Serie-7

Aufgabe 1

Bernds Großvater hat im Übungsheft aus seiner Schulzeit folgende Aufgabe wieder gefunden:
Ein Weinhändler bekam von seinem Lieferanten 6 Fä&er Wein. Diese enthielten feinsten trockenen Rotwein und hatten folgende Abmeßungen: 15 Liter, 16 Liter, 18 Liter, 19 Liter, 20 Liter und 31 Liter. (Das muss eine alte Aufgabe sein, heute sind die doch alle gleich groß, nun ja).
Am ersten Tag verkaufte er 3 Fässer, am zweiten Tag 2 Fässer und am 3. Tag wurde er das letzte Fass los. Kein Fass wurde geöffnet, sondern immer komplett verkauft. Die Menge des verkauften Weines war am ersten Tag genau doppelt so groß wie am zweiten Tag. Wie viel Liter Wein verkaufte er jeweils an den drei Tagen?
Zu erreichen sind 5 Punkte.

Die Minimalmenge am zweiten Tag wären 15 Liter + 16 Liter = 31 Liter. Dann wären am 1. Tag 62 Liter verkauft worden. Dann passt das 31 Literfass nicht, aber auch die verbleibenden 3 Fässer ergeben nicht 62 Liter. Also geht die Minimalmenge nicht.
2. Versuch: Am zweiten Tag wären es 15 Liter + 18 Liter = 33 Liter. Dann wären am 1. Tag 66 Liter verkauft worden. Die lassen sich (eindeutig) durch 31 Liter + 19 Liter + 16 Liter realisieren, dann bleibt das 20 Literfass für den 3. Tag. Der 2. Versuch bringt eine Lösung.
3. Versuch: Am zweiten Tag wären es 15 Liter + 19 Liter = 34 Liter. Dann wären am 1. Tag 68 Liter verkauft worden. Die verbleibenden Fässer reichen nicht um mit dreien von ihnen die 68 Liter zusammenzustellen. (31 + 20 + 18 = 69 bzw. 31 + 20 + 16 = 67). 3. Versuch gescheitert.
Zwischenüberlegung die maximale Literzahl bei drei Fässern ist 70 Liter (31 + 20 + 19). dass heißt es können am zweiten Tag höchstens 35 Liter sein.
4. Versuch: Am zweiten Tag wären es 15 Liter + 20 Liter = 35 Liter. Dann wären am 1. Tag 70 Liter verkauft worden. Die sind aber nicht mehr schaffbar mit drei Fässern, denn dazu würde das 20 Literfass gebraucht, nun ist also gezeigt, weitere Lösungen gibt es nicht.
Es gibt auch elegantere Lösungen so von Katha:
Die Menge an Wein die am 2. Tag verkauft wurde sei x, x ist Element aus N. Die Menge an Wein die am 3. Tag verkauft wurde sei y, y ist Element von F={15; 16; 18; 19; 20; 31}.
2x+x+y=15+16+18+19+20+31. 3x+y=119 Liter. Diese Gleichung ist nur definiert für y=20 Liter. Daraus folgt 3x=99 Liter und x=33 Liter. Da am 2. Tag 2 Fässer verkauft wurden, die zusammen 33 Liter fassten, kommen nur die Fässer 15 Liter und 18 Liter in Frage. Am 1. Tag wurden also das 16, das 19 und das 31 Liter Fass verkauft. Am 2. Tag das 15 und das 18 Liter Fass und am dritten Tag das 20 Liter Fass.

Aufgabe 2

Bernd und Mike haben in einer Vertretungsstunde ein paar kuriose Zahlen mit dem Taschenrechner bearbeiten müssen, die nach dem Wurzelziehen (Quadratwurzel) überraschende Ergebnisse aufwiesen.
So ist Wurzel aus 121 = 12 -1 oder
Wurzel aus 256 = 2 ^. 5 + 6 oder gar
Wurzel aus 11881 = 118 - 8 - 1
Das letzte ließ sich ja dann auch so schreiben: Wurzel aus AABBA = AAB - B - A
Zwei Aufgaben bekamen sie als freiwillige Hausaufgabe, der Ehrgeiz war entfacht, wer wohl von den beiden als erster beide Rätsel knacken würde.
Finde je eine Lösung für:
Wurzel aus ABCD = A + BC + D und
Wurzel aus DEFA = D ^. E ^. F + A
Gleiche Buchstaben bedeuten gleiche Ziffern, verschiedene Buchstaben verschiedene Ziffern.
(Tipp: 2 ^. A = 3 ^. D)
Zu erreichen sind 8 Punkte.

Der Tipp besagt, dass A = 1,5 * D, das heißt, D muss eine gerade Zahl sein. Mögliche Paare (A;D) sind dann (3;2), (6;4) und (9;6). Als letze Ziffer von Quadratzahlen gibt es von 0*0 bis 9*9 die Ergebnisse 0; 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4 und 1. Die Zwei als letzte Ziffer tritt nicht auf, also entfällt das Tipppaar (3;2). Damit lohnt es sich jetzt die Quadratzahlen zwischen 6.000 und 7.000 die auf 4 enden bzw. zwischen 9.000 und 10.000 die auf 6 enden mal aufzuschreiben:
78² = 6084
82² = 6724
96² = 9216
Auf Grund der Endzifferregel sind das gar nicht so viele.
Die Zerlegung von Wurzel ABCD führt jetzt ganz schnell zu der einzig möglichen Lösung:
6724, denn nur hier gilt: Wurzel aus 6724 = 82 = 6 + 72 + 4.
Von DEFA ist nun bekannt: 4EF6. Schnell die Kandidaten zwischen 4.000 und 5.000.
64² = 4096
66² = 4356 mehr Kandidaten gibt es nicht, der erste entfällt wegen der Null.
Die einzige Lösung ist: Wurzel aus 4356 = 66 = 4*3*5 + 6.
Kleiner Tipp große Wirkung.
PS.: Es wurde auch Wurzel aus 1296 = 1 + 29 + 6, eine Lösung für den Typ Wurzel ABCD = A + BC + D, wenn er ohne den Tipp A = 1,5 * D betrachtet wird. Wer Lust hat, mag mal untersuchen wie viele Lösungen es insgesamt gibt, wenn nur die Verschiedenheit der Buchstaben Bedingung ist.

Aufgabe 3

Bernd hat den Wettstreit mit den Hausaufgaben der letzten Woche verloren, zwar bekam er die Zahlen raus, aber er hat länger gebraucht als Mike.
Als sie sich am Freitag trafen, kam Bernds Vater dazu und berichtete vom gestrigen Treffen am Himmelfahrtstag. Viele meiner Freunde (und deren Freunde) kamen mit den verschiedensten Fahrzeug zum Parkplatz. Mit PKW, Motorrad mit Beiwagen und Fahrrädern. Als ich einen Blick zurück warf, dachte ich, da steckt doch bestimmt eine Aufgabe für euch drin. Also:
322 Räder hatten alle Fahrzeuge zusammen, wo bei es doppelt so viel PKW wie Motoräder mit Beiwagen gab. Am erstaunlichsten war, dass es genau 3-mal so viele Fahrräder gab wie PKW. Wie viele Leute waren wir bei der Wanderung, wenn mit jedem Fahrzeug eine Person gekommen ist?
Zu erreichen sind 6 Punkte.

Ein PKW hat 4 Räder -p Anzahl, Motorrad mit Beiwagen hat 3 Räder -b Anzahl und Fahrräder jweils 2 -f die Anzahl.
Es gilt also 4p + 3b + 2f = 322.
Nun gilt noch p = 2b und f = 3p, also f = 6b
Eingesetzt in die erste Gleichung führt das auf:
8b + 3b + 12b = 322
23b = 322
b = 14 und damit ist p = 28 und f = 84. (Probe: 4*28 + 3*14 + 2*84 = 322)
Die Gesamtzahl aller Teilnehmer ist damit 126, ziemlich große Truppe.

Aufgabe 4

Bernd und Mike sind bei einer Aktion zur Bepflanzung einer ehemaligen Deponie beteiligt. Es finden sich drei Gruppen zusammen, deren Mitglieder aber nicht alle gleichzeitig arbeiten. Angestachelt von der Aufgabe meinte die Gruppe A, dass sie die Hälfte aller Bäume pflanzen würden, die alle anderen pflanzen. Die große Gruppe B meinte darauf hin, dass sie die Hälfte aller Bäume pflanzen würden. Okay, dann bleiben für uns noch 40 Bäume meinte der Chef von Gruppe C, da wir weniger sind, als ihr sollte das in Ordnung gehen. Wie viele Bäume wurden durch die Gruppen insgesamt gepflanzt?
Zu erreichen sind 6 Punkte.

Hier als Beipiellösung die vom Kim:
Zuerst hab ich gedacht, sie wäre komplizierter als die anderen; aber das ist sie gar nicht.
Also:
x ist die Anzahl aller Bäume;
B pflanzt dann 1/2 * x;
C pflanzt 40;
A pflanzt 1/2 * (B + C)
= 1/2 * (1/2 * x + 40)
= 1/4 * x + 20
B pflanzt 1/2 * x, also pflanzen (A + C) auch 1/2 * x, dann pflanzt A genau 1/2 * x - C, also 1/2 * x - 40;
dann gilt: 1/4 * x + 20 = 1/2 * x - 40
60 = 1/4 * x
240 = x
Es sind also insgesamt 240 Bäume, B pflanzt 120 und, das war ja angegeben, C pflanzt 40 und A pflanzt 80 Bäume.
Prima Kim.

Aufgabe 5

Nach der doch recht anstregenden Pflanzaktion stand ihnen - Bernd und Mike - der Sinn nach etwas Gehirnakrobatik und da kam ihnen diese Aufgabe gerade recht.
Gesucht sind vier 10-stellige Zahlen, deren Ziffern jeweils alle verschieden sind.Gleiche Buchstaben stehen für die gleiche Ziffer, verschiedene Buchstaben für verschiedene Ziffern.
A BCD EFG HIJ
C HDG FBA EIJ
B HGC DIF EAJ
B DHI CFE GAJ
Diese Zahlen sind Teilerwunder, denn sie sind ohne Rest durch alle Zahlen von 1 bis 18 teilbar.
Zwei Tipps: B ist doppelt so groß wie A. Die Zahlen sind der Größe nach sortiert aufgeschrieben. Zu erreichen sind 10 Punkte.

Das Teilwunder bedeutet, dass in den Zahlen das kgV, das kleinste gemeinsame Vielfache enthalten sein muss. Dieses lässt sich durch die entsprechende Primzahlzerlegung ermitteln und ist: kgV = 17*16*9*5*7*11*13= 1 225 240. (Von allen Primzahlen bis zur 18 wird die höchste Potenz genommen.)
Damit ist klar J ist 0.
Aus dem ersten und zweiten Tipp ergeben sich für die kleinste Zahl (Tipp 2) folgende Möglichkeiten:
2 43D EFG HIJ
3 64D EFG HIJ
3 65D EFG HIJ
4 85D EFG HIJ
4 86D EFG HIJ
4 87D EFG HIJ
Jetzt lohnt es sich den Taschenrechner zu benutzen. 2 430 000 000 / 1 225 240 = 198,32... und
2 440 000 000 / 1 225 240 = 199,1444 ...
Wenn die erste Zahl 2 43D EFG HIJ ein Kandidat ist, muss das Produkt von 1 225 240 * 199 die Bedingung mit den zehn verschiedenen Ziffern erfüllen.
1 225 240 * 199 = 2 438 195 760 gefunden
Nun noch überprüfen, ob die anderen Zahlen dazu passen:
2. Zahl: 3 785 942 160 ist ohne Rest durch 1 225 240 teilbar,
3. Zahl 4 753 869 120 ist ohne Rest durch 1 225 240 teilbar und
die 4. Zahl 4 876 391 520 ist ohne Rest durch 1 225 240 teilbar.
Uff geschafft!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Aufgabe 6

In einem Philosophiebuch (Filosofie sieht irgendwie doof aus) über Plato findet Mike einen Spielplan und folgende Spielanleitung.

Es ist ein Spiel für eine Person. Diese hat neun Spielsteine, die alle abgelegt werden müssen (oder sollten). Ein Spielzug geht so: Ein Stein wird auf ein freies Feld (1,2, ...,0) gelegt, dann wird über ein Feld gesprungen (egal ob leer oder besetzt) und dann wird der Stein auf dem nächsten Feld (muss frei sein) abgelegt. Die drei Felder liegen auf der Linie des Spielfeldes. Dann wird wird der nächste Stein nach dem Verfahren gesetzt. Dieser Zug wird so lange wiederholt wie er ausführbar ist. Beispiel: der erste Zug lässt sich durch 147, ein zweiter 234 beschreiben. Der zweite Zug könnte nicht 987 sein, da ja die 7 besetzt wäre.

Das sollt kein Problem sein, sprach Bernd. Aber oh Schreck - nicht Shrek - irgendwie ging das nicht. 6 bis 7 Steine passten immer, aber dann war Schluss. Da muss es doch einen Trick geben. Stimmt, meinte Mike, die Strategie ist nicht kompliziert, aber man muss halt drauf kommen.
Wie bekommt man seine neun Steine auf dem Spielfeld unter, wenn der erste Zug 680 sein soll? Welche Strategie führt immer zum Erfolg?
Zu erreichen sind 10 Punkte. (Für die Anstrengung beim Knobeln.)

Diese Spiel ist auch Bestandteil der CD-ROM zu Sophies Welt. Es wird aber auch in Griechenland, speziell auf Kreta recht gern gespielt.
Eine Strategie ist, wenn man sie einmal gefunden hat, recht simpel. Der erste Zug hat einen beliebigen Startpunkt. Der zweite wird so gesetzt, dass er dort endet, wo der erste begonnen hat. Der dritte wird so gesetzt, dass er endet, wo der zweite geendet hat usw.
Die Zugfolge bei der Vorgabe 680:
680
136
741
987
369
543
875
268
432
Es gibt aber auch für den Start (eine) andere Lösung(en):
680 - 234 - 862- 578 - 345 - 963 - 789 - 147 - 631 (von Annika Th.).
Wenn man beide Zugfolgen vergleicht, so ist die gleiche Grundidee zu entdecken, nur dass der 9. Zug als zweiter in umgekehrter Reihenfolge kommt und dann wieder das Prinzip Anfang-Ende greift.
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Strategiebeschreibung von Annika mit Bild

Ich wußte, dass ich für den letzten Stein ein Feld brauche, dass von zwei Stellen aus belegt werden kann. Z.B. die 5 geht von 875 und von 345 aus. also muss die 8 und die 3 bis zum Schluß frei bleiben. Die ersten drei liegende Steine bilden ein Dreieck: Z.B. 061 oder 528 oder 935. Es ist egal, in welcher Reihenfolge das Dreieck entsteht. Der vierte Stein hat zwei Möglichkeiten: er kommt quasi auf einen Punkt der längeren Seite des ersten Dreiecks. (Bei 1. Dreieck 593, dann auf die 7 oder 8. wenn 1. Dreieck 160, dann 4 oder 7. wenn 1. Dreieck 179, dann 3 oder 6. der 5. Stein kommt auf die Spitze, die genau 2 Felder von Nr. 4 entfernt ist. Fürs zuletzt genannte Beispiel: wenn der 4 Stein auf Nr. 3 liegt, dann ist es nun die 5. beim 6. Stein ist es ähnlich: er kommt auf das freie feld, das 2 Felder vom 5. entfernt ist. letztes beispeil: 8 der 7. Stein bildet mit Nummer 5 und 6 wieder ein Dreieck: also muss er auf die 2. Dann ist noch eine Spitze frei, die bleibt es auch bis zum Schluß, die letzten beiden Steine können in beliebiger Reihenfolge abgelegt werden. fertig. Kurzfassung: 1,2,3 = Dreieck 4 auf "Hypothenuse" längste Seite vom 1. Dreieck 5,6,7 = Dreieck, komplett anders als 1,2,3! 8,9, = egal, Hauptsache nicht auf eine Spitze!

Hier noch eine schöne Variante von Josephine Koch:
Ich habe eine Strategie herausgefunden, in dem ich von rückwärts angefangen habe (ich habe sie Rückwärtsstrategie genannt).
Ich habe als erstes alle Felder besetzt und das Feld 1 freigelassen.
Ich habe dann die Figur auf Feld 6 weggenommen, weil es 3 Felder von der 1 entfernt ist.
(Ich habe mir die 6 aufgeschrieben).
Dann hatte ich 2 Felder frei. ich habe alle Figuren rausgenommen die 3 Felder von einem freien Feld entfernt waren (es wurden ja immer mehr).
Alle habe ich mir der Reihe nach aufgeschrien (4; 2; 8; 5; 3; 9; 7; 6; ). Das Feld 0 habe ich dabei aber immer besetzt gelassen.
So habe ich die Lösung herausbekommen: s.o.

Aufgabe 7

Als Bernd mit seinem Vater unterwegs war bemerkte er, dass der Zähler des Tachometers bei 16 961 km stand. Ups, das ist ja eine symmetrische Zahl, also von vorn und hinten gelesen die Gleiche. Da meinte sein Vater, wenn wir gut durchkommen, dann schaffen wir in einer Stunde wieder eine solche Zahl. Na mal sehen.
Wie groß müsste die Durchschnittsgeschwindigkeit sein, damit der Vater recht behält?
Zu erreichen sind 4 Punkte.

Unter 17 000 gibt es keine symmetrische Zahl mehr, also kommt mit dem Zahlstart 170 als Ergänzung nur die 71. Der Abstand zwischen 16961 und 17 071 beträgt 110. Das heißt das Auto muss 110 km/h schnell sein, dass kann auf der Autobahn zu schaffen sein. Die nächste symmetrische Zahl ist dann die 17 171, aber das würde eine Geschwindigkeit von 210 km/h voraussetzen. Das ist bei dem vernünftigen Vater von Bernd nicht zu erwarten.

Sommerspezial

Nur so zur Freude, ohne Wertung:
Wie so klappt das?
Geburtstagspräsention
nicht von mir, habe ich mehrfach zugeschickt bekommen.
Noch eine Aufgabe: manager.jpg
und noch die aus dem Mathebuch:

Zeichne ein solches Quadrat, schneide die Teile aus und setze es zu einem Rechteck zusammen. Vergleiche die Flächeninhalte und staune. (PS.: Es gibt viele solche Aufgaben, aber hier hatte ich gerade das Bild.)

Aufgabe 8

Nach der langen Sommerpause ist es endlich wieder soweit. Bernd kam erholt von einer Familienfeier zu Mike und berichtete folgendes:
Wir haben im Lokal gefeiert und folgende Leute waren da:
Ein Opa, eine Oma, zwei Väter, zwei Mütter, vier Kinder, drei Enkel, ein Bruder, zwei Schwestern, zwei Söhne, zwei Töchter, zwei Männer, zwei Frauen, eine Schwiegertochter und ein Schwiegervater. Wie viele Stühle standen mindestens am Tisch?
Zu erreichen sind 5 Punkte.

Hier eine Musterlösung, diesmal von Mawi.
Es sind da Opa+Oma, deren Sohn (=Vater) + dessen Frau sowie deren 3 Kinder (2 Mädchen + 1 Junge). Es sind also mindestens 7 Stühle am Tisch gewesen. Man kommt auf das Ergebnis, indem man von 2 Männern und 2 Frauen ausgeht. Da 1xOpa und 1xOma dabei sind, müssen gleichzeitig 1xMutter und 1xVater dabeigewesen sein (ob sie allerdings Mann und Frau sind, steht bis dahin nicht fest). Wegen der Schwiegertochter/Schwiegervater-Beziehung kommt man schnell drauf, daß die Mutter die Schwiegertochter des Opas und der Oma ist. Mutter und Vater gehüren also zusammen und haben 3 Kinder. Aus der Eltern-Generation gibt es keine Geschwister (keine weiteren Männer und Frauen sowie 3 Enkel), also sind Brüder/Schwestern die Kinder, d.h. es gibt 1 Sohn und 2 Tüchter der Mutter und des Vaters. Probe: Opa klar, Oma klar 2 Väter = Opa und Vater 2 Mütter = Oma und Mutter 4 Kinder = Vater als Sohn von Oma+Opa plus seine 3 Kinder 3 Enkel = Bruder und 2 Schwestern 1 Bruder klar, 2 Schwestern klar 2 Sühne = Vater, Sohn 2 Tühter = 2 Schwestern 2 Männer = Opa + Vater 2 Frauen = Oma + Mutter 1 Schwiegertochter = Mutter 1 Schwiegervater = Opa

Aufgabe 9

Da die Feierrunde aus der vorigen Aufgabe nicht so groß war, konnte Bernds Opa sogar noch eine seiner Knobelaufgaben stellen.
Unser Zahlsystem hat 10 Ziffern, 0, 1, 2, ..., 9. Wie viele Zahlen lassen sich aus genau den 10 Ziffern bilden, wenn jede genau einmal vorkommt? Teil 1 Die erste Ziffer darf auch eine Null sein, Teil 2 die erste Ziffer darf keine Null sein.
Zu erreichen sind 3 + 3 Punkte.

Teil 1:
Für die erste Stelle gibt es 10 Möglichkeiten, für die zweite dann noch 9, für die dritte Stelle noch 8, ... das sind dann 10*9*8*...*1 = 10! Möglichkeiten.
3 628 800.
Teil 2:
Im Teil 1 sind die Nullen an der ersten Stelle mit eingeschlossen. Betrachtet man die Zahlen aus dem ersten Teil so ist wie man leicht sieht jede 10. Zahl eine mit einer Null am Anfang (Jede erste Ziffer kommt gleich häufig vor). Das sind 362 880. Alle anderen Zahlen sind echt zehnstellig und das sind 3 628 800 - 362 880 = 3 265 920

Aufgabe 10

Bernd und Mike müssen in der Schule gerade die Quadratzahlen wiederholen. Da ihr Lehrer weiß, dass die beiden sich für besondere Zahlen interessieren, gibt er ihnen die Aufgabe aus den vierstelligen Quadratzahlen, die heraus zu suchen für die folgendes gilt:
abcd ist eine Quadratzahl, wobei a,b,c,d nicht unbedingt verschieden sein müssen und es gilt:
(ab + cd)²= abcd.
Für jede gefundene Zahl gibt es zwei Punkte.

Hier hilft wirklich nur systematisches Suchen.
Beispiellösung von Kim:
Ich habe drei Lösungen durch Ausprobieren gefunden:
1. (20 + 25)* (20 + 25) = 2025
2. (30 + 25)* (30 + 25) = 3025
3. (98 + 01)* (98 + 01) = 9801
Ich bin dabei so vorgegangen:
Ich habe von allen Zahlen zwischen 32 und 99 (jeweils einschließlich) die Quadrate gebildet, denn nur diese liegen zwischen 1000 und 9999,
dann habe ich die Zahl, die aus den ersten beiden Ziffern besteht und die Zahl, die aus der dritten und vierten Ziffer besteht, addiert, davon das Quadrat gebildet und mit der ursprünglichen Zahl verglichen.
Das sind alle Quadratzahlen für die die Bedingungen zutreffen, damit waren also 6 Punkte zu erreichen.
Von Mawi aus Dresden gleich noch ein PHP-Programm zum suchen, prima Idee auch für den Fall, wenn man die Aufgabenstellung varieren möchte und den Programmcode anpasst.
mawi.php

Aufgabe 11

Im Informatikunterricht lernen Bernd und Mike wie ein Computer Daten verarbeitet. Grundlage dafür ist das Dualsystem. Es hat im Gegensatz zum Dezimalsystem nur die Ziffern 0 und 1 und beruht auf den Potenzen der 2.
Als Bernd beim Abendbrot davon erzählt, erinnert sich sein Vater an ein Rätsel in dem es auch um die Zahl ging. Er schaut in sein altes rotes Knobelbuch und findet dort die Aufgabenstellung:
Mittels der Grundrechenarten - einschließlich von Klammern - lassen sich die Zahlen 19 bis 26 unter Verwendung von genau 5 Zweien darstellen. Finde jeweils eine solche Darstellung, somit gibt es diesmal 8 Punkte.
Beispiel für 13: 13 = (22 + 2 + 2) : 2 oder
Beispiel für 18: 18 = 2*2*2*2 +2

Es gab für einige Zahlen mehrere Darstellung. Hier wird aber nur jeweils eine angegeben. Die Verwendung des Wurzelzeichens war nicht erlaubt, zumindest nicht, wenn dabei "vergessen" wurde, dass es ja dann die 2-Wurzel war und somit eine 6. Zwei benutzt wurde.
19= 22 - 2 - 2/2
20 = 22 + 2 - 2 - 2
21 = 22 - 2 + 2/2
22 = 22*2 - 22
23 = 22 + 2 - 2/2
24 = 22 - 2 + 2 - 2
25 = 22 + 2 + 2/2
26 = 2*(22/2 + 2)

Serie 7 Aufgabe 12

Die Verwandlung
Bern und Mike haben Herbstferien und sitzen Nüsse essend in Mikes Zimmer. Sie haben drei Sorten Nüsse. Erdnüsse, Haselnüsse und Paranüsse. Mikes Schwester kommt dazu und lässt sich ein paar von den Nüssen geben und meint, am liebsten esse sie Nussmischungen. Da beginnt bei Bernd eine Idee zu reifen. Mal angenommen:
Drei Händler treffen sich vor dem Markttag in einer Herberge. Alle drei handeln mit Nüssen. Der erste hat 40 Kilogramm Erdnüsse, der Zweite hat 50 Kilogramm Haselnüsse und der Dritte hat 90 Kilogramm Paranüsse. Der Wirt der Herberge meint, in diesem Jahr essen die Leute eher Nussmischungen, wenn ihr eure Nusssorten mischt, werdet ihr die bestimmt los. Gesagt, getan. Sie holen einen großen Kessel aus der Küche und stellen ihre Nussmischung her. Anschließend nimmt sich jeder so viel wieder wie er hineingegeben hat.
Wie viel von jeder Nusssorte hat jetzt jeder der einzelnen Händler?
Zu erreichen sind 6 Punkte.

Es sind zusammen 180 Kilogramm Nüsse.
40/180 = 2/9 Anteile Erdnüsse
50/180 = 5/18 Anteile Haselnüsse
90/180 = 1/2 Anteile Paranüsse
Diese Anteile werden nun an die Händler verteilt, müssen also nur mit dem jeweiligen Fassungsvermögen der Behältnisse multipliziert werden.
1. Händler: 40 Kilogramm = 80/9 Kilogramm Erdnüsse + 100/9 Kilogramm Haselnüsse + 20 Kilogramm Paranüsse
2. Händler: 50 Kilogramm = 100/9 Kilogramm Erdnüsse + 125/9 Kilogramm Haselnüsse + 25 Kilogramm Paranüsse
3. Händler: 90 Kilogramm = 20 Kilogramm Erdnüsse + 25 Kilogramm Haselnüsse + 45 Kilogramm Paranüsse