Kreisring
Kreisring
Die Fläche zwischen zwei konzentrischen Kreisen wird als Kreisring bezeichnet.A = r1² - r2², wenn r1 > r2. Der Umfang der Figur ist gleich der Summe der beiden Kreise.
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Mathelexikon
Interaktives Mathematiklexikon
hier geht es zu einer zusammenfassenden Übersicht
A = r1² - r2², wenn r1 > r2. Der Umfang der Figur ist gleich der Summe der beiden Kreise.
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konzentrisch
konzentrisch
Substantiv: Konzentrizitätcon centrum gemeinsamer Mittelpunkt
Zeichnet man unterschiedlich große Kreise mit gemeinem Mittelpunkt, so erhält man konzentrische Kreise. Die Fläche zwischen zwei solchen Kreisen heißt auch Kreisring. A = r1² - r2², wenn r1 > r2.
Auch regelmäßige n-Ecke (gleiche Eckenzahl) lassen sich problemlos konzentrisch zeichnen, da diese über einen Mittelpunkt verfügen.
Nicht zueinander ähnliche ebene Figuren lassen sich als konzentrisch auffassen, wenn sie einen gemeinsamen Schwerpunkt haben.
Der Gegensatz zu konzentrisch ist exzentrisch.
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Faktorisieren
Faktorisieren
Faktorisieren heißt eine Summe wird in ein Produkt umgewandelt. Das geschieht häufig durch die Anwendung des Distributivgesetzes oder der binomischen Formeln.
Beispiel 1: 15x + 27y = 3(5x + 9y)
Beispiel 2: 16x² + 40 xy + 25y² = (4x+5y)(4x+5y)=(4x+5y)²
Eine Anwendung ist die Umstellung von $$ \frac{1}{R_G} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \rightarrow R_G = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} $$
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Diskriminante
Diskriminante
Bei der Lösung von --> quadratischen Gleichungen <-- der Form x² + px + q = 0 wird der folgende Ausdruck als Diskrimante D bezeichnet:
$$ D ={\left(\frac{p}{2}\right)}^2 - q $$
Die Lösungsformel der quadratischen Gleichung wird dann zu:
$$ {x_{1,2} }~ = ~ - \frac {p} 2 \pm \sqrt {D} $$
Mit D > 0 hat die Gleichung zwei von einander verschiedene reelle Lösungen.
Mit D = 0 hat die Gleichung zwei zusammenfallende reelle Lösungen. x1 = x2.
Mit D < 0 hat die Gleichung keine relle Lösungen, sondern zwei von einander verschiedene komplexe Lösungen.
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cos
cos
cos Abkürzung für --> Kosinus.
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Einheitskreis
Einheitskreis
Als Einheitskreis wird ein Kreis mit dem Radius von 1 bezeichnet. (1 - eine Längeneinheit)
Die grüne Linie entspricht dann dem Sinus des Winkels.
Die rote Linie entspricht dem Kosinus des Winkels.
Die hellblaue Linie entspricht dem Tangens des Winkels.
Ergänzung des Artikel:
Geogebradatei zur Herleitung der Funktionsbilder.
Applet für die Winkelfunktionswerte (passend zum Bild).
Applet für die Herleitung der Winkelfunktionen
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binomische Formeln
binomische Formeln
Es gibt drei binomische Formeln.
1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. (a - b)² = a² - 2ab + b²
3. (a + b)(a - b) = a² + b²
Diese Formeln finden vielfältige Anwendungen, so zum Beispiel bei den quadratischen Funktionen, wenn die Normalform in die Scheitelpunktsform (u. u.) umgewandelt werden soll.
Auch als Hilfe für das Kopfrechnen lassen die Formeln sich nutzen.
Beispiele:
31² = (30 + 1)² = 900 + 60 + 1 = 961
22*18 = (20 + 2)(20 - 2)= 400 - 4 = 396
Zum Beweis der Formeln lassen sich arithmetische, aber auch geometrische Verfahren nutzen.
Weitere Beispiele können gern im Kommentarfeld gezeigt werden.
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Multiplikation
Die Multiplikation lässt sich als "verkürzte" Variante der Addition gleicher Summanden auffassen.
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 5 . 3.
Natürlich muss die bei den Zahlenbereichen entsprechend adaptiert werden.
Als Rechenzeichen dient der Malpunkt, es ist aber * gebräuchlich.
{tex} Faktor \cdot Faktor = Produkt {/tex}
Es gilt:
1. a * b = b * a Kommutativgesetz
2. a * (b * c) = (a*b) * c = a * b * c Assoziativgesetz.
Als Mix zur Addition:
3. a * (b + c) = a * b + a * c Distributivgesetz
Grundrechenarten testen
Subtraktion
Subtraktion
Die Subtraktion lässt sich Umkehroperation der Addition auffassen.
Im Bereich der natürlichen und gebrochenen Zahlen ist die Subtraktion nicht immer auführbar.
Das Rechenzeichen ist das Minuszeichen -
Es heißt dann Minuend (a) - Subtrahend (b) ergibt die Differenz (c).
a - b = c
Differenz - Unterschied
Bildet man zu b die entgegengesetzte Zahl - b, so kann man die Subtraktion als Addition schreiben: a + (- b) = c
siehe auch Komplementaddition
Grundrechenarten testen
Addition
Addition
Zwei Zahlen a und b - egal ob natürliche, gebrochene, rationale, irrationale, reelle oder komplexe Zahlen, können addiert werden.
a und b heißen Summanden, a +b b ist dann die Summe.
Es gilt.
1. a + b = b + a Kommutativgesetz
2. a + (b + c) = (a+b) + c = a + b + c Assoziativgesetz.
Umkreis
Der Begriffe Umkreis bezieht sich auf n-Ecke.
Liegen alle Eckpunkte eines n-Ecks auf einem (gemeinsamen) Kreis, so wird dieser Kreis als Umkreis bezeichnet.
Jedes Dreieck hat genau einen Umkreis.
Vierecke haben einen Umkreis, wenn sie Sehnenvierecke sind - also wenn gilt, dass die Summe der gegenüberliegenden Winkel 180° ergibt.
Jedes regelmäßige n-Eck hat einen Umkreis.
Sehnenviereck
Sehnenviereck
Es werden auf einem Kreis vier Punkte A, B, C und D gewählt. Werden diese vier Punkt durch Sehnen verbunden, die sich nicht schneiden sollen, so heißt das entstandende Viereck: Sehnenviereck.
Es gilt: Die Summe der gegenüberliegenden Winkel ergibt 180°.
Nur Vierecke, die zugleich Sehnenvierecke sind, haben einen Umkreis.
Es gilt AP * CP = BP * DP
zur Ergänzung siehe Tangentenviereck
Sehne im Kreis
s. besondere Linien im Kreis
Kongruenz von Dreiecken
Kongruenz von Dreiecken
Um zu überprüfen, ob zwei Dreiecke kongruent zueinander sind, ist es nicht notwendig alle Winkel und Seitenlängen übereinstimmen, sondern es gilt:1. Zwei Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn sie in drei Seiten übereinstimmen. (sss) auf die Dreicksungleichung achten.
2. Zwei Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn sie in zwei Seiten und dem von diesen eingeschlossenen Winkel übereinstimmen. (sws)
3. Zwei Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn sie in zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel überreinstimmen. (sSw)
4. Zwei Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn sie in einer Seite und den an der Seite anliegenden Winkeln übereinstimmen. (wsw)
Dreiecksungleichung
Dreiecksungleichung
In einem ebenen Dreieck ABC mit den Seiten a, b und c gilt:
a + b > c
a + c > b
b + c > a.
Kurz gesagt: Zwei Seiten eines Dreiecks zusammen müssen immer länger sein als die dritte Seite.
Zum Testen reicht es aus, die zwei "kurzen" Seitenlängen zu addieren und mit der längste Seite zu vergleichen.
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