Rechteckzahl

Rechteckzahl

Eine Rechteckzahl - auch pronic number bzw. pronische Zahl  - ist das Produkt  zweier aufeinander folgender natürlicher Zahlen.
0 = 0 * 1
2= 1 * 2
6 = 2 * 3
12 = 3 * 4
20 = 4 * 5
...
x = n(n+1) = n² + n
Die Rechteckzahlen zählen zu den figurierten Zahlen.
Geometrische Deutung: Legt man aus gleichen Figuren (Quadrate, "Kreise", ...) Rechtecke zusammen, deren Seitenlängen sich um eins unterscheiden, so braucht man eine den Rechteckzahlen entsprechende Anzahl gleicher Figuren.
Eine weitere Besonderheit: Die Summe der Reziproken aller Rechteckzahlen (außer 0) ergibt 1.
$$\Large \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2 +n} = 1$$

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Argument

Argument

Argument ist eine andere Bezeichnung für die unabhängige(n) Variable(n) einer Funktion.
Sie wird meistens mit x bezeichnet.
In der Physik ist die unabhängige Variable häufig die Zeit t.

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Außenwinkel

Außenwinkel

Werden die Seiten eines n-Ecks (hier im Bild ein Dreieck) so entstehen "außerhalb" des n-Ecks mehrere Winkel. Einer der möglichen Nebenwinkel eines Innenwinkels (grau) wird als Außenwinkel (blau) bezeichnet. Die Summe aller Außenwinkel eines beliebigen n-Ecks beträgt 360°.


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Komplementaddition

Komplementaddition

Die Subtraktion ist nicht immer ganz einfach, da man bei der schriftlichen Varianten sich immer mal wieder was "borgen" muss.
Die Addition ist da schon etwas einfacher, denn die auftretenden Überträge lassen sich leicht notieren. Eine interessante Alternative zur Subtraktion ist die Komplementaddition, die auch im Computer genutzt wird. Das Komplement einer Zahl vierstelligen Zahl abcd ist die Zahl (9-a)(9-b)(9-c)(9-d). Es werden also die Ziffern verwendet, die eine Ziffer bis zur "9" komplettieren.
x - y = d
Zum Minuenden x wird das Komplement des Subtrahenden y addiert.
Fall 1: x > y Vom Zwischenergebnis der Addition wird die erste 1 entfernt und es wird eine 1 zum "verkürzten" Zwischenergebnis addiert.
Beispiel:

Beweis für vierstellige Zahlen: x + (9999 -y) -10000 +1 = x + 9999 - y -10000 +1 = x - y

Fall 2: x < y Vom Zwischenergebnis wird noch noch einmal das Komplement gebildet und dieses erhält ein - als Vorzeichen.
Beispiel:

Beweis für vierstelligen Zahlen: x + (9999 -y) = s ==> -(9999-s) = -9999 + x  + (9999 -y) = - 9999 + x + 9999 - y = x - y

Insbesondere für die Subtraktion bei Computern ist das wichtig.
So wird aus 1001 0001 - 0011 1101 eben einfach eine Komplementaddition 1001 0001 + 1100 0010 nach dem obigen Verfahren. (Im Jahr 1703 stellte Leibniz dieses Verfahren in Paris vor)
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windschiefe Geraden

windschiefe Geraden

Menge

Menge

Menge ist einer der Grundbegriffe der Mathematik.
Unter Menge versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten, die gemeinsame Eigenschaften haben. Auch Zahlen lassen sich zu menge zusammenfassen. Zum Beispiel: Menge der natürlichen Zahlen Symbol N oder besser {tex} \mathbb{N} {/tex}, aber auch die Menge aller Schüler in einer Klasse.
(Nicht zu verwechseln aber ist der mathematische Begriff mit dem umgangssprachlichen Begriff wie im Beispiel Deutschland hat eine Menge Schulden.)
Enthält eine Menge kein Element, so spricht man von der leeren Menge. Symbol: $$\emptyset $$ oder { }


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komplexe Zahlen

komplexe Zahlen

Eine der Motivationen komplexe Zahlen einzuführen ist die Aufgabe Lösungen für x² + 1= 0 zu finden. Im Bereich der rellen Zahlen ist diese Aufgabe nicht lösbar.
Nun x²= -1 als i² = 1 festgelegt i ist dann Wurzel aus -1.
i wird als imaginäre Einheit bezeichnet.
Eine komplexe Zahl a hat dann diese Struktur $$ x = a + b \cdot i$$
a ist der reelle Anteil der Zahl und b der imaginäre Anteil. ( a und b sind reelle Zahlen.
Die graphische Darstellung einer solchen Zahl erfolgt dann nicht mehr auf einer Zahlengeraden, sondern auf einer Zahlenebene. (Vergleichbar mit Punkten einer Funktion in einem Koordinatensystem.)
Addition: (a₁ + b₁i) + (a₂ + b₂i) = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂)i
Subtraktion: (a₁ + b₁i) - (a₂ + b₂i) = (a₁ - a₂) + (b₁ - b₂)i
Multiplikation: $$ (a_1 + b_1 i) \cdot (a_2 + b_ 2 i) = a_1 \cdot a_2 + a_1 \cdot b_2 i + b_1 i \cdot a_2 + b_1 i \cdot b_2 i $$
unter Berücksichtigung i² = -1 lässt sich das Ergebnis so zusammenfassen:
$$ (a_1 + b_1 i) \cdot (a_2 + b_ 2 i) = (a_1 \cdot a_2 - b_1 \cdot b_2) + ( a_1 \cdot b_2 + a_2 \cdot b_1) i $$
Division: Auch gilt, dass eine Divison durch Null ausgeschlossen wird:
$$\frac {(a_1 + b_1 i)}{(a_2 + b_ 2 i)} = \frac {(a_1 + b_1 i) \cdot (a_2 - b_ 2 i)}{(a_2 + b_ 2 i) \cdot (a_2 - b_ 2 i)} = \frac {a_1 a_2 + b_1 b_2}{{a_1}^2 + {b_2}^2}+\frac {b_1 a_2 - a_1 b_2}{{a_1}^2 + {b_2}^2} \cdot i $$
Es ist mit der konjugiert komplexen Zahl erweitert worden.
Der Betrag einer komplexen Zahl x = a + b i ist dann $$ |x| = \sqrt {a^2 + b^2} $$ Dies ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras.

kubische Gleichung

kubische Gleichung

Kubische Gleichung oder Gleichung dritten Grades ist eine Gleichung, die sich in dieser Form gegeben ist der in diese Form umwandeln lässt:
ax³ + bx³ + cx +d = 0 (mit a ungleich 0, wäre a = 0, so erhält man eine quadratische Gleichung)
Gleichungen diesen oder höheren Grades werden meist udrch numerische Verfahren hinreichend genau gelöst. Es gibt aber auch eine exakte Lösungsvorschrift, letztlich eine Lösungsformel. Entwickelt wurde die allgemeine Lösungsformel von Cardano (oder Tartigla).
Eine ausführliche Herleitung der Lösungsformeln findet sich --> hier <--
Deutlich kürzer - aber eben ohne Begründungen wegen des warum:
ax³ + bx³ + cx +d = 0 wird durch a dividiert es wird $$ y := x + \frac{b}{3a}$$ gesetzt
==> y³ + 3py + 2q = 0 mit $$ 3p = \frac{3ac - b^2}{3a^2}~~ und ~~2q = \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a} $$
Nun wird die Diskriminante D = q² + p³ untersucht.
Wenn gilt D > 0 ==> Die Gleichung hat eine relle und zwei komplexe Lösungen.
Wenn gilt D < 0 ==> Die Gleichung hat drei verschiedene relle Lösungen.
Wenn gilt D = 0 ==> Die Gleichung hat nur "eine Lösung" y₁ = y₂ = y₃ = 0 (für p=q=0) bzw. "zwei Lösungen".
Die Lösungen heißen:
y₁ = u + v
y₂ = f₁u + f₂v
y₃ = f₂u + f₁v
$$ u = \sqrt[3]{-q + \sqrt{D}}\ v = \sqrt[3]{-q - \sqrt{D}}$$
$$f_{1,2} = 0,5(-1 \pm \sqrt{3} \cdot i) (i = \sqrt{-1})$$ imaginäre Einheit


Beispiel: 0 = x³ + 3x² - 25x - 75
==>
a = 1      b = 3      c = -25      d = -75
==>
p = -9.33333333      q = -24      D = -237.03703704
0= y³ - 28y -48
==> Wegen D < 0  drei relle Lösungen
(z₁ = -q + Wurzel(D) = 24 + 15.39600718 i und z₂ = -q - Wurzel(D) = 24 - 15.39600718 i)

$$ u =  \sqrt[3]{z_1}~~ = 3 + 0.57735027 i  ~~~~    v =  \sqrt[3]{z_2}~~ = 3 - 0.57735027 i $$

y₁ = 6      y₂ = -4     y₃ = -2

x₁ = 5      x₂ = -5     x₃ = -3



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Kürzen

Kürzen von Brüchen

Besitzen Zähler und Nenner eines Bruches gemeinsame Teiler, dann kann man Zähler und Nenner durch den gemeinsamen Teiler teilen, ohne dass sich am Wert des Bruches - der gebrochenen Zahl - etwas ändert.
$$ \frac{15}{20} = \frac {15 : 5}{20 : 5} = \frac {3}{4}$$
Ziel des Kürzens ist eine verbesserte Anschaulichkeit.
$$ \frac{75}{125} = \frac {3}{5}$$

Grundrechenarten Bruchrechung

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Erweitern

Erweitern von Brüchen

Erweitern von Brüchen heißt Zähler und Nenner eines Bruches mit der gleichen Zahl (ungleich Null und sinnvollerweise eine natürliche Zahl) zu multiplizieren.
Der Wert des Bruches - die gebrochene Zahl - selber ändert sich nicht.
$$ \frac{3}{4} = \frac {3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac {15}{20} $$
Das Erweitern von Brüchen wird hauptsächlich genutzt, um Brüche vergleichen zu können bzw. die Addition oder Sutraktion von Brüchen auszuführen.

Grundrechenarten Bruchrechung

 
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Kreisring

Kreisring

konzentrisch

konzentrisch

Faktorisieren

Faktorisieren
Faktorisieren heißt eine Summe wird in ein Produkt umgewandelt. Das geschieht häufig durch die Anwendung des Distributivgesetzes oder der binomischen Formeln.
Beispiel 1: 15x + 27y = 3(5x + 9y)
Beispiel 2:  16x² + 40 xy + 25y² = (4x+5y)(4x+5y)=(4x+5y)²
Eine Anwendung ist die Umstellung von $$ \frac{1}{R_G} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \rightarrow R_G = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} $$


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Diskriminante

Diskriminante

Bei der Lösung von --> quadratischen Gleichungen <-- der Form x² + px + q = 0 wird der folgende Ausdruck als Diskrimante D bezeichnet:
$$ D ={\left(\frac{p}{2}\right)}^2 - q $$
Die Lösungsformel der quadratischen Gleichung wird dann zu:

$$  {x_{1,2} }~ = ~ - \frac {p} 2 \pm \sqrt {D} $$
Mit D > 0 hat die Gleichung zwei von einander verschiedene reelle Lösungen.
Mit D = 0 hat die Gleichung zwei zusammenfallende reelle Lösungen. x₁ = x₂.
Mit D < 0 hat die Gleichung keine relle Lösungen, sondern zwei von einander verschiedene komplexe Lösungen.

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cos

cos

cos Abkürzung für --> Kosinus.

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