Serie 47

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Aufgabe 3

555. Wertungsaufgabe

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 „Das sieht richtig gut. Es sind regelmäßige Sechsecke, stimmt‘s?“, fragte Mike. „Das siehst du richtig“; erwiderte Lisa. „Begonnen habe ich mit einer Geraden. Darauf habe ich das grüne Sechseck konstruiert. Das mit den Eckpunkten A und B. Dann habe ich das Sechseck um den Punkt B nach rechts gedreht bis die nächste Seite wieder auf der Geraden lag. Der Punkt A lag also jetzt an einer Stelle, die ich mit A1 bezeichnet habe. Dann drehe ich
weiter und weiter, so dass der erste Punkt A nach fünfmaligen Drehen wieder auf der Geraden ankommt.“ „Verstehe.“
Die Punkte A, A1, …, A5 bilden auch ein Sechseck. Wie viel mal größer (Flächeninhalt) ist das rote Sechseck im Vergleich zum grünen Sechseck. - ordentliche Begründung 4 blaue Punkte.
Nimmt man nun als Ausgangsfigur ein regelmäßiges n-Eck, lässt n-1 mal Drehen den ersten linken Eckpunkt wieder auf der Gerade ankommen. Dann entstehen – wie bei blau – auch n-Ecke.
Wie viel mal größer ist der Flächeninhalt des entstehenden n-Eck im Vergleich zum regelmäßigen n-Eck von dem man ausgegangen ist? Super Beweis – 10 rote Punkte.

Termin der Abgabe 18.01.2018. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 18.01.2018. Deadline for solution is the 18th. January 2018. Date limite pour la solution 18.01.2018. Resoluciones hasta el 18.01.2018.

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"Ça a l'air vraiment bien. Ce sont des hexagones réguliers, n'est-ce pas? ", demanda Mike. "Bien vue", répondit Lisa. "J'ai commencé avec une ligne droite. Ensuite, j'ai construit l'hexagone vert. Cela avec les coins A et B. Puis j'ai tourné l'hexagone autour du point B vers la droite jusqu'à ce que le coté suivant soit de retour sur la ligne droite. Le point A est maintenant à un point que j'ai nommé  A1. Puis je tourne encore et encore, de sorte que le premier point A revient sur la ligne droite après avoir tourné cinq fois. "" Je vois. "
Les points A, A1, ..., A5 forment également un hexagone. De combien de fois l'hexagone rouge est plus grand (superficie) que l'hexagone vert ? – Un bon raisonnement aura 4 points bleus.
Si on prend maintenant un n-gon régulier comme figure de départ, le tour n-1 permet au premier point d'angle gauche de revenir à la ligne droite. Puis on obtient - comme avec le bleu – aussi des n-gones.
Quelle est la superficie du nouveau n-gon par rapport au n-gon régulier du départ ? Super épreuve - 10 points rouges. Date limite pour la solution 18.01.2018.

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“Eso se ve realmente bonito. Son hectángulos regulares verdad?”, le preguntó Mike. “Tu lo ves bien ” le respondió Lisa. “He empezado con el dibujo de la recta. Encima he construido el hectángulo verde con los puntos A y B. Después he girado el hectángulo a la derecha al redondo del punto B hasta que el próximo lado ha llegado a la recta. El punto A cambió de lugar, lo cuál llamé A_1. Así seguí girando y girando hasta que el punto A llegó después de 5 veces a la recta.”Entiendo.”
Los puntos A, A_1,..., A_5 forman un hectángulo también. Cuantas veces es más grande el hectángulo rojo en comparación con el hectángulo verde? 4 puntos azules para una buena explicación.
Si se empieza con un n-ángulo regular y lo gira n-1 veces hasta que vuelva el primer punto del lado izquierdo a la recta se forma también - cómo en el problema azul - un n-ángulo. Cuantas veces es más grande es el área del n-ángulo en comparación con el n-ángulo del inicio? 10 puntos rojos para una super - demostración. Resoluciones hasta el 18.01.2018.

en
555“This looks really good. They are regular hexagons, right?”, Mike asked.
“That’s right”, Lisa replied. “I started with a straight line on which I then constructed the green hexagon. The one with the vertices A and B. Then I rotated the hexagon clockwise around point B so that the next side came to lie on the straight line. Vertex A was now in position A1. Then I kept rotating until after five rotations the initial point A came to lie on the straight line again.”
“Got it.”
Points A, A1, …, A5 make a hexagon, too. How many times is the area of the red haxagon bigger than the green one? - 4 blue points if a valid explanation is provided.
Suppose you started with a regular n-gon. Then you would - after n-1 rotations - find the first vertex on the straight line again. Likewise you would get another n-gon just like in the blue problem.
How many times would the area of the developing n-gon be bigger than the area of the initial regular n-gon? For a super proof – 10 red points. Deadline for solution is the 18th. January 2018.

it

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“Questo è molto bello. Sono esagoni regolari, vero?”, chiese Mike. “Lo vedi bene.”, rispose Lisa. “Ho iniziato con una retta. Su di essa ho costruito l´esagono verde. Quello con i punti angolari A e B. Poi ho girato l´esagono intorno al punto B verso destra fino a che il lato successivo si trovava di nuovo sulla retta. Il punto A si trovava quindi su un punto che ho chiamato A1. Poi continuo e continuo a girare cosicché il primo punto A dopo cinque giri arriva nuovamente sulla retta.” “Capisco.”
I punti A, A1,..., A5 formano pure un esagono. Quante volte è più grande (superficie) l´esagono rosso in confronto all´esagono verde? - motivazione regolare 4 punti blu.
Prendendo come figura iniziale un poligono n, girando n-1 volte lascia arrivare il punto angolare sinistro di nuovo sulla retta. Allora si formano – come col blu – anche n-angoli. Quante volte è più grande la superficie del poligono n che si forma in confronto al poligono regolare n dal quale si è partiti? Prova super, 10 punti rossi. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 18.01.2018.

Lösung/solution/soluzione/résultat:
Musterlösungen von Hirvi, --> pdf <-- und Calvin --> pdf <--, danke

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