Berührungsradius

Berührungsradius

Tangentenkonstruktionen am Kreis

Tangentenkonstruktionen am Kreis

Hier werden die klasssischen Tangentenkonstruktionen vorgestellt.
Grundlage 1 für die Konstruktionen ist zum einen die Tatsache, dass die Tangente eines Kreises senkrecht zum Berührungsradius verläuft.  Grundlage 2 ist der Satz des Thales.

1. Konstruktion einer Tangente an einen Kreis, wenn der Kreis und ein Punkt P auf dem Kreis gegeben sind.

Konstruktionsmöglichkeit: Der Mittelpunkt M wird mit dem Punkt P durch einen Strahl (von M aus) verbunden. Anschließend wird eine Senkrechte zu diesem Strahl im Punkt P konstruiert. Die so erhaltene Senkrechte ist die gesuchte Tangente.
2. Konstruktuktion von Tangenten an einen Kreis, die durch einen außerhalb des Kreises liegenden Punkte verlaufen sollen.

Konstruktionsmöglichkeit: Der Mittelpunkt M des gegebenen Kreises und der außerhalb liegende Punkt P werden miteinander verbunden. Die Strecke MP wird halbiert (Grundkonstruktion) und dieser Punkt mit M_MP bezeichnet. Nun wird der Kreis  (Mittelpunkt M_MP , Radius MP/2) gezeichnet - im Bild rot. Es entstehen die Schnittpunkte T₁ und T₂. Die Winkel MT₁P und MT₂P sind nach dem Satz des Thales rechte Winkel (im roten Hilfskreis). Die Geraden t₁ und t₂ - siehe Bild - sind die gesuchten Tangenten.
3. Konstruktion von Tangenten an zwei Kreise. - das nicht in jedem Fall möglich - siehe Lagebeziehungen von Kreisen.
3.1 Konstruktion äußerer Tangenten
Bild in groß

Die Konstruktionsbeschreibung bezieht sich auf das Bild r₁ größer r₂ Abstand a der Mittelpunkte ist größer als r₁ + r₂.
Um M₁ wird ein Kreis gezeicnet, der den Radius {tex}r_3 = r_1 -r_2{/tex} hat. (kleiner roter Hilfskreis). Die Strecke M₁M₂ wird halbiert und ein zweiter Hilfskreis (Bild großer roter Kreis) gezeichnet. Dieser zweite Hilfskreis schneidet den kleinen roten Kreis  in den Punkten A bzw. B. Diese Punkte werden mit M₂ verbunden - rote Hilfsgeraden. Die Punkte A und B werden auch mit M₁ verbunden. Diese "Verbindungen" schneiden den ersten Kreise in den Punkten T₁ und T₂. Es werden nun die roten Hilfsgeraden parallel durch die Punkte T₁ und T₂ verschoben. Die verschobenen Geraden sind die gesuchten Tangenten. Die Tangenten schneiden sich in einem Punkt T, der auf der Geraden durch M₁M₂ liegt.
Kurzer Einschub: Wie weit ist T von M₂ entfernt? M₁M₂ sei a und gesucht sei x. Hier hilft der Strahlensatz.
{tex} \frac{x}{r_2} = \frac{x+a}{r_1} \\ x = \frac{r_2 \cdot a}{(r_1 - r_2)} {/tex}
 
Sind die Kreise gleich groß, so werden in M₁ und M₂ Senkrechten bezogen auf M₁M₂ errichtet. Diese Senkrechten schneiden die Kreise in den Punkten, die dann durch die gesuchten Tangenten zu verbinden sind. Einen Schnittpunkt T gibt es nicht.
3.2. Konstruktion innerer Tangenten.
Die Konstruktionsbeschreibung bezieht sich auf das Bild r₁ größer r₂ Abstand a der Mittelpunkte ist größer als r₁ + r₂.
Bild in groß

Um den Mittelpunkt M2 wird ein Kreis mit {tex} r_3 = r_1 + r_2 {/tex} (linker roter Kreis.) Die Strecke M₁M₂ wird halbiert und ein zweiter Hilfskreis (rechter roter Kreis) gezeichnet. Dieser zweite Hilfskreis schneidet den ersten roten Kreis in zwei Punkten A und B. Diese Punkte werden mit M₂ verbunden - rote Hilfsgeraden. Die Punkte A und B werden auch mit M1 verbunden und schneiden den ersten Kreis in T₁ und T₂. Die roten Hilfsgeraden werden parallel durch die Punkte T₁ und T₂ verschoben. Die so erhaltenen Geraden sind die gesuchten Tangenten.
Kurze Ergänzung: Wie weit ist P von M₂ entfernt? M₁M₂ sei a und gesucht sei x. Auch hier hilft der Strahlensatz.
{tex} \frac{x}{r_2} = \frac{a-x}{r_1} \\ x = \frac{r_2 \cdot a}{(r_1 + r_2)} {/tex}

Diese Aufgabenstelungen lassen sich noch abändern, in dem die Tangenten vorgegeben werden und dann die passenden Kreise zu finden sind.

Drunter und drüber

Lagebeziehungen von Kreisen

Lagebeziehungen von Kreisen

Geradenspiegelung

Geradenspiegelung

Die Geradenspiegelung ist eine Abbildung in der Ebene. s. auch Verschiebung bzw. Drehung.
Gegeben sind eine Spiegelgerade s und (mindestens) ein Punkt der Ebene.

Abildungsvorschrift: Liegt der Originalpunkt auf der Geraden s, so wird er auf sich abgebildet. Liegt er nicht auf der Geraden, so ist liegt der Bildpunkt in der anderen Bildebene bezüglich der Spiegelgeraden. Bild und Originalpunkt haben den gleichen Abstand zur Spiegelgeraden. Die Gerade, die Bild- und Originalpunkt verbindet, liegt senkrecht zur Spiegelgeraden.
-->Applet zur Spiegelung<--

Satz des Thales

Satz des Thales

Drehung

Drehung

Verschiebung

Verschiebung

entgegengesetzt liegende Winkel

entgegengesetzt liegende Winkel

Wechselwinkel

Wechselwinkel

Stufenwinkel

Stufenwinkel

Winkelbeziehungen an geschnittenen Geraden

Winkelbeziehungen an geschnittenen Geraden

Innenwinkelsumme im Dreieck

Innenwinkelsumme im Dreieck

Peripheriewinkel

Peripheriewinkel

Der Peripheriewinkel ist ein Winkel am Kreis. --> siehe interaktive Seite <--

Betrachtet man den Umkreis eines Dreiecks ABC, so sind die Seiten des Dreiecks Sehnen im Kreis. Die Innenwinkel des Dreiecks sind dann Peripheriewinkel.

Ein weiterer Winkel im Kreis ist der Zentriwinkel.

Proportionalität

Proportionalität

Es wird zwischen direkter und indirekter Proportionalität unterschieden.

Zwei Größen a und b sind direkt proportional, wenn es eine feste Zahl k (Proportionalitätsfaktor) gibt, so dass {tex} k = \frac{a}{b}{/tex} gilt.

Zwei Größen c und d sind indirekt proportional, wenn es eine feste Zahl k gibt, so dass c * d = k. Man kann auch sagen, {tex}c und \frac{1}{d} {/tex} sind zu einander (direkt) proportional.

Erkennen von Propotionalitäten --> in Diagrammen <--

Beispiele für direkte Proportionalität:

Beim Einkaufen findet man viele Beispiele, allerdings nur, wenn es keine Rabatte oder so gibt.

Beitrag wird noch ergänzt.