Serie 38

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Aufgabe 3

447. Wertungsaufgabe

„Schon wieder ein tolles Bild, was du da konstruiert hast“, sagte Mike zu Lisa.
--> Bild groß <--
„Die Konstruktion ist ganz einfach. Ich zeichne ein beliebiges Dreieck ABC. Die Seite c wird über A hinaus verlängert und der Punkt D ist von A genau soweit wie B von A. Entsprechend erhalte ich die Punkte E und F. Wie ich die blauen und roten Dreiecken erhalten habe, siehst du ja.“
Es ist zu beweisen, dass alle sieben Dreiecke den gleichen Flächeninhalt haben – 7 blaue Punkte (mit Hilfe der allgemeinen Formel für den Flächeninhalt von Dreiecken geht das recht schnell, aber auch mit elementaren Beziehungen ist der Nachweis nicht so kompliziert.)
Wie erhält man ein solches Dreieck ABC möglichst genau, wenn man von einem beliebigen Dreieck DEF ausgeht? - 7 rote Punkte

Termin der Abgabe 18.12.2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 18.12.2014. Deadline for solution is the 18th. December 2014.

447

“Another great image that you constructed”, Mike said to Lisa.
--> Bild groß <--
“Yes, it is really easy to construct. Just draw some kind of triangle ABC. Extend side c so that point D is the same distance from point A as B is from A. Find points E and F the same way. It's easy to see how I got the blue and red triangles.” Now show that all seven triangles have the same area. - 7 blue points (it's easy to show using the general formula but even with elementary relations it shouldn't be too difficult.) How can you construct triangle ABC when you start with any given triangle DEF? - 7 red points

“Di nuovo un bel disegno che hai costruito”, disse Mike a Lisa.
--> grande <--
“La costruzione è molto semplice. Disegno un triangolo qualsiasi ABC. Il lato c viene prolungata al di là di A ed il punto D è distante da A quanto il punto B da A. Conseguentemente ottengo i punti E e F. Come ho ricevuto i triangoli blu e rossi lo vedi.”
È da dimostrare che tutti e sette triangoli hanno la stessa area. - 7 punti blu.
(usando la formula principale per l´area triangolare si risolve il problema ben presto, ma anche con relazioni elementari la prova non è difficile.)
Come si può ottenere un tale triangolo ABC il più preciso possibile se si parte da un triangolo qualunque DEF? – 7 punti rossi.

Lösung/solution/soluzione:

Heute nur mal ein paar Anregungen:
blau: Einige Teilnhmer haben ein konkretes Dreieck untersucht, also nicht beachtet, das hier die Formulierung "ein beliebiges .." für irgendeines , als letztlich für jedes Dreieck gemeint ist.
ein "Geheimnis" zur Lösung von blau liegt in der Beziehung sin α = sin(180° -α), wenn man nun die Flächeninhaltsformel für das Dreieck verwendet. A = 0,5 * b*c sin α. Dann ist die paarweise Gleichheit von rot/blau ganz einfach. Passend dazu, die Eigenschaft der Seitenhalbierenden eines Dreiecks. Die Seitenhalbierende eines Dreiecks teilt ein Dreieck in zwei flächengleiche Teildreiecke. (Idee von Helene, danke)
zu rot. Ein raffinierte Variante aus dem Buch A. Gächter "7 Zahnstocher"  Außerhalb des Dreiecks DEF (s. o.) wird ein an beliebiger Stelle ein Startpunkt S gewählt. Strecke SF wird halbiert. Der Halbierungspunkt G wird mit E verbunden. Strecke wieder halbieren. Der neue Halbierungspunkt H wird mit D verbunden. H wird mit F verbunden. Strecke halbiert --> Halbierungspunkt I. Weiter im Uhrzeigersinn. Halbierungspunkte verbinden, ...  beliebig oft, verbindet man die letzen drei Halbierungspunkte, so erhält man eine gute Annäherung an das gesuchte Dreieck ABC. Anderer Weg mittels Strahlensatz ein zu DEF ähnliches Dreieck ABC konstruieren und dann in dem Dreieck DEF passend zu den Höhen verschieben.