Serie-26
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Serie 26
Aufgaben und Lösungen
Aufgabe 1
301. Wertungsaufgabe
"Hallo Mike, du warst doch letzte Woche zu dem Treffen der Wochenaufgabenentwerfer in Potsdam. War das interessant?" "Aber selbstverständlich." Na dann erzähl doch mal," drängelte Lisa.
"Hier lest einfach meine Notizen."
Es sind 5 Schüler, die haben alle in diesem Jahr begonnen, Wochenaufgaben ins Netz zu stellen. Start war Januar, Februar, April, Mai bzw. Juli. Es sind zwei Jungs, Bert und Helmut, sowie die Mädchen Elke, Gina und Melanie. Angereist kamen sie aus Freiberg, Berlin, Zwickau, Köln und München. Keiner kam aus seiner Heimatstadt (Hannover, Dresden, Hamburg, Leipzig und Rostock), in denen sie ihre Wochenaufgaben veröffentlichen.
1..Einen Monat bevor Bert begann, seine Wochenaufgaben zu veröffentlichen, begann der/die Leipziger/Leipzigerin, der/die aus Freiberg angereist kam, mit seinen Aufgaben.
2..Den Start der Wochenaufgaben im Februar unternahm nicht der/die aus Köln angereiste und nicht der/die in Hannover wohnende.
3..Der Start der Veröffentlichung des (oder der) aus München angereisten war eher wie des Hamburgers (oder Hamburgerin) und genau drei Monate früher als der Start durch die Rostockerin Gina.
4..Melanies Veröffentlichung war einen Monat eher als der Start von Elke, die aus Berlin anreiste.
Wer kam aus welcher Stadt nach Potsdam? Wo wohnen die Leute? Wann begannen die Veröffentlichungen? 6 blaue Punkte
Begleitet wurden die Schüler durch ihre Mathelehrer, die alle verschiedene Augenfarben -- blau, grün, grau, braun und rötlich- hatten. Sie hielten alle einen kurzen Vortrag, diese begannen 9.50 Uhr, 10.00 Uhr, 10.20 Uhr 10.40 Uhr und 10.50 Uhr. Auf dem Rednerpult stand jedesmal etwas anderes. Saft, Milch, Tonic, Limo und Wasser. Ich schätzte die Lehrer auf 25 , 40, 50, 55 und 60 Jahre.
1.Der Lehrer mit den brauen Augen und dem Saft ist 10 Jahre älter als der, welcher eine halbe Stunde eher mit seinem Vortrag begann.
2. Der 55-jährige begann 20 Minuten später als der Milchtrinker, der wiederum älter ist als der Limotrinker mit den grünen Augen.
3. Der Wassertrinker begann seinen Vortrag 20 Minuten eher als der mit den rötlichen Augen.
4. Der mit den blauen Augen war der Jüngste.
Wer (Augenfarbe) hielt wann seinen Vortag und trank dazu welches Getränk? 6 rote Punkte
"Sag mal, war da der Mathelehrer aus Chemnitz, der sich schon so viele Aufgaben ausgedacht hat, auch dabei?" "Nö, das ist doch auch wieder nur so eine Aufgabe von dem."
Lösung:
Die Tabellen im Sinne der Aufgaben des Logiktrainers sind Uwe, danke.
Januar | Februar | April | Mai | Juli | Hannover | Düsseldorf | Hamburg | Leipzig | Rostock | Freiberg | Berlin | Zwickau | Köln | München | |
Bert | - | + | - | - | - | - | + | - | - | - | - | - | + | - | - |
Helmut | + | - | - | - | - | - | - | - | + | - | + | - | - | - | - |
Elke | - | - | - | + | - | - | - | + | - | - | - | + | - | - | - |
Gina | - | - | - | - | + | - | - | - | - | + | - | - | - | + | - |
Melanie | - | - | + | - | - | + | - | - | - | - | - | - | - | - | + |
Freiberg | + | - | - | - | - | - | - | - | + | - | |||||
Berlin | - | - | - | + | - | - | - | + | - | - | |||||
Zwickau | - | + | - | - | - | - | + | - | - | - | |||||
Köln | - | - | - | - | + | - | - | - | - | + | |||||
München | - | - | + | - | - | + | - | - | - | - | |||||
Hannover | - | - | + | - | - | ||||||||||
Düsseldorf | - | + | - | - | - | ||||||||||
Hamburg | - | - | - | + | - | ||||||||||
Leipzig | + | - | - | - | - | ||||||||||
Rostock | - | - | - | - | + |
Januar - Helmut - Leipzig - Freiberg
Februar - Bert - Dresden - Zwickau
April - Melanie - Hannover - München
Juli - Gina - Rostock - Köln
rote Aufgabe:
Januar | Februar | April | Mai | Juli | 25 Jahre | 40 Jahre | 50 Jahre | 55 Jahre | 60 Jahre | Saft | Milch | Tonic | Limo | Wasser | |
blau | - | + | - | - | - | + | - | - | - | - | - | - | - | - | + |
grün | + | - | - | - | - | - | + | - | - | - | - | - | - | + | - |
grau | - | - | - | + | - | - | - | - | + | - | - | - | + | - | - |
braun | - | - | - | - | + | - | - | - | - | + | + | - | - | - | - |
rötlich | - | - | + | - | - | - | - | + | - | - | - | + | - | - | - |
Saft | - | - | - | - | + | - | - | - | - | + | |||||
Milch | - | - | + | - | - | - | - | + | - | - | |||||
Tonic | - | - | - | + | - | - | - | - | + | - | |||||
Limo | + | - | - | - | - | - | + | - | - | - | |||||
Wasser | - | + | - | - | - | + | - | - | - | - | |||||
25 Jahre | - | + | - | - | - | ||||||||||
40 Jahre | + | - | - | - | - | ||||||||||
50 Jahre | - | - | + | - | - | ||||||||||
55 Jahre | - | - | - | + | - | ||||||||||
60 Jahre | - | - | - | - | + |
Daraus lässt sich ablesen: Vortragsbeginn, Augenfarbe, Getränk, Alter:
9.50 Uhr - grün - Limo - 40
10.00 Uhr - blau - Wasser - 25
10.20 Uhr - rötlich - Milch - 50
10.40 Uhr - grau - Tonic - 55
10.50 Uhr - braun - Saft - 60
Aufgabe 2
302. Wertungsaufgabe"Hallo Lisa." Hallo Mike, was machst du denn mit dem Zettel zum kleinen 1 x 1.?" Das ist nicht das ganze 1 x 1, sondern es sind nur die zweistelligen Ergebnisse davon." Wie viele solcher Ergebnisse gibt es eigentlich und lässt sich daraus die Anzahl der Primzahlen zwischen 10 und 100 ermitteln? (Kleines Einmaleins bedeutet beide Faktoren sind einstellig.) 3 blaue Punkte. Aus den Ergebnissen der blauen Aufgabe soll eine 9-stellige Zahl zusammengestellt werden, deren Ziffern alle verschieden sind (keine Null). Je zwei Ziffern, die nebeneinander stehen, bilden ein Produkt des kleinen Einmaleins. 5 rote Punkte. Beispiel für 5-stellig 32481 -- 32; 24; 48 und 81 sind Produkte des kleinen Einmaleins.
Lösung:
Blau: Alle Ergebnisse des Kleinen 1 x 1:
10,12,14,15,16,18, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 30, 32 ,35, 36, 40, 42, 45, 48, 49, 54, 56, 63, 64,72, 81 ==> 27 Ergebnisse. Es gibt natürlich Ergebnisse, die doppelt vorkommen (18 = 2*9 = 9*2, aber danach war nicht gefragt. Auch das häufig auch die 10-er Reihe mit zum kleinen 1 x1 gezählt wird ändert nicht am zweiten Teil der Aussage ...-->) Streicht man aus einer Tabelle der Zahlen von 10 bis 99 die Ergebnisse heraus, so bleiben auch Zahlen Stehen, die keine Primzahlen sind, z.B. 91 = 9*13. Damit lässt sich die Anzahl der Primzahlen also so nicht ermitteln.
rot: 23 Ergebnisse aus blau enthalten keine Null und sind Kandidaten für die gesuchte 9-stellige Zahl. Die Ziffer 9 kommt nur einmal vor, also muss die gesuchte Zahl xxxxxxx49 heißen. Zwei Ziffern geschafft.
Ziffer 7 gibt es in 27 und 72. Würde die 7 irgendwo in der Mitte der Zahl stehen, so wäre sie von zwei Zweien eingeschlossen, was aber nicht sein darf, damit muss die 7 an den Anfang. ==> 72xxxxx49. Was kommt vor die 4. Da wären 72xxxx149, 72xxxx549 oder 72xxxx649.
72xxxx149 ==> 72xxx8149 ==> 72xx18149 nicht zulässig.
72xxxx649 ==> 72xxx1649 oder 72xxx3649 oder 72xxx5649 ==> ... weiteres systematisches Einsetzen führt in jedem Fall auf eine nicht zulässige Zahl, damit bleibt nur
72xxxx549
==> 72xxx1549 oder 72xxx3549 ==> Untersuchung erste Variante
72xx81549 ==> Widerspruch, denn die auf 8 endenden Produkte fürfen nicht genommen werden werden (wegen 1 oder 2 doppelt) ==>
es bleibt 72xxx3549 ==>
72xx63549 ==>72x163549 ==> 728163549. Die systemtische Untersuchung zeigt es gibt genau eine solche gesuchte Zahl.
Aufgabe 3
303. Wertungsaufgabe"Lisa, du hast ja schon wieder die Schere in der Hand. Willst du wieder Schachbretter zerschneiden?, grinste Bernd. "Nein, ich habe regelmäßige Vielecke ausgeschnitten, die alle die gleiche Kantenlänge haben. So kann ich sowohl die gleiche Art auf Kante legen, aber eben auch verschiedene." "Auf Kante legen?" "Kante an Kante, ohne das was übersteht." Bernd spielt gleich mal ein wenig. "Wenn ich nur die Dreiecke nehme dann passen diese super zusammen, aber auch die Sechsecke. Nehme ich allerdings Achtecke, dann bleiben Lücken." Was passt in die Lücken hinein und warum? (2 + 3 blaue Punkte). Rot Gesucht sind 3 verschiedene regelmäßige Vielecke mit jeweils gleicher Kantenlänge, die paarweise auf Kante liegen, aber die gemeinsame Ecke komplett ausfüllen. (Bei blau sind es aber eben zwei Achtecke -- also leider nicht verschieden -- und das gesuchte n-Eck, was so eine gemeinsame Ecke komplett ausfüllt. Pro Tripel je zwei Punkte.
Lösung:
blau: Die Innenwinkel eines regelmäßigen Achtecks sind 135° groß - Begründung bei rot. Legt man zwei solche Achtecke auf Kante, so ergeben sich 2*135° = 270° an den Eckpunkten der gemeinsamen Kante. Um diese Lücke zu schließen, muss die gesuchte Fläche (360° - 270° = ) 90° große Innenwinkel besitzen. Da die Kanten alle gleichlang sein sollen, handelt es sich also um ein Quadrat.
rot: Die Innenwinkelsumme eines n-Ecks lässt sich (n - 2 ) * 180° berechnen. (Für die ganz genau Lesenden - ebenes konvexes n-Eck). Da es sich bei der Aufgaben Stellung um regelmäßige n-Ecke handeln soll ergibt sich für den einzelnen Innenwinkel . Um eine Ecke mit drei verschiedenen n-Ecken auszufüllen muss also gelten. Dabei sollen die einzelnen Werte für n alle verschieden sein. Wird die Gleichung durch 180° dividiert, dann erhält man:
Jetzt gibt es verschiedene Möglichkeiten die Überlegungen fortzusetzen. So lässt sich z.B. die Gleichung nach n3 umstellen und dann systematisch probieren. Oder man rechnet per Tabellenkalkulation durch, ... Wie auch immer.
Es gibt genau 6 verschiedene Lösungen - den Nachweis, dass dies alle sind, überlasse ich dem geneigten Leser.
Die Zahlen geben die Anzahl der Ecken an:
(3; 7; 42) - krumme Gradgrößen, deshalb nur mit Probieren ganzahliger Gradzahlen nicht zu finden
(3; 8; 24)
(3; 9; 18)
(3; 10; 15)
(4; 5; 20)
(4; 6; 12)
Aufgabe 4
304. WertungsaufgabeMaria konstruiert mit dem Zirkel ein regelmäßiges Achteck. Dies hat eine Kantenlänge von 6 cm. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist wie üblich ABCDEFGH. Nun aber sitzt sie grübelnd vor ihrem Blatt. Bernd kommt ins Zimmer und fragt, was denn sei. "Ich möchte ein weiteres Achteck in das Achteckeck hinein konstruieren. Der Punkt E soll auch Eckpunkt des neuen Achtecks sein. Zwei Seiten sollen auf den Seiten d und e liegen und eine dritte Seite auf der Diagonalen AD." "Ich verstehe," meint Bernd, nach dem er sich eine Skizze angefertigt hat. 6 blaue Punkte für eine begründete Konstruktionsbeschreibung. 5 rote Punkte für die Berechnung der Kantenlänge des kleinen Achtecks. (Anmerkung: Es ist immer ein regelmäßiges Achteck gemeint.)
Lösung:
Das regelmäßige Achteck bei vorgebener Seitenlänge zu konstruieren, ist auf mehrere Arten möglich. Hier eine Variante.
Zeichne eine Strecke AB mit 6 cm. Die Strecke wird über den Punkt B hinaus verlängert. Nun wird in B eine Senkrechte errichtet (Grundkonstruktion). Der rechte Winkel, der nicht die Strecke AB einschließt, wird halbiert (Grundkonstruktion). Der Winkel zwischen AB und der Winkelhalbierenden ist somit 135° groß. Genau das aber ist die Größe der Innenwinkel eines regelmäßigen Achtecks. Es wird nun von B aus 6 cm auf der Winkelhalbierenden abgetragen und man erhält den Punkt C des Achtecks. Eine Wiederholung der Schritte führt zum gesuchten großen Achteck.
Jetzt wird die Diagonale AD eigezeichnet. Siehe Bild von Uwe, danke.
Das Prinzip ist jetzt erkennbar. Das kleine Achteck lässt sich als Bild einer zentrischen Streckung des großen Achtecks mit dem Streckungszentrum E auffassen, wobei B' und C' auf der Diagonalen liegen müssen. Damit liegt aber zugleich die Seitenlänge des kleinen Achtecks fest. Die Lage der anderen Punkte lassen sich durch Parallelverschiebungen ermitteln.
rot: Die Seitenlänge des kleinen Achtecks lässt sich nun mittels Pythagoras und Strahlensatz ermitteln. Gegebene Seitenlange sei a
EB' / EB = B'C'/ a
(EB-a) /EB = B'C'/a
Die Diagonale EB ist Wurzel (2)*a + a lang.
Wird die Länge der Diagonalen in die zweite Gleichung eingesetzt, so ergibt sich:
B'C' = a* Wurzel (2)/ (Wurzel (2) + 1) das sind rund 0,5857864 * a. Das bei 6 cm Ausgangswert 3,5147186 cm für das kleine Achteck.
Sollte es Nachfragen geben, so können diese gern im Forum gestellt werden.
Aufgabe 5
305. WertungsaufgabeBernd fährt auf dem Weg von Leipzig nach Chemnitz durch den Ort Narsdorf. Der Name des Ortes besteht aus 8 verschiedenen Buchstaben. Wie viele Orte mit dorf am Ende ließen sich mit den Buchstaben N A R und S bilden. 2 blaue Punkte. Wie viele echt verschiedene Wörter lassen sich aus den 8 Buchstaben bilden? Die Wörter haben die Längen 1 bis 8 Buchstaben. 5 rote Punkte.
Lösung:
Blau: Die ersten vier Buchstaben waren auf alle möglichen Arten anzuordnen, dies nennt man Permutation. Für die erste Stelle habe ich vier Möglichkeiten. Für jede der 4 Möglichkeiten. verbleiben für die 2. Stelle 3 Buchstaben. Das sind 4 * 3 Möglichkeiten. Für jede dieser Möglichkeiten kann ich aus zwei verbleiben Buchstaben auswählen. Das ergibt also 4*3*2 Möglichkeiten. Bei jeder dieser 24 Möglichkeiten kann ich den verbleiben 4. Buchstaben nur noch ergänzen. Es sind also 24 Möglichkeiten. Kurze Schreibweise 4! (sprich vier Fakultät). n! (n>1) steht für 1*2*3* ... * n. siehe --> Mathelexikon <--
Anmerkung. Die "Namen" des zu bildenden Dorfes muss nicht lesbar bzw. aussprechbar sein.
rot: Hier sind nun für die 1 bis 8 Buchstaben langen "Worte" von den acht Buchstaben des Wortes NARSDORF 1, zwei, drei, .... Buchstaben zu wählen.
Der Fachbegriff dafür ist Kombination, aber und jetzt kommt es, die bekannten Formeln für die Kombination greifen nur, wenn alle Elemente (alle Buchstaben) verschieden sind. NARSDORF aber enthält das R eben zwei mal. Okay, wenn man NARSdorf schreiben, könnte man R und r unterscheiden, aber ...
Hier nun die Betrachtungen von XXX einmal NARSdorf und einmal NARSDORF, danke.
als pdf
Aufgabe 6
306. WertungsaufgabeMaria sitzt am Computer als Bernd in ihr Zimmer kommt. „Das sieht aber cool aus. Was ist das?“ „Ich lese auf der Schulhomepage gerade den Artikel zur Sierpinskipyramide. --> Zum Nachlesen<-- Dieses Modell wurde in der letzten Projektwoche gebaut.“ „Aus wie vielen kleinen Tetraedern mag wohl dieses Modell bestehen?“ „Das lässt sich ausrechnen. Pass auf. Ich gehe die Beschreibung noch mal durch. Man nimmt ein Ausgangstetraeder – Stufe 0. Nun werden alle Kanten des Tetraeders halbiert. Danach lassen sich also ausgehend von den Ecken des Ausgangstetraeders vier halb so große finden. Alles, was in der Mitte ist, kommt weg. Fertig ist die Stufe 1. Nun wird mit den verbleibenden Stufen-1-Tetraedern der Vorgang – Halbieren … – wiederholt. Das gebaute Sierpinskitetraeder entspricht der Stufe 5.“ Aus wie vielen kleinen Tetraedern besteht das Modell und was für ein Körper passt in die Lücke der Stufe 1? – 3+3 blaue Punkte (Nur Anzahl oder Name des Körpers bringt nicht die volle Punktzahl). Wie groß sind Oberfläche und Volumen der Stufe 5 im Vergleich zur Stufe 0, wenn die Kantenlänge in Stufe 0 bei 96 cm liegt? (8 rote Punkte)
Lösung:
blau:
Stufe 0 - 1 Tetraeder = 40
Stufe 1 - 4 Tetraeder = 41
Stufe 2 - 16 Tetraeder = 42
...
Stufe 5 - 1024 Tetraeder = 45
allgemein: Stufe n 4n Tetreder
Betrachtet man das Bild aus Aufgabe 307, so ist zu erkennen, dass die Figur, die in die Lücke passt 6 Ecken hat und 8 kongruente gleichseitige Dreiecke als Flächen besitzt ein Oktaeder ist.
rot: Betrachten wir zuerst den Übergang von Stufe 0 zur Stufe 1: Volumen. Die Stufe 1 besteht aus 4 Tetredern, die die halb so groß sind wie das Teraeder der Stufe 0. Damit ist das Volumen eines Tetraeders 1/8 des Ausgangsvolumens. Da es vier Tetraeder sind 4/8 oder 1/2 des Ausgangsvolumens. Oberfläche der Stufe 0 besteht aus vier zueinander kongruenten gleichseitigen Dreiecken 4*A0. Die Stufe 1 besteht aus 16 halb so großen Dreiecken 16*A1. A1 ist aber 1/4 von A0. 16*1/4*A0 = 4A0.
Zusammengefasst: Beim Übergang von Stufe 0 zur Stufe 1 wird das Volumen halbiert, aber die Oberfläche bleibt. Wie man leicht nachvollziehen kann, passiert beim Übergang von Stufe 1 zur Stufe 2 das Gleiche: das Volumen wird halbiert, aber die Oberfläche bleibt.
Allgemein: Vn = (1/2)n * V0 und An = A0
Setzt man die 96 cm der Stufe 0 in die Tetraederformel und dann in die obige Formel ein ergeben sich:
V5 = 3258 cm3 und A5 = 15963 cm2
Hier mal noch ein Bild einer passenden Mathematikbriefmarke:
Noch mehr Mathemarken --> hier <--
Aufgabe 7
307. Wertungsaufgabe"Das Modell der letzten Woche würde ich am liebsten mit GEOMAG – Teilen nachbauen“, sagte Mike, als er sich das Bild des Modells ebenfalls im Internet angeschaut hatte. „GEOMAG, das ist doch der Magnetbaukasten, oder?“ „Aber ja doch. Du hast gleichlange magnetische Stäbe. Als Ecken nimmt man Stahlkugeln. Wenn du ein Modell der Stufe 1 baust – siehe Aufgabe 306 – dann sieht man die Lücken nicht wirklich. Es sei denn, du verwendest dreieckige Panele als Seiten für die äußeren kleinen Tetraeder. Wie viele Stäbe und Kugeln werden für die Stufe 2 benötigt? 4 blaue Punkte – kleine Herleitung nicht vergessen. 4 rote Punkte für die Anzahl von Stäben und Kugeln der Stufe n, n – beliebige natürliche Zahl.
Bild der Stufe 1:
Lösung:
blau:
Stufe 0: 1*6 Stäbe + 4 Kugeln.
Das Bild zeigt die Stufe 1.
Es sind 4*6 Stäbe (24) und 4*4- 6 (10) Kugeln.
Für die Stufe zwei müssen nun vier solche Tetraeder benutzt werden, wobei die 3 oberen Kugeln der "unten stehenden" Tetraeder doppelt verwendet werden, aber die drei Kugeln, wo sich die unteren Tetraeder berühren.
24 * 6 = 96 Stäbe und 4 *10 - 6 = 34 Kugeln.
rot: n - die Stufe Anzahl der Stäbe 4n * 6 das ist leicht zu sehen.
Für die Zahl der Kugeln gab es mehere Ansätze und so waren die Formeln letztlich auch unterschiedlich "kompliziert". Richtig allerdings waren die alle.
Einen interessanten Ansatz fand Rafael.
Für die Anzahl der Kugeln multiplizierte der die Anzahl der Stangen mit 2 - macht Sinn. Um nun auf die obigen (blauen) Zahlen zu kommen wurde das Produkt durch 6 dividiert und dann kamen zwei Kugeln dazu. Setzt man nun die Anzahl der Stäbe mit 4n * 6 ein, dann ergibt sich nach wenigen Schritten: Anzahl der Kugeln K = 2(4n+1).
Wer das Ganze mal größer bauen will, der sollte folgende Anzahl Kugeln und Stäbe sich besorgen.
Stufe | Stäbe | Kugeln |
0 | 6 | 4 |
1 | 24 | 10 |
2 | 96 | 34 |
3 | 384 | 130 |
4 | 1536 | 514 |
5 | 6144 | 2050 |
6 | 24576 | 8194 |
7 | 98304 | 32770 |
8 | 393216 | 131074 |
9 | 1572864 | 524290 |
10 | 6291456 | 2097154 |
11 | 25165824 | 8388610 |
12 | 100663296 | 33554434 |
13 | 402653184 | 134217730 |
14 | 1610612736 | 536870914 |
15 | 6442450944 | 2147483650 |
16 | 25769803776 | 8589934594 |
17 | 103079215104 | 34359738370 |
18 | 412316860416 | 137438953474 |
19 | 1649267441664 | 549755813890 |
20 | 6597069766656 | 2199023255554 |
21 | 26388279066624 | 8796093022210 |
22 | 105553116266496 | 35184372088834 |
23 | 422212465065984 | 140737488355330 |
Aufgabe 8
308. Wertungsaufgabe"Was machst du Schönes?", fragte Bernd seine Schwester. "Ich habe das Geheimnis der Zahl 7 entdeckt und werde in meiner Spezialistengruppe diesen Mythos untersuchen." Klingt interessant, lass hören." "Hier die Aufgabe:"1234567654321 *(1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1) = 7 777 777 * 7 777 777
"Und das stimmt?" Formale Überprüfung durch Nachrechnen 3 blaue, Herleitung durch andere Überlegungen noch mal 3 blaue Punkte.
"Kennst du ein anderes Geheimnis der 7?", fragte Maria ihren Bruder. "Ein Geheimnis ist es vielleicht nicht, aber die 7 soll dabei sein. Die Zahlen 5, 6 und 7 folgen ja aufeinander. Gesucht sind drei aufeinander folgende natürliche Zahlen (größer als 10), wo die erste durch 5, die zweite durch 6 und die dritte durch 7 teilbar sein soll und drei andere aufeinander folgende natürliche Zahlen (größer als 10), wo die erste durch 7, die zweite durch 6 und die dritte durch 5 teilbar sein soll." "Da gibt es doch sicher mehr als eine Lösung." "Aber klar doch." (je ein Tripel mit der geforderten Eigenschaft ist zu finden, je 2 rote Punkte, wer viele rote Punkte will -- 8 -- der sollte drei andere aufeinander folgende natürliche Zahlen finden, wo die erste durch 307, die zweite durch 308 und die dritte durch 309 teilbar ist.)
Lösung:
blau: Mit einem "normalen" Taschenrechner funktioniert das Nachrechnen meist nicht, da es zu viele Ziffern sind, die es anzuzeigen gilt.
Das Ergebnis lautet für beide Seiten: 60 493 815 061 729
Die linke Seite 1234567654321 *(1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1) lässt sich zu 1234567654321 * 49 umwandeln. Die Linke Zahl hat eine einfache Struktur und wird nun untersucht:
11 * 11 = 121
111 * 111 = 12321
1111 * 1111 = 1234321 ...
1234567654321 * 49 = 1111111 * 1111111 * 7 * 7 = 7 * 1111111 * 1111111 * 7 = 7777777 * 7777777
rot: die Grundlage für diese Aufgabe ist der chinesische Restsatz. Ohne diesen zu erwähnen geht es auch. Hier die Lösung von Uwe Parsche, danke
1. Tripel teilbar durch 5, 6 bzw. 7: 215, 216, 217
weitere Tripel ergeben sich aus {5, 6, 7} + n*5*6*7 mit n .. natürliche Zahlen
z.B.: mit n = 6: --> 1265; 1266; 1267
z.B.: mit n = 7: --> 1475; 1476; 1477
z.B.: mit n = 8: --> 1685; 1686; 1687
z.B.: mit n = 10: --> 1895; 1896; 1897
z.B.: mit n = 10: --> 2105; 2106; 2107
z.B.: mit n = 37: --> 7775; 7776; 7777 --> Geheimnis der 7 ???
2. Tripel teilbar durch 7, 6 bzw. 5: 203, 204, 205
weitere Tripel ergeben sich aus {-7, -6, -5} + n*5*6*7 mit n .. natürliche Zahlen
z.B.: mit n = 6: --> 1253; 1254; 1255
z.B.: mit n = 7: --> 1463; 1464; 1465
z.B.: mit n = 8: --> 1673; 1674; 1675
z.B.: mit n = 9: --> 1883; 1884; 1885
z.B.: mit n = 10: --> 2093; 2094; 2095
3. Tripel teilbar durch 307, 308 bzw. 309: 29218111, 29218112, 29218113
weitere Tripel ergeben sich aus {307, 308, 309} + n*307*308*309 mit n .. natürliche Zahlen
3. Tripel teilbar durch 307, 308 bzw. 309: 29218111, 29218112, 29218113
weitere Tripel ergeben sich aus {307, 308, 309} + n*307*308*309 mit n .. natürliche Zahlen
z.B.: mit n = 2: --> 58435915; 58435916; 58435917
z.B.: mit n = 3: --> 87653719; 87653720; 87653721
z.B.: mit n = 4: --> 116871523; 1168715234; 1168715235
z.B.: mit n = 5: --> 146089327; 146089328; 146089329
z.B.: mit n = 6: --> 175307131; 175307132; 175307133
z.B.: mit n = 73: --> 2132899999; 2132900000; 2132900001
z.B.: mit n = 242: --> 7070708875; 7070708876; 7070708877
allgemein gilt:
- zerlege die 3 oder k Grundzahlen in ihre Primzahlen
z.B.: 14; 15; 16 --> 2*7; 3*5; 2*2*2*2
- multipliziere alle Primzahlen
(evtl. kommen in der Zerlegung mehrere Primzahlen doppelt vor, diese nicht doppelt zählen)
z.B.: 2*2*2*2*3*5*7 = 1680
falls die Zahlen aufsteigend sind gilt:
{14, 15, 16} + n * 1680 mit n .. natürliche Zahlen
falls die Zahlen abfallend sind gilt:
{-16, -15, -14} + n * 1680 mit n .. natürliche Zahlen
Aufgabe 9
309. WertungsaufgabeBernd stöbert in den Mathematikbriefmarken, die auf den Seiten des Chemnitzer Schulmodells zu finden sind. Bei Mathematik querbeet ist die vom Mathematikerkongress aus dem Jahr 1998 zu sehen. "Schau mal, die 11 kleinen Quadrate bilden (fast genau) wieder ein Quadrat. Aber interessant ist auch der Wert -- die 110." Wieso?", fragt Mike nach. "Nun, die 110 lässt sich auf drei unterschiedliche Arten als Summe von 3 verschiedenen Quadratzahlen bilden." 6 blaue Punkte (Nur das Vertauschen von Summanden zählt nicht als andere Lösung.)
Es gibt genau eine natürliche Zahl, die kleiner ist als 110, die ebenfalls diese Eigenschaft hat. 3 rote Punkte. Für die Zahlenspezialisten: Gesucht ist eine Zahl, die sich auf vier verschiedene Arten als Summe von drei Quadratzahlen darstellen lässt. Dafür gibt es extra rote Punkte.
Lösung:
blau: Es gibt ja nicht so viele Quadratzahlen, die als Summanden in Frage kommen:
0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81 und 100.
Beginnt mann mit der 100, so wird klar da geht nur 110 = 100 + 9 + 1
Die nächste große Quadratzahl ist ist 81: Hier gilt 81 + 29 = 110. Die 29 aber lässt sich durch 25 + 4 ersetzen, also gefunden 110 = 81 + 25 + 4.
Nun wird die 64 Verwendet, 110 = 64 + 46, aber die passende Zerlegung der 46 geht leider nicht.
Also mal noch die 49: 110 = 49 + 61 = 49 + 36 + 25 geschafft.
rot: Da die gesuchte Zahl kleiner als 110 sein soll, sind es erst einmal die gleichen Quadratzahlen wie oben. Mit Geduld und Ausdauer wird man (endlich) bei der 101 fündig:
12 + 62 + 82 = 101
22 + 42 + 92 = 101
42 + 62 + 72 = 101
Der Nachweis, dass es kleiner nicht geht, war nicht verlangt.
Extrarot: Eigentlich hat man ja mit der 101 eine solche gesuchte Zahl gefunden, denn 02 + 12 + 102 = 101, wenn man die die Null mit dazu nimmt.
Hier mal noch die Erweiterung der Lösung durch Uwe Parche (danke), der sein mathlab- Programm entsprechend hat laufen lassen: als pdf
Interessant aber auch der Ansatz von XXX, danke:
Aufgabe 10
310. Wertungsaufgabe
Maria und Lisa bereiten ihren Kurs vor. Bernd, der ins Zimmer schaut, sieht die beiden bei Ausschneiden. "Was macht ihr denn da?" "Wir bereiten verschiedene Kreisausschnitte vor, die dann zu Mantelflächen eines Kegels genutzt werden sollen. Unsere Vorlagen haben alle den gleichen Radius vom 8 cm. Dann wollen wir untersuchen, wie groß das Volumen des Kegels wird, welcher sich aus so einem Stück jeweils formen lässt." "Fehlt da nicht die Grundfläche der Kegel", fragt Bernd nach. "Das stimmt schon, aber für die Ermittlung des Volumens ist das vielleicht nicht so wild", antwortete Lisa. "Wie können eigentlich die Schüler aus der 5. und 6. Klasse, die in eurem Kurs sind, das Volumen ermitteln?". "Nun, die basteln den Zylinder, messen die Höhe und den Radius aus und setzten die Werte in die Volumenformel ein. Die älteren sollen aus den Vorgaben die notwendigen Stücke ausrechnen." "Das sollte schaffbar sein", meinte Mike, der inzwischen auch eingetroffen war.
Wie groß ist das Volumen, wenn aus einem Kreis (r = 8,0 cm) ein 90° - Stück herausgeschnitten und der "Rest" als Mantel für einen Kegel genutzt wird -- 4 blaue Punkte. Wie groß muss das Stück sein, damit das Volumen maximal wird? - 4 rote Punkte.
Lösung:
blau: Es haben einige Schüler den Kegel gebastelt und mit der dabei erreichten Messgenauigkeit ein Volumen von rund 202 cm3 erzielt.
Auf dem Bildern erkennt man noch einmal die Zusammenhänge. Der Rand des "Tortenstücks" wird zum Umfang des Kreises mit dem Radius r, der die Grundfläche bildet.
Es gelten dann folgende Beziehungen:
==>
1.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt dann noch: h2 = s2 - r2 ==>
2.
Setzt man s = 8 cm in 1. so erhält man r = 6 cm und mit Hilfe der 2. Gleichung dann h = 5,291 cm. Das Ergibt ein Volumen von V = 199,485 cm3.
rot: Einige Schüler der Klasse haben nun den Winkel in 30° verändert, gemessen und gerechnet und so herausgefunden, dass wenn aus dem Vollkreis 60° ausgeschnitten werden, das größte Volumen entsteht. - Gute Näherung, alle Achtung.
Mit Hilfe der obigen Formeln kann man natürlich auch systematisch probieren und so auf die Suche nach dem größten Volumen gehen, das war der Weg von Doreen N., die auf diesem Wege gefunden hat, dass der "auszuschneidende Winkel" bei 66,06° liegen muss. Uwe Parsche und Rafael (mit Papas Hilfe?) haben die obigen Formeln in die Volumenformel eingesetzt, so dass dieses nur noch s und enthält. Letztlich also eine Funktion von , davon wurde die erste Ableitung auf "Null" gesetzt <-> Suche nach dem Maximum und so erhält man ein maximales Volumen für Das führt auf einen Ausschneidewinkel von 66,0612°.
Aufgabe 11
311. WochenaufgabeBernds Vater klopft an die Tür zu Marias Zimmer und als er nach dem "Herein" ins Zimmer geht, steht er im Dunkeln. Die vier Freunde untersuchen nämlich mit dem alten Optikbaukasten vom Opa verschiedene Varianten der Entstehung von Kern und Halbschatten mit 2 bis 4 Lampen und verschiedenen Hindernissen. Anschließend übertragen Sie ihre Ergebnisse in Koordinatensysteme. Ein Experiment ist schon komplett. Den Zettel nimmt Bernds Vater mit aus dem Zimmer und sieht: Zwei punktförmige Lichtquellen in A (0; 0) und B (0; 5) beleuchten ein Hindernis - dieses entspricht der Strecke von (5; 1) nach (5; 2). Blau: Bei welchem Punkt endet der Kernschatten -- kann auch konstruiert werden (3 Punkte). Rot: Wie groß ist der Flächeninhalt des Kernschattens. Berechnung basierend auf der Verwendung der gegebenen Koordinaten. (4 Punkte)
Lösung:
Auf dem Bild (auf das Bild klicken zum Vergrößern) sieht man die Umsetzung der Aufgabe. Der Kernschatten endet beim Schnittpunkt der "roten" und "grünen" Funktion. Der Kernschattenendet also beim Punkt (6,25; 1,25).
Diesen Schnittpunkt kann man auch rechnerisch ermitteln.
Aus den Punkten (0;5) und (5; 2) (rot) ergibt sich die Funktionsgleichung: y = f(x) = -0,6 x + 5 und aus den Punkten (0; 0) und (5; 1) (grün) ergibt sich y = g(x) = 0,2x.
Schnittpunktberechnung:
-0,6 xs + 5 = 0,2 xs | + 0,6 xs
5 = 0,8 xs
xs = 6,25 Einsetzten in f(x) ergibt ys = 1,25.
Nimmt man als Grundseite für das Dreieck die Strecke von (5; 1) nach (5; 2), dann ist die dazu gehörige Höhe 1,25 (6,25 - 5) Mit ergibt sich der Flächeninhalt zu 0,625 Flächeninhalten. (Wird als Längeneinheit 1 cm gewählt, so sind das 0,625 cm². )
Aufgabe 12
312. Wochenaufgabe"Hallo Bernd, was hast du denn da?", fragt Maria. "Nun, das ist eine coole Uhr, die mir mein Mathematiklehrer mal geborgt hat. Hier hast du auch noch eine Beschreibung dazu."
Der Grundkörper der Uhr ist (war) ein 10 cm großer Würfel. Dieser wurde abgeschrägt und zwar so, dass die Kanten der schrägen Fläche ein Dreieck bilden, die den Diagonalen der Deckfläche der vorderen Fläche und der rechten Seitenfläche entsprechen. Man betrachte dazu das Bild. Die drei Pyramiden haben jeweils die gleiche Höhe. Damit sie sich drehen können, sind kleine Abstände zwischen ihnen bzw. dem Würfelrestkörper von je 3 mm. Die untere Pyramidenscheibe zeigt die Stunden, die mittlere Scheibe die Minuten und die kleine Pyramide steht für die Sekunden. Wenn man die Uhr um 12 Uhr startet, dann bilden Würfelrestkörper und die drei Pyramiden genau wieder den Urprungswürfel. Wann bilden dann die drei drehbaren Teile zum ersten Mal wieder eine "richtige" Pyramide? 5 blaue Punkte (Achtung, wie das ganze in Bezug auf den Würfelrest aussieht, ist egal.) Wie groß sind die Volumina der drei drehbaren Teile? 6 rote Punkte
Lösung:
blau: Das Problem lässt sich auf die Frage zurückführen, wann stehen bei einer Uhr die zeiger übereineinander. Für den Minutenzeiger gilt, dass er 12 mal schneller ist als der Stundenzeiger. Der Minutenzeiger bewegt sich mit der Zeit t so, dass er 360°*t zurücklegt, der Stundenzeiger nur 30°*t. Übereinander liegen die genau dann, wenn der Unterschied zwischen den beiden Werten für das gleichte t bei einem Vielfachen von 360° Grad liegt. 360°*t - 30°*t = n* 360° Das nach t umgestellt, führt auf t = 12/11 *n. Nun haben wir es bei der Uhr aber damit zu tun, dass jede Scheibe ja schon nach 120° wieder in den °Ausgangszustand" kommt. Wegen 360= 3* 120 Wird demzufolge t = 4/11*n.
Die untere Scheibe (Stunden) und die mittlere Scheibe liegen also nach je 4/11 Stunden genau übereinander.
Eine vollständige Pyramide aber ist ja erst erreicht, wenn auch die Sekundepyramide "richtig" über den beiden Scheiben dreht. Wendet man das obige Prinzip noch einmmal an, so erkennt man, dass dies Übereinstimmung zum ersten Mal erst nach 4 Stunden erreicht werden kann. (Analog bei den Zeigern einer "normalen" Uhr heißt dass nur um 12.00 Uhr liegen alle Zeiger übereinander.) Auch wenn es bei beim Betrachten der eben fast so ausssieht als ob es zwischen durch klappt, ist es eben nur dann der Fall, wenn der "Ausgangswürfel" wieder komplett ist . Technisch kommt noch hinzu, dass sich die Sekundenpyramide nicht kontinuierlich dreht, sondern "Sekundensprünge" macht, aber das war für die Aufgabenstellung nicht zu berücksichtigen.
rot: Zuerst kann man die Pyramide betrachten, die vom Würfelabgeschnitten und zur Uhr umfunktioniert wird. Die komplette Pyramide (ohne Abstände) hat ein des Volumens des Würfels. AG ist in dem Fall eines halbe Quadratfläche und h entspricht der Kantenlänge. Das Volumen der Pyramide ist also 1000/6 cm³ = 166,666 ... cm³. Für die Weitere Berechnung gehe ich nun zur Grundfläche über, die durch das gleichseitige Dreieck gebildet wird. Die Seitenlängen entsprechen der Diagonalen der Quadratflächen (14,142 ... cm), somit ergibt sich für diese Grundfläche Ag eine Grundfläche von 86,60 ... cm².
Mit der obigen Volumenformel ergibt sich eine Höhe (von der Schnittfläche zur Ecke) von 5,77 cm. Daraus lassen sich die Höhen für die einzelnen Scheiben ermitteln (5,77 - 0,9) : 3 = 1,62 cm.
Berechnung des Volumens für die Sekundenpyramide. Es wird noch die Kantenlänge für deren Grundfläche gebraucht. Diese lässt sich mit Hilfe des 2. Teils des Strahlensatzes ermitteln. ==> a1 = 3,97 cm. Mit der obigen Formel ergibt sich VS = 3,68 cm³.
Die Minuten- und die Stundenscheibe sind Pyramidenstümpfe. Dafür gibt es diese Formel D steht dabei bei für die Deckfläche und G für die Grundfläche. UnterAusnutzung der Formel für das gleichseitige Dreieck verändert sich die Formel zu
Für h ist jeweils 1,62 cm einzusetzen, das jeweilige aG bzw. aD ist mit dem Strahlensatz ermittelbar. Für die Minutenscheibe sind das: aD = 4,706 cm und aG = 8,676 cm. In die Formel eingesetzt ergibt das: VM = 32,32 cm³.
Entsprechend ergibt sich für die Stundenscheibe: VH = 92,02 cm³.
Die Auswertung der Serie 26
Auswertung Serie 26 (blaue Liste)
Platz | Name | Ort | Summe | Aufgabe | |||||||||||
301 | 302 | 303 | 304 | 305 | 306 | 307 | 308 | 309 | 310 | 311 | 312 | ||||
1. | Rafael Seidel | Chemnitz | 56 | 6 | 3 | 5 | 6 | 2 | 6 | 4 | 6 | 6 | 4 | 3 | 5 |
2. | Uwe Parsche | Chemnitz | 53 | 6 | 3 | 5 | 6 | - | 6 | 4 | 6 | 6 | 4 | 3 | 4 |
3. | Doreen Naumann | Duisburg | 52 | 6 | 3 | 5 | 5 | 2 | 6 | 4 | 3 | 6 | 4 | 3 | 5 |
4. | Linus-Valentin Lohs | Chemnitz | 46 | 6 | 3 | 2 | 6 | 2 | 6 | - | 3 | 6 | 4 | 3 | 5 |
5. | Elisa Parsche | Chemnitz | 39 | - | 3 | 5 | 6 | - | 6 | 4 | 6 | 6 | - | 3 | - |
6. | Felix Haase | Chemnitz | 30 | 6 | 3 | 5 | 6 | - | - | 4 | 3 | - | - | - | 3 |
7. | Hermann Thum | Chemnitz | 28 | 6 | - | - | 6 | 2 | - | 2 | - | 6 | - | 3 | 3 |
8. | Richard Hahmann | Chemnitz | 26 | - | 2 | - | 5 | 2 | - | 4 | 1 | 6 | - | 3 | 3 |
9. | Loise Reichmann | Chemnitz | 25 | - | - | 5 | 5 | 2 | - | 4 | 3 | - | - | 3 | 3 |
10. | Jamila Wähner | Chemnitz | 24 | - | 3 | - | - | 2 | 6 | 4 | 6 | - | - | - | 3 |
11. | Stephanie Dani | Chemnitz | 22 | - | 1 | 5 | 5 | 2 | - | - | 3 | - | - | 3 | 3 |
12. | Philipp Fürstenberg | Chemnitz | 21 | - | 2 | 5 | 5 | 2 | - | 4 | - | - | - | 3 | - |
13. | Ellen Richter | Chemnitz | 20 | - | - | - | 6 | 1 | - | 4 | 3 | - | - | 3 | 3 |
13. | Anja Posselt | Chemnitz | 20 | - | - | - | - | 2 | 6 | - | - | 6 | - | 3 | 3 |
13. | Ria Hopke | Chemnitz | 20 | - | 2 | - | - | - | 6 | - | - | 6 | - | 3 | 3 |
14. | Lisa Grassmann | Chemnitz | 19 | 5 | - | - | - | - | - | - | - | 6 | - | 3 | 5 |
15. | Ingmar Richter | Chemnitz | 18 | 6 | - | - | - | - | - | - | - | 6 | - | 3 | 3 |
16. | XXX | ??? | 17 | - | 3 | - | 6 | 2 | - | - | - | 6 | - | - | - |
16. | Marie Sophie Roß | Chemnitz | 17 | - | 2 | 5 | - | - | - | 4 | - | - | - | 3 | 3 |
17. | Sabine Fischbach | Hessen | 15 | 4 | 3 | - | - | 2 | - | - | - | 6 | - | - | - |
18. | Karolin Schuricht | Chemnitz | 14 | 6 | - | - | - | - | 4 | - | - | - | - | - | - |
18. | Arne Weißbach | Chemnitz | 14 | - | 2 | - | - | - | - | - | 6 | 6 | - | - | - |
18. | Felix Taubert | Chemnitz | 14 | - | 3 | - | - | 2 | - | - | - | 6 | - | 3 | - |
19. | Astrid Fischer | Chemnitz | 13 | 5 | 3 | 5 | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
20. | Rebecca Wagner | Oberwiesenthal | 12 | 6 | 3 | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - | - |
21. | Luis Raupach | Chemnitz | 11 | - | - | - | - | 2 | 3 | - | - | - | - | 3 | - |
21. | Nina Zätsch | Chemnitz | 11 | - | 2 | - | - | - | - | - | 3 | - | - | 3 | 3 |
22. | Marion Sarah Zenk | Chemnitz | 10 | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - | - | 3 | 4 |
22. | Josephine Pallus | Chemnitz | 10 | 4 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | 3 |
23. | Felix Brinkel | Chemnitz | 9 | 6 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - |
23. | Ellen Wilde | Chemnitz | 9 | - | - | - | - | 2 | 2 | - | - | - | - | - | 5 |
24. | Jonathan Kässler | Chemnitz | 8 | - | 2 | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | 3 |
24. | Hannah-Sophie Schubert | Chemnitz | 8 | - | 2 | - | - | - | - | - | - | 6 | - | - | - |
25. | Melina Seerig | Chemnitz | 6 | - | - | - | - | - | - | - | - | 6 | - | - | - |
25. | Lucas Steinke | Chemnitz | 6 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | 3 |
25. | Wim Winter | Chemnitz | 6 | - | 1 | - | - | - | - | 2 | - | - | 3 | - | - |
25. | Christian Wagner | Bamberg | 6 | 6 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
25. | Robin König | Chemnitz | 6 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | 3 |
25. | Andreas M. | Dittersdorf | 6 | - | - | - | - | - | - | - | - | 6 | - | - | - |
25. | Johanna Ranft | Chemnitz | 6 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | 3 |
25. | Duncan Mahlendorff | Chemnitz | 6 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | 3 |
26. | Hannah Gebhardt | Chemnitz | 5 | - | - | - | - | 2 | - | - | - | - | - | 3 | - |
26. | Ole Koelb | Chemnitz | 5 | - | - | - | - | 2 | - | - | - | - | - | 3 | - |
26. | Theresa Jänich | Chemnitz | 5 | - | - | - | - | 2 | - | - | - | - | - | 3 | - |
26. | Helene Fischer | Chemnitz | 5 | - | 3 | - | - | 2 | - | - | - | - | - | - | - |
26. | Kai-Lutz Wagner | Chemnitz | 5 | - | - | - | - | 2 | - | - | 3 | - | - | - | - |
26. | Laura Schlosser | Chemnitz | 5 | - | 3 | 2 | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
26. | Marcel Reichelt | Chemnitz | 5 | - | - | - | - | 1 | 1 | - | - | - | - | 3 | - |
27. | Emilie Grossinger | Chemnitz | 4 | - | - | - | - | 1 | - | - | - | - | - | 3 | - |
27. | Henrike Grundmann | Chemnitz | 4 | - | - | - | - | 1 | - | - | - | - | - | 3 | - |
27. | Hannes Eltner | ???? | 4 | 4 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
28. | Lukas Kirchberg | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - |
28. | Julia Ritter | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - |
28. | Tim Jechorek | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | 2 | - | - | - | - | - | 1 | - |
28. | Willy Stöckel | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - |
28. | Amarin Roßberg | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - |
28. | Carl Geißler | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | 1 | 2 | - | - | - | - | - | - |
28. | Daniel Hufenbach | Leipzig | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - |
28. | Julia Voigt | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - |
29. | Agnieszka Urban | Chemnitz | 2 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 2 | - |
29. | Niels Steinert | Chemnitz | 2 | - | 2 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
29. | Jule Schwalbe | Chemnitz | 2 | - | 2 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
29. | Matthias Engewald | Erfurt | 2 | - | - | - | - | 2 | - | - | - | - | - | - | - |
29. | Pauline Marschk | Chemnitz | 2 | - | - | - | - | 2 | - | - | - | - | - | - | - |
29. | Paula | Hartmannsdorf | 2 | - | - | - | - | 2 | - | - | - | - | - | - | - |
29. | Andree Dammann | München | 2 | - | - | - | - | 2 | - | - | - | - | - | - | - |
29. | Lukas Thieme | Chemnitz | 2 | - | - | - | - | 2 | - | - | - | - | - | - | - |
30. | Gwendolin Eichler | Chemnitz | 1 | - | - | - | - | - | 1 | - | - | - | - | - | - |
30. | Hannes Langenstraß | Chemnitz | 1 | - | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
30. | Mara Neudert | Chemnitz | 1 | - | - | - | - | 1 | - | - | - | - | - | - | - |
30. | Jonas Frederik Otto | Lichtenwalde | 1 | - | - | - | - | 1 | - | - | - | - | - | - | - |
30. | Vincent Baessler | Chemnitz | 1 | - | - | - | - | - | 1 | - | - | - | - | - | - |
30. | Emma Irmscher | Eibenberg | 1 | - | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
Auswertung Serie 26 (rote Liste)
Platz | Name | Ort | Summe | Aufgabe | |||||||||||
301 | 302 | 303 | 304 | 305 | 306 | 307 | 308 | 309 | 310 | 311 | 312 | ||||
1. | Uwe Parsche | Chemnitz | 75 | 6 | 5 | 12 | 5 | - | 8 | 4 | 12 | 10 | 4 | 4 | 5 |
2. | Doreen Naumann | Duisburg | 58 | 6 | 5 | - | - | 4 | 8 | 4 | 12 | 6 | 4 | 4 | 5 |
3. | Jamila Wähner | Chemnitz | 29 | - | 5 | - | - | 4 | 8 | - | 12 | - | - | - | - |
4. | Rafael Seidel | Chemnitz | 24 | - | - | 12 | - | - | - | 4 | - | - | 4 | 4 | - |
5. | Astrid Fischer | Chemnitz | 21 | 6 | 5 | 10 | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
6. | XXX | ??? | 20 | - | 5 | - | 5 | 5 | - | - | - | 5 | - | - | - |
7. | Felix Haase | Chemnitz | 18 | 6 | 5 | - | 2 | - | - | - | - | - | - | - | 5 |
8. | Linus-Valentin Lohs | Chemnitz | 16 | - | - | - | - | 4 | - | - | 4 | 6 | - | - | 2 |
9. | Richard Hahmann | Chemnitz | 14 | - | - | - | - | - | - | - | 4 | 5 | - | 1 | 4 |
10. | Elisa Parsche | Chemnitz | 12 | - | 5 | - | - | - | - | 3 | - | - | - | 4 | - |
10. | Sabine Fischbach | Hessen | 12 | - | 5 | - | - | 4 | - | - | - | 3 | - | - | - |
11. | Hannah-Sophie Schubert | Chemnitz | 10 | - | 5 | - | - | - | - | - | 2 | 3 | - | - | - |
12. | Anja Posselt | Chemnitz | 8 | - | - | - | - | - | 8 | - | - | - | - | - | - |
12. | Ria Hopke | Chemnitz | 8 | - | - | - | - | - | 8 | - | - | - | - | - | - |
13. | Marion Sarah Zenk | Chemnitz | 7 | - | - | - | - | - | - | - | 4 | - | - | - | 3 |
13. | Ingmar Richter | Chemnitz | 7 | - | - | - | - | - | - | - | - | 5 | - | - | 2 |
14. | Marie Sophie Roß | Chemnitz | 6 | - | - | - | - | - | - | - | 4 | - | - | - | 2 |
14. | Christian Wagner | Bamberg | 6 | 6 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
15. | Lisa Grassmann | Chemnitz | 5 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 5 |
15. | Matthias Engewald | Erfurt | 5 | - | - | - | - | 5 | - | - | - | - | - | - | - |
15. | Niels Steinert | Chemnitz | 5 | - | 5 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
16. | Hannes Langenstraß | Chemnitz | 4 | - | 4 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
16. | Hannah Gebhardt | Chemnitz | 4 | - | - | - | - | 4 | - | - | - | - | - | - | - |
16. | Daniel Hufenbach | Leipzig | 4 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 4 | - |
16. | Felix Taubert | Chemnitz | 4 | - | - | - | - | 4 | - | - | - | - | - | - | - |
16. | Andree Dammann | München | 4 | - | - | - | - | 4 | - | - | - | - | - | - | - |
17. | Melina Seerig | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - | - | - |
17. | Rebecca Wagner | Oberwiesenthal | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - | - |
17. | Hannes Eltner | ???? | 3 | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
17. | Jonathan Kässler | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 |
17. | Andreas M. | Dittersdorf | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 | - | - | - |
17. | Jule Schwalbe | Chemnitz | 3 | - | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
17. | Ellen Richter | Chemnitz | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 3 |
17. | Arne Weißbach | Chemnitz | 3 | - | 3 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
17. | Paula | Hartmannsdorf | 3 | - | - | - | - | 3 | - | - | - | - | - | - | - |
18. | Stephanie Dani | Chemnitz | 2 | - | - | - | - | - | - | - | 2 | - | - | - | - |
18. | Nina Zätsch | Chemnitz | 2 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 2 |
18. | Johanna Ranft | Chemnitz | 2 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 2 |
18. | Loise Reichmann | Chemnitz | 2 | - | - | - | - | - | - | - | 2 | - | - | - | - |
19. | Henrike Grundmann | Chemnitz | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1 | - |
19. | Ole Koelb | Chemnitz | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1 | - |
19. | Robin König | Chemnitz | 1 | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | 1 |
19. | Marcel Reichelt | Chemnitz | 1 | - | - | - | - | 1 | - | - | - | - | - | - | - |
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