Serie 35
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Aufgabe 7
415. Wertungsaufgabe
„Hallo Mike, hast du schon wieder einen Zauberkreis entdeckt?“, fragte Bernd. „Irgendwie schon. Schau mal her. Ich nehme eine Strecke AB von zwei Zentimetern (allgemein a cm). Diese verlängere ich über B hinaus bis zu einem Punkt C. Die Teilstrecke BC soll 4 Zentimeter lang sein
(allgemein b cm). Im Punkt B errichte ich eine Senkrechte trage von B aus 1 cm nach unten ab und erhalte dort einen Punkt D. Nun konstruiere ich den Umkreis des Dreiecks ACD. Die zuvor konstruierte Senkrechte schneidet diesen Kreis in einem weiteren Punkt, den ich E nenne. Wenn du nachmisst, erkennst du, dass die Länge von BE (= c) etwas mit den Längen von AB und BC zu tun hat. (Summe, Differenz, Produkt oder Quotient der Streckenlängen.)“ Wie lang ist die Strecke BE mit den gegebenen Längen a = 2 cm und b = 4 cm? Was gilt zwischen a, b und c? 3 blaue Punkte. Wie lässt sich zeigen, dass die Beziehung zwischen a, b und c für alle Werte von a und b gilt? 3 rote Punkte
Termin der Abgabe 09.01.2014. Deadline for solution is the 9th. January 2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 9. Gennaio 2014.
„Ciao Mike, che hai scoperto di nuovo un cerchio magico?“ chiese Bernd. “ Mi sembra di sì. Guarda qui. Prendo un segmento AB di due centimetri (a in generale in cm). Questa la allungo al di là del punto B fino ad un punto C. Il tratto di percorso BC deve avere una lunghezza di 4 cm (b in generale in cm). Nel punto B aggiungo una verticale, riporto da B 1 cm in giù e ricevo lì un punto D. Ora costruisco il circondario del Triangolo ACD. La verticale aggiunta prima da me incontra questo cerchio in un altro punto ancora, che nomino E. Se misuri vedrai che la lunghezza BE(=c) ha a che fare con le lunghezze di AB e BC. (somma, differenza, prodotto o quoziente delle lunghezze del percorso).” Quant´è lungo il percorso BE guardando su le lunghezze note di a= 2cm e b=4cm? Cosa vale tra a,b e c? 3 punti blu. Come si può dimostrare, che la relazione tra a,b e c vale per tutte le quantità a e b? 3 punti rossi.
"Hi Mike, have you discovered another magic circle?", Bernd asked.
"In a sense, yes. Take a look. Let there be a line segment AB of two centimetres (generally: a cm). Let's extend this line segment over point B up to a point C. Let BC be 4 cm (generally: b cm). Now let's construct a perpendicular in point B. Mark a point D on this line 1cm from B. Now construct the circumcircle of triangle ACD. The perpendicular that we constructed before will intersect this circle in one more point: E. If you measure you will notice that the length of BE (=c) has something to do with the lengths of AB and BC. (sum, difference, product or quotient of the lengths.)"
What is the length of line segment BE with the given lengths a=3cm and b=4cm? What is the relation between a, b and c? - 3 blue points
Show that this relation holds for any given values of a and b. - 3 red points
Lösung/solution:
Auf dem Bild sieht man die Konstruktion:
Die gesuchte Länge ist 8 cm. Nun sollte 4+2, 4-2, 4*2 oder 4/2 die 8 ergeben, dass geht nur mit 4*2=8. Das heißt, es lässt sich diese Konstruktion als eine geometrische Variante der Multiplikation auffassen. Gilt das immer?
DE und AC sind Sehnen im Kreis, B ist deren Schnittpunkt. Es lässt sich relativ einfach zeigen, dass die Dreiecke ABD und BCE zueinander ähnlich sind. (egal wie lang groß die Dreiecke sind, oder wie "schief".) Es gilt dann. Damit also BE*BD= AB*BC. Da aber BD = 1 sein soll, gilt BE=AB * BC.