Serie-26


Aufgabe 3

303. Wertungsaufgabe
"Lisa, du hast ja schon wieder die Schere in der Hand. Willst du wieder Schachbretter zerschneiden?, grinste Bernd. "Nein, ich habe regelmäßige Vielecke ausgeschnitten, die alle die gleiche Kantenlänge haben. So kann ich sowohl die gleiche Art auf Kante legen, aber eben auch verschiedene." "Auf Kante legen?" "Kante an Kante, ohne das was übersteht."  Bernd spielt gleich mal ein wenig. "Wenn ich nur die Dreiecke nehme dann passen diese super zusammen, aber auch die Sechsecke. Nehme ich allerdings Achtecke, dann bleiben Lücken." Was passt in die Lücken hinein und warum? (2 + 3 blaue Punkte). Rot Gesucht sind 3 verschiedene regelmäßige Vielecke mit jeweils gleicher Kantenlänge, die paarweise auf Kante liegen, aber die gemeinsame Ecke komplett ausfüllen. (Bei blau sind es aber eben zwei Achtecke -- also leider nicht verschieden -- und das gesuchte n-Eck, was so eine gemeinsame Ecke komplett ausfüllt. Pro Tripel je zwei Punkte.

Lösung:
blau: Die Innenwinkel eines regelmäßigen Achtecks sind 135° groß - Begründung bei rot. Legt man zwei solche Achtecke auf Kante, so ergeben sich 2*135° = 270° an den Eckpunkten der gemeinsamen Kante. Um diese Lücke zu schließen, muss die gesuchte Fläche (360° - 270° = ) 90° große Innenwinkel besitzen. Da die Kanten alle gleichlang sein sollen, handelt es sich also um ein Quadrat.
rot: Die Innenwinkelsumme eines n-Ecks lässt sich (n - 2 ) * 180° berechnen. (Für die ganz genau Lesenden - ebenes konvexes n-Eck).  Da es sich bei der Aufgaben Stellung um regelmäßige n-Ecke handeln soll ergibt sich für den einzelnen Innenwinkel  \frac {(n-2) * 180^\circ} n. Um eine Ecke mit drei verschiedenen n-Ecken auszufüllen muss also  \frac {(n_1-2) * 180^\circ} {n_1} + \frac {(n_2-2) * 180^\circ} {n_2} + \frac {(n_3-2) * 180^\circ} {n_3} = 360^\circ gelten. Dabei sollen die einzelnen Werte für n alle verschieden sein. Wird die Gleichung durch 180° dividiert, dann erhält man:
 \frac {(n_1-2)} {n_1} + \frac {(n_2-2)} {n_2} + \frac {(n_3-2)} {n_3} = 2
Jetzt gibt es verschiedene Möglichkeiten die Überlegungen fortzusetzen. So lässt sich z.B. die Gleichung nach n3 umstellen und dann systematisch probieren.  Oder man rechnet per Tabellenkalkulation durch, ... Wie auch immer.
Es gibt genau 6 verschiedene Lösungen - den Nachweis, dass dies alle sind, überlasse ich dem geneigten Leser.
Die Zahlen geben die Anzahl der Ecken an:
(3; 7; 42) - krumme Gradgrößen, deshalb nur mit Probieren ganzahliger Gradzahlen nicht zu finden
(3; 8; 24)
(3; 9; 18)
(3; 10; 15)
(4; 5; 20)
(4; 6; 12)


Kommentare   

0 #1 philips trimmer for 2015-05-25 20:28
Boo!
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