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harmonisches Mittel

harmonisches Mittel

Das harmonisches Mittel ist ein weiterer Mittelwert, so wie das arithmetische Mittel und das geometrische Mittel.
Hat man die Messwerte x1, x2, ... und xn so wird das harmonische Mittel berechnet, in dem die Reziproken der Messwerte addiert und anschließend wird n durch diese Summe dividiert.
$$ \large x_{harm} =\frac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^n {\frac{1}{x_i}}}$$
Für nur zwei Werte x1 und x2 vereinfacht sich das Ganze in wenigen Schritten zu:
$$\large x_{harm}= \frac {2x_1 x_2}{x_1 + x_2} $$

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Catalanzahl

Catalanzahl

Catalanzahl oder catalanische Zahlen bilden eine Folge von natürlichen Zahlen. Der Name geht auf den Mathematiker Catalan zurück.
Die Bildungsvorschrift ist:
$$ \large C_n = \frac{1}{1 + n} \binom{2n}{n} mit  ~ n \geq 0 $$
Weitere Varianten der gleichen Formel:
$$ \large C_n = \frac{(2n)!}{(n+1)!n!} $$
$$ \large C_n = \binom{2n}{n} - \binom{2n}{n+1} $$
Die Zahlen sind in der Kombinatorik von einiger Bedeutung.
So untersuchte u.a. Euler die Anzahl von Zerlegungen von konvexen n-Ecken in Teildreiecke, die durch die Diagonalen gebildet werden, die jeweils einen Eckpunkt gemeinsam haben. Ist die Eckenzahl n = 6  so ist die gesuchte Zahl von Möglichkeiten C4, also 14.

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Pseudovollkommene Zahlen

Pseudovollkommene Zahlen

Eine natürliche Zahl heißt pseudovollkommene Zahl, wenn die Summe von echten Teilern der  Zahl - aber nicht notwendiger alle echten Teiler - sonst wäre sie ja vollkommen - die Ausgangszahl ergibt.
Die vollkommenen Zahlen sind also auch pseudovollkommenen Zahlen.
Beispiel:
12 --> Die Teiler sind 1; 2; 3; 4 und 6 .
1 + 2 + 3 + 6 = 12 (4 fehlt)
Damit eine Zahl pseudovollkommen sein kann, muss es sich um eine abudante (reiche) Zahl oder eine vollkommene Zahl handeln.
Eine echte Teilmenge der pseudovollkommenen Zahlen sind die primär pseudovollkommenen Zahlen.
Man nimmt alle Primfaktoren (p1; p2; ...; pm) einer pseudovollkommenen Zahl n.
Es muss dann gelten: Die Summe aus p1/n +  p2/n + ... + pm/n = n - 1

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erhabene Zahl

Erhabene Zahl

Erhabene Zahl wird auch sublime Zahl (sublim number) genannt.
Eine Zahl heißt erhaben, wenn die Anzahl aller Teiler eine vollkomme Zahl ist, aber auch die Summe aller Teiler eine vollkomme Zahl ergibt.
Bekannt sind derzeit nur zwei Zahlen mit dieser Eigenschaft:
12
Die Teiler sind 1; 2; 3; 4; 6 und 12 ,also 6 Teiler
1+2+3+4+6+12 = 28
6 und 28 sind vollkomme Zahlen.
Die derzeit bekannte zweite Zahl ist:
6086555670238378989670371734243169622657830773351885970528324860512791691264
zum Nachlesen (englisch)

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Sphenische Zahl

Sphenische Zahl

Als sphenische Zahl wird eine Zahl bezeichnet, die das Produkt von genau drei - von einander verschiedenen - Faktoren ist, wobei die Faktoren alle Primzahlen sein müssen.
Beispiele:
30 = 2 * 3* 5
1001 = 7 * 11 * 13 (Wird genutzt bei der Teilbarkeit durch 7. Sechstellige Zahlen der Form abcabc sind durch 7 teilbar.)
Alle sphenische Zahlen haben genau 8 Teiler. Sei z = abc, so gibt es  die Teiler 1, a, b, c, ab, ac, bc und z.
Es gibt keine sphenische Zahl, die vollkommen ist.
Die 70 (= 2 * 5 * 7) und die sphenische Zahlen der Form 2 * 3* c sind abudant (reiche Zahlen). Alle anderen sphenische Zahlen sind defizient (arme Zahlen).
Sphenische Zwillinge sind zwei aufeinander folgende  sphenische Zahlen - z.B. 230 und 231.
Sphenische Drillinge sind drei aufeinader folgende sphenische Zahlen - z.B. 1309, 1310, 1311.
Vierlinge und mehr kann es auf Grund der obigen Definition nicht geben.
Geometrische Deutung:
Hat ein Quader verschieden lange Seiten, der Maßzahlen Primzahlen sind, so ist die Maßzahl des Volumens eines sphenische Zahl.

Die sphenischen Zahlen waren auch schon mal Gegenstand der Wochenaufgabe 281.

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