit 0<x<1ergibt sich:  $$\sqrt[3]{1+x} \approx 1 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{9}x^2$$
Wie aber macht man es bei größeren Zahlen?
Okay, kleiner Trick gezeigt am Beispiel von $$\sqrt[3]{345}$$
Man such zuerst die zu 345 nächst kleinere Kubikzahl ==> 343 = 7³
$$\sqrt[3]{343 +2} = (343 + 2)^{\frac{1}{3}} = 343^{\frac{1}{3}}(1 + \frac{2}{343})^{\frac{1}{3}} = 7 \cdot (1 + \frac{2}{343})^{\frac{1}{3}}$$
Nun wird der Zweite Faktor nach der obigen Formel angenähert:
$$(1 + \frac{2}{343})^{\frac{1}{3}} \approx 1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{343} - \frac{1}{9} \cdot {(\frac{2}{343})}^2$$
Der letzte Teile in der Formel ist winzig klein, kann also vernachlässigt werden.
$$(1 + \frac{2}{343})^{\frac{1}{3}} \approx 1 + 0,00194$$
$$\sqrt[3]{345} \approx 7 \cdot 1,00194 = 7,01358$$
Der Taschenrechner zeigt als Ergebnis 7,013579083, die Näherung ist also wirklich gut.



Der Beitrag basiert auf: Maximimilian Miller "Rechenvorteile"

Kubikwurzel ausrechnen