Serie 53
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Aufgabe 12
636. Wertungsaufgabe
roten
„Diese Konstruktion eines Buchstaben nach der Anleitung von Albrecht Dürer kann ich gleich zweimal verwenden“, sagte Maria. „Wie das?“, fragte ihr Bruder Bernd. „Zu Dürers Zeiten wurde der Buchstabe als V, aber auch als U genutzt.“
Die Anleitung zur Konstruktion: ABCD ist ein Quadrat mit der Länge a, hier 10 cm). G ist der Mittelpunkt von AB. Die großen Kreise haben den Radius a/7, die kleinen Kreise haben den Radius a/15. DE=CF=a/10. Es ist G mit E und G mit F zu verbinden. Der linke Schenkel ist a/10 breit, der rechte Schenkel a/30.
Die Berechnungen:
Wie groß ist der Flächeninhalt der Fläche AGED - 2 blaue Punkte. Wie groß ist der Abstand ist der Abstand PR - 4 blaue Punkte. Wie groß sind Flächeninhalt und Umfang des roten V? - 8 rote Punkte. Zu beachten ist, dass die großen Kreise einen minimalen Abstand zu den Strecken EG bzw. EF haben. Die linke krummlinig begrenzte Fläche soll durch eine Strecke W V (senkrecht zu EG) begrenzt sein. W V ist eine Verlängerung des Radius des großen Kreises. Rechts analog.
Die Lösung des Symbolrätsels bringt zwei zusätzliche blaue Punkte, aber nur wenn reguläre Punkte eingebracht werden. Für das Rätsel gilt: Jedes Symbol steht für eine Ziffer, gleiche Symbole, → gleiche Ziffer, verschiedene Symbole → verschiedene Ziffern. © Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein!
Termin der Abgabe 02.04.2020. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 02.04.1920. Deadline for solution is the 2th. April 2020. Date limite pour la solution 02.04.2020. Soluciones hasta el 02.04.2020. Beadási határidő 2020.04.02.
hun
„Ennek a betűnek a szerkesztését Dürer útmutatója alapján rögtön kétszer is felhasználhatom.“ – mondta Mária. „Hogy-hogy?“ – kérdezte a testvére, Berndt. „Dürer idejében ezt a betűt nemcsak V-nek, hanem U-nak is használták.“
Útmutatás a szerkesztéshez: ABCD egy négyzet, hossza az a, 10 cm. G a középpontja az AB szakasznak. A nagy kör sugara a/7, a kicsié a/15. DE=CF=a/10. G pontot E és F ponttal kössük össze. A bal szár a/10, a jobb szár a/30 széles.
Számítások:
Mekkora a területe az AGED felületnek? – 2 kék pont
Mekkora a PR távolság? – 4 kék pont
Mekkora a területe és a kerülete a piros V-nek? – 8 piros pont
Vegyék figyelembe, hogy a piros körök minimális távolségra vannak az EG, valamint EF szakasztól. A bal görbe vonallal határolt felület egy WV szakasszal (merőleges EG-re) határolt. W V a meghosszabbítása a nagy kör sugarának. Jobb oldalon szintúgy.
A szimbólum rejtvény megoldásáért további két kék pontot kaphat, amennyiben a többi feladatért is szerzett pontot. A rejtvény megfejtésére érvényes: minden jel egy számjegyet szimbolizál, azonos jelek azonos számjegyeket, különböző jelek különböző számjegyeket. ©HRGauern[at]@t-online.de
fr
"Je peux utiliser cette construction d'une lettre selon les instructions d'Albrecht Dürer à deux reprises", a déclaré Maria. "Comment ça?", lui a demandé son frère Bernd. "Au temps de Dürer, la lettre était utilisée comme V, mais aussi comme U."
Instructions pour la construction: ABCD est un carré de la longueur a, (ici 10 cm). G est le centre d'AB. Les grands cercles ont le rayon a/7, les petits cercles ont le rayon a/15.
DE = CF = a/10. Connecter G avec E et G avec F. La jambe gauche est large de a/10, la jambe droite a/30.
Les calculs:
Quelle est la superficie de la zone AGED - 2 points bleus. Quelle est la distance PR - 4 points bleus. Quelle est l'aire et la taille du V rouge? - 8 points rouges. Il est à noter que les cercles rouges sont à une distance minimale des lignes EG et EF. La zone curviligne gauche doit être limitée par une distance W V (perpendiculaire à EG). W V est une extension du rayon du grand cercle. Analogue droit.
La solution de l'énigme apporte deux points bleus supplémentaires, mais seulement si des points réguliers ont été obtenus. Règle pour l’énigme:Chaque symbole représente un nombre, les mêmes symboles, le même nombre, différents symboles différents numéros. ©HRGauern[at]@t-online.de
esp
Las letras de Dürer
“Esta construcción de una letra según Albrecht Dürer ya puedo usar dos veces”, dijo María. “¿Porqué?”, preguntó Bernd. “Porque en la época de Dürer usaban esta letra como ‘V’, pero también como ‘U’.”
Instrucciones para la construcción: ABCD es un cuadrado con la longitud de cantos a = 10 cm. El punto central de AB es G. Los círculos grandes tienen el rádio a/7. Los círculos pequeños tienen el rádio a/15. DE=CF=a/10. Se tiene que conectar G con E y G con F. El lado a la izquierda mide a/10 de ancho y el lado a la derecha a/30.
Los cálculos:
¿De qué tamaño es el área AGED? – 2 puntos azules. ¿Cuánto mide la distancia entre P y R? – 4 puntos azules.
¿Cuán grande son área y perímetro del V rojo? – 8 puntos rojos.
Hay que tener en cuenta que los círculos rojos tienen una distancia mínima hacia los segmentos rectilíneos EG y EF. El plano delimitado torcidamente a la izquierda se delimita por el segmento rectilíneo WV (perpendicular al segmento rectilíneo EG). WV es el alargamiento del radio del círculo grande. A la derecha análogo.
Por la solución de rompecabeza de símbolos se recibe dos puntos azules adicionales si se ha ganado los puntos regulares antes. Para el rompecabeza aplica lo siguiente: Cada símbolo representa una cifra, los mismos símbolos representan las mismas cifras, diferentes símbolos para diferentes cifras. ©HRGauern[at]@t-online.de
en
„This construction of a letter by Albrecht Dürer I can use twice.“, said Maria. „How that?“, asked her brother Bernd. „At the time Dürer lived, the letter was used as V and as U.“
The construction instruction: ABCD is a square with a length a, in that case 10 cm. G is the center of AB. The large circles have a radius a/7, the small circles have a radius a/15. DE=CF=a/10. You have to connect G with E and E with F. The left arm is a/10 wide, the right arm a/30.
The calculation:
How big is the area AGED - 2 blue points. How big is the distance PR - 4 blue points. How big are area and perimeter of the red V? – 8 red points. You have to keep in mind that the red circles must have a minimum distance to the lines EG respectively EF. The left bent lined bordered area should be bordered by a line WV (perpendicular to EG). WV is a radius extension of the big circle. On the right side it is exactly the same.
Solving the picture-puzzle will get you two extra blue points, provided you also got points doing the regular maths problem. The rule for each picture puzzle is: Each icon represents one digit, same icons, same digits, different icons, different digits. ©HRGauern[at]@t-online.de
it
“Questa costruzione di una lettera secondo Dürer posso usare per due cose”, diceva Maria. “Come?”, chiedeva suo fratello Bernd. “Ai tempi di Dürer, quella lettera era usata come V, ma anche come U.”
Ecco l’ istruzione della costruzione: ABCD è un quadrato con una lunghezza del lato a (in questo caso 10 cm). G è il centro del lato AB. I cerchi grandi hanno un semidiametro di a/7, I cerchi piccoli di a/15. DE = CF = a/10. Si collega G con E e G con F. Il lato sinistro ha una larghezza di a/10, il lato destro una di a/30.
Le calcolazioni:
Qual’ è la misura della superficie AGED? – due punti blu.
Qual’ è la distanza PR? – 4 punti blu.
Quale sono la superficie e la circonferenza del V rosso? – 8 punti rossi
Si badi al fatto che I cerchi rossi hanno la distanza minima ai segmenti EG ossia EF. L’area curvilinea sinistra sia delimitata del segmento WV, che è la prolungazione del semidiametro del cerchio grande. Analogicamente a destra.
La soluzione dell´indovinello simbolico apporta altri due punti blu, ma solo se si apportano punti regolari. Per l´indovinello vale: Ogni simbolo sta per una cifra, stessi simboli, stessa cifra, diversi simboli diverse cifre. ©HRGauern[at]@t-online.de
Lösung/solution/soluzione/résultat:
Musterlösungen von calvin --> pdf <-- und Reinhold M., danke
Wenn wir das Quadrat in ein kartesisches Koordinatensystem mit dem Ursprung A und der Abszisse durch B sowie einer Zentimeterskala legen, so gilt zunächst (mit a = 10)
A = (0, 0),
B = (a, 0),
C = (a, a),
D = (0, a),
E = (a/10, 10),
F = (9/10 a, 10),
G = (a/2, 0)
sowie
AD = a,
AG = a/2,
DE = a/10.
Nun definiere ich noch folgende Punkte (wegen der Symmetrie der Verhältnisse um die Kreise meist nur links):
H Mittelpunkt von DC,
I Mittelpunkt des linken großen Kreises,
J Mittelpunkt des linken kleinen Kreises,
K Berührungspunkt des linken kleinen Kreises mit XP,
L Berührungspunkt des linken kleinen Kreises mit DC,
M Schnittpunkt von GF und UP,
N Fußpunkt des Lots von X auf EG,
O Fußpunkt des Lots von M auf EG,
Q Fußpunkt des Lots von P auf EG,
S Fußpunkt des Lots von R auf GF,
Y Schnittpunkt zwischen der Tangente in W an den linken großen Kreis und DE,
Z Fußpunkt des Lots von E auf YW.
Dann gilt zunächst
HG = a,
DH = a/2,
EH = a/2 - a/10 = 2/5 a,
IW = ID = a/7,
DY = YW,
JK = JL = a/15,
PL = PK,
OM = NX = QP = a/10,
RS = a/30.
Weiter bezeichne ich den Winkel(HGE) mit x. Dann gilt auch Winkel(FGH) = x sowie
Winkel(FGE) = 2x (Symmetrie DE = FC),
90°-x = Winkel(GEH) (Winkelsumme Dreieck)
= Winkel(EGA) (Wechselwinkel)
= Winkel(XPR) (Stufenwinkel)
= Winkel(WYE) (Stufenwinkel)
und
Winkel(EPQ) = Winkel(SRF) = Winkel(YEZ) = x (Winkelsumme Dreieck bzw. Stufenwinkel),
90°+x = Winkel(LJK) (Winkelsumme Viereck)
= Winkel(DYW) (mit WYE 180°),
also auch
Winkel(WID) = 90°-x (Winkelsumme Viereck),
Winkel(WIY) = Winkel(YID) = Winkel(KPJ) = Winkel(JPL) = 1/2 (90°-x) = 45°-x/2,
Winkel(DYI) = Winkel(IYW) = Winkel(LJP) = Winkel(PJK) = 1/2 (90°+x) = 45°+x/2 (alles Symmetrie),
90°-2x = Winkel(OMG) (Winkelsumme Dreieck).
Für x wissen wir
tan(x) = EH / HG = 2/5,
also
x = arctan(2/5).
Daraus können wir mit Hilfe der bekannten trigonometrischen Formeln der gegenseitigen Darstellbarkeit, der Phasenverschiebung und des doppelten Winkels die (eventuell später) benötigten Winkelfunktionen für x, 2x, 90°-x, 45°-x/2, 90°+x, 45°+x/2 oder 90°-2x bestimmen (x und 2x sind kleiner 90° usw.):
sin(x) = tan(x) / Wurzel(1 + tan^2(x)) = 2/Wurzel(29),
cos(x) = Wurzel(1 - sin^2(x)) = 5/Wurzel(29),
cot(x) = 1 / tan(x) = 5/2,
sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) = 20/29,
cos(2x) = Wurzel(1 - sin^2(2x)) = 21/29,
tan(2x) = sin(2x) / cos(2x) = 20/21,
cot(2x) = 1 / tan(2x) = 21/20,
sin(90°-x) = cos(x) = 5/Wurzel(29),
cos(90°-x) = sin(x) = 2/Wurzel(29),
tan(90°-x) = cot(x) = 5/2,
cot(90°-x) = 1 / tan(90°-x) = 2/5,
tan(45°-x/2) = sin(90°-x) / (1 + cos(90°-x)) = 1/5 (Wurzel(29) - 2),
cot(45°-x/2) = 1 / tan(45°-x/2) = 1/5 (Wurzel(29) + 2),
sin(45°-x/2) = Wurzel((1 - cos(90°-x)) / 2) = 1/58 Wurzel(1682 - 116 Wurzel(29)),
cos(45°-x/2) = Wurzel(1 - sin^2(45-x/2)) = 1/58 Wurzel(1682 + 116 Wurzel(29)),
sin(90°+x) = cos(x) = 5/Wurzel(29),
cos(90°+x) = - sin(x) = -2/Wurzel(29),
tan(90°+x) = - cot(x) = -5/2,
cot(90°+x) = 1 / tan(90°+x) = -2/5,
tan(45°+x/2) = sin(90°+x) / (1 + cos(90°+x)) = 1/5 (Wurzel(29) + 2),
cot(45°+x/2) = 1 / tan(45°+x/2) = 1/5 (Wurzel(29) - 2),
sin(45°+x/2) = Wurzel((1 - cos(90°+x)) / 2) = 1/58 Wurzel(1682 + 116 Wurzel(29)),
cos(45°+x/2) = Wurzel(1 - sin^2(45+x/2)) = 1/58 Wurzel(1682 - 116 Wurzel(29)),
sin(90°-2x) = cos(2x) = 21/29,
cos(90°-2x) = sin(2x) = 20/29,
tan(90°-2x) = cot(2x) = 21/20,
cot(90°-2x) = 1 / tan(90°-2x) = 20/21.
Damit steht das Rüstzeug zur Lösung bereit.
- AGED ist ein Trapez mit den Grundlinien AG = a/2 und DE = a/10 sowie der Höhe AD = a, so dass für den gesuchten Flächeninhalt Ablau gilt:
Ablau = 1/2 (a/2 + a/10) a = 3/10 a^2.
Durch Einsetzen von a erhält man 30 m^2.
- Für die gesuchte Länge PR gilt
PR = DC - DE - EP - RF - FC
= 4/5 a - EP - RF.
Mit den oben hergeleiteten Winkelgrößen und Winkelfunktionen folgt nun
EP = a/10 / cos(x) = Wurzel(29)/50 a,
RF = a/30 / cos(x) = Wurzel(29)/150 a,
PR = 2/75 (30 - Wurzel(29)) a.
Durch Einsetzen von a erhält man 4/15 (30 - Wurzel(29)) oder ca. 6,56 cm.
- Der Umfang Urot des "V" besteht wegen der (teilweisen) Symmetrie aus
Urot = 2*XK + 2*Bogen(KL) + 2*PL + EP + RF + 2*DE + 2*Bogen(DW) + 2*WV + 2*VG.
Dazu benötigen wir noch
PL = PK = JL cot(Winkel(JPL)) = a/15 cot(45°-x/2) = a/75 (Wurzel(29) + 2),
Bogen(KL) = 2 Pi JL * Winkel(LJK)/360° = (90°+x)/2700° Pi a,
DY = YW = ID tan(Winkel(YID)) = a/7 tan(45°-x/2) = a/35 (Wurzel(29) - 2),
YE = DE - DY = a/10 - a/35 (Wurzel(29) - 2) = a/70 (11 - 2 Wurzel(29)),
WV = ZE = YE cos(Winkel(YEZ)) = a/406 (11 Wurzel(29) - 58),
Bogen(DW) = 2 Pi ID * Winkel(WID)/360° = (90°-x)/1260° Pi a,
EV = Wurzel(IE^2 - IV^2) = Wurzel((ID^2 + DE^2) - (IW + WV)^2)
= Wurzel(a^2/49 + a^2/100 - (a/7 + a/406 (11 Wurzel(29) - 58))^2)= 18/1015 Wurzel(29) a,
EG = a / sin(Winkel(EGA)) = a/5 Wurzel(29),
VG = EG - EV = 37/203 Wurzel(29) a,
PH = DH - DE - EP = a/2 - a/10 - Wurzel(29)/50 a = a/50 (20 - Wurzel(29)),
PX = 1/2 PR / cos(Winkel(XPR)) = a/150 (30 Wurzel(29) - 29),
XK = PX - PK = a/150 (28 Wurzel(29) - 33).
Zusammen erhalten wir
Urot = 2*XK + 2*Bogen(KL) + 2*PL + EP + RF + 2*DE + 2*Bogen(DW) + 2*WV + 2*VG
= a/75 (28 Wurzel(29) - 33) + (90°+x)/1350° Pi a + 2a/75 (Wurzel(29) + 2)
+ Wurzel(29)/50 a + Wurzel(29)/150 a + a/5 + (90°-x)/630° Pi a
+ a/203 (11 Wurzel(29) - 58) + 74/203 Wurzel(29) a
= a/75 (32 Wurzel(29) - 14) + a/203 (85 Wurzel(29) - 58) + 2/4725° Pi a (495° - 2x)
= a/15225 (12871 Wurzel(29) - 7192) + 2/4725° Pi a (495° - 2x).
Durch Einsetzen von a und x erhält man
2/3045 (12871 Wurzel(29) - 7192) + 4/945° Pi (495° - 2 arctan(2/5))
oder ca. 46,80 cm.
- Die Fläche Arot des "V" besteht wegen der (teilweisen) Symmetrie aus
Arot = 2*Bogendreieck(KLP) + 2*Bogendreieck(DWY) + 2*Trapez(YWVE) + Trapez(EGMP) + Trapez(MFRX).
Dazu benötigen wir noch
Bogendreieck(KLP) = 2*Dreieck(PJL) - Kreissektor(KJL)
= 2 * 1/2 PL JL - Pi JL^2 * Winkel(LJK)/360°
= a^2/1125 (Wurzel(29) + 2) - (90°+x)/81000° Pi a^2,
Bogendreieck(DWY) = 2*Dreieck(DIY) - Kreissektor(DIW)
= 2 * 1/2 ID DY - Pi ID^2 Winkel(WID)/360°
= a^2/245 (Wurzel(29) - 2) - (90°-x)/17640° Pi a^2,
Trapez(YWVE) = 1/2 (YW + EV) WV
= a^2/824180 (47 Wurzel(29) - 58) (11 Wurzel(29) - 58)
= a^2/28420 (633 - 116 Wurzel(29)),
MU = MG = MO / cos(Winkel(OMG)) = 29/200 a,
PM = PU - MU = EG - MU = a/200 (40 Wurzel(29) - 29),
Trapez(EGMP) = 1/2 (EG + PM) a/10
= a^2/4000 (80 Wurzel(29) - 29),
XR = PX = a/150 (30 Wurzel(29) - 29),
GM = MU = 29/200 a,
MF = GF - GM = EG - GM = a/200 (40 Wurzel(29) - 29),
Trapez(MFRX) = 1/2 (MF + XR) a/30
= a^2/36000 (240 Wurzel(29) - 203).
Zusammen erhalten wir
Arot = 2*Bogendreieck(KLP) + 2*Bogendreieck(DWY) + 2*Trapez(YWVE) + Trapez(EGMP) + Trapez(MFRX)
= 2a^2/1125 (Wurzel(29) + 2) - (90°+x)/40500° Pi a^2
+ 2a^2/245 (Wurzel(29) - 2) - (90°-x)/8820° Pi a^2
+ a^2/14210 (633 - 116 Wurzel(29))
+ a^2/4000 (80 Wurzel(29) - 29)
+ a^2/36000 (240 Wurzel(29) - 203)
= a^2/1598625 (30192 + 45472 Wurzel(29)) - Pi/496125° a^2 (6165° - 44 x).
Durch Einsetzen von a und x erhält man
4/63945 (30192 + 45472 Wurzel(29)) - 4/19845° Pi (6165° - 44 arctan(2/5))
oder ca. 13,9100 cm^2.
Das Britannienrätsel habe ich zu
ABCD - CEF = EGF
/ - -
B * BHI = DAG
= = =
EBF - JCG = BEI
umgeschrieben. Dann folgt der 1. Zeile zunächst
A = 1, 2F = D oder 2F = D + 10, auf jeden Fall aber D gerade,
und damit der 2. Zeile
B = 2, D = 4, H = 0 und also F = 7.
Der 3. Spalte folgt dann
E = 6, G = 8, I = 9
und damit der 2. Spalte
C = 5, J = 3.
Die Lösung ist somit zusammengefasst
1254 - 567 = 687
/ - -
2 * 209 = 418
= = =
627 - 358 = 269.
Mit freundlichen Grüßen
Reinhold