Serie 39

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Aufgabe 8

464. Wertungsaufgabe

„Schau mal ich habe ein regelmäßiges 10 – Eck konstruiert. Das hat immerhin 35 Diagonalen. Bei einem 5-Eck sind es 5 Diagonalen.“ meinte Maria. „Ich habe gesehen im Mathematiklexikon auf der Homepage kann man sich die Anzahl der Diagonalen ausrechnen lassen.“, sagte Bernd. „Stimmt, die Seite habe ich auch schon mal genutzt“, erwiderte Maria.
Die Anzahl der Diagonalen auszurechnen, ist also kein Problem. Die Diagonalen in einem regelmäßigen n-Eck (n>6) sind nicht alle gleich lang. In einem Sechseck gibt es zwei  unterschiedliche Längen. Wie viele unterschiedliche Längen sind es in dem regelmäßigen Zehneck bzw. sind es in einem beliebigen regelmäßigen n-Eck. (n>6) 2 + 3 blaue Punkte.
Wie lang sind die Diagonalen in einem regelmäßigen Siebeneck, wenn die Kantenlänge des Siebenecks 1 cm groß ist? Für die Berechnung (samt Herleitung) gibt es 7 rote Punkte.
Termin der Abgabe 11.06.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 11.06.2015. Deadline for solution is the 11th. June 2015. Date limite pour la solution 11.06.2015.

“Look, i've constructed a regular decagon. Mind you, it's got 35 diagonals. There are 5 diagonals in a pentagon”, Maria remarked.
“I've noticed that in the maths encyclopedia of our homepage you can have the number of diagonals calculated”, Bernd said.
“True, I've used that already”, Maria replied.
Hence it's not a problem to calculate the number of diagonals. The diagonals in a regular n-gon (n>6) are not all of equal length. There are two different lengths in a hexagon. How many different lengths are there in a regular decagon and how many in a regular n-gon (n>6) – 2 + 3 blue points.
How long are the diagonals in a regular heptagon whose edges are 1 cm? There are 7 red points to be had for calculation (including explanation).

„Regarde, j’ai construit un décagone régulier. Il y a 35 diagonales. Un pentagone a 5 diagonales“, penses Maria. „J’ai vu sur la page d’accueil d’un site de mathématique qu’on puisse se faire calculer le nombre de diagonales“, dit Bernd. « C’est vrai, j’ai déjà utilisée cette page », répond Maria.
Ce n’est donc pas un problème de calculer le nombre de diagonales. Les diagonales dans un n-gone (n>6) ont une longueur différentes. Il y a deux longueurs différentes dans un hexagone. Combien de longueurs différentes peut-on trouver dans un décagone régulier et combien dans un n-gone régulier (n>6) ? 2+3 points bleus.
Quelle est la longueur des diagonales dans un heptagone régulier si la longueur des cotes de l’heptagone est de 1 cm ? 7 points pour le calcul avec la solution.

it: La traduzione italiana sarà di nuovo disponibile dal mese di settembre.

Lösung/solution/soluzione/résultat:

Lösung von Hans (Amstetten), danke.

1. a) Regelmäßiges n-Eck:
Die Anzahl der Diagonalen in einem regelmäßigen n-Eck beträgt (n-3)*n/2. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit genügt es, die Diagonalen von einem Eckpunkt aus - nennen wir ihn A -  zu betrachten. Mit A scheiden auch die beiden benachbarten links und rechts liegenden Eckpunkte für Diagonalen aus, somit gibt es n-3 Diagonalen vom Punkt A weg. Aus Symmetriegründen sind jeweils 2 Diagonalen, die man nach links und nach rechts von A aus ziehen kann, gleich lang. Hier setzt folgende Fallunterscheidung ein:
1. Fall: n ist ungerade. Dann ist n-3 eine gerade Zahl und es gibt daher genau (n-3)/2 verschieden lange Diagonalen(paare).
2. Fall: n ist gerade. Dann ist n-3 eine ungerade Zahl, das heißt, dass von den Diagonalenpaaren eine Diagonale, die von A zum gegenüberliegenden Eckpunkt führt und die längste Diagonale ist (= Durchmesser des Umkreises), übrig bleibt. Das ergibt somit nur (n- 4)/2 gleichlange Diagonalenpaare plus die längste Diagonale, also (n- 4)/2 + 1 = n/2-1 verschieden lange Diagonalen.
b) Regelmäßiges 10-Eck:
Wegen n=10 ist daher Fall 2 anzuwenden. Setzt man n=10 ein, so erhält man insgesamt 10/2-1 =  4 verschieden lange Diagonalen.
 
2. Regelmäßiges 7-Eck:
Nach Fall 1 hat ein regelmäßiges 7-Eck (7-3)/2 = 2 verschieden lange Diagonalen, die mit d1 und d2 bezeichnet werden sollen..
A, B, C, ..., G seien die Eckpunkte, M der Mittelpunkt dieses 7-Ecks. Die Dreiecke MAB, MBC, MCD, ... sind gleichschenkelige Dreiecke, ihr Winkel μ bei M beträgt 360/7 Grad, die beiden  Basiswinkel α und β sind daher je (180 - 360/7)/2 = 450/7 Grad groß. Das Dreieck ABC ist ebenfalls gleichschenkelig mit den Schenkellängen 1 cm, wobei diese beiden Schenkeln den doppelten Basiswinkel, also 900/7 Grad einschließen. In dem Dreieck ABC kann man daher d1 mit dem Cosinussatz berechnen: d1 = sqrt(12 + 12 - 2*1*1*cos (900/7)) ~ 1,80 cm.
Die zweite Diagonalenlänge d2 kann im gleichschenkeligen Dreieck MAD berechnet werden. Hier beträgt der Winkel bei M 3*μ, die beiden Schenkel sind gleich dem Radius r des Umkreises des regelmäßigen 7-Ecks. Dieser Radius kann im Dreieck MAB mit Hilfe des Sinussatzes berechnet werden: r/sin α = 1/sin μ, daraus folgt r = sin α / sin μ ~ 1,15 cm.
Nun wendet man den Cosinussatz im Dreieck MAD an: d2 = sqrt(r^2+r^2-2*r*r*cos(3*μ) = r*sqrt(2(1-cos(3*μ)) ~ 2,25 cm.

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