Serie-2
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Aufgaben und Lösungen
Aufgabe 1:
Zum Auftakt der zweiten Serie noch eine zum Fest.Die unsichtbaren Helfer des Weihnachtsmannes müssen noch eingekleidet werden, wegen der Polarnacht aber tappen sie im Dunkeln.Bekannt ist, dass im Schrank 6 Handschuhe sind, die links und rechts passen und dazu noch 9 Socken aus dem gleichen Material.
1. Wie viele Stücke muss man mindestens aus dem Schrank holen, damit man ein vollständiges Paar hat? (1 P.)
2. Wie viele Stücke muss man höchstens aus dem Schrank holen, damit man mit Sicherheit 3 vollständige Paare Handschuhe oder Socken hat? (2 P.)
3. Wie viele Stücke muss man höchstens aus dem Schrank holen, damit man 4 vollständige Paar Socken hat? (2 P.)
zu erreichen sind insgesamt 5 Punkte
Lösung
1. Es müssen drei Stücke aus dem Schrank geholt werden2. Es müssen 11 Stücke aus dem Schrank geholt werden, denn bei 10 könnten in schlimmsten Fall je 5 Handschuhe oder Socken dabei sein, das 11. Teil macht drei Paare komplett.
3.Wenn man Pech hat zieht man immer wieder mal einen Handschuh mit (6), so dass man noch 8 Socken rausholen muss. Es sind also 14 Stücke notwendig, dann sind mit Sicherheit die georderten vier Paare dabei.
Aufgabe 2
Jeder Buchstabe steht genau für eine positive Zahl.Wenn eine Lösung gefunden wird, gibt es 3 Punkte
Wer alle Lösungen findet erhält 6 Punkte. Die Begründung, dass es alle Lösungen sind, verhilft zu zwei Extrapunkten.
| a | + | b | = | c |
| + | + | + | ||
| b | + | d | = | a |
|
|
||||
| c | + | a | = | 13 |
Lösung
Wegen der 1. Zeile muss c größer sein als a. Aus den Angaben der dritten Spalte folgt dann, dass c 7, 8, 9, 10, 11 oder 12 sein kann.Wegen c - a = b und b + d = a fallen für c die Zahlen 9, 10, 11 und 12 weg. Damit bleiben die 7 und 8 übrig. Die beiden Lösungen lauten damit:
| 6 | + | 1 | = | 7 |
| + | + | + | ||
| 1 | + | 5 | = | 6 |
|
|
||||
| 7 | + | 6 | = | 13 |
| 5 | + | 3 | = | 8 |
| + | + | + | ||
| 3 | + | 2 | = | 5 |
|
|
||||
| 8 | + | 5 | = | 13 |
Aufgabe 3:
Jeder Buchstabe steht genau für eine positive Zahl.Wenn die Lösung gefunden wird, gibt es 4 Punkte
- 3a = a + b
- 6a = a + b + c
- 10a = a + b + c + d
- (10a)2 = a3 + b3 + c3 + d3
- (6a)2 = a3 + b3 + c3
- (3a)2 = a3 + b3
Lösung
Die erste Lösung ist trivial und lautet a = b = c = d = 0 und steht nicht im Widerspruch zum ersten Satz der Aufgabenstellen. Um diese Lösung auszuschließen wäre die Formulierung: Jeder Buchstabe steht andere für eine positive Zahl. - notwendig gewesen.Als Musterlösung verwende ich hier die Zusendung von Mawi:
3a = a + b => b=2a (1)
6a = a + b + c => c=3a (2)-(1)
10a = a + b + c + d => d=4a (3)-(2)
(3a)^2 = a^3 + b^3 => 9a^2=a^3+(2a)^3=a^3+8a^3=9a^3 => a^2=a^3 => a_1=0 oder a_2=1 (6)
damit ergeben sich (s.o.) b_1=0, c_1=0, d_1=0 bzw. b_2=2, c_2=3, d_2=4
sind auch (4) und (5) erfuellt?
Variante1:
(10a)^2 = a^3 + b^3 + c^3 + d^3 => 0=0 i.O.
(6a)^2 = a^3 + b^3 + c^3 => 0=0 i.O.
Variante2:
(10a)^2 = a^3 + b^3 + c^3 + d^3 => 10^2 =(?) 1^3+2^3+3^3+4^3=1+8+27+64=100 i.O.
Lösungen (a,b,c,d) => (0,0,0,0), (1,2,3,4)
Vielen Dank
Aufgabe 4:
Jeder Buchstabe steht für eine andere Ziffer. Gleiche Buchstaben gleiche Ziffern. Es kommen also alle zehn Ziffern vor.M A T H E + I S T = S C H Ö N
Zu erreichen sind 3 Punkte.
Lösung
Bei dieser Aufgabe gibt es mehrere Lösungen, denn nur wenige Buchstaben sind eindeutig.A = 9, C = 0 und M = S -1
Eingesandte Lösungen:
39 721 + 547 = 40 268
19 845 + 628 = 20 473
69 843 + 578 = 70 421
Aufgabe 5:
Ein Junge fragt seinen Onkel nach dessen Alter. Dieser antwortet: 1981 war ich so alt wie die Quersumme meines Geburtsjahres 19..Da diese Quersumme meinem Geburtstag im Monat mit den wenigsten Buchstaben entspricht, so solltest du jetzt herausbekommen, wie alt ich im Jahr 2002 geworden bin.
Zu erreichen sind 5 Punkte.
Lösung
In einigen Zuschriften wurde diese Aufgabe als recht kompliziert angesehen, aber das ist sie bei näherem Hinsehen dann doch nicht.Bei vielen vollständigen Lösungen ist der Weg des systematischen Probierens gegangen worden, das ist hier sichelich sinvoll.
Da der Onkel im Mai (Monat mit den wenigsten Buchstaben) geboren ist, kann er 1981 höchstens 31 gewesen sein. Damit braucht man mit dem Probieren erst ab bzw. bis 1950 probieren.
Jahr Qu Alter
1965 21 16
1964 20 17
1963 19 18
1962 18 19
1961 17 20
1960 16 21
1959 24 22
1958 23 23
Daraus ergibt sich, dass der Onkel am 23. Mai 1958 geboren wurde und damit im Jahr 2002 44 Jahre alt wurde.
Zweimal wurde eine nicht geplante Lösung entdeckt. Diese geht davon aus, dass der Onkel sein Alter 1981 vor seinem Geburtstag angab.
Er wäre dann 1962 geboren. (Quersumme: 18, dieses Alter hätte er 1981 bis zum 17. Mai gehabt) Im Jahr 2002 wäre er dann 40 geworden.
Wer beide Lösungen vollständig hergeleitet hat bekam dafür 7 Punkte.
Aufgabe 6:
Diesmal gibt es ausnahmsweise zwei Aufgaben zur Auswahl.6.1: Altersaufgabe: Ein Mann antwortet auf die Frage nach seinem Alter so: Meine Mutter war vor vier Jahren doppelt so alt wie ich jetzt bin. Mein Vater wird in fünf Jahren doppelt so alt sein, wie ich dann sein werde. Addiert man die momentanen Lebensalter, so sind wir drei zusammen 109 Jahre. Wie alt sind Mutter, Vater und Sohn jetzt?
Zu erreichen sind 4 Punkte.
Lösung
V - Vater, M - Mutter, S - Sohn Daraus lässt sich das Gleichungssystem aufstellen:
- M -4 = 2S
- V + 5 = 2(S + 5)
- M + V + S = 109
- M = 2S +4
- V = 2S +5
2S +4 + 2S +5 + S = 109 | - 9
5S = 100 | : 5
S = 20
Der Sohn ist jetzt also 20, die Mutter 44 ( war also vor vier Jahren doppelt so alt wie der Sohn jetzt) und der Vater ist 45 Jahre alt (wird in 5 Jahren 50, also doppelt so alt wie der Sohn dann ist).
6.2: Gib Name, Haarfarbe, Körpergröße und Platzierung eines 100 m Laufes an.
Zu erreichen sind 4 Punkte.
Lösung
Aus 1, 3, 5 und 7 folgt Christoph ist blond, 165 cm groß und Goldmedaillengewinner, Bernd ist 164 cm groß und Axel ist 162 cm groß.
Aus diesen ersten Erkenntnissen folgt aus 4., dass Axel rote Haare hat und so muss Bernd schwarze Haare haben.
Wegen 6. Bernd dann der 3., so dass Axel den zweiten Platz belegt
Zusammenfasung:
- Christoph, blond, 165 cm
- Axel, rot, 162 cm
- Bernd, schwarz, 164 cm
Aufgabe 7
Da ich gerne Karten spiele lud ich mir 4 Mädchen ein. Anna, Britta, Cecil und Doreen. Jede brachte noch ihren Bruder mit. Da ich in der Küche zu tun hatte, haben die 8 alle 32 Karten des Spiels schon mal aufgeteilt.
Anna hatte eine, Britta hatte zwei, Cecil hatte drei und Doreen hatte vier Karten. Ralf Müller hatte soviele Karten wie seine Schwester, Steffen Fischer hatte doppelt so viele Karten wie seine Schwester, Thomas Schmidt sogar dreimal so viele wie seine Schwester und Ulf Müller genau vier mal so viele wie seine Schwester.
Finde die Geschwisterpaare heraus.
Zu erreichen sind 6 Punkte.
Anna und Thomas Schmidt
Britta und Ulf Müller
Cecil und Ralf Müller
Doreen und Steffen Fischer
Lösung von Mawi:
(Kartenspielen) Die Mädel sind: A=1,B=2,C=3,D=4 Die Brüder sind: RM=x, SF=2y, TS=3z, UM=4r mit {x,y,z,r} Element aus {A,B,C,D}={1,2,3,4} (nicht notwendigerweise in dieser Reihenfolge)
Weiterhin muß gelten: A+B+C+D+RM+SF+TS+UM=1+2+3+4+x+2y+3z+4r=10+x+2y+3z+4r=32 also x+2y+3z+4r=22
1. Fall: r=4: => x+2y+3z+4r=x+2y+3z+4*4=x+2y+3z+16=22 => x+2y+3z=6 mit {x,y,z} Element aus {1,2,3}. Durch die Faktoren 1,2,3 ergibt sich ein Minimum der linken Seite für x=3, y=2, z=1 => x+2y+3z>=3+4+3=10>6 => x+2y+3z>6 => Widerspruch
2. Fall: r=3: => x+2y+3z+4r=x+2y+3z+3*4=x+2y+3z+12=22 => x+2y+3z=10 mit {x,y,z} Element aus {1,2,4}. Durch die Faktoren 1,2,4 ergibt sich ein Minimum der linken Seite für x=4, y=2, z=1 => x+2y+3z>=4+4+3=11>10 => x+2y+3z>10 => Widerspruch
3. Fall: r=2: => x+2y+3z+4r=x+2y+3z+2*4=x+2y+3z+8=22 => x+2y+3z=14 mit {x,y,z} Element aus {1,3,4}.
Systematische Suche:
x=1 y=3 z=4 => x+2y+3z=1+6+12=19<>14
x=1 y=4 z=3 => x+2y+3z=1+8+9=18<>14
x=3 y=1 z=4 => x+2y+3z=3+2+12=17<>14
x=3 y=4 z=1 => x+2y+3z=3+8+3=14 => LOESUNG
x=4 y=1 z=3 => x+2y+3z=4+2+9=15<>14
x=4 y=3 z=1 => x+2y+3z=4+6+3=13<>14
4. Fall: r=1 => x+2y+3z+4r=x+2y+3z+1*4=x+2y+3z+4=22 => x+2y+3z=18 mit {x,y,z} Element aus {2,3,4}. Durch die Faktoren 2,3,4 ergibt sich ein Maximum der linken Seite für x=2, y=3, z=4 => x+2y+3z<=2+6+12=20 sowie ein Minimum für x=4, y=3, z=2 => x+2y+3z>=4+6+6=16. Auch hier könnte es eine Lösung geben:
Systematische Suche:
x=2 y=3 z=4 => x+2y+3z=2+6+12=20<>18
x=2 y=4 z=3 => x+2y+3z=2+8+9=19<>18
x=3 y=2 z=4 => x+2y+3z=3+4+12=19<>18
x=3 y=4 z=2 => x+2y+3z=3+8+6=17<>18
x=4 y=2 z=3 => x+2y+3z=4+4+9=17<>18
x=4 y=3 z=2 => x+2y+3z=4+6+6=16<>18
Es gibt also genau eine Lösung:
RM=x=3 => Bruder von C
SF=2y=8 => Bruder von D
TS=3z=3 => Bruder von A
UM=4r=8 => Bruder von B
Aufgabe 8
Welches ist die kleinste natürliche Zahl, die alle 10 Ziffern genau einmal enthält?
Zu erreichen sind 2 Punkte.
Lösung
Die einfache Form 0123456789 entfällt, da die ja eigentlich nur 9-stellig ist. So ergibt sich als echte Lösung: 1023456789
Aufgabe 9
Hier nun der Klassiker der Klassiker:
Diese Aufgabe stammt aus dem 9. Jahrhundert.
Ein Mann kommt mit einem Wolf, einer Ziege und einem Kohlkopf an einen Fluss. Dort findet er ein kleines Boot vor, mit dem er jeweils nur den Wolf, die Ziege oder Kohlkopf transportieren kann. Er überlegt: Den Wolf kann er mit der Ziege nicht allein lassen, ebenso wenig ist es möglich, die Ziege und den Kohlkopf ohne Aufsicht zu lassen. Da die nächste Brücke viel zu weit entfernt ist, muss er das Boot zum Übersetzen benutzen.
Gib eine Möglichkeit an, wie der Mann mit möglichst wenig Fahrten, Wolf, Ziege und Kohlkopf verlustfrei zum anderen Ufer schaffen kann.
Zu erreichen sind 5 Punkte.
Lösung
Vorschläge wie Kohlkopf auf dem Wasser treiben lassen oder ihn einen Rucksack zu tun entsprachen nicht der Aufgabenstellung.
Das Hauptproblem ist die Ziege, da diese nicht mit dem Wolf und dem Kohlkopf alleine gelassen werden kann.
Mögliche Lösung:
1. Fahrt: Ziege zum anderen Ufer.
2. Fahrt: Leerfahrt zurück.
3. Fahrt: Kohlkopf zum anderen Ufer
4. Fahrt: Ziege zurück.
5. Fahrt: Wolf zum anderen Ufer.
6. Fahrt: Leerfahrt zurück.
7. Fahrt: Ziege zum anderen Ufer.
Alle Dinge sind jetzt am anderen Ufer. Mögliche andere Lösungen sind nicht mit weniger Fahrten machbar.
Aufgabe 10
Das Jahr 1989 war ein sehr wichtiges Jahr der jüngeren Geschichte.
Aber auch mathematisch lässt sich sich mit den Ziffern viel anfangen. Die vier Ziffern sollen genau einmal und das in der Reihenfolge 1 9 8 9 zur Berechnung verwendet werden. Es sind die Grundrechenarten, das Setzen von Klammern, das Quadratwurzelziehen (kurz Wurzel), Fakultät und das Potenzieren erlaubt.
Beispiele:
14 = - 1 - 9 + 8 . Wurzel(9)
23 = -19 + 8 . Wurzel(9)
36 = 19 + 8 + 9
65 = (1 + Wurzel (9)!) . 8 +9 und
70 = -19 + 89 und
Finde je eine Darstellung für: 7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97
Für jede Darstellung gibt es einen Punkt. Es sind also 10 Punkte möglich.
Lösung
War wohl nicht ganz so einfach. Hier ist nun jeweils eine Möglichkeit angegeben:
7 = - 1 - 9 + 8 + 9
17 = 1 9 . 8 + 9
27 = 1 + 9 + 8 + 9
37 = (- 1 + Wurzel(9)!) . 8 - Wurzel(9)
47 = (1 + Wurzel(9)!) . 8 - 9
57 = 1 . Wurzel(9)! . 8 + 9
67 = (- 1 + 9) . 8 + Wurzel(9)
77 = (1 + 9) . 8 - Wurzel(9)
87 = 1- Wurzel(9) + 89
97 = -1 +9 + 89
Aufgabe 11
Mal was Schnelles für zwischendurch.
Wieviel Minuten sind es bis 8.00 Uhr, wenn es vor 50 Minuten genau viermal soviel Minuten nach 5 Uhr war?
Zu erreichen sind 3 Punkte.
Lösung
Die Aufgabe war wohl nicht für alle Beteiligten so leicht, aber okay. Hier nun ein Lösungsansatz.
Es fehlen x Minuten bis 8.00 Uhr, dann 50 Minuten zurück und nun sind es noch 4x Minuten bis 5.00 Uhr, da es von 5 bis 8 Uhr 180 Minuten sind ergibt sich:
x + 50 + 4x = 180 | -50
5x = 130 | : 5
x = 26
Es sind noch 26 Minuten bis 8.00 Uhr also ist es 7.34 Uhr.
Aufgabe 12
Grundwissen in schriftlichen Multiplikation ist gefragt:
x steht für irgendwelche fehlenden Ziffern
| 4 | x | x | . | x | 2 | x |
|
|
||||||
| x | x | 4 | x | |||
| 9 | 1 | 2 | ||||
| x | 3 | x | x | |||
|
|
||||||
| x | x | x | x | x | 8 | |
Zu erreichen sind 5 Punkte.
Lösung
Der erste Faktor ist leicht aus dem zweiten Teilergebnis zu ermitteln.
912 : 2 = 456 (Die Angabe der 4 an dieser Stelle wäre also nicht notwendig gewesen, aber nun ja.)
Wegen der 8 an der letzen Stelle im Ergebnis, kommt für die letzte Stelle des zweiten Faktors nur die 3 oder 8 in Frage. (6 . 3 = 18 bzw. 6 . 8 = 48)
Das erste Teilergebnis wäre dann 1368 bzw. 3648. Da als vorletzte Stelle die 4 vorgegeben ist fällt die 3 aus und der zweite Faktor heißt jetzt. x28.
Das letzte Teilergebnis hat eine 3 an der Hunderterstelle. Gesucht ist also eine einstellige Zahl z, so dass z . 456 = x3xx ist. Durch Probieren lässt sich zeigen, dass nur z = 3 die Bedingung erfüllt. Damit ist die Aufgabe vollständig gelöst und gezeigt es gibt nur die eine Lösung.
| 4 | 5 | 6 | . | 3 | 2 | 8 |
|
|
||||||
| 3 | 6 | 4 | 8 | |||
| 9 | 1 | 2 | ||||
| 1 | 3 | 6 | 8 | |||
|
|
||||||
| 1 | 4 | 9 | 5 | 6 | 8 | |
Auswertung
Serie 2
| Platz | Name | Ort | Punkte |
| 1 | Mawi | Dresden | 43 |
| 2 | Paul Chr. Zerbe | Chemnitz | 35 |
| 3 | Christoph Thiele | Chemnitz | 24 |
| 4 | Franziska Scharschmidt | Jahnsdorf | 21 |
| 5 | Salomon Brunner | Chemnitz | 19 |
| 6 | Josefine Hartwig | Chemnitz | 17 |
| 7 | Margarethe Nehler | Chemnitz | 12 |
| 8 | Maximillian Marschk | Chemnitz | 11 |
| 9 | Martin Feldmann | Chemnitz | 9 |
| 10 | Max Wawrzyniak | Chemnitz | 9 |
| 10 | Lene | ??? | 9 |
| 11 | Maria V. Herrmann | Chemnitz | 8 |
| 12 | Daniel Hufenbach | Chemnitz | 7 |
| 13 | Daniela Schumacher | Chemnitz | 6 |
| 13 | Lukas Maibier | Chemnitz | 6 |
| 13 | Mandy | Chemnitz | 6 |
| 13 | Juliane Beuckert | Chemnitz | 6 |
| 14 | Miriam Hufenbach | Chemnitz | 5 |
| 14 | Marcus | Chemnitz | 5 |
| 14 | Anna Melzer | Amtsberg | 5 |
| 14 | Jakob Hastedt | Chemnitz | 5 |
| 14 | Metin Oruc | ??? | 5 |
| 15 | Hanspeter | Salzburg ? | 3 |
| 15 | ??? | Mittweida | 3 |
| 15 | Silke Müller | Greifswald | 3 |
| 15 | Theresa Nehler | Chemnitz | 3 |
| 15 | Felix Kummer | Chemnitz | 3 |
| 16 | Maria | Dresden | 1 |
| 16 | Fritz T. | Halle | 1 |
| 16 | Sebastian Flad | Chemnitz | 1 |
| 16 | Luise Heinrich | Chemnitz | 1 |
| 16 | Franziska Horn | Hohndorf | 1 |
| 16 | Wilhelm Florian | ???? | 1 |
| 17 | Isabella | ??? | 0 |